CC BY
6ОСОБЛИВОСТ1 ВИВЧЕННЯ СТУДЕНТАМИ ТЕМИ «ТРИКУТНИКИ» НА ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТТЯХ З МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
О.С.Волянська, канд. педагог. наук, доцент, Нащональний педагогiчний умверситет т. М.П.Драгоманова,
м. Кшв, УКРА1НА
Представлено один з можливих зразк1в вивчення теми з курсу геометры на практичних заняттях з методики навчання математики. Ключов1 слова: трикутник.
Перехщ вищо'1 школи на кредитно-модульну систему навчання, а також змши програми навчання з математики загаль-ноосвггаьо! школи вимагають шшого рiвня до пщготовки майбутнього вчителя. Велику роль на сучасному етапi розвитку вищо'1 освiти вiдiграe самостийна робота студенпв, пiдвищуються вимоги до про-фесшно! пiдготовки майбутнього вчителя.
Пропонуемо зразок вивчення одте! з тем на практичних заняттях з методики навчання математики.
Мета статт1: з'ясувати змгст теми в кура платметри основног школи, опанувати методику навчання основних структурных елемент1в теми.
Змктова
Завдання:
- з'ясувати змют понять: трикутник, висота, бюектриса i медiана трикутника, зовшшнш кут трикутника, прямокутний трикутник;
- проаналiзувати програму з математики для загальноосвгтшх навчальних закладiв клаав з поглибленим вивченням математики з теми „Трикутники";
- розглянути методичт особливостi вивчення теми за дточими альтернатив-ними пiдручниками;
- розробити методику формування основних понять теми та методику вивчення теорем;
- розкрити методичш особливосп розв'язування задач з теми „Трикутники".
структура теми
№ п/п Структурш елементи змкту Де знайти вщповщь
1 Мiсце теми в програмi. Основна мета вивчення та вимоги до математично'1' пщготовки учшв [4, 2]
2 Специфiка вивчення основних понять теми [1, 2, 3]
3 Методика вивчення теорем, формування умшь застосовувати 1'х пщ час розв'язування задач [3, 7, 8]
4 Особливосп системи задач [1, 2]
У результат! вивчення теми студент повинен знати:
- означення трикутника та рiзних його видiв, висоти, медiани, бюектриси трикутника та 1'х властивосп, властивiсть рiвно-бедреного трикутника, ознаки рiвностi трикутниюв, теорему про суму внутршшх
купв трикутника, власгивiсть зовшшнього кута трикутника;
- теорему косинуав та синyсiв та наслiдки з них;
- алгоритми розв'язування довщьних трикyтникiв;
а також повинен умпи:
©
- зображати та знаходити на малюнках рiвносгороннi, рiвнобедренi, прямокутнi трикутники та 1х елементи;
- доводити рiвнiсть трикутникiв;
- застосовувати власгивосгi трикутниюв та 1х елеменгiв до розв'язування задач;
- розв'язувати задачi, застосовуючи алгоритми розв'язування трикутникiв;
- виконувати методичш завдання, пов'язанi з темою „Трикутники".
Контрольно-смислов1 запитання 1 завдання репродуктивного характеру
(перша самоощнка)
1. Опишгть мiсце теми в програмi шюльного курсу геометри основно! школи.
2. Яким е змiсг теми „Трикутники" в 7 клаа за програмою 12^чно'1 школи?
3. Як означення трикутника даютъся в дiючих альтернативних шкiлъних пщруч-никах з геометри для 7-го класу?
4. Як iснуютъ класифiкацГi трикутни-кiв?
5. У чому полягае вiдмiннiсгъ у понят-тях „бюектриса кута" i „бюектриса трикут-ника"?
6. Якi приклади необхiдно розглянути пiд час формування поняття „зовшшнш кут трикутника" абстрактно-дедуктивним методом?
7. У чому полягае метод геометричного фузiонiзму?
8. Якими ще способами, вiдмiнними вiд тих, що наведенi в дiючих пщручниках, можна довести теорему про суму купв трикутника?
9. Якими способами доводяться три ознаки рiвностi трикутникiв в дшчих альтернативних пiдручниках з геометри для 7 класу?
10. Опишпъ особливосп системи задач в дшчих альтернативних пiдручниках з теми „Трикутники".
11. Розгляньте види задач, як необхщ-но розв'язати з учнями на застосування ознак рiвносгi трикутниюв.
12. Яким методом доводиться теорема косинуав i опишiть у дшчих альтернативних пщручниках?
13. Де використовуються надаш в курсi плашметри теореми синусiв та косинусiв?
Вщповщ1 та вказ1вки до контрольно-смислових запитань 1 завдань репродуктивного характеру
1. Пропедевтичне ознайомлення з поняттям „трикутник" починаеться ще в початковш школi. На цьому егапi учнi повиннi вмгти: розпiзнавати i зображати трикутник, обчислювати його периметр. В 5-6 класах продовжуеться пропедевтичне вивчення теми. Вивчаеться трикутник, його периметр, види трикутниюв, рiвнiсть фiгур. В кура геометри 7 класу за програмою тема „Трикутники" вивчаеться на протязi 18 годин. В кура геометри 9 класу за програмою 11^чно'1 школи вивчаеться тема „Розв'язування трикутниюв" на протязi 12 годин.
2. За програмою 12^чно'1 школи тема „Трикутники" в 7 клаа мае такий змют:
1) трикутник i його елементи. Рiвнiсгь геометричних ф^р. Ознаки рiвносгi трикутникiв;
2) види трикутниюв. Рiвнобедрений трикутник, його властивосп та ознаки. Висота, бiсектриса i медiана трикутника;
3) ознаки ршносп прямокутних трикутниюв. Власгивосгi прямокутних трикутниюв;
4) сума купв трикутника. Зовшшнш кут трикутника i його власгивосгi;
5) нерiвнiсгь трикутника.
3. У пщручнику [7], наприклад, трикутник означается насту пним чином: Трикутником називаеться геометрична ф^ра, яка складаеться з 3-х точок, що не лежать на однш прямiй i 3-х вц^зюв, як сполучають цi точки. В пщручнику [8] трикутник означается, як замкнена ламана з 3-х ланок.
4.1снують рiзнi класифжацшш суми трикутникiв. Наприклад, в пщручнику [7] представлено класифжацш трикутниюв за сторонами i кутами, яка мае наступний вигляд (схема 1).
CxeMa 1
KnacM$iKa^A TpMKyTHMKiB b niflpyHHMKy M.I.EypflM
TpMKyTHMKM rocTpoKyTHi np^MOKyTHi TynOKyTHi
Pi3HOCTOpOHHi
PiBHoSeflpeHi N i 0 tN
PiBHOCTOpOHHi - -
€ rnmi KnacH^iKa^i, ax HanpHKnag, TaKi:
CxeMa 2
Knacu$iKa^a TpMKyTHMKiB 3a cTopoHaMM
CxeMa 3
Knacu$iKa^a TpMKyrHMKiB 3a KyraMM
CxeMa 4
iHmi KnacM^iKaqiMHi cxeMM
1 -TpiUKyTHMKM
2 - piBHO6e,qpeHi
3 - npaMOKymi
4 - npaMOKymi piBHo6egpeHi
5. Учш мають розумiти, що бiсектриса кута - промшь, а бiсектриса трикутника - вiдрiзок. Це слГд показати на рисунку (рис. 1 i рис. 2)
Рис. 1
С
А
В
Рис. 2
6. Щоб в учшв не створилося неправильне уявлення про те, що зовнiшнiй кут трикутника завжди бiльший, нiж внутрiшнiй, сумiжний з ним, не можна обмежуватися прикладами зовнiшнiх кутiв лише гострокутного трикутника, а слГд запропонувати позначити учням всi зовнiшнi кути таких трикутникГв (рис. 3 i рис. 4)
Рис. 3
Рис. 4
7. У математицi е своерiдний пщхщ до вивчення геометри - метод геометрич-ного ФузГонГзму (вГд латинського слова „фузю" - злиття), згщно з яким плаш-метричний г стереометричний матерiал слГд подавати одночасно, надаючи перевагу стереометри. Переходи думок вГд двовимГрноГ площини до тривимГрного простору полегшать потужний розвиток штуГци школяра. Дивись докладнГше [6].
Багато роюв тому египтяни знали, що коли сторони трикутника 3, 4, 5, то вш прямокутний. ЗемлемГри Стародавнього Сгипту так будували прямий кут: дГлили
мотузку на 12 рГвних частин Г кГнщ зав'язували. ПотГм мотузку розтягували на землГ так, щоб утворився трикутник зГ сторонами по 3, 4, 5 подГлок. БГльший з кутГв утвореного трикутника - прямий. Ребра бГчних граней египетських пГрамГд утворюють майже рГвностороннГ три-кутники. Дивись докладнГше [7, с.76-77].
8. Можна ще запропонувати 2 спосо-би доведення. Наприклад, в першому здшснити додаткову побудову таким чином, а саме, провести ВД паралельно АС (рис. 5).
в й
с
Рис. 5
Другий споаб розглядае Гншу додаткову побудову: треба продовжити сторони ВС Г АВ за вершину В (рис. 6)
с
Рис. 6
9. ДвГ першГ ознаки рГвностГ трикутниюв доведет в нових пГдручниках [7] Г [8] з використанням накладання. Третя ознака доводиться способом прикладання, бо вГн зрозумГлГший, хоч Г вимагае розгляду трьох випадкГв.
10. ЗадачГ пГдручникГв [7] та [8] е бГльш рГзноманГтними, нГж в пщручнику [10] О.В.Погорелова. По-перше, задачГ обох пГдручникГв диференцГйованГ. В пщручнику [8] наведено 2 рГвш складностГ, в пГдручнику [7] запропоновано 4 рГвш складностГ задач. Також в пГдручниках представлено багато усних задач, задач за готовими малюнками, задач для повторен-ня, деяю задачГ наведено з розв'язанням.
11. ЗадачГ на застосування ознак рГв-ностГ трикутникГв подГляються на 3 види: 1) на доведення рГвносп трикутникГв; 2) на доведення рГвносп деяких елементГв трикутникГв; 3) в яких для доведення рГвносп трикутникГв, або '1х елементГв треба розглянути кГлька пар рГвних трикутникГв.
12. Теорема косинусГв доводиться
<ш)
А
векторним методом.
13. Теореми синуав та косинуав вико-ристовуються над^ в шкiльному курсi плашметри при виведеннi формул для обчислення площ деяких простих фiгур i при розв'язуваннi задач вщповщно!' теми.
Методичш завдання реконструктивного та творчого характеру
(для самостшно!' роботи)
1. Проанашзувати дiючi альтернативнi пiдручники на предмет вивчення теми „Ознаки рiвностi трикутниюв".
2. Яким ще способом, вщмшним вiд того, що наведений в пщручниках [7] та [8] можна довести третю ознаку рiвностi трикутниюв?
3. Розробити конспект уроку засвоення нових знань за темою „Сума купв трикутника".
4. Якими е методичш особливосп введення понять медiани, висоти, бiсектриси трикутника?
5. Яю уснi вправи можна запропону-вати пiсля вивчення понять висота, медiана, бiсектриса трикутника?
6. Розробити фрагмент уроку засвоення нових знань за темою „Теорема косинуав".
7. Яку прикладну задачу з теми „Теорема косинуав" варто запропонувати учням?
8. Розробггь методику розв'язання з учнями наступно!' задачi:
Задача. Плиточки, що мають форму рiвних рiвностороннiх трикутниюв, викла-дають на площинi так, що одна з вершин у них спшьна, а сторони двох сусщшх збгаються. Чи можна скласти в такий спосiб „розетку" без зазорiв? Якщо можна, то сюльки плиточок для цього треба взяти? Знайдiть градусну мiру кута, який утворюють два сусiднi вiдрiзки зовшшньо!'
границi „розетки".
9. Яки засоби наочносп доцiльно використати пiд час вивчення теми „Сума купв трикутника"?
10. Шдготувати презентацiю методично'!' лггератури для вчителiв для вивчення теми „Трикутники".
11. Розробпъ методику розв'язання з учнями наступних нестандартних задач:
Задача 1. Чи е ознакою рiвностi трикутниюв твердження: „Якщо двi сторони i гострий кут не мiж ними одного тупокут-ного трикутника вiдповiдно дорiвнюють двом сторонам i куту не мiж ними другого тупокутного трикутника, то таю трикут-ники рiвнi мiж собою".
Задача 2. Вчитель математики розрiзав трикутний торт на 6 частин уздовж трьох його бюектрис. Собi вiн узяв шматочок у формi прямокутного трикутника. Чи мав той торт форму рiвнобедреного трикутника? Вщповщь обгрунтуйте.
Задача 3. Чи може пластинка мати форму такого рiвнобедреного трикутника, щоб й можна було розрiзати на двi трикутш частини з такими самими кутами, як i у вихiдного трикутника [9]?
12. Яю уснi вправи доцшьно розв'я-зати з учнями шсля вивчення теореми про медiану рiвнобедреного трикутника?
13. Якою може бути система вправи на пщведення пщ поняття „медiана трикутни-ка"?
14. Розв'яжпь задачу № 311 з пщруч-ника [8].
Зразки вщповщей 1 вказ1вки до завдань реконструктивного та творчого характеру
1. Аналiз методики вивчення ознак рiвностi трикутниюв доцiльно подати у виглядi наступно'! схеми:
№ п/п Автор пщручника з reoMeTpi'i Означення piBHOCTi трикутника Cnoci6 доведення ознак piвностi трикутниюв
© Volyanska O.
2. Третю ознаку píbhoctí трикутниюв можна довести способом, вщмшним вiд того, що наведений в д1ючих пiдручниках.
B
Нехай у трикутниюв АВС i КРТ АВ=КР, АС=КТ, ВС=РТ(рис. 7).
A
C
O P
a)
б) Рис. 7
Накладемо один з цих трикутниюв на другий так, щоб сторона АС збтаась з КТ.
Якщо сторона КР не спiвпаде з АВ, то вона займе положення АР. При цьому АР=АВ i СР=СВ. Отже, трикутники АВС i АРС ^внобедреш. ''хш медiани АО i СО мають бути перпендикулярнi РВ. Вийде, що через одну точку О можна провести двi рiзнi прямi, перпендикулярнi до РВ, а це неможливо. Отже, припущення про те, що АР i АВ не ствпадають - неправильне. Отже, якщо накласти трикутник КРТ на трикутник АВС так, щоб сумютилися ïx сторони АС i КТ, то обов'язково сумютять-ся також АВ i КР, ВС i РТ. Тобто два даш трикутники сумютяться вама сво'ми точками.
4. Вводячи поняття медiани, бiсектри-си i висоти трикутника, добре використати конструктивний пiдхiд, тобто спочатку навчити учшв будувати медiану, бюектри-су i висоту, а поттм уже формулювати формально-логiчнi означення цих понять.
Побудову медiан, бiсектрис i висот можна виконати за допомогою лiнiйки з подшками, транспортира, прямокутного трикутника, осюльки питання про побудову за допомогою циркуля i лшшки розв'язусться трохи пiзнiше.
При поясненнi треба звернути увагу на кiлькiсть медiан, висот i бiсектрис у трикутнику, на перетин медiан (бiсектрис) в однш точцi, на побудову висот у тупокутному трикутнику i на запис, що розкривае змiст розглядуваних понять. Наприклад, АМ - медiана трикутника АВС, осюльки ВМ=МС i точка М належить ВС, або АМ - висота трикутника АВС, осюльки АМ перпендикулярно ВС i М належить ВС.
Доцщьно розказати про походження слова «медiана» - вщ латинського medius, що в перекладi означав «середнш».
5. Шсля вивчення понять пропонують-ся наступш уснi вправи:
1) У якому трикутнику сторона е його висотою?
2) Доведгть, що промiнь АМ, який мiстить медiану АМ трикутника АВС, проходить мiж сторонами кута ВАС.
3)Чи правильне твердження: у рiвно-бедреному трикутнику медiана е бiсектри-сою i висотою?
4) Чи юнуе трикутник, в якому будь-яка медiана е бiсектрисою i висотою?
5) У трикутнику СDЕ кут C дорiвнюе куту D. До я^' сторони проведена медiана буде бюектрисою i висотою?
6. Почати вивчення теореми косинуав необхiдно з актуалiзащï опорних знань, а саме:
- згадайте теорему Шфагора.
- запишпъ теорему Пiфагора у виглядi рiвностi для прямокутного трикутника з катетами а i b та гшотенузою с.
Дат вчитель каже, що для дов1льного трикутника зi сторонами а, b, с i кутом, який напроти сторони с, виконуеться р1вн1сть: с2 = а2 + b2 - 2ab cos g i вщмчае, що якщо g = 90°, то с2 = а2 + b2 -2abcos90° = a2 + b2, тобто теорема Шфагора е частинним випадком теорема косинуав. Надалi вчитель може запропонувати довести самостiйно теорему за наступним планом:
1). Виразiть вектор ВС через вектори
АС i АВ.
2). Пщнеспь обидвi частини отримано'' рiвностi до квадрату.
3). Виразпь скалярний добуток вект^в
АВ i АС через ixm мод^ i косинус кута мiж ними.
7. Задача. З трьох жердин з довжина-ми 2 м; 0,8 м; 1,6 м необидно виготовити трикутну конструкщю, з'еднавши ix кiнцями.
а) Чи можна це зробити?
б) Нехай спочатку з'еднуються жер-дини довжинами 0,8 м i 1,6 м. Пд яким кутом ix можна розташувати?
в) Якими будуть iншi кути трикутно'1' конструкци?
12. Уснi вправи варто розв'язати таю:
1) У трикутнику трикутнику МРК два кути М i К мають градусы мiри по 30°, кут Р дорiвнюe 120°. РТ - медiана. Знайдiть кути трикутника МРТ.
2) У рiвнобедреному АВС на основi АВ, яка мае довжину 10 см, вiдмiчено точку D, причому BD = 5 см. Знайдпъ кути CDA i CDB.
14. Пюля виконання малюнку до задачi можна помiтиги, що вс 3 бiсектриси кожного трикутника проходять через одну точку, як i три медiани, i три прям^ яким належать висоти трикутника. Бшьш строге доведення цих твердженъ учшв зрозумь ютъ тзшше. А в 7 клас з ними можна ознайомитись на дослщницько-шту'гшв-
ному piBHi.
1. Про новий пПдручник з геометрп для 7 класу /БевзГ., Бевз В., Владпмпрова Н. //Математика в школп. - 2007. -№ 6. - С. 17-20.
2. ТарасенковаН., БурдаМ. Тематичне пла-нування з геометрп для 7 класу // Математика в школ1 - 2007. -№ 6. - С. 23-26.
3. Слепканъ З1 Методика навчання математики: Ппдручник. - К: Вища школа, 2006. - 582 с.
4. Програма для загалъноосвптнпх навчалъних закладпв. Математика 5-12 класи. - Кигв: ВТФ «Перун», 2005. - 64 с.
5.БевзГ.П. Геометрпя трикутника. - К.: Генеза, 2005.
6. Фплон Л., Швецъ В. Елементи стереометра в кура математики основног школи. -Донецък: Норд - Прес, 2006. -180 с.
7. БурдаМ.1., ТарасенковаН.А. Геометрпя: Ппдруч. для 7 класу загалъноосвпт. навч. закл. - К Зодпак-ЕКО, 2007. - 208 с.
8. Бевз Г.П. Геометрпя: Ппдруч. для 7 кл. за-галъноосвпт. навч. закл. - К.: Вежа, 2007. - 208 с.
9. АпостоловаГ.В. Планпметрпя: Ппдруч. для 7 кл. загалъноосвпт. навч. закл. - К.: Генеза, 2004. - 216 с.
10. Погорелов О.В. Планпметрпя: Ппдруч. для 7-9 кл. серед, шк.. - 3-те вид. - К.: Освпта, 1998. -223 с.
Резюме. Волянськая Е.Е. ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ СТУДЕНТАМИ ТЕМИ «ТРЕУГОЛЬНИКИ» НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. Представлен один из возможных образцов изучения одной из тем курса геометрии на практических занятиях по методике преподавания математики.
Ключевые слова: треугольник.
Summary. Volyanska O. PECULIARITIES OF STUDY STUDENTS THE TOPIC "TRIANGLES" ON THE PRACTICAL STUDIES IN METHODS OF TEACHING MATHEMATICS. The article defines one of possible examples of study one of the main topics in geometry on the practical studies in methods of teaching mathematics.
Keywords: triangle.
Стаття представлена професором В.О.Швецом, Надшшла до редакцп 11.10.2009р.
