CC BY
5ОРГАН1ЗАЦ1Я УСНОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
Н.А. Тарасенкова, доктор пед. наук, професор, Черкаський нащональний умверситет iM. Б. Хмельницького,
м. Черкаси, УКРА1НА
Розкриваються специфта усного розв 'язування геометричних задач та особливостг по-будови навчання п1д час усного розв 'язування задач на уроц1. На декыькох прикладах протю-стровано особливост1 оргатзацп навчання учтв розв 'язувати завдання двох титв: задач1 на обчислення I задач1 на доведення.
Ключовi слова: геометрична задача, усне розв 'язування задач1, орган1зац1я навчання.
Усне розв'язування будь-яко! задач не передбачае фжсування промiжних результата цього процесу. Вiзуальний i змстовий аналз умови задачу переосмислення й вимо-ги, а також ус! да та операвд в ход розв'язування мають виконуватися подумки.
Добираючи задач!, призначеш для усного розв'язування, треба враховувати те, що обсяг оперативно! пам'ят людини е обмеженим. Одночасно людина спромож-на опрацьовувати лише 5-7 смислових одиниць (для школяр!в цей обсяг становить не бшьше 5 одиниць). Застосовуючи ком-п'ютерну метафору, можна сказати, що оперативна пам'ять учтв мютить 5 „ком> рок". Якщо анал!з формулювання задач! та х!д й розв'язування вимагае бшьшо! юль-кост „ком!рок", таку задачу не варто про-понувати для усного розв'язування.
Проте, залежно вщ багатства в!зуаль-но-оперативного досв!ду, в р!зних людей смислов! одиниц мають не однакову ем-шсть. Розглянемо, наприклад, задачу про знаходження г!потенузи прямокутного три-кутника з катетами 3 ! 4. Для вчителя математики анал!з умови та розв'язування ще! задач! потребуе лише трьох „ком!рок" в оперативнш пам'ятг Одну з них займае умова задач! ц!лком, оск!льки ус! окрем! смислов! одиниц! умови вже давно являють для вчителя цщсну укрупнену смислову одиницю. Другу „ком!рку" займае вимога задач!, а третю - результат розв'язування „г!потенуза дор!внюе 5".
Для учня на перших етапах вивчення
теореми Шфагора умова дано! задач! не е цшсною смисловою одиницею. Окремими смисловими одиницями виступають: вщо-мост! про те, що даний трикутник е прямо-кутним; означення прямокутного трикут-ника; означення катета ! ппотенузи прямо-кутного трикутника; в!домост! про довжи-ни катета даного трикутника. Кр!м того, для сприйняття зм!сту задач! ус! ц! дан! ще треба переосмислити разом. Отже, лише анал!з умови потребуе п'яти „комрок" в оперативнш пам'ятг До того ж, окрем смислов! одиниц! утворюють вимога задач! та сп!вв!дношення П!фагора. Виходить, що нав!ть ! той учень, який завчив теорему П!-фагора, може не подолати усне розв'язу-вання дано! задач!, оск!льки для таких д!й може не вистачити обсягу його оперативно! пам'ят! Зрозумшо, що з набуттям певного досвщу в розв'язувант под!бних задач, смислов! одиниц!, пов' язан! з прямокутним трикутником ! теоремою П!фагора, пере-творяться для учня на смислову едтсгь. Саме тсда дана задача стане посильною для усного розв'язування.
Формування вмшь учтв усно розв'язу-вати задач! доцшьно проводит поступово, уникаючи стрибкопод!бних тдходв ! не покладаючись на стих!йне отримання на-вчальних результата. Важливу роль при цьому в!д!грае дидактично виважений до-б!р задач.
Для усного розв'язування доцшьно ви-користовувати задач! на обчислення ! задач! на доведення.
Мета статт - проiлюсгрувати на кшь-кох прикладах особливосп оргатзаци на-вчання учшв розв'язувати задачi кожного Í3 цих типiв.
Задач1 на обчислення
Навчання учнiв усно розв'язувати за-дачi за готовими рисунками, в яких вимага-егься обчислити значення деят величини доцiльно проводити в два етапи.
На першому етапi (коментованого розв'язування) важливо, щоб учитель су-проводжував розв'язування задачi запитан-нями-орieнтирами. Таю запитання мають допомогти учням проанал1зувати умову задачi й обрати стратегию розв'язування. При цьому доцшьно дотримувати наступ-ного плану дш:
1) видiлиги вимогу задачi;
2) пригадати, за яким стввщношен-ням можна обчислити значення шуканоi величини;
3) з'ясувати, чи вказано необхщш дат в ум^ задачi;
4) провести обчислення.
Запитання бажано формулювати до кожного кроку розв'язування. При цьому важ-ливо, щоб спочатку запитання формулював учитель, а попм й учи. Не всi идпоид до-щльно „озвучувати", у багатьох випадках краще вiдповiдати „даею" (показом на рисунку, посиланням на формулу, яка записана на дошщ, тощо). Розглянемо приклад.
Задача 1 (тема „Сумгжш кути"). Кути ABC i DBC - сум\жн1. Знайдть гра-дусну м\ру кута ABC.
А В D
Запитання.
- Про який кут запитуеться в задачi? (Показуемо на рисунку кут ABC).
- Якими е два дат кути? (Сумiжними. Прикладаючи лтшку чи указку до зобра-ження, акцентуемо увагу на тому, що промен BA i BD лежать на однш прямш; про-мть BC е стльним для двох даних кутiв).
- Чому дорiвнюе сума градусних мiр двох сушжних купв? (180 °).
- Яка градусна мiра кута DBC ? (60 °).
- Яка градусна мiра кута ABC ? (120 °).
Bidnoeidb: 120°.
До другого етапу навчання (суто усно-го розв'язування) доцшьно переходити то-до, коли учнi навчились самосгiйно формулювати запигання-орiентири. На цьому етат запитання не „озвучуються" нi вчите-лем, нi учнями. 1ншими словами, процес розв'язування не розгортаеться в явному вигляд - слiдом за поданням умови задачi через короткий промiжок часу, необхiдний учням для отримання результату подумки, проголошуеться идпоидь до задачi.
Була б неправильною думка, що усне розв'язування задачi не може бути керова-ним процесом. Якщо учнi затримуються з вщповщдю, тодi вчителю доцiльно або по-вернутися до методичних прийомiв, харак-терних для першого етапу навчання, або звернутися до пластичних тдказок-вказiвок. У наведенiй задачi - це обведення шуканого кута указкою на рисунку; показ того, що даний i шуканий кут е сушжними; написання в повiтрi „ 180° " тощо.
На другому етапi навчання також важливо дозувати обгрунтування, звертаючись до них лише тсля отримання повноi вщпо-вiдi (або окремих промiжних результатов, якщо задача розв'язуеться в кшька крокiв). Дшсно, вимагаючи обгрунтовувати все абсолютно, можна дастати i негативт наслщ-ки - розв'язування задачi стане громiздким i, можливо, непосильним для учнiв, у них може згаснути вiдчуття устху, з'явитися невпевненiсть у своiх дiях. Коли ж вщповщь уже отримано, тодi обгрунтування ви-ступають своерщним „доказом правоти", що тiльки пщсилюе позитивнi емоци учнiв. Головним шструментом учителя при цьому мае бути запитання „Чому?". Розглянемо приклад.
Задача 2 (тема „Перша ознака р1вно-cmi трикутнитв").
С 5 В L 5 м
Розв'язання
Учт: KM = 7.
Отримавши таку ввдповвдь, можна завершит процес розв'язування. Але можна i продовжити його, вимагаючи вiд учтв певних обгрунтувань.
Учитель: Чому?
Учт: AB = 7.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв' язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Чому з того, що AB = 7, ст-дуе, що KM = 7 ?
Учт: Оскшьки AB = KM.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв' язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Чому?
Учт: Оскшьки A ABC = A KML.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв' язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Чому?
Учт: A ABC i A KML рiвнi за першою ознакою рiвностi трикутниюв.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв' язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Чому?
Учт: У даних трикутниюв вiдповiдно рiвнi двi сторони й кут м1ж ними.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв' язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Чому?
Учт: На рисунку позначено, що BC = ML = 5, AC = KL, Z ACB = Z KLM = = 60°.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв' язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Зввдки ввдомо, що BC=ML ?
Учт : На рисунку позначено, що BC = 5 i ML = 5, отже, BC = ML.
Таким обгрунтуванням можна завершит процес розв'язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Зввдки ввдомо, що AC = KL ?
Учт: На рисунку вiдрiзки AC i KL позначено одшею рискою, отже, вони рiвнi.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв'язування. Але можна i продовжити його.
Учитель: Зввдки ввдомо, що Z ACB = =ZKLM?.
Учт: На рисунку щ кути позначено одшею дужкою, отже, вони рiвнi.
Таким обгрунтуванням можна завер-шити процес розв'язування. Але можна i продовжити його.
Учитель : Чому Z KLM = 60° ?
Учт: Оскшьки Z ACB = Z KLM i ZACB = 60°.
Biànosiàb: 7.
Задач1 на доведення
У розв'язуванш задач на доведення, умови яких подано на готовому рисунку, об-грунтування i промжних, i остаточних ви-сновюв е необхщним компонентом розв'язу-вання. Особливо звернемо увагу на те, що перша i передостання фрази розв'язування фактично мають повторювати формулюван-ня вимоги задач1, а остання фраза - м1стити текст „Що i вимагалося довести".
При цьому можливi двi стратег1'1 офор-млення м1ркувань. За першою стратег1ею, мiркування на кожному кроцi розв'язуван-ня будуються за схемою „обгрунтування -висновок" („Оск1льки ..., то ..."). Ввдповвдно до друго1' стратег1'1, м1ркування будуються за схемою „висновок - обгрунтування". Оск1льки в такому випадку висновок, як правило, формулюеться у стверджувальнш формi, то не виключено, що в учтв виник-не бажання не „озвучувати" обгрунтування. Зрозумiло, що такого не бажано допускати. Отже, тут цшком придатним е шструмент „Чому?".
Серед задач на доведення за готовими рисунками доцiльно видшити три групи.
До першо1' групи ми ввдносимо тi зада-ч^ в яких вимагаеться довести належшсть задано1' фiгури до певного класу (розп1зна-ти фiгуру). В таких задачах можливi обидва
способи побудови обгрунтувань. Розгляне-мо приклад.
Задача 3 (тема „Прямокутний трикутник"). Доведть, що трикутник ABC -
прямокутний.
В
Розв'язання
I стратепя
- Оскшьки треба довести, що даний трикутник - прямокутний, то можна або скористатися означенням, або довести, що прям! AB i BC перпендикуляры.
- Оскшьки за означенням у прямокут-ному трикутнику один iз купв - прямий, то можна довести, що в трикутнику ABC е прямий кут.
- Оскшьки в умовi вказано, що Z BAC = 60° i Z BCA = 30°, то прямим може бути тшьки кут ABC.
- Оскшьки сума купв трикутника ста-новить 180°, то ZABC = 180° - (60° + 30°) = =90°.
- Оскшьки у трикутнику ABC ZABC = =90°, то даний трикутник - прямокутний.
Що i вимагалося довести.
П стратепя
Учитель: Що вимагаеться довести у задачi?
Учт': Треба довести, що даний трикут-ник - прямокутний.
Учитель: Зввдки це може випливати?
Учт: Z ABC = 90°.
Учитель: Чому?
Учт: За означенням прямокутним е трикутник, в якого е прямий кут.
Учитель: Чому обрано саме кут ABC ?
Учт: Z BAC = 60° i Z BCA = 30° за умовою.
Учитель: Чому Z ABC = 90° ?
Учт: Z ABC = 180° - (60° + 30°) = 90°.
Учитель: Чому отримаемо градусну мiру кута ABC, коли суму даних купв вщ-шмемо ввд 180° ?
Учт: Сума купв трикутника дорiвнюе 180°.
Учитель: Сформулюемо ще раз оста-точний висновок задач!.
Учт: У даного трикутника ZABC = =90°, отже цей трикутник - прямокутний.
Що i вимагалося довести.
У задачах, яю ми вщносимо до друго! групи, вимагаеться довести, що дай фiгури знаходяться у заданому вiдношеннi (напри-клад, два трикутники подiбнi, двi прям перпендикуляры! тощо). Зазначимо, що тут i далi наводимо лише основы моменти розв'язу-вання задачi. Вчителю пропонуеться власно-руч наповнити його необхщними запитання-ми<рентирами. Розглянемо приклад.
Задача 4 (тема „Ознака паралельно-ст1 прямих"). Доведть, що прям1 AD i BC napaie.ibiii.
Розв'язання
- Треба довести, що прям AD i BC паралельш.
- AD ± AB за умовою.
- BC 1. AB за умовою.
- Отже, прям! AD i BC перпендикуляры до прямо! AB.
- Якщо дв! прям! перпендикулярнi до третьо! прямо!, то вони паралельш.
- Отже, прям! AD i BC паралельш.
Що i вимагалося довести.
До друго! групи можна ввднести i так! задач!, в яких вимагаеться довести певне метричне сшвввдношення. Розглянемо приклад.
Задача 5 (тема „Перпендикулярш пря-м1"). Точки A, B, E лежать на одтй прямш.
©
Розв'язання
- Треба довести, що Z KBC = 90°.
- За умовою точки A, B, E лежать на однш прямш.
- Отже, Z ABE = 180°.
- Кут ABE подшено на чотири рiвнi кути.
- Отже, одшею дужкою на рисунку по-значено кут 180° : 4 = 45°.
- Z KBC = 45° • 2 = 90°.
Що i вимагалося довести.
У задачах третьо!' групи доведення е складеним, оскшьки щонайперше треба встановити належнiсть певно!' фiгури до деякого класу ф^р. Нерiдко тут можливi кшька способiв розв'язування. Розглянемо приклад.
Задача 6 (тема „Нвнобедрений три-
кутник"). Доведтъ, гцо Z CAO = Z BAO.
A
- Треба довести, що Z CAO = Z BAO.
- A CAB - рiвнобедрений з основою BC, оскшьки Z ACO = Z ABO.
- Медiана AO е бюектрисою A CAB.
- Бюектриса AO дшить Z CAB навпш.
- Отже, Z CAO = Z BAO. Що i вимагалося довести. П спос1б
- Треба довести, що Z CAO = Z BAO.
- A CAO = A BAO, оскшьки CO = BO, Z ACO = Z ABO, Z AOC = Z AOB = 90°.
- Отже, Z CAO = Z BAO.
Що i вимагалося довести.
Ш cnoci6
- Треба довести, що Z CAO = Z BAO.
- A CAO = A BAO, оскшьки CO = BO, AO - спшьна, Z AOC = Z AOB = 90°.
- Отже, Z CAO = Z BAO.
Що i вимагалося довести.
Зазначимо, що ми не випадково показали першим той споаб розв'язування дано!' задач^ в якому використовуються властиво-сп рiвнобедреного трикутника. Оскшьки ця задача пропонуеться при вивчени теми „Pi-внобедрений трикутник", то для учив, як правило, зм^ поточного навчання i назва навчально!' теми виступають своерщними акцентами, яю спонукають учшв до вибору саме такого ходу мiркувань. Тут дiе природ-ний принцип - на що налаштоваш, те й ба-чимо. Оскшьки в данш задачi перший споаб розв' язування, можливо, i не е найлегшим, важливо пiдвести учн1в до розв'язування ще1' задачi iншими способами.
Загалом, формування вмiнь учнiв усно розв'язувати задач^ в тому числi за гото-вими рисунками, доцiльно проводити по-ступово, уникаючи стрибкоподiбних ситу-ацiй i не покладаючись на стихшне отри-мання навчальних результат1в. Важливу роль при цьому ввдграе дидактично вива-жений добiр вправ i задач.
Резюме. Тарасенкова Н.А. ОРГАНИЗАЦИЯ УСТНОГО РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. В статье раскрывается специфика устного решения геометрических задач и особенности построения обучения при устном решении задач на уроке. На нескольких примерах проиллюстрированы особенности организации обучения учеников решать задачи двух типов: задачи на вычисления и задачи на доказательство.
Ключевые слова: геометрическая задача, устное решение задачи, организация обучения. Abstract. Tarasenkova N. ORGANIZATION OF ORAL SOLUTION OF GEOMETRIC PROBLEMS. Specific features of oral solution of geometric problems and peculiarities of the education building solving problems without writing at mathematical lessons are revealed in the article. Several examples of the peculiarities of organization of the teaching pupils how to solve the problems of two types (problems on calculations and problems on proof) are illustrated.
Key words: geometric problem, spoken decision of the problem, organization of the learning.
На^йшла доредакцп 2.04.2011 р.
