CC BY
12СКЛАДАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ Р1ВНЯНЬ ЗА УМОВОЮ ПЛАН1МЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ ЯК ПРИЙОМ ПОШУКУ IX РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
Ю.А. Скрипниченко, асистент,
Чернтвський державний педутверситет м. Т.Г.Шевченка,
м.Черншв, УКРА1НА
В статт1 показано прийом пошуку розв'язування геометричних задач на знаходження кута, який полягае у складанм тригонометричного р1вняння за умовою задач1. Запропоновано задач1 для самост1йного розв 'язання.
Проблема навчання учшв розв'язуван-ню геометричних задач е надзвичайно складною з огляду на об'ективш фактори, що супроводжують процес 11 вирiшення. Серед них чи не найважлившим виступае вiдбiр тих прийомiв, яю здатт забезпечи-ти успiх у пошуку способiв реалiзацГi iдеi розв'язування задачъ Сам процес й пошуку е доволi складним, адже вщомо, що iнодi, навiть розв'язавши задачу, з подивом дiзнаешся, як ти м^ до такого додуматись.
Спробам розв'язати цю проблему присвятили сво! дослщження методисти: М.1.Бурда, О.С.Дубинчук, П.М.Ерднiев, Ю.М.Коляпн, В.М.Осинська, ЗХСлеп-кань, 1.Ф.Тесленко та шш. Для них характерним е намагання в конкретних задачних ситуащях вiднайти специфiчнi прийоми складання платв розв'язування задач, а це може привести до необхщносп формального 1х запам'ятовування. Цього вдаеться уникнути завдяки використанню ще'1 алгоршмзацй процесу розв'язування геометрично! задачi. Суть й полягае в тому, що, розв' язуючи задачу, намагають-ся скористатися алгебра!чним апаратом для формалiзацii й умови в термшах, що передбачають складання тригонометричного рiвняння [5]. Такий тдхщ - складання рiвняння за умовою задачi - добре розроблений стосовно текстових алгеб-ра!чних задач, через що процеси 1х розв'я-
зування значно спрощенi. Згаданий тдхщ можна було б застосувати i до геометричних задач. Цьому присвячуеться дана стаття.
Метою гг написання е спроба алго-ритмгзувати процес складання тригонометричного р1вняння за умовою задач1 з наступним його розв 'язуванням та формулюванням вгдповгдг до задач1. Це дае змогу зробити цшеспрямованим пошук плану розв'язування платметрично! задачь Покажемо це на конкретних задачах..
Задача 1. Один з купв при основi трикутника вдвiчi бiльший другого. Висота дшить основу у вiдношеннi 1:3.
Знайти кути трикутника.
В
Рис. 1
Розв'язання. I cnoci6 (традицшний). Нехай АВС - даний трикутник, АС -його основа, BD - висота.
Позначимо кут ВСА через х. Оскiльки Z ВАС = 2 Z ВСА за умовою, то Z ВАС = 2х.
Оскiльки основа висоти, проведено! до основи трикутника, належить цш сгорот, а не 11 продовженню, то кути ВСА i ВАС - гастр: 00 < х < 900 1 О0 < 2х < 900, а, отже, 0° < х < 45°.
За умовою задач1 висота ВБ дшить сторону АС у вщношенш 1:3. Розглянемо МВБ i ДСВБ. Вони прямокутт (Z Б = 900). Z АВБ = 900 - Z ВАБ = 900 - 2х, а Z СВБ = 900 - Z ВСБ = 900 - х, зввдси випливае, що Z АВБ менший, нiж Z СВБ. Оскiльки у трикутнику проти бшьшого кута лежить бшьша сторона, то АБ:БС = 1:3. Введемо коефщент пропорцшносп к. Тод1 АБ = к, БС = 3к.
З прямокутних трикутниюв АВБ 1 СВБ маемо: ВБ = ЛБ-Щ Z ВАБ, ВБ = к 1§2х; ВБ = СБЛ% Z ВСБ, ВБ = 3к г§х.
к = 3к tgx.
рiвняння
tg2 x tgx
= 3;
2tgx
(1 -tg2 x) • tgx 2 2 1
= 3;
2 2-*-
1 - х = 3; х = 3;
№ = ; х = 300. л/3
Отже, ZВСА = 300, ZВАС = 600, Z АВС = 1800 - Z ВСА - Z ВАС, Z АВС = 1800 - 300 - 600 = 900.
Ввдповвдь: 300, 600, 900.
II споаб.
Видшимо на малюнку прямокутний трикутник, одним з гострих купв якого е шуканий кут [1]. Ним буде трикутник ВСБ.
Виокремимо шший прямокутний трикутник, що мае спшьну сторону з першим трикутником 1 м1стить заданий кут (або кут, що виражаеться через введений). Таким може 6ути, наприклад, ЬАВБ.
Виразимо спшьну сторону ВБ цих трикутникiв через тригонометричт функци шуканого та вщомого купв. Матимемо: ВБ = БС^, ВБ = ЛБ-Х£2х. Прир1внюючи прав1 частини р1вностей та враховуючи, що БС = 3-АБ, матимемо
2tgx 1 -tg2 x
= 3tgx
. Розв'язавши його
та врахувавши, що 00 < х < 900, матимемо х = 300.
Задача 2. СБ - висота прямокутного трикутника АВС. Сума радiусiв юл, вписаних в трикутники АСБ i ВСБ,
дорiвнюe 5 висоти. Знайти rocrpi кути
трикутника АВС. А
Рнс. 2
Роз'вязання. I спосiб (традицшний). Нехай АВС - даний прямокутний трикутник ( Z С = 900), СБ - висота, r1 i r2 - pадiуси юл, вписаних в трикутники АСБ та ВСБ вщповщно. За умовою задачi r1 +
r2 = 5 СБ. 9
Нехай Z ВАС = х (00 < х < 900). Осюльки Z АВС = 900 - Z ВАС, то Z АВС = 900 - х.
Розглянемо пpямокутнi трикутники АСБ i СВБ. У них Z БАС = Z БСВ = х, отже трикутники АСБ i СВБ подiбнi. З подiбностi цих трикутниюв маемо: AC = АБ = СБ. ВС ~ СБ ~ ВБ '
5 СБ - r АС = п= 9 2 = 5 СБ_
ВС r2 r2 9 r2
-1 (*)
2 2 2 Позначимо ВС = а (а > 0), тсда
АС = ВС , АС = —; tgZBAC tgx
АВ = ■
ВС
АВ =-
а
sin ZBAC ' sin x '
ВБ = ВС-cos Z БВС, ВБ = а cos(900 -x) = а sinx;
СБ = ВС- sin Z БВС, СБ = а sin(900 -x) = а cosx;
2S
r _ ^ ABCD . r _ p .
1 ABCD
SABCD _ 2 • CD • BD;
PaBCD _ CD + BD + BC ;
1
a
SABCD _ 2 a cos x •a sm x x •sin x
PABCD _ a cosx + a sin x + a _
_ a(cos x + sin+1);
З pÍBHOcri (*) маемо:
a _5a cos x(cos x + sin x +1)
-_-:--1;
a • tgx 9a cos x sin x
9cosx = 5cosx + 5sinx + 5- 9sinx;
5
4cosx + 4sinx = 5; cosx + sinx _ —;
4
. п п . 5y[2
sin— cosx + cos— sinx _-;
4 4 8
• ( +п) 5л/2
sin( x +--) _-.
4 8
Оскшьки 00 < x < 900, то: x + П_
4
■ ^^^ ~ ^0 ,J
arcsin-; x ~ 62 - 45 =17 .
8
Z ВАС ~ 170, Z АВС ~ 900 - 170=730. Вiдповiдь: 170, 730.
II cnoci6.
5
За умовою задача r1 + r2 _ 9 CD (1)
Виразимо кожен з B^pÍ3KÍB r1t r2, CD через а та x. Якщо ВС = а, то АС = а ctgx,
лт> a лтл cos2 x
AB _-, LD = a cosx, AD _ a--,
sin x
BD = a sinx.
2 S
Маемо: r - AACD •
sin X
1 p
1 >
AACD
a cos2 x
(2)
1 + sin x + cos x Аналогично знайдемо, що a sin x cos x
(3)
1 + sin x + cos x Поставивши (2), (3) в (1), матимемо:
a cos2 x a sin x cos x 5
-H--_ — a cos x ;
1 + sin x + cos x 1 + sin x + cos x 9
Пхсля очевидних спрощень матимемо р1вняння:
4sinx + 4cosx - 5 = 0 i т.д.
Таким чином, запропонований прийом значно спрощуе процедуру складання тригонометричного рiвняння за умовою задача Вш зводиться до наступного:
а) вид^ють на малюнку прямокутний трикутник, одним з гострих кугiв якого е шуканий кут;
б) виокремлюють iнший прямокутний трикутник, що мютить заданий кут, причому такий, що мае з першим спшьну сторону;
в) виражають спiльну сторону в кожному з цих трикутник1в через тригонометричш функцп цих кутiв;
г) прирiвнюють правi частини знайдених рiвностей;
д) розв'язавши отриманi тригонометричнi рiвняння, вщбирають i'x коренi, що служать вщповщдю в задачi.
Задачi на вщшукання кутових величин можна було б класиф^вати, наприклад, за типами тригонометричних рiвнянь, але це вже тема окремого дослщження.
Пропонуемо пiдбiрку задач для самостийного розв'язування. Оск1льки вщповщь у тригонометричному рiвняннi можна подати рiзними формулами, то для зручност вони вказанi в градуснiй мiрi.
1. Периметр рiвнобедреного трикутника в 4 рази бiльший його висоти, проведено}.' до основи. Знайти кути трикутника.
2. Периметр ромба в 12 разiв бшьший рiзницi дiагоналей. Знайти кути ромба.
3. Знайти кути ромба ABCD, знаючи, що радiуси к1л, вписаних у трикутники ABC i ABD, вiдносягься як 3:4.
4. Радiус кола, вписаного в прямокутний трикутник, у 7 разiв менший гшотенузи. Знайти roe^i кути трикутника.
5.Основа рiвнобедреного трикутника дорiвнюе середньому пропорцiйному дiамегрiв вписаного та описаного кш. Знайти кути трикутника.
r
б.Знайти кути рiвнобедреного три-кутника, у якого вщсгань мiж центрами
5
вписаного i описаного к1л становить —
6
висоти, проведено! до основи.
7. Кут А трикутника АВС дор1внюе 600. Площа р1вностороннього трикутника, побудованого на сторон1 ВС, вдв1ч1 б1льша площ1 трикутника АВС. Знайти кути при сторон1 ВС трикутника АВС.
8. Мед1ана, проведена до однш з р1вних стор1н р1внобедреного трикутника, д1лить його кут у в1дношенн1 1:2. Знайти кути трикутника.
9. Сума д1агоналей прямокутника
дор1внюе -9 периметра. Знайти кут м1ж
д1агоналями прямокутника.
10. Висота трикутника д1лить кут при вершит у в1дношенн1 1:3. Знаючи, що вона вдв1ч1 менша р1зниц1 в1др1зк1в, на як1 д1лтъ основу, знайти кути трикутника.
В1дпов1д1: 1. 53008', 53008', 73044'.
2. 76028' та 103032'.
3. 50040' та 129020'.
4. 20024' та 69036'.
5. 68032', 68032', 420506'.
6. 36052', 36052', 106016'.
7. 24014' та 95046'.
8. 7403', 7403', 31054'.
9. 400406'.
10. 22030', 67030', 900.
1. Антонечко М.1. Розв'язування геомет-ричних задач. Книжка для вчителя. - К: Рад. шк., 1991. -128 с.
2. Вишенський В. А., Золотарьов В. О., Ель кнБ.С. та т. Математика: Завдання та тести. Поабник - довiдник для вступнишв до ВНЗ. - К: Генеза, 1993. - 286 с.
3.Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Книга для учителя. - К.: Рад. шк., 1989. -160 с.
4.Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордко-вич А.Г. Практикум по решению математических задач. Геометрия. - М. : Просвещение, 1985. - 223 с.
5. Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств: Пособие для учителей. - М. : Просвещение, 1980. - 62 с.
6. Куштр 1.А. Методи розв'язання задач з геометрИ': Кн. для вчителя. - К.: Абрис, 1994. - 464 с.
7.Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике. - М. : Наука, 1983. - 448 с.
8. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Ска-нави. -М. : Высш. шк., 1988. - 430 с.
Резюме. Скрипниченко ЮА. СОСТАВЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК ПРИЕМ ПОИСКА ИХ РЕШЕНИЯ. В
статье показан приём поиска решения геометрических задач на нахождение угла, сущность которого - в составлении тригонометрического уравнения по условию задачи. Предложены задачи для самостоятельного решения.
Summary. Skripchenko Yu. MAKING OF TRIGONOMETRIC EQUATIONS ACCORDING TO PLANIMETRIC PROBLEMS AS THE SEARCHING METHOD OF THEIR SOLVING. The
article deals with the way of searching the solution of geometrical problems on determining the angle, the essence of which is making the trigonometrical equation on the problem. Some problems for independent solving are offered.
Надшшла до редакци 9.01.2006р.
