CC BY
10
Scientific journal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413'1571 (Print>
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Скуратовський Р.В. 1зопериметрична задача i критерИ вписаност'1 i описаност'1 довльного опуклого многокутника в коло //Ф'1зико-математична осв'та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 3(13). - С. 147-154.
Skuratovskii R.V. Criterion Of Being Inscribed And Circumscribed For Convex Polyhedrons // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 3(13). - Р. 147-154.
УДК 378.14
Р.В. Скуратовський
М'жрег'юнальна Академ'т управлiння персоналом, 1нститут математики НАНУ,
Киево-Печерський л'>цей №171 «Л>дер», УкраУна
ruslan @imath.kiev. ua
1ЗОПЕРИМЕТРИЧНА ЗАДАЧА I КРИТЕРП ВПИСАНОСТ1 I ОПИСАНОСТ1 ДОВ1ЛЬНОГО ОПУКЛОГО МНОГОКУТНИКА В КОЛО
Анота^я. У роботi узагальнено результат К. Ф. Гауса про вписансть правильного многокутника i представлено новi теореми про вписашсть i описашсть многокутниюв у коло та рiвняння для знаходження рад'уав юл. Уточнено геометричне мiсце центра вписаного i описаного кл. Сформульовано i доведено триангуля^йний критерiй вписаност'1. Показано можливсть застосування теорем до розв'язування ол'1мп'адних задач. Коротко описано нов здобутки в досл'дженнях метричних ств&дношень для вписаних i описаних многокутниюв. Доведено узагальнену теорему синуав для вписаного многокутника. Досл'джено ознаки описаност'1 многокутника навколо кола. Вперше отримано критерй' вписаност '1 в коло довльного многокутника з довльною юльшстю кут>в та представлено формулу для суми несуадшх кут 'в вписаного опуклого 2п-кутника.
Ключовi слова: вписаний многокутник, описаний многокутник, триангуля^йний критерiй вписаностi, узагальнена теорема синуав, ол'1мп'1адш задач '!.
Тема «Вписаш та описан многокутники» е провщною для багатьох математишв. Зокрема, правильш вписаш многокутники дослщжував К. Ф. Гаус, а Я. Штейнер [1] довiв, що серед ycix многокутнишв i3 заданими довжинами сторш i послщовшстю Тх слщування найбтьшу площу мае той, навколо якого можна описати коло. Однак вивчення щеТ теми обмежуеться вписаними i описаними трикутниками, чотирикутниками i правильними многокутниками та Тх окремими характеристиками, зокрема радiусом, який знаходиться з використанням теореми синуав. 1ншими словами, ще й дос не знайдено загального критерй вписаносл опуклого многокутника в коло.
Нами розв'язано задачу, що е частковим випадком iзопериметричноТ задачк описуеться в загальному виглядi розв'язання задачi про вписашсть i описашсть довтьного опуклого многокутника, дослщжуються його метричш властивосл, показано зв'язок з iзоперимеричною задачею.
У 2006 р. Смiрновим [6] було знайдено критерш вписаносл для 5-кутника ABCDE, який задаеться даним сшввщношенням:
AB _ _ AE sin(C + E) "' sin(B + D) i сформулювати необхiдну умову для 7-кутника:
= -2R (1)
= ...= -^- = 2R (2)
sin(C + E + G) sin(B + D + F)
Потiм цей критерiй було узагальнено Морозом М. у робот [7]. Ми пропонуемо бтьш загальнi критери i ознаки вписаностi n-кутника.
Теорема 1. Опуклий многокутник Mn е вписаним тодi i тiльки тодi, коли його серединш перепендикуляри перетинаються в однш точцi.
Доведення.
Необхдну умову вписаност опуклого п-кутника можна переформулювати у виглядi узагальненоТ теореми косинусiв: якщо многокутник вписано в коло радiуса Я, то справедлива рiвнiсть
A1 A2
A2 A3
= 2R,
(3)
де cos as - це косинус кута ZOAA+i у Д AA+iO. (рис. 1-2)
Рис. 1
Рис. 2
Оскшьки трикутник A2A3O мае 2 сторони, що е радiусами, то вш рiвнобедрений i його висота OH е його
медiаною, тобто дшить A1A2 навпiл. Тому катет трикутника A2H2 рiвний AA. Аналопчно для довiльного
2
A A A A
' 1+1 :RL-i+L, де R - гiпотенуза прямокутного трикутника AiOHi, звiдси
AAA(+10 помiтимо, що cosa,. =
2R = AA,
2 2R
Отже, в силу довiльностi значення шдексу /, 1 < / < п маемо рiвнiсть
АА _ А Аз _ А А _ А А _ 2R.
Достатня умова. Якщо середины перепендикуляри п-кутника перетинаються в однш точцi, то вiн вписаний.
Дшсно з того, що Н1О серединний перпендикуляр слiдуе, що трикутник А1А2О е рiвнобедреним. З того, що Н1О е i медiаною, i висотою, слiдуе, що трикутник А2А3О також рiвнобедрений, причому сторона ОА2у них спiльна, отже, ОА1 = ОА2 = ОАз. Аналогiчно для трикутника А3А4О маемо, що ОА1 = ОА2 = ОАз = ОА4. I так далк Таким чином, отримуемо рiвностi ОА1 = ОА2 = ОАз =... = ОАп = Я.
Теорему 1 доведено.
Застосування до розв'язання ол'1мтадних задач. Цю теорему можна застосувати до розв'язування задач зi збiрника [8]. Зокрема до задачк «Задано вписаний чотирикутник, в якому з середин сторш проведено в центр кола О вiдрiзки. Знайти суму кулв, що утвореш несусiднiми кутами в точцi О». Застосування теореми 1 дае вщповщь 180° градуав.
Тепер дослiдимо ознаки описаностi многокутника навколо кола.
Розглянемо многокутник М2п зi сторонами А1А2 = 01, А2А3 = 02, ..., А2П-1А2П = й2п.
Теорема 2. Якщо у опуклого многокутника М2п сума сторш з непарними шдексами рiвна сумi сторiн з парними шдексами, то вш е описаним.
Доведення.
Не зменшуючи загальностi розглянемо 6-ти кутник АВСОНЕ. За теоремою про ковпак (якщо двi дотичш до кола виходять з одшеТ точки, то вщсташ вiд щеТ точки до точок дотику рiвнi) мае мiсце рiвнiсть дотичних проведених з вершин М1 до кола АА1 = АЕ1, ВА1 = ВВ1, ... , ЕЕ1 = ЕН1. Окрiм того, довжина кожноТ з сторiн рiвна сумi довжин двох вiдрiзкiв з множини вище вказаних дотичних. Таким чином, кожна сторона подтена на двi частини, кожна з яких рiвна сусщшм частинам сторiн. Тодi периметр буде рiвний подвоенiй сумi частинок сторш, як не утворюють кут многокутника. Так, ВА = ВА1 + А1А i АЕ = АЕ1 + Е1Е. При цьому АЕ1 = АА1 i один з доданшв належить до 01 = АВ, а шший до 06 = АЕ, тобто до сторш з рiзною парнiстю iндексiв. Аналопчно для
СОБ«
СОБ«
СОБ«
СОБ«
2
3
n
шших сторiн. Тому сума довжин сторш з непарними iндексами рiвна сумi довжин сторiн з парними шдексами
2л-1 2п
Е °2/+1 = Е°21 ■
¡=1 ¡=2
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Многокутник е описаним тодi i тiльки тодi, коли всi його бiсектриси перетинаються в однiй
точцк
Доведення■
Достатня умова. Не зменшуючи загальностi, проведемо доведення для 6-ти кутника: якщо всi бкектриси перетинаються в однiй точцi, то многокутник описаний.
Вiзьмемо бiсектриси купв В та С (рис. 4). Вони перетинаються в точц О. Доведемо що ця точка - центр вписаного кола. Для цього проведемо з точки О висоти до сторш ВС та Сй. Осктьки СО бкектриса кута С, то прямокутш трикутники КОС та НОС рiвнi. З цього випливае, що ОН = ОК. Якщо провести таку операщю для вах пар трикутнимв, у яких е сшльна сторона, яка е бкектрисою, то доведемо, що висоти до сторш многокутника, опущенш з точки О, р1вш, а значить ми можемо вписати в многокутник коло з центром у точц1 О.
Рис. 3 Рис. 4
Необхщшсть якщо довтьний многокутник М2 описаний, то його бкектриси перетинаються в центрi вписаного кола.
Вiзьмемо бкектриси кутiв К i Н (рис. 4). Зрозумiло, що точки В i А е точками кола i точками дотику описаного многокутника М2. Побудуемо на точках дотику сторш М2 до кола вписаний многокутник М1 Оскiльки трикутник АВК - рiвнобедрений (його бiчнi сторони е дотичними з одшеТ точки), то його бкектриса КН2 е одночасно: висотою i серединним перпендикуляром до основи трикутника АВК та стороною вписаного многокутника.
Продовження висоти КН2 м^ить серединний перпендикуляр сторони ВА вписаного многокутника М1 За вище доведеним вш мiстить i центр кола т.О. Аналопчш мiркування застосуемо до бкектриси кута Н з трикутника ВСН. В результат матимемо, що бкектриса Нв проходить через т. О - центр кола. Аналопчно мiркуючи далi доводимо, що всi бкектриси перетинаються в т. О■
Рис. 5
Теорему 3 доведено.
Наслщок. Центр описаного многокутника сшвпадае з центром вписаного многокутника. Доведення випливае з факту належност серединних перпендикулярiв вписаного многокутника до бiсектрис описаного многокутника i теорем 3 та 1 про центр вписаного многокутника. Нижче опишемо триангуля^йний Kpumepiü вписаност'1. Означення. Кути a, s там, що a = 180 — s, називатимемо дуальними.
Лема. Якщо трикутники, ям побудовано на уаляких наборах з трьох вершин чотирикутника, е вписаними в коло з радiусом R, то весь многокутник е вписаним. Вiрно i обернене твердження.
З умови слщуе рiвносильне формулювання: якщо сторони уах трикутнимв, що побудоваш на уаляких
наборах з трьох вершин чотирикутника, задовольняють рiвнiсть виду —a— = 2R , де ai - довжина сторони,
sin ZA,
протилежноУ до кута ZAi, то весь чотирикутник е вписаним.
Доведення. Помнимо, що протилежш кути повиннi бути рiвними або дуальними, iнакше не
BD BD
виконаеться умова -= 2R, -= 2R .
sin ZA sin ZC
Скористаемося методом вщ супротивного: припустимо, що умова вписаносп вах вище зазначених трикутнимв виконуеться, але ¡снуе чотирикутник, який не е вписаним.
Рис. 6
Припустимо, що 4-кутник не е вписаним тобто, що протилежш кути не е дуальними, а е рiвними тобто
ZA = a+ ß = у+ S= ZC.
При цьому a + ß = у + 8ф 90 . Крiм того, якщо a = s a = s, то чотирикутник вписаний, осмльки вс вершини обох трикутнимв лежать на одному i тому ж кол^ а це е протирiччя з припущенням про вписашсть чотирикутника. Крiм того, a + ß = 180 - (у+ S), що теж веде до протирiччя з припущенням. Тому з умови sin a = sin s слщуе, що a = 180 - s (там кути названо дуальними). Отже,
a+ s = 180. (4)
Подiбним е доведення для кулв ß, D, тобто
ß+ D = 180. (5)
Тому пщсумовуючи рiвностi (1) i (2)
(a+ s) + (ß+ D = 180 + 180 = 360. (6)
Тут ми вже отримали протирiччя, бо в лiвiй частит отримали суму таких кулв, деякi з яких е строго вкладеш в кути многокутника, а тому Ух сума строго менша за 360, а в правш частинi ми маемо 360. Розглянемо трикутник ABCD, у якому s+ Ç= 180 - у- S. Пщставимо цю суму в (6). Спочатку перегрупуемо доданки i отримаемо (a+ s) + (ß+ D =(a + ß) + (s+ D = 180 + 180 = 360. Тепер пiдставимо s+ £= 180 - у- S у другi дужки з суми (6) (a+ s) + (ß+ D =(a+ ß) + (s+ D = a+ ß+ s+ D=a+ ß+ 180 - у- S = 360. Звщси a+ ß- у- S = 180, але ми поклали, що a+ ß= у+ S, тому отримуемо, 0 = 180, що е неможливим. Аналопчно приходимо до протирiччя для шшоУ пари протилежних кутiв чотирикутника. Отже, наше припущення, що протилежш кути чотирикутника не е дуальними, хибне. Лему доведено.
Теорема 4. Якщо ва трикутники, ям побудоваш на уаляких наборах з вершин многокутника, е вписаними в коло радiуса R, то весь многокутник е вписаним в коло з радiусом R.
Вiрно i навпаки: з вписаносп многокутника слщуе вписашсть кожного трикутника, вершини якого е вершинами многокутника.
Доведемо теорему за шдук^ею.
Нехай дано многокутник, що задовольняе умову теореми.
Помнимо, що трикутник Д А1А2А6 ми можемо завжди знайти, бо знаемо його кут ZAl i сторони А1А2, АъАв. Скориставшись теоремою косинуав, можемо знайти А2А6, а полм i всi сторони вищезгаданих трикутникiв з вершинами, що належать многокутнику.
Просуваючись далi, аналогiчно вщакатимемо наступний трикутник А2А3А6, кут якого обчислюеться за формулою ААзАтАб = ¿ААтАз - ZAlA2A6, потiм знаходимо його сторону АзАб та iншi сторони i кути цього трикутника. Користуючись лемою про чотирикутник, доводимо, що чотирикутник А1А2А3А6 вписаний, оскшьки трикутник Д А2А3А6 теж вписаний у коло радiуса Я. таким чином мiркуючи, бачимо, що центри км у всiх вписаних трикутнишв спiвпадають.
Подiбну процедуру робимо для наступного чотирикутника А2А3А6А4, що мае спмьний трикутник Д А2А3А6 з вписаним чотирикутником А1А2А3А6. Отримуемо розбиття для всiх пар трикутникiв, що стоять послщовно, маючи одну спмьну сторону. Для кожного з таких чотирикутнимв виконуеться лема. Це розбиття на трикутники м^ить всi вершини многокутника. Отже, всi такi чотирикутники будуть вписаними. Значить вс вершини лежать на одному колi.
З вписаносл многокутника очевидно слiдуе вписашсть всiх трикутникiв.
Теорему 4 доведено.
Твердження. Сума ап несусiднiх кулв вписаного опуклого 2п-кутника рiвна (п- 1)я.
Доведення здшснюеться шляхом сумування радiанних мiр дуг, на як спираються несусiднi кути. В результат маемо, що кожна дуга виду и АА+1, де А/, А/+1 вершини многокутника, входить в суму п-1 раз. А сума вах дуг рiвнa 2л, тому сума вписаних кулв, що на них спираються, а це i е несусщш кути, рiвна л. Наприклад, а4 вписаного чотирикутника М4 рiвнa л, а а6 = 2л. Позначимо Мп як п-кутник. У теоремi 11 з [6] знайдено лише оцшку аналопчноТ суми лише для М7 i суму кутiв для М6. Дане твердження дае шукану суму несумiжних кутiв для довiльного многокутника М2п.
Твердження доведено.
Теорема 5. Для вписаносл в коло опуклого многокутника М2п необхiдно i достатньо, щоб виконувалися
умови
A A
К AI
sinfCT -ю. ) sinfCT -¿A AA - ¿A AA)
» n т k' * n 2n 12 2n 2 1'
= (-1)n-22R, 1 < k < 2n - 1.
Доведення.
У многокутнику M2n (рис. 8) пунктирна л^я 3i стрмочками означав повторення ребер i вершин. Не обмежуючи загальносгi, знайдемо величину вписаного кута, що спиравться на дугу UA2A3 Вiднiмавмо спочатку вщ Стп кут ZA2 i отримавмо 1
ar-ZA =я(п-1)-—иAAA =n(n-1)-¿A =л(п-1)-(^-¿AAA) = n(n-2) + ZAAA або
ZAiAiAs = он- ZAi - я(п - 2) = л- АА2.
Рис. 7
Рис. 8
Але знайдений кут ZAlAiAз бiльший за шуканий нами кут ZAlA,A2, тому вiднiмемо вiд нього кут ZAlAзA2 i маемо ZAlAA2 - ZAlAзA2 = л- ZA2 - ZAlAзA2, позначимо фк = ZA2 + ZAlAзA2, де ZA2 + АА1А3А2 < л, бо це кути з Д А1А2А3.
Аналопчш мiркувaння виконуються для фк = ZAk + ZAk-l Ак+ъАк. Також синус вписаного кута ZAlAiA2 можна отримати з рiвностi
an—ZA2 —ZAAA = ж(п — 2) + ZAXAA — ZAA3A = ж(п—2) + ZAAA. Звщси синус шуканого кута ZA1AA2 рiвний (—1)n—2 sin(an —ZA2 —ZAAA) = sin(ZA2 + ZAxAAï). Тому умови, що вимагаються в теоремi, можна перетворити:
\AAj =-MJ-= 2r , 1 < к < 2n - 1.
sin(pt ) sin(ZA2nAi A2 + ZA2nA2 Ai) Також варто зазначити, оскiльки многокутник опуклий, тобто ва вершини лежать в однш пiвплощинi вiдносно довiльного ребра (нехай це ребро A2A3), то з рiвностi sinZAAA = sinZAAA , 2 < I, j < 2n слщуе
рiвнiсть кутiв ZAAA =ZAAA, 2 < I, j < 2n, тому всi цi точки лежать на одному кол^ що i треба було довести.
Доведення вписаносп вах трикутнимв в одне коло рaдiусa R можна було завершити мiркуваннями з доведення достатносп у робот [7].
Варто зауважити, що знак sin(an — рк )е(—1)п—2 при 2n > 4. Теорему 5 доведено.
У роботах [6,7] авторам вдалося розв'язати задачу лише для випадку M2n+1, тобто для 2п+1-кутни^, де виражаеться вписаний кут ZA1AA2 через суму несуадшх кутв. Там же доведено критерш вписaностi, виражений у (1) i (2), але авторам не вдалося виразити цей кут для 2^кутника.
У лемi 1.1 статт [7] для многокутника M2n+1 виражаеться вписаний кут, що спираеться на дугу, яка вщакаеться стороною A1A2 многокутника як хордою кола наступним чином.
Знаходиться градусна мiрa вписаного кута ZAi через рaдiaннi мiри доповнюючих дуг до дуги
1 1
и Ai+iAi-1, а саме через ZA: = ж——иA^A,. ——и AA,+1, тому суму Z з [7] представлено як
ZA3 + ZA5 + ... + ZA2n+1 = (ж-UA2A3 - UA3A4) + (ж-UA4A5 - UA5A6) + ... + (ж-uA2nA2n+1 - uA2n+1A1) =
= n • ж- (UA2A3 + UA3A4 + ... + uA2n+1Ä1) = n • ж- (ж- UA1A2) = (n - 1) • ж + ZA1AA2. Потiм для M2n+1 виражаеться шуканий синус sin ZAAAï = (—1)n—1 sin(ZA3 + ZAS + + ZAIn+J. Але
для M2n таким шляхом вдасться виразити ттьки дугу UA1A3, що спираеться на хорду A1A3, але кут ZA1AiA2 чи sinZA1A,A2 так не можна виразити, отже безпосередньо з не'| нi в [6], ш в [7] авторам не вдавалося виразити дугу UA1A2.
Якщо ж для M2n провести аналопчш мiркувaння до тих ям автори робили для M2n+1, то ми виразимо лише sinZAAA = (—1)n—2 sin(ZA4 + ZAb + ...+ ZA2n_2 +ZA2„).
Зауважимо, що ZA1AA3 можна було знайти проспше, використовуючи твердження про суму an несуадшх кутв вписаного опуклого 2^кутника, що рiвнa (n - 1)ж. Для знаходження потрiбного в Лемi 1.1. з [7] кута ZA1AA2 ми пропонуемо знайти додатковий кут ZA2A3A1, використавши спочатку теорему косинуав для знаходження A1A3, а потiм i теорему синуав для знаходження двох невiдомих кутв трикутника. Але, вiднявши вiд ZA1AA3 знайдений нами додатковий кут ZA2A1A3, виразимо потрiбний в цiй ситуацп кут ZA1AA2. А саме sin(ZA1A,.A2) = sin((n—2)^+ZA1A,.A3 — ZAAA), де ZA1AA3 > ZA2A3A1, бо UA1AA3 > UA1A2 , звiдки
sin ZAAA = (—1)n—2 sin(ZAa + ZA + ...+ ZA, ,+ZA, — ZA, A A ), бо
3 i 2 » ' \ 4 6 2n—2 2n 2 3 1/'
(n—2)^+ZA,AA =ZA, + ZA + ...+ ZA ,
x ' 1 i 3 3 5 2n+1
Це видно з рис. 8, де пунктирна лЫя зi стршочками означае повторення ребер i вершин. Тому шуканий синус запишеться як
sinZAAA+1 = (—1)n—2 sin(ZAt+2 +ZAt+4 + ...+ ZA—3 +ZAt—1 — ZA, A3 A1 ). Тепер доведення вписаносп вах трикутнимв в одне коло рaдiусa R можна завершити мiркувaннями з доведення достатносп статп [7].
Як наслщок можна розширити умови теореми 1.1 з [7] про вписашсть для випадку 2^кутника: для вписаносп опуклого 2^кутника в коло рaдiусa R необхщно i достатньо, щоб
A A I AAI IA„AJ ,
_I 1 21___i 2 3i__ __I 2n—1 2ni_~ (—Ху— 2.R
sin^ —ZA1 A3 A2) = sin(Z2 —ZA2 A3 A4) =... = sin(Z2n — ZA2n—, A2nA1) = .
Висновки. В робот вперше отримано критерп вписaностi в коло довшьного многокутника з довшьною кiлькiстю кутiв. Дослiджено його метричш влaстивостi. Доведено теорему, що узагальнюе теорему синусiв для вписаного трикутника.
Викладений мaтерiaл може бути використаний для роботи в профтьнш школ^ зокрема для гуртковоУ роботи. Його можна вивчати, використовуючи метод проектв, що може мати мкце як в окремому гуртку, так i в завданнях для математичних турнiрiв чи робот у Малш академп наук. Окремi зaдaчi можна розв'язувати, використовуючи метод мозкового штурму i метод «мтрофон» для aктивiзaцiï роботи всього учшвського колективу. Також вважаемо за доцшьне включити цю тему у навчальш плани пiдготовки мaгiстрiв освiти зi спецiaлiзaцiï Математика.
Список використаноТ лiтератури
1. Актершев С. П. Задачи на максимум и минимум / Актершев С. П. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 192 с.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владiмiров В.М., Владiмiрова Н.Г. Геометрiя. 10-11 / Бевз Г.П., Бевз В.Г. - К.: Осв^а, 2000. - 235 с.
3. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач /Габович И.Г. - Радянська школа, 1989. - 162 с.
4. Кушшр I., Фшкельштейн Л. Навчання у просторi / Кушшр I., Фшкельштейн Л. - К.: Факт, 2003. - 157 с.
5. Мерзляк А. Г, Полонський В.Б, Яшр М.С. Геометрiя. 8 класс /Мерзляк А. Г, Полонський В.Б, Яшр М.С. 2008.
- 238 с.
6. Смирнова А., Смирнов В. Вписанные и описанные многоугольники / Смирнова А., Смирнов В. // Квант, 2006. - №4. - С. 33-34.
7. Мороз. М. Многокутники з непарною кмьшстю сторш навколо яких можна описати коло / Мороз. М. // Математика в рщнш школк - 2015. - № 5. - С. 37-41.
8. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами// 2001. - 400 с.
9. Скуратовський Р.В. Критерш вписаносл в коло довмьлного п-кутника / Скуратовський Р.В. // ВсеукраТнська науково-методична конференщя "Сучасш науково-методичш проблеми математики". - С. 80-82.
10. Виноградова И. А. Математический анализ в задачах и упражнениях / Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. - МГУ, 1991. - Т.1. - 352 с.
11. Варфоломеев В. В. Вписанные многоугольники и полиномы Герона /Варфоломеев В. В. // Матем. сб., 2003.
- Т. 194. - № 3. - С. 3-24.
12. Скуратовський Р.В. Критери вписаносл i описаносл в коло довмьлного п-кутника // Мiжнародна науково-практична конференцГТ «Актуальш проблеми теори i методики навчання математики» / Скуратовський Р.В.
- К. : НПУ iменi М. П. Драгоманова, 2017. - С. 64-65.
References
1. Aktershev S. P. Zadachi na maksimum i minimum / Aktershev S. P. - SPb.: BHV-Peterburg, 2005. - 192 c. (in Russian)
2. Bevz G.P., Bevz V.G., Vladlmlrov V.M., Vladlmlrova N.G. Geometrlya. 10-11 / Bevz G.P., Bevz V.G. - К.: OsvIta, 2000. - 235 s. (in Ukrainian)
3. Gabovich l.G. Algoritmicheskiy podhod k resheniyu geometricheskih zadach /Gabovich l.G. - Radyanska shkola, 1989. - 162 s. (in Russian)
4. Kushnlr l., Flnkelshteyn L. Navchannya u prostorl / Kushnlr l., Flnkelshteyn L. - K.:, Fakt, 2003. - 157 c. (in Ukrainian)
5. Merzlyak A. G, Polonskiy V.B, Yaklr M.S. Geometrlya/ 8 klass /Merzlyak A. G, Polonskiy V.B, Yaklr M.S. 2008. -238 s. (in Ukrainian)
6. Smirnova A., Smirnov V. Vpisannyie i opisannyie mnogougolniki / Smirnova A., Smirnov V. // Kvant, 2006. - #4. -S. 33-34. (in Russian)
7. Moroz. M. Mnogokutniki z neparnoyu kllklstyu storln navkolo yakih mozhna opisati kolo / Moroz. M. // Matematika v rldnly shkoll. - 2015. - # 5. - S. 37-41. (in Ukrainian)
8. Sharyigin l.F., Gordin R.K. Sbornik zadach po geometrii/ 5000 zadach s otvetami// 2001. - 400 s. (in Russian)
9. Skuratovskiy R.V. Kriterly vpisanostl v kolo dovlllnogo n-kutnika / Skuratovskiy R.V. // VseukraYinska naukovo-metodichna konferentsIya "Suchasnl naukovo-metodichnI problemi matematiki". - S. 80-82. (in Ukrainian)
10. Vinogradova l. A. Matematicheskiy analiz v zadachah i uprazhneniyah / Vinogradova l. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. - MGU, 1991. - T.1. - 352 s. (in Russian)
11. Varfolomeev V. V. Vpisannyie mnogougolniki i polinomyi Gerona /Varfolomeev V. V. // Matem. sb., 2003. -T. 194. - # 3. - S. 3-24. (in Russian)
12. Skuratovskiy R.V. KriterlYi vpisanostl l opisanostl v kolo dovlllnogo n-kutnika // Mlzhnarodna naukovo-praktichna konferentsIYi «Aktualnl problemi teorIYi I metodiki navchannya matematiki» / Skuratovskiy R.V. - K. : NPU lmenl M. P. Dragomanova, 2017. - S. 64-65. (in Ukrainian)
CRITERION OF BEING INSCRIBED AND CIRCUMSCRIBED FOR CONVEX POLYHEDRONS
R.V. Skuratovskii
Interregional Academy of Personnel Management, Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of
Ukraine and Kiev's Lyceum № 171 "Leader" Abstract. The work generalizes the result of K. F. Gauss on the refinement of a regular polygon and presents a new theorem about the refinement and opisanie polygons in the circle and the equation for finding the radii of the circles. Clarification of the locus of the center of the inscribed and circumscribed circles. Formulated and proved the triangulation criterion of refinement. The possibility of using theorems to the solution of Olympiad tasks. Briefly
described new achievements in the studies of metric correlations for inscribed and circumscribed polygons. Proved a generalized theorem for the sine of the inscribed polygon. Investigated signs of opasnosti polygon around the circle. First obtained the criteria of refinement in the circle of an arbitrary polygon with an arbitrary number of angles and presents a formula for sums not adjacent angles inscribed in a convex 2n-gon. Key words: inscribed polyhedron, circumscribed polyhedrons.
