CC BY
6ОЗНАКИ ТА ОБЕРНЕН1 ТЕОРЕМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА
О.А. Кадубовський, канд. фiз.-мат. наук, доцент,
В.1.1рза, студентка,
ДВНЗ «Донбаський державный педумверситет»,
м. Слов'янськ, УКРА1НА
Розглянуто деяю oco6ßueocmi роботи з оберненими задачами на прямокутний трикутник. Наведено низку ознак прямокутного трикутника та вказiвки до Их доведення. Зокрема пропонуеться класифтащя ознак за методами i прийомами Их доведення та можливi тдходи до пошуку нових ознак прямокутного трикутника.
Ключов1 слова: задачi на доведення, властивостi, обернет теореми, ознаки прямокутного трикутника.
Постановка проблеми. Геометрш трикутника, зокрема прямокутного, справедливо вважають одним i3 най-щкавших роздшв елементарно! геометри. За програмою прямокутш трикутники дослщжують або ж використовують при вивченш бшьшост тем на рiзних етапах вивчення шкшьного курсу геометри. Прямокутш трикутники використовують при доведены значного числа властивостей фАгур i теорем шкшьного курсу геометри та при розв'язуванш широкого кола метричних задач геометри.
Загальновизнаною тезою е те, що доведення математичних тверджень - один iз важливих засобiв, що сприяе розвитку мислення учшв, особливо творчого та логичного. В робот [5] автор звертае увагу на те, що лише при доведены тверджень учнi свiдомо i мщно засвоюють систему математичних знань, навичок i вмiнь, набувають навичок самостшно! роботи, умiнь ращонально i творчо застосовувати математичнi знання.
Крiм того, задачi на доведення е особливо важливими для математично! осв^и, оскшьки саме через зазначенi задачА й вiдбуваеться чiтке усвiдомлення такого поняття, як «ознака» математичного об'екта. Як зазначае В.О. Гусев [4], «... для математических объектов характерна ситуация: либо у данного объекта есть
признак и он сформулирован, либо мы не можем его сформулировать. А то, как математики выявляют и классифицируют признаки объектов, должно быть исследовано отдельно».
Властивосп прямокутного трикутника е добре вщомими i достатньо повно представлен в навчальнш лггературь 1х переважно сформульовано у виглядi теорем або задач та викладено в багатьох джерелах, починаючи вщ шкшьних тдручниюв та завершуючи збiрниками задач рiзного рiвня, зокрема олАмтадними. Проте в нинi дшчих тдручниках для класiв академiчного рАвня та рАвня стандарту ознаки прямокутного трикутника е вщсутшми, крАм, звюно, обернено! теореми Шфагора. Окрем ознаки прямокутного трикутника представлен у тдручниках для клаав з поглибленим вивченням математики. Так, наприклад, в [10] наведено лише двА ознаки.
Як свщчить досвщ, при доведены ознак прямокутного трикутника у бшь-шосп учшв та студенпв педагопчних ВНЗ виникають проблеми, пов'язаш переважно з тим, що сучасш вимоги до рАвня математично! шкшьно! освгти не можуть в достатнш мАрА забезпечити розвиток вщповщних навичок. I тому е вкрай необхщним саме систематизований виклад
© КМиЬоузку А., Тгаа V.
ознак прямокутного трикутника та !х класифкащя, зокрема за методами доведення.
Анал1з актуальних досл1джень. 1снуе чимало публжацш, яю присвяченi окремим темам геометри трикутника, в тому числi прямокутного. Проте, як зазначае Г.П. Бевз [1]: «... книжки, в яких ус таю теми висвiтлюються в певнш сисгемi i повно, давно стали бiблiогра-фiчною рiдкiсгю».
Окремим темам прямокутного трикутника присвячеш публжаци С. Белого [2], Ю.М. Гайдука [3], Л. Курляндчка [7], Л.1. Лутченко [9]. Проте, нажаль, ознакам та оберненим теоремам прямокутного трикутника в шкшьному курсi геометри майже не придiляеться увага. Виключен-ням, на думку авторiв, е поабники С. Д. Ку-ланша [6] та 1.А. Кушнiра [8], в яких наведено щлу низку ознак прямокутного трикутника. Але на сьогодш е вщсутньою систематизащя зазначеного кола задач, !х класифкащя, зокрема за методами доведення.
Все зазначене вище й надихнуло авторiв до написання дано! статт!
Метою статп е:
- звести в систему як загально, так i маловщом ознаки прямокутного трикутника та запропонувати можливий тдхщ до 1х систематичного впровадження тд час вивчення шкшьного курсу геометри;
- зробити спробу класифiкувати наве-денi ознаки за прийомами i методами !х доведення;
- описати можливi тдходи до одер-жання i пошуку нових ознак прямокутного трикутника.
Виклад основного матер1алу. Всюди нижче для елеменпв дЛБС будемо використовувати загальноприйняп позна-чення: а, Ь , с - сторони трикутника, що лежать проти кутiв АЛ = а, аб = ь i А С = у вi дповiдно; та, тЬ, тс; Ъа, \, \ ; ¡а, 1Ь, ¡с - медiани, висоти i бiсектриси,
проведенi до сторш а, Ь , с вщповщно; Н - основа висоти, проведено! з вершини АС ; ЛН i БН - проекци сторiн ЛС i БС на ЛБ ; К, г, га, гЬ, гс - радiуси описаного, вписаного та зовтвписаних кш
трикутника; Р, р i $ - периметр, твпериметр та площа трикутника.
У вщповщносп до чинно! програми для учтв 5-11 класiв загальноосвiтнiх навчальних закладiв можна пропонувати (впроваджувати) наступи найпрост1ш1 ознаки прямокутного трикутника.
У сьомому клас
Ознака 1. Якщо градусы мiри кутiв трикутника перебувають у вiдношеннi а : р:у=т: п: р, де т, п, р е N, причому т < п < р та виконуеться умова р: (т + п + р ) = 1:2, то трикутник е
прямокутним.
Ознака 2. Якщо для д АВС виконуеться умова 2тс = с, то АС = 90°.
Ознака 3. Якщо для д АВС виконуеться умова 2 К = с, то АС = 90°.
Ознака 4. Якщо в д АВС АЛ = 2АБ, ЛБ = 2ЛС , то АС = 90°.
Ознака 5. Якщо для д АВС виконуеться умова г = р - с, то АС = 90°.
Вказ1вки. Для доведення першо! ознаки достатньо скористатися теоремою про суму купв трикутника.
Доведення ознаки 2 зводиться до застосування властивосп рiвнобедрених трикутниюв (про кути при основ^ та теореми про суму купв трикутника.
Для доведення ознаки 3 спочатку треба показати, що центр описаного кола цього трикутника ствпадае iз серединою зазначено! сторони. Подальше доведення повторюе шркування аналопчш тим, що й при доведены ознаки 2.
Для доведення ознаки 4 достатньо розглянути бюектрису ЛЛ' та середину С0 сторони ЛБ д АВС. Тод за властивiстю рiвнобедреного д АЛ' Б медiана Л' С0 е його висотою. Звiдки дАС0Л' е прямокут-ним з прямим кутом С0.
З iншого боку дЛС0Л' =дЛСЛ' за двома сторонами та кутом мiж ними. I тому АЛСЛ' = 90°.
Для доведення ознаки 5 достатньо скористатися тим, що довжини вiдрiзкiв дотичних (СТх i СТ2), проведених з вер-
mHHH C go BnucaHoro Kona TpHKyTHHKa (3 ^rnpoM y toh^ O - toh^ neperaHy GiceKipuc TpHKyTHHKa) cTaHoBnaTb p — c .
Ko^eH 3 npflMOKyTHHX TpHKyTHHKi b OT£ i
OT2C, 3 ypaxyBaHHaM yMoBH r = p — c, e piBHoGegpeHHM. I TOMy AC = ATfO + AT2CO = 45° + 45° = 90°. y eocbMOMy maci Ознака 6. (OGepHeHa TeopeMa ni^aropa). sk^o ana CTopiH △ ABC Mae m^e piBHicTb a2 + b2 = c2, to △ ABC e npaMoKyTHHM.
Ознака 7. TpHKyTHHK ABC e npaMo-KyTHHM, aK^o BHKoHyeTbca ogHa 3 ymob:
a) p(p — c) = (p — a)(p — b),
b) 2p (p — c) = ab,
c) 2(p — a)(p — b) = ab .
Ознака 8. Sk^o a2 + b2 = 4m2, to
△ ABC e npaMoKyTHHM.
Ознака 9. sk^o TpHKyTHHK Mo^Ha po3pi3aTH Ha gBa nogiGHux go Hboro TpHKyTHHKH, To TaKHH TpHKyTHHK e npaMoKyTHHM.
Ознака 10. sk^o ah • hb = ch2, to
△ ABC e npaMoKyTHHM.
Ознака 11. Sk^o a2 = c • BH
(b2 = c • AH ), to △ ABC e npaMoKyTHHM.
Ознака 12. TpHKyTHHK ABC e npaMoKyTHHM, aK^o BHKoHyeTbca ogHa 3 yMoB:
a) ra = p — b, b) rb = p — a, c) rc = p .
BKa3i6KU. flna goBegeHHa o3HaKH 6 Mo^Ha po3rnaHyrn npaMoKyTHHH △ A' C' B' 3 KaTeraMH A' C' = b i B' C' = a Ta 3acTocyBaTH go Hboro npaMy TeopeMy ni^aropa. Togi △ ACB i △ A' C' B' e piBHHMH 3a TperboK) o3HaKoro piBHocTi TpHKyTHHKiB.
flpBegeHHa o3HaK 7 a) — c) 3BogHTbca go oGepHeHoi TeopeMH ni^aropa.
flna goBegeHHa o3HaKH 8 gocraTHbo △ABC goGygyBaTH go napanenorpaMa ACBC' mnaxoM npogoB^eHHa Ta nogBoeHHa MegiaHH CC0. Togi gna △CBC' BHKoHyeTbca yMoBa oGepHeHoi TeopeMH
ni^aropa. 3BigKH ACBC' = 90° i ToMy
napanenorpaM ACBC' e npaMoKyTHHKoM, a AC = 90°.
03HaKH 9, 10, 11 Mo^Ha nponoHyBaTH nicna BHBneHHa o3HaK nogiGHocri TpHKyTHHKiB Ta BignoBigHHx BnacTHBocTeH npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa.
flna goBegeHHa o3HaKH 12 a) HeoGxigHo cKopHcTaTHca thm, ^o цeнтp Oa 3oBHi
BnHcaHoro Kona aABC , aKe goTHKaeTbca ctopohh BC i npogoB^eHb cTopiH AB i AC (y ToHKax A', B' i C' BignoBigHo), e tohkow nepeTHHy GiceKipuc ABAC Ta 3oBHimHix KyriB △ ABC npu BepmHHax B i
C. ^ani cnig 3BepHyTH yBary Ha Te, ^o AC' = AB' = p . 3BigKH CC' = CA' = p — b. Togi npaMoKyTHi TpHKyTHHKH CC 'Oa i CA'Oa e piBHoGegpeHHMH. I ToMy AC = 90°. flna goBegeHHa o3HaK b) i c) Mo^Ha
BHKopucTaTH aHanorinm MipKyBaHHa. ydee'amoMy maci Ознака 13. sk^o 2Saabc = ab, to △ ABC e npaMoKyTHHM.
Ознака 14. HexaH a, b i c - KaTera i rinoreHy3a npaMoKyTHoro △ ABC, a h -BHcora, ony^eHa 3 BepmHHH npaMoro Kyra C. Togi TpHKyTHHK 3i cTopoHaMH h , a + b , c + h e npaMoKyTHHM.
Ознака 15. Sk^o gna eneMemiB TpHKyTHHKa ABC Mi^e piBHicTb
ab cos g+ac cos /3 + bc cos a = c2, to BiH e npaMoKyTHHM 3 npaMHM KyroM C
Ознака 16. Sk^o gna MegiaH ma, mb, mc TpHKyTHHKa Mae Mi^e piBHicTb ma2 + mb2 = 5mc2 , To TaKHH TpHKyTHHK e npaMoKyTHHM.
BKa3i6KU. flna goBegeHHa o3HaKH 13 gocTaTHbo cKopucTaTHca ^opMynoro 2S = ab sin g Ta thm, ^o sin g= 1 nume gna npaMoro KyTa TpHKyTHHKa.
flna goBegeHHa o3HaKH 14 Mo^Ha cKopucTaTuca TeopeMoro ni^aropa Ta ^opMynaMH oGnucneHHa nno^i gaHoro npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa, a caMe: ocKinbKH a2 + b2 = c2 i ab = ch, to oneBHgHo, ^o h2 + 2ab = h2 + 2ch; 3BigKH
a2 + b2 + h2 + 2ab = c2 + h2 + 2ch, aGo ^
(ioo>
h2 +(a + b)2 =(c + h)2; i тому за оберне-
ною теоремою Пiфагора такий трикутник е прямокутним.
Для доведення ознаки 15 достатньо скористатися теоремою косинусiв для обчислення величин cos g, cos ß, cos a через довжини сторш трикутника; пiсля чого слщ застосувати обернену теорему Шфагора.
Для доведення ознаки 16 достатньо скористатися формулами обчислення медаан трикутника за довжинами його сторш та оберненою теоремою Шфагора.
Зауважимо, що необхщно звернути увагу учнiв на те, що ознака 6 е наслдком теореми косинуав, а ознака 3 - теореми синусiв.
Як вщомо, методи розв'язування геометричних задач, у порiвняннi з методами розв'язування шших задач математики, мають ряд специфiчних особливостей: 1х достатньо багато; обласп застосування конкретних методов чттко не окресленц щ методи з важкiсIЮ щддаються формальному опису та ш. Бшьше того, при розв'язувант задач часто застосовуеться саме комбтацгя прийомгв i методгв розв'язування математичних задач.
1з урахуванням зазначеного, умовно роздтимо на групи запропоноват нижче ознаки прямокутного трикутника за методами i прийомами, як! доцшьно використовувати при 1х доведент.
Метод допомiжного (описаного) кола
Ознака 17. Якщо в нетупокутному △ АВС AC < BC i AACH = ZBCM , де
M - середина AB, то АС = 90 .
с
Доведення: нехай w - коло, описане навколо △ АВС, а F - друга точка перетину прямо! CM з колом w. Тод! за властив!стю вписаних купв трикутника мають мюце р!вносп ZFAB = ZFCB = a. З △ AHC маемо, що AHAC = 90° -a.
Звщки ACAF = 90° ! тому CF е д!аметром кола w. Отже, центр кола w належить прямш CF. З шшого боку, центр кола w належить прямш l, що проходить через точку M ! е перпендикулярною до AB . Таким чином, центр кола w е точкою перетину прямих CF ! l. За побудовою M е спшьною точкою цих прямих ! тому середина сторони AB е центром описаного кола △ АВС. За ознакою 2 (або 3) △ АВС е прямокутним.
Ознака 18. У △ АВС AC ф BC . Якщо бюектриса ZC дшить навтл кут м!ж мед!аною та висотою, проведеними з вершини C, то AC = 90°.
Ознака 19. Якщо висота ! медиана, проведен! з вершини C △ АВС, роздшили AC на частини, що вщносяться як m: n: m (m, n e R+), то AC = 90°.
Ознака 20. Якщо висота, бюектриса ! мед!ана, проведен! з вершини C △ АВС, роздшили кут на чотири р!вт частини, то AC = 90°.
Ознаки 18-20 е наслщками ознаки 17.
Метод допомiжноl площi та (або) периметру
Ознака 21. Трикутник ABC е прямокутним, якщо для його елеменпв вико-нуеться одна з наступних умов:
a) TT + А= b) S = (P-a)(p-b),
h: hu¿ h
0 ^a + rb = 2R,
d) 22c = 1 +1
ab r r
Вказiвки: для доведення ознаки a) необхщно помножити та роздшити перший
2 7 2
доданок р!вноси на a , другий на b , а
2
праву частину - на c ; тсля чого скористатися ознакою 6. Для доведення ознаки b) необхщно застосувати формулу Герона та скористатися ознакою 7. Для доведення ознак c) ! d) необхщно
застосувати формули ra = S /(p - a) ! rb = S /(p - b), 2R = abc /(2S) та скористатися ознаками 7 ! 13 вщповщно.
Ознака 22. Трикутник ABC е прямо-кутним (í р!внобедреним у випадках b) !
c), aK^o gna Horo eneMemiB BHKoHyeTbca ogHa 3 HacTynHux yMoB:
a) a = hb (b = ha), b) a = ha, b = hb,
c) ha > a, hb > b, d) a + b = ha + hb.
BKa3iem: goBegeHHa o3HaKH a) 3BoguTbca go o3HaKH 13, Go b ^oMy BunagKy ab = 2S. flpBegeHHa o3HaKH b) TaKo« 3BoguTbca go o3HaKH 13: b цboмy BunagKy a2 = 2S i b2 = 2S . 3BigKH ab = 2S Ta a = b .
flpBegeHHa c): 3 yMoBH MaeMo, ^o
2S > a2 i 2S > b2 3BigKH a2 + b2 < 4S ; 3 iHmoro GoKy 4S < 2ab. ToMy a2 + b2 < 4S < 2ab, 3BigKH a2 + b2 < 2ab . OcKinbKH gna HecTporoi HepiBHocTi Mae Mi^e BHKnroHHo piBHicTb, npunoMy nume 3a yMoB a = b, to HepiBHicTb a2 + b2 < 4S < 2ab e Mo^nHBoro nume Konu a2 + b2 = 4S = 2ab . 3BigKH 2S = ab, a = b i ToMy △ ABC e npaMoKyTHHM i piBHoGegpeHHM. goBegeHHa d):
a+b = h + h, o a+b = 2Sa+b o 2S = ab. a b ab
ToMy 3a o3HaKoro 13 △ ABC e npaMoKyTHHM.
3a3HanuMo, ^o o3HaKy 5 Mo«Ha
goBecTH, cKopucTaBmucb ^opMynoro repoHa.
3a gonoMororo ouIhrh
Ознaкa 23. △ ABC e npaMoKyTHHM,
aK^o gna Horo eneMemiB BHKoHyeTbca ogHa
3 HacTynHux yMoB
p • c
a) a + b + 2R
b) a + b + 2R =
R
2 p • c • hc
ab
BKasiem: ocKinbKH 2R > c, to (a+b + 2R)/(2 p) = ( a+b + 2R)/(a+b+c) > 1;
3 iHmoro GoKy c / (2R) < 1 , 3BigKH (a + b + 2 R)/(2 p) = c / (2 R) = 1, i ToMy 3a o3HaKoro 3 △ ABC e npaMoKyTHHM. ,3na
goBegeHHa o3HaKH (a + b + 2R)/(2p) = chc /(ab) gocTaTHbo cKopucraTuca thm, ^o chc / (ab) < 1, 3BigKH
(a + b + 2R) /(2p) = chc / (ab) = 1, i 3a o3HaKoro 13 △ ABC e npaMoKyTHHM.
Ознaкa 24. y △ ABC 3 ochobh H bhcoth CH npoBegeHo nepneHguKynapu HE i HF go cTopiH AC i BC BignoBigHo.
S^abc = 4S^HEF , To △ABC e npaMoKyTHHM i piBHoGegpeHHM.
goBegeHHa o3HaKH 24 MerogoM oцiнкн nponoHyeMo npoBecTH caMocriHHo.
3a3HanHMo, ^o gna goBegeHHa o3HaK 22 go^nbHo cKopucTaTuca TaK 3Bamro «TeopeMoro-naH^^KoM», cyTb aKoi noB'a3aHa 3 goBegeHHaM o3HaKH 22 b):
ocKinbKH b Ko«HoMy TpuKyTHHKy a > hb i b > ha, to, 3 ypaxyBaHHaM piBHocTeH a = ha, b = hb MaeMo: a > hb = b > ha = a, 3BigKH a = hb = b = ha i ToMy 3a o3HaKoro 22 a) TpHKyTHHK e npaMoKyTHHM i piBHoGegpeHHM. B TaKuH caMHH cnociG 3py^Ho goBecTH o3HaKy 22 c).
3BeaeHHH go paHime goBegeHnx oiHaK Ознaкa 25. TpHKyTHHK ABC e npaMoKyTHHM, aK^o gna Horo eneMemiB BHKoHyeTbca ogHa 3 HacTynHux yMoB:
Ima:mb :mc = 4m :4n
a
)
\m + n = 5p; m,n,pe R+ b) ml + ml = 5
^ c Y
2
BKa3i6Ku: o3HaKa a) 3BoguTbca go o3HaKH 16; gna goBegeHHa b) gocTaTHbo
cKopucraTHca ^opMynaMH oGnucneHHa MegiaH TpuKyTHHKa 3a goB^HHaMH Horo cTopiH Ta oGepHeHoro TeopeMoro ni^aropa.
Ознaкa 26. TpHKyTHHK 3i cTopoHaMH a = 2mn , b = m2 — n2 i c = m2 + n2 (m > n; m • n > 0) e npaMoKyTHHM.
BKa3i6Ka: goBegeHHa 3BoguTbca go oGepHeHoi TeopeMH ni^aropa.
Ознaкa 27. TpHKyTHHK ABC e npaMoKyTHHM, aK^o gna Horo eneMemiB BHKoHyeTbca ogHa 3 HacTynHux yMoB: 4 p • mc
a) a + b + 2mc
b) a + b + 2R--
4 pR
c
c
)
l
ll
21 2 7.2 2 2 2
a b b c a c
d) sin2 g= sin2 a + sin2 ß,
l l l l
e) — + — + —= -. a b hc r
Bкaзiвкu: дoвeдeння aзнaки a ) звoдиIъcя дo oзнaки 2, ознаки b ) - дo oзнaки 3, aзнaки c) - дo oзнaки б (дocгaтньo пoмнoжити oбидвi частини piвнocгi на a2b2c2 ), ознаки d ) - ташж дo oзнaки б (дocгaтньo пoмнoжити oбидвi частини piвнoстi на 4 R2 ); для дoвeдeння e ) необидно пoмнoжити та paздiлити пepший дoдaнoк piвнoстi на ha, дpyгий на hb, тpeтiй на c, а праву чacтинy - на 2p та cкopиcтaтиcя oзнaкoю 22 d ).
Оз^га 28. Tp^yra™ ABC e ^ямо-кутним, якщо для його eлeмeнтiв вико-нyeтьcя одна з нaстyпниx умов: a ) S = p ( p — c ), b ) r ■ rc = ra ■ rb,
c) S = r ■ rc, d ) R + r = S¡S + R2 .
Bкaзiвкu: доведення ознаки a ) звoдитьcя до ознаки 5 ( S = rp ), ознаки b ) - до ознаки 7 ( r = S / p, rc = S /(p—c)), a ознаки c ) - до ознаки l2 c ). Доведення ознаки d ) звoдитьcя до ознаки 30 a ) :
R + r = VS + R2 û R2 + 2Rr + r2 = S + R2 û û 2Rr + r2 = S û S = r ( 2R + r )û
û pr = r ( 2R + r )û p = 2R + r .
Унiвepcaльним (npOTe не завжди paцioнaльним) методом доведення ознак пpямoкyтнoгo тpикyтникa e зaстocyвaння тeopeми от^ав, тeopeми ко^^ав та тpигoнoмeтpичниx тотожностей, зoкpeмa для ктпв тpикyтникa. Для доведення нaстyпниx ознак доцшьно cкopистaтиcя caмe ^«тригонометричною геометpieю».
Озиaкa 29. Тpикyтник ABC e ^ямо-кутним, якщо для його елеменпв викoнyeтьcя одна з нaстyпниx умов a )
sina + sinß 74 . a b + c
-= sing, b ) rtg— =-.
cosa + cos ß 2 a
Доведення a)
sin a + sin ß cos a + cos ß
= sin g^
2sin aß cos aß . g g 2cos ß cos a—ß = 2singgcosg.
Ocкiльки для кут1в тpикyтника cos
a+ß
'aß* 0,
sin 0, го ^^^o+ß
о a+ß ■ a+ß
■ 2 cos sin
cos
2
Зввдки 2cos2aß = l, l + cos(a + ß) = l, cos (a + ß) = 0. I тому a + ß = 90o. Доведення b )
ctg"
a b + c cos aa sin ß + sing
sin 2sin
2
ß+g
2 cos 2
cos
sin
2 a ■ ß+g ß—g cos aa = sin^cos^.
sin a
ß—g
2sin -"cos aa
ß—g
2 ß+g ß+g ß—g a sin = si^-^co^-^, cos a = cos 2 .
зв1дки aa = ßg або aa = g—ß. I тому ß = 90o
або ж g = 90o.
З доведенням наведеник нижче ознак можна oзнайoмитиcь в [В].
Оз^^ 30. Тpикyтник ABC e ^ямо-кутним, якщо для його елеменпв вико-нyeтьcя одна з нaстyпниx умов: a ) P = 2 ( 2 R + r ),
2 p ■ (p — c)
b) a + b + 2R
c) a + b + 2R = 2p
r
AH ■ BH
h
Оз^^ 31. Нexaй X - довшьна точка вcepeдинi д ABC, da, db, dc - вщстат вщ точки X до cropm BC, AC i AB, a K -деяка константа. Тода дABC e пpямoкyт-ним (i piвнoбeдpeним для a ) i b ) ), якщо
викoнyeтьcя одна з умов:
da db dc
a ) — + — + — = l
a b hc b) dh + d,h + dc = K,
a a b b c
2R
)
p
hc (a + b) + ab 2r
l03
a
2
2
Ha gyMKy aBTopiB BHBHeHHa o3HaK npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa goцinbнo cynpoBog«yBaTH BHBHeHHaM H TaKHx o3HaK, ^o He e BnacTHBocTaMH npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa. B aKocri npuKnagy Mo«Ha HaBecTH HacTynHy o3HaKy: hk^o epadycm Mipu Kymie mpuKymmm nepe6yeawmb y eidnameuHi 1:2:3 , mo mamu mpuKymnuK e npHMOKymHUM. npoTe 3po3yMino, ^o He Ko«eH npaMoKyTHHH rpHKyTHHK Mae caMe TaKi KyTH.
TaK caMo Ba^nHBo npuginuTH yBary H thm BnacTHBocTaM npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa, ^o He e o3HaKoro npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa. B aKocTi npuKnagiB HaBegeMo Hacrynm «nceBgo-o3HaKH»: △ ABC e npHMOKymHUM a6o pieHo6edpeHUM, m^o euKOHyembCH odHa 3 HacmynHUX yMoe:
a) a + ha = b + hb,
b) sina+ cosa = sin/+cos/,
c) tga-sin2/ = tg/• sin2a.
Mo^iHBi nigxogu go ogep^aHHH Ta nomyKy hobhx oзнaк npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa. OgHHM 3 nigxogiB go ogep^aHHH «hobhx» oзнaк npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa e ModufiirnyiH o3HaK npнмoкymнoгo mpuKymnuKa 3a дonoмoгow momowHUX nepemeopeHb 3 ypaxyeaHHHM eidoMUX cnieeidHorneHb dnH eneMeHmie дoeinbнoгo mpuKymHUKa.
HanpuKnag, goGpe BigoMoro e $opMyna S = p • r. Bupa3HMo 3 Hei niBnepHMeip Ta
nigcTaBHMo y piBHicrb rc = p o3HaKH 12 c). Ogep^yeMo HoBy o3HaKy: hk^o S = r • rc, mo △ ABC e npHMoKymHUM.
HanSiibm iaraibHoro Ta npupogHoro MeTogHKoro nomyKy oзнaк npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa e nepeeipKa icmuHHocmi meepdweHb, o6epHeHUX do enacmueocmeu npнмoкymнoгo mpuKymnuKa. KoHKperroyro-hh, BuginHMo HacTynHi Mo^nHBi nigxogu.
nepmHH Mo^nHBHH nigxig 3anponoHo-BaHo I.A.KymHipoM [8]. Horo cyTb Mo«Ha c^opMynroBaTH HacTynHHM hhhom: KowHy «enacmueicmb-pieHicmb» npнмoкymнoгo mpuKymuuKa MowHa nodamu hk pieHicmb oduHU^i eidHorneHHH eidnoeidHux eenunuH. 3a3HaneHy odm^w (Hacnidywnu
LA.KyMHipa) Ha3ueamuMeMo «npoeo-Kywnow». ffani mpe6a po3znmymu demy
momowHicmb dnH eneMeHmie npнмoкymнoгo (a6o дoeinbнoгo) mpuKymHuKa i noMHowumu odHy 3 ii MacmuH Ha «npoeoKywny odmu^w». nicnH цoгo eucyeaembcH гinomeзa ^odo icmuHHocmi odepwauoi «o3Ham». HanpuKnag: gna npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa Mae Mi^e «BnacTHBicrb-piBmcrb» 2mc = c,
1 2mc „
3BigKH 1 - «npoBoKyrona ogHHH^». 3
iHmoro GoKy, gna npaMoKyTHoro TpHKyTHHKa Mae Mi^e piBHicTb a + b + 2R = 2p . C^opMynroeMo rinoTe3y: hk^o
4 pmc
a + b + 2R '■
mo
AC = 90°.
3a3HaHHMo, ^o ogep^aHe TBepg^eHHa e BipHHM nume gna BunagKy HerynoKyTHux TpHKyTHHKiB.
^pyrHH nigxig yMoBHo Mo«Ha Ha3BaTH «HaBKoio T — KoH(l)irypauii HerynoKyr-Horo TpHKyTHHKa». B [2], [6], [7], [8] HaBegeHo HH3Ky «BnacTHBocTeH-piBHocTeH» gna eneMemiB npaMoKyraux rpHKyrHHKib
AHC, CHB i ACB (AACB = 90°). Oirce, po3rnaHeMo HerynoKyTHHH △ ABC Ta Bucory CH . I HexaH gna eneMerniB rpHKyrHHKib AHC, CHB i ACB cnpaBg^yeTbca neBHa (aHanoriHHa) piBHicrb 3 Hucna 3a3HaneHux «BnacTHBocTeH-piBHocreH^>. CyTb nigxogy nonarae y goBegeHi aGo « cnpocryBaHHi rinore3H npo Te, ^o 3a TaKHx yMoB △ ABC e npaMoKyTHHM 3 npaMHM KyroM C.
HanpuKnad, e eidoMow enacmueicmb: y npaMoKyTHoMy piBHoGegpeHoMy △ABC 3 ocHoBH H BHcoTH CH npoBegeHo nepneHgHKynapu HE i HF go KaTeriB AC i BC BignoBigHo; Togi SaABc = 4SAHEF. OGepHeHe TBepg^eHHa (BignoBigHa rinore3a) e BipHHM. Horo c$opMynboBam> BH^e aK o3HaKy 24.
Tperin nigxig yMoBHo Mo«Ha Ha3Baru «HaBKoio oSepHeHo'i yзara1bнeнol TeopeMH ni(aropa». ^oGpe BigoMoro e y3aranbHeHa TeopeMa ni^aropa npo Te, ^o gna BignoBigHux niHiHHux eneMeHTiB d^ d2 i d3 nogiGHux npaMoKyTHux TpuKyTHHKiB
AHC, CHB i ACB (AACB = 90°, CH -Bucora npaMoKyTHoro △ ABC) Mae Mi^e piBHicrb dj2 + d^ = d32 .
(104>
c
Отже, розглянемо нетупокутний △ ABC i нехай CH - його висота, dx, d2 i d^ - идпоидш лiнiйнi елементи трикутник1в AHC, CHB i ACB , для яких мае мюце piBmcib dj2 + d2 = d32 . Як i
ратше, суть тдходу полягае у доведет або спростувант гшотези про те, що за таких умов △ ABC е прямокутним. В [8] для певних елеменпв i3 числа зазначених автор доводить вiдповiднi ознаки.
Висновки. Отже, запропоновано 55 ознак прямокутного трикутника. 1х «класифжащя» за методами та прийомами доведения у наведеному вигляд зумовлена саме пошуком можливост впровадження ознак прямокутного трикутника у шкшьний курс геометри. Ознайомлення з ознаками прямокутного трикутника може змiиюватися шляхом видiления шших ключових задач та 1х хронолопчним порядком, бути ширшим, наприклад, за рахунок достдження iнших елеменпв трикутника. На думку авгсрв, упровад-ження та вивчення ознак прямокутного трикутника повинно супроводжуватися обов'язковим розглядом «псевдо-ознак», яю е необхщною складовою для розвитку навичок побудови коигрприкладiв взагал1.
1. Бевз Г.П. Геометр1я трикутника / Г.П.Бевз. - К.: Генеза, 2005. -120 с.
2. Белый С. Прямоугольный треугольник / С. Белый //Квант. -1976. - № 12. - C. 50-54.
3. Гайдук ЮМ. Краткий обзор исследований по геометрии треугольника / Ю.М.Гайдук А.Н.Хованский //Математика в школе. -1958. - № 5. - C. 22-25.
4. Гусев В.А Выявление свойств и признаков математических объектов как основа любого вида математической деятельности учащихся /
B.А.Гусев, ВМШевненко // Дидактика математики: проблеми i дослгдження: мгжн. зб. наук. робт. - Донецьк : Вид-во ДонНУ. - 2005. -Вип. 24. - С. 11-13.
5. Кугай Н.В. Функцп задач на доведення у шмльному кура математики // Дидактика математики: проблеми i дошдження: мгжнар. зб. наук. робт. - Донецьк : Вид-во ДонНУ. -2010. - Вип. 34. - С. 77-81.
6. Куланин Е.Д., Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах : уч. пос. / Е.Д. Куланин,
C.Н. Федин. - М. : Кн. дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 208 с.
7. КурляндчикЛ Прямоугольный треугольник /Л Курляндчик //Квант. -1989. - № 3. - C. 2831.
8. Куштр I.A. Тртумф шмльног геометрп : навч. посiбник для 7-11 кл. / I.A. Куштр. - К : Наш час, 2005. - 432 с.
9. Лутченко Л.1. Диференцшована система вправ для самостшног роботи учшв при вивченш теми «Теорема Пфагора» / Л.1.Лутченко // Дидактика математики: проблеми i дошдження: мiжн. зб. наук. робт. -Донецьк : Вид-во ДонНУ. - 2006. - Вип. 25. -С. 137-142.
10. Мерзляк А.Г. Геометрiя : тдручник для 9 класв шкл з поглибленим вивченням математики / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Яшр. -X. : Пмназя, 2009. - 272 с.
Резюме. Кадубовский А.А., Ирза В.И. ПРИЗНАКИ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. Приведен ряд признаков прямоугольного треугольника и указания к их доказательству. Предложена классификация относительно методов и приемов их доказательства, а также возможные подходы к получению и поиску новых признаков прямоугольного треугольника.
Ключевые слова: задачи на доказательство, свойства, обратные теоремы, признаки прямоугольного треугольника.
Abstract. Kadubovsky A., Irza V. CRITERIA AND CONVERSE THEOREMS OF RIGHT TRIANGLE. Series of criteria of right triangle and instructions to their proving are proposed. In the article is offered the classification of criteria on the methods for their proofs and possible approaches to receive and search of new criteria of right triangle.
Key words: problems for proving, properties, converse theorems, criteria of right triangle.
Стаття представлена професором O.I. Скафою.
Надшшла доредакцп 15.08.2012р.
