CC BY
9ДИФЕРЕНЦ1ЙОВАНИЙ П1ДХ1Д У ПРОЦЕС1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СТЕРЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
1.О.Кирик, вчитель математики, Кам'янець-ПоЫльський лщей з посиленою вшськово-ф1зичною тдготовкою, м. Кам'янець-Подтьський, УКРА1НА
Робитъся спроба розе 'юання проблемы використання диферещШованого тдходу у процеа ви-вчення стереометрП Наголошуетъся на тому, що диференципря навчання сприяе кращому засвоен-ню матергалу учнями з ргзними здгбностями та ргвнем знанъ, а також велика увага вгдводитъся розе 'язуванню стереометричних задач як основному чиннику розвитку просторовоИуяви учшв г фор-мування ш ачгоритм1чно1 та обчислювалънсп культуры. Стсаптя мктитъ низку прикчадю можливих вправ, спрямованих на вия&чення ргвня розумтня теорем та IX означенъ, а також пропонуе модель здпюнення диферетрйованого тдходу на ргзних етапах уроку.
Особистiсно-орieнтований тдхщ у навчант - складна теоретична i практична проблема, яка потребуе дослщжен-ня й набувае все бшьшого визнання серед фахiвцiв. Процес навчання повинен наповнюватися дiяльнiстю i спрямову-ватись на становлення особистост!
Проблема диференцшованого тдходу не е новою для сучасно! школи. Про-те висунення i розвиток концептуально! ще! планування обов'язкових результа-пв навчання дозволило тдшти до ще! проблеми з нових позицш. Принципова вiдмiннiсть нового тдходу полягае у тому, що перед рiзними категорiями уч-тв ставляться рiзнi цiлi: однi учт по-виннi досягти певного об'ективно обу-мовленого рiвня математично! тдгото-вки, що називаеться базовим, а шш, що виявляють iнтерес до математики i ма-ють гарт математичт здiбностi, повин-нi досягти бшьш високих результатiв.
Саме диференщащя навчання дае можливiсть кожному учневi досягти максимального розвитку вщповщно до ш-дивiдуальних особливостей, штереав i потреб.
Диференцiйоване навчання геометрГ! в сучаснш школi вимагае пошуку ефек-тивних пiдходiв до його здшснення пiд час органiзацГí усiх видiв навчально! ро-
боти. Це потребуе дидактичного аналiзу кожного окремо взятого виду навчаль-но! дiяльностi - розкриття 11 структури, визначення штегровано! дидактично! мети, розробки вiдповiдних засобiв та методики !х застосування.
У кожному класi е рiзнi учнi за сво!-ми нахилами та здiбностями. I кожного треба навчити геометрГ! вiдповiдно до його шдив^альних можливостей. Головне завдання викладання геометрГ! в школi - навчити учтв логiчно мислити, аргументувати сво! твердження, дово-дити. Щоб навчити учнiв мiркувати, аналiзувати, доводити, треба розвивати у них навички логiчного мислення.
У навчант стереометрГ! велику роль ввдграють задачi.
Розв'язування стереометричних задач - це модель вивчення само! стереометр^'. Тому робота з стереометричними задачами повинна вщображати всю диалектику зв'язюв стереометрП' з реальним свГгом: виникнення на практицi - побудова абстрактно! теорп, що вщповщае усiм вимогам математично! формалiзацi! - штерпретацш отриманих результатiв, осмислення !х практичних додаткГв. Необхщно, вщповщ-но крм розв'язування «готових» задач, показати учням процес !х народження, !х складання (починаючи з математизацп
(Тб8>
© Кугук I .
практичних ситуацш, що розглядаються). Далi, не можна вважати будь-яку задачу самостшною частинкою курсу стереомет-рп, розв'язавши яку, ми втрачаемо до не! штерес. Необхщно здшснювати сп1встав-лення задач, що розв' язуються, шукати бшьш загальт способи !х розв'язування, анал1зувати, яке коло практичних ситуацш вони можуть охопити. Виникають, таким чином, задачi другого р1вня, метою яких е вивчення самих стереометричних задач (у !х традицшному розумшт). Так «задач про задачi» значно пщвищують ефектив-н1сть вивчення стереометрп. Немае тяких пiдстав вщмовлятися вщ них у процес1 вивчення стереометрп в старших класах.
Розв'язуючи задачу учт засвоюють найважлив1ш1 геометричт поняття, оволод1вають математичною символь кою, навчаються використовувати дове-дення.
Розв'язування стереометричних задач сприяе розвитку просторово! уяви учтв, формуванню !х алгоритм1чно! та обчислювально! культури.
Одним 1з вид1в стереометричних задач е задач1 на доведення. Щоб ум1ти розв'язувати задач1 на доведення, треба мати добре розвинуи лопчне мислення 1 просторову уяву.
Без виконання достатньо! кшькосп вправ не буде досягнута головна мета -розвиток просторово! уяви учтв. Так у тем1 «Паралельтсть прямих та площин у простор!» пор1вняно багато теорем 1 !х доведень.
Частина вправ мае форму запитань 1 ставить соб1 за мету виявити, чи правильно учт розумшть змют означення, розглянуи аксюми та теореми. Наведе-мо приклади.
Приклад 1. Нехай пряма I паралельна до площини. Чи юнують на площит прям1, паралельт до I ? Якщо так, то скшьки таких прямих? Чи юнують на площит прям1, не паралельт до I ? Якщо так, то скшьки таких прямих?
Приклад 2. Дв1 прямих паралельт до площини. Чи паралельт вони м1ж собою? Чи знайдеться на площит пряма,
що паралельна обом даним прямим?
Приклад 3. Пряма паралельна двом даним площинам. Що можна стверджу-вати про взаемне розмщення цих пло-щин?
Приклад 4. Площини 5 1 а паралельт до даних прямих 11 1 12 ? Чи паралельт щ площини м1ж собою?
Приклад 5. Пряма паралельна двом площинам, що перетинаються. Чи паралельна вона до лшп !х перетину?
Таю вправи защкавлюють учтв, ви-магають для одержання правильно! вщ-повщ1 виконання схематичних малюнюв.
Щоб учн1 навчилися розв'язувати зада-ч1, треба починати з неважких, далi розгля-дати задачi середньо! складностi 1 т.д.
Шд час розв'язування стереометри-чних задач на доведення корисно звер-тати увагу учтв на аналопчт платме-тричт задачу особливо якщо 1 методи !х розв'язування аналопчт.
Навчаючи д1тей доводити стереоме-тричт твердження, слщ пам'ятати, що:
- доведення повинно бути рацю-нальним;
- малюнок повинен передавати суть задачу
- м1ркування повинт бути ч1тки-ми, доведення - чистим.
У процес розв'язування задач на доведення в учтв часто виникае низка труднощ1в. Вони пов'язат у першу чер-гу з нестшкими знаннями учтв теоретичного матер1алу. Або учт добре за-пам'ятали формулювання означень 1 теорем, але не знають, що з ними робити, де 1 коли !х треба застосовувати.
Щоб допомогти школярам вчити стереометрш, учителю необхщно весь час вказувати на т1 зв'язки, як юнують м1ж стереометричними твердженнями, показувати, що розумшня цих зв'язюв значно полегшуе запам'ятовування ма-тер1алу уроку.
Учт повинт знати, що для вивчення геометрп не потр1бно заучувати на-пам'ять вс1 факти, а краще знаходити зв'язок м1ж ними 1 з одних факив одер-жувати шш1 за допомогою висновюв.
Учням необхщно роз'яснити, що доведення будь-якого факту необхщне для того, щоб переконатись самим i переко-нати шших у тому, що певна власти-вють ф^ури е загальною i необхщною, обов'язковою в усiх випадках, коли ви-конуються певнi умови.
Розв'язанню задач на доведення на уроках стереометрп видщяеться досить мало часу. А саме Ц задач1 найбшьше ро-звивають лопчне мислення учтв. Вони примушують 1х систематизувати ва сво'1 знания для досягнення поставлено'1 мети.
Пiд час розв'язування задач на доведення необхщно привчати дией робити анашз. За допомогою аналiзу ми знахо-димо ланцюг мiркувань, що приводить до необхщного висновку.
Диференцiйований пiдхiд доцiльно здшснювати на певних етапах уроку. Так, на етат введення нового поняття, власти-востi, алгоритму учителю потрiбно пра-цювати з усiм класом, без подшу його на групи. Але пiсля того, як кшька вправ ви-конано на дошщ, учнi можуть розпочати диференцшовану самостшну роботу. Г! особливiсть полягае у тому, що група базового рiвня i група пщвищеного рiвня отримують завдання, що вiдрiзняються не тшьки змiстом, але й формою 1х подач1.
Урок розпочинаеться з ознайомлен-ня з планом вивчення теми пояснення вимог до ощнки знань з урахуванням рiвневого засвоення матерiалу на залiку i контрольнш роботi.
З метою активiзацiï тзнавально'1 ддя-льностi видоляемо групу учтв, як з пер-шо'1 хвилини уроку самостiйно вивчають теорiю за пщручником. З усiм класом ор-ганiзовуеться евристична бесiда про паралельтсть прямих, пряму i площину у простор^ потiм розглядаеться проблемна задача з виходом на необхщшсть обгрун-тування паралельностi площин. yd тео-реми доводяться з активним залученням учтв, що самостiйно вивчили матерiал з пiдручиика. Учень на дошщ робить ма-люнок, усно доводить теорему, а учитель повторюе i записуе ïï доведення.
Метою другого уроку е навчання
розв'язуванню опорних задач. Форма оргатзацп уроку групова. Попередньо проводиться тестування, яке видщяе мiжособистiснi стосунки у клас! Учням пропонуються наступнi запитання:
- З ким iз товаришiв ти хопв би разом працювати?
- З ким iз товаришiв ти хопв би разом вiдпочивати, розважатися?
- Кому би ти довiрив свою таемницю?
З кожного питання потрiбно написа-
ти 3 прiзвища: кого обираеш у першу чергу, у другу i в третю.
У результата складаються 4 рiзнорiв-невi групи. У кожнiй групi обираеться по 2 лiдери. Один називаеться теоретиком, а шший - практиком.
Мета диференцшовано'1 роботи на цьому урощ - навчити кожного учня розв'язувати опорт задачi (тобто задачi першого рiвня). Причому, оскшьки си-льний учень справляеться з цим завдан-ням швидше, вiн повинен забезпечити засвоення матерiалу слабкими учнями.
На перервi учитель роз'яснюе командирам груп ïx обов'язки на це заняття. Урок розпочинаеться з пщготовки коман-дирiв-теоретикiв до доведення теорем. У цей час групам даеться завдання проду-мати розв'язування трьох задач (лопчно'1, конструктивно! та обчислювально'1). Час на розв'язування - 20 хвилин. Команди-ри-практики повинт забезпечити проду-ктивну роботу у групах. Пiсля закiнчения видiленого часу кожнш групi визначаеть-ся одна iз задач для захисту перед класом. Визначаеться i учень, який буде виступа-ти вщ дано'1 групи. Четверта група - екс-перти. ïx завдання - ощнити дiяльнiсть тих, хто виступае.
У командирiв-практикiв е лист обль ку роботи кожного члена групи. Цей лист здаеться у кшщ уроку учителю. Це допомагае побачити реальну картину засвоення матерiалу кожним учнем.
Командири-теоретики ощнюються учителем, а експерти ощнюють вщповь дi сво'1'х товаришiв за наступною системою:
Прiзвища Формулювання теореми (умови задач^ Малюнок, запис умови Повнота вщповвд Стропсть вщповвд Оцiнка
1. + + + + 12
2. ± + + ± 10
На цьому етат навчання етап розв'язування задач.
розв'язуванню опорних задач ми вщда-емо перевагу оргатзацп групово! само-стшно! роботи, мотивуючи це тим, що зразки елеменпв розв'язку задач мо-жуть бути знайдет учнями у тдручни-ку, 1 на попередньо тдготовлених ма-люнках на дошщ. У результата до кшця уроку на дошщ з'являються зразки розв'язку ус1х задач.
Третш урок - розв'язування задач бщьш високого р1вня. Оргатзащя на-вчально! роботи групова.
Групи тепер однор1внев1. Як же здш-снюеться !х формування? На перших етапах учитель видщяе групи за наступ-ним принципом:
1. Видщяе сильних учтв, утворю-ючи групу III р1вня.
2. Видщяе слабких учтв, утворю-ючи групу I р1вня.
3. Гнш1 учт складають групу II р1вня.
Для групи III р1вня забезпечуеться
просування дат у результат самостш-ного розв'язування бщьш складних задач. 1м пропонуеться дв1 задач1 другого р1вня 1 одна творча. Учт ще! групи си-дять за круглим столом, 1 для них ство-рюються умови для колективно! роботи. Для контакту з щею групою учитель ви-трачае на урощ м1тмум свого часу, тому пропонуеться методика готового розв'язку, тобто за 10 хвилин до кшця уроку показати заздалепдь заготовлен на аркушах розв' язки складних задач, як протягом часу, що залишився, мо-жуть роз1брати щ учн1.
Мета роботи 1з учнями початкового та середнього р1вн1в - закр1плення навичок розв'язування опорних задач. 1м пропонуеться дв1 задач1 - першого та другого р1втв. Iде робота бшя дошки 1 у зошитах. Учитель працюе з цими учнями повшьно, анашзуючи умови, виконуючи малюнок, розраховуючи 1 аргументуючи кожен
З групою II рiвня органiзуеться напь всамостiйна робота. Цiй групi пропонуеться три задачи одна першого i двi другого рiвня, тобто ri ж задач^ що й для групи I рiвня, але у бiльшому обсязi, за виконання яких учень може одержати ощнку. Учням цiеï групи надаеться право вибору:
а) якщо матерiал не викликае труд-ношдв, то вiн виконуе роботу самостш-но, коректуючи свое розв' язання з тим, що на дошцi;
б) якщо е сумтви у сво'1х силах, то вш може приеднатися до роботи групи I рiвня.
У подальшому можна здiйснювати формування бщьш мобщьних груп, за-безпечуючи добровщьне перемiщення учнiв з однiеï групи до шшо'1 з ураху-ванням досягнення певних результайв навчання.
Завдання на самотдготовку також намагаемося диференцiювати. Напри-клад, пiсля другого уроку пропонуеться виконати задачi iз роздiлу стенда мшь мального обов'язкового рiвня. I налаш-товуемо учнiв на задачi другого i тре-тього рiвнiв.
На третьому уроцi пропонуемо двi задачi iз роздiлу другого рiвня i налаш-товуемо учнiв на творчi задачi.
Цим ми визначаемо обов' язковий об-сяг i рiвень завдань i спрямовуемо увагу учтв на вибiр бiльш складних задач.
Четвертий урок - урок-зал1к. Головною метою цього уроку вважаемо продовження формування навичок розв' язування задач. Друга мета - контроль засвоення матерiалу першого i другого рiвнiв.
Зашк складаеться з двох частин - те-оретично'1 i практично'].'. Теоретична час-тина включае у себе доведення теореми. Щоб вислухати кожного учня, на допо-могу приходять консультанти. Це ко-
©
мандири-теоретики, як доводили тео-реми на другому урощ i допомагали учителю на першому.
Оцшка за залiк формуеться за бальною системою: доведения теореми - 4 бали i розв'язування кожно! задачi - по 4 бали.
Пiдбiр завдань до рiвнево'í контрольно! роботи здшснюеться наступним чином: два завдання включають у себе за-дачi початкового i середнього рiвнiв, одна задача достатнього рiвня i одна задача високого рiвня.
Учнi позитивно оцiнюють рiвневу контрольну роботу тако! будови, оскь льки немае великого об'ему завдань. Така контрольна робота, крГм контро-люючо! функцГ!, мае велике виховне значення г, звичайно, сприяе подальшо-му розвитку учня. Виникае елемент ствробГтництва.
Ми спрямовуемо зусилля Г на те, щоб залГк Г контрольна робота мали Г навчальт функцГ!. З цГею метою тсля закГнчення уроку на дошцГ вивГшуються зразки розв'язку всГх задач.
АналГз результатГв, отриманих пГсля вивчення дано! теми, дозволяе зробити висновок про виправдатсть обрано! нами методики.
Зупинимося на однш Гз таких форм: диференцГйованГй допомозГ учителя безпосередньо у ходГ пошуку розв'язку стереометричних задач.
Думка окремих учителГв, що учт першо! групи повинш розв'язувати тГльки прост задачГ, е неправильною. У психоло-пчних дослщженнях показано, що звичш способи розв'язуваиия у слабких учшв нав'язливо вщгворюються, заважають вести пошук у рГзних напрямках, у кшцево-му результатГ гальмують розвиток. Тому Г з учнями ще! групи, як Г пГд час роботи з учнями друго! та третьо! груп, варто поряд Гз простими задачами розв'язувати склад-нГ. Учнями усГх трьох груп може бути розв'язана одна Г та ж складна задача, але ступшь допомоги учителя кожнГй з груп буде рГзною.
Цей ступшь визначаеться специфГкою кожного з п'яти етапГв розв'язування задач:
- тдготовки до розв'язування;
- пошуку плану розв'язування;
- складання плану розв'язування;
- здшснення розв'язування;
- обговорення знайденого розв'язку (узагальнення знайденого способу роз-в'язування, формулювання евристичних прийомГв, використаних тд час розв'язування Г т.д.).
Учням третьо! групи можливе на-дання допомоги тшьки на другому Г п'ятому етапах. Для учшв друго! групи може бути оргатзована допомога на першому, другому Г п'ятому етапах. Уч-т першо! групи потребують допомоги на усГх етапах розв'язування задачГ, тГльки поступово допомога Г контроль учителя послаблюеться на четвертому, потГм на третьому етапГ розв'язування (учт переходять у другу групу).
На деяких етапах повинна бути ор-гатзована допомога учням рГзних груп, наприклад на першому етат - учням першо! та друго! груп. З учнями першо! групи можна згадати необхщний теоре-тичний матерГал, порозв'язувати пГдза-дачГ, до яких зводиться вихщна задача, як самостшт (частина !х може бути розв'язана усно), розв'язати аналопчну, бГльш просту задачу з метою знайдення методу розв'язування.
Учт друго! групи можуть поперед-ньо розв'язувати тдзадачу у процесГ пГдготовки до розв'язання основно! задачГ. ПотГм учитель допоможе !м звести вихГдну задачу до вже розв'язано! продумано! системи питань.
РГзнорГвневГ задачГ, складеш з ураху-ванням можливостей учнГв, створюють у класГ сприятливий психолопчний клГмат. В учнГв виникало почуття задоволення пГсля кожного правильного розв'язаного завдання. Устх, вГдчутий у результатГ подолання трудношГв, дае могутнш Гм-пульс для пГдвищення тзнавально! дГяль-ностГ. В учнГв, у тому числГ Г слабких, з'являеться впевнешсть у сво!х силах, вони уже не вщчувають страху перед нови-ми задачами, ризикують пробувати сво! сили в незнайомш ситуацГ!, беруться за розв'язування задач бГльш високого рГв-ня. Усе це сприяе активГзацГ! розумово! дкльносл учнГв, створенню позитивно!
мотивацГ! до навчання.
0.В.Погорелов писав, що головне завдання викладання геометрГ! у школГ - навчити учня лопчно мГркувати, ар-гументувати сво! твердження, доводити. Дуже небагато з тих, хто закшчить школу, стане математиками, а тим бь льше геометрами. Будуть Г таю, як у сво!й практичнГй дГяльностГ жодного разу не скористаеться теоремою Шфа-гора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, кому б не довелося мГркувати, аналГзувати, доводити.
1. Александров АД., Вернер АЛ., Рыжик В.И., Евстафьева Л.П. Геометрия 10-11. Книга для учителя. - М: Просвещение, 2005.
2. Бевз ГЛ. Методика викладання математики Арифметика, алгебра, початки аналгзу г геометргя. - К: Вшца школа, 1972.
3. Бевз ГЛ. Методика викладання математики -К: Вшца школа, 1977.
4. Бевз ГЛ. Методика розе вант стереометричних задач. Посюник для вчитет. - К: Радянська школа, 1988.
5. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики Книга для учителя. - М: Просвещение, 1990.
6. Гусев В А. Индивидуачиза1{ия учебной деятельности учащихся как основа дифферет^иро-ванного обучения математике в средней школе // Математика в школе. -1990. - №4.
7. Карнаг{евич Л.С. Уроки геометри в 10 классе. - К : Радянська школа, 1980.
8. Лоповок Л.М Параллельность в пространстве. // Преподавание геометрии в 9 - 10 классах. Сборник статей. / Сост. Скопег{ ЗА., Хабиб РА. - М: Просвещение, 1980.
9. Миндюк МБ. Составчение и использование разноуровневых заданий для дифферет^ирован-
// -
ле. -1991. - №3.
10. Монахова НИ. Из опыта обучения гео-
. - .: ,
1981.
11. Пермякова СЛ., Каштанкина ОМ. Уровневый подход при изучении параллельности пчоскостей // Математика в школе. - 1992. -
2-3.
12. Потоскуев ЕМ., Звавич ЛИ. Геометрия 11 . . - .: , 2005.
13. Раухман А.С., Сень Я.Г. Уснг вправи з геометри для 7-11 класю. Посгбник для вчитет. -К : Радянська школа, 1989.
14. Сиротинко ГО. Сучасний урок:
. - .: ,
2003.
15. Соколова А.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. Из опыта преподавания математики в средней школе. Пособие для учитече11. - М: Просвещение, 1979.
16. Тимощук МЕ. О дифферен1{ированной
// -
матика в школе. -1993. - №2.
17. Капиносов АН. Уровневая дифферен-
// -
ка в школе. -1990. - №5.
18. Хабиб РА. Проблема взаимосвязи обучения таниметрии и стереометрии в восьмшет-
. //
9 - 10 классах. Сборник статей / Сост. Скопег{ ЗА., Хабиб РА. - М: Просвещение, 1980.
19. Юркина СЛ. О дифферет^ированном
// . -
1990. - №3.
Резюме. Кирик I.O. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ
.
дифферен1{ированного подхода в npoifecce изучения стереометрии Отмечается, что дифферет{иа1{ия
обучения способствует лучшему усвоению материала учениками с различными способностями и уров-
,
фактору развития пространственного воображения учеников и формирования их алгоритмической и вычислительной культуры. Статья содержит ряд возможных упражнений, направленных на выявче-ние уровня понимания теорем и их определений, а также предлагает модель осуществления дифференцированного подхода на различных этапах урока
Summary. Kyryk I. THE DIFFERENTIATED APPROACH IN THE PROCESS OF SOLVING STEREOMETRICAL TASKS. The attempt of decision the problem of usage the differentiated approach in the process ofstudying stereometry is done in the article. It is underlined that differentiation of studies is instrumental in the best mastering of material pupils with different capabilities and level of knowledges. Large attention is taken solving of stereometry tasks as basic factor of development of pupils' spatial imagination and forming of them algorithmic and calculable culture. The article contains the row ofpossible exercises, directed on the exposure of theorem's understanding level and their determinations, and also the model of realization the differentiated approach offers on the different stages of lesson.
©
