CC BY
50
Том XXXVII
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
20 06
№ 3
УДК 629.735.45.015.3.035.62
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ВИНТА
В. В. ВОЖДАЕВ, В. С. ВОЖДАЕВ, Е. С. ВОЖДАЕВ
Рассмотрена задача применения аналитических решений для построения поля скоростей, индуцированных винтом в окружающем пространстве в рамках дисковой теории. Изучены характеристики специальных функций нового типа — ядер интегралов, используемых при расчете гармоник индуктивных скоростей, представленных в функции угла атаки винта, а также углов, определяющих вертикальные координаты расчетных точек и радиусы продольных вихрей. Определены границы массива этих параметров, разделяющих пространство на области однозначных и двузначных решений. Установлена взаимосвязь исследуемых ядер с известными функциями Бесселя, Лежандра и Якоби.
Настоящая работа посвящена анализу аналитических методов расчета гармоник скоростей, индуцированных несущим винтом в окружающем пространстве, развитых в работах [1, 2] в рамках дисковой теории. При изменении азимутального угла у в пределах одного оборота расчетные точки A (r, у, y), в которых вычисляются индуктивные скорости v, располагаются на окружностях радиуса r в плоскостях y = const, как показано на рис. 1 для трехлопастного винта.
Рис. 1
В работе [2] установлено, что в тех случаях, когда окружность расчетных точек не пересекает вихревой след за винтом аналитические решения для ядер интегралов Sn, определяющих коэффициенты гармоник vcn и vsn, значительно упрощаются по сравнению с теми вариантами решений, при которых эти окружности пересекают след в точках B (см. рис. 1). Отмеченные выше примеры отнесены в настоящей работе к однозначным и двузначным решениям, соответствующим вариантам № 1—4 и варианту № 5, приведенным на рис. 1. В
случае однозначных решений знак в знаменателе весовой функции K<± = cos aj 1 ± |sin а| остается
неизменным при интегрировании по азимутальному углу лопасти 9 независимо от угла атаки винта а, радиуса продольного вихря р и координат расчетных точек r и y. Однозначные решения могут быть записаны в свернутой форме с вынесенной за знак интеграла функцией угла атаки Ka. В случае двузначных решений область интегрирования по углу 9 разделяется на два
участка с функциями Ka разных знаков — K+ и K— (см. раздел 2).
Определены границы массивов параметров а, р = р/r и y = y/г, разделяющих пространство вокруг винта на области однозначных и двузначных решений. Однако с использованием впервые примененных в настоящей работе преобразований у = tg Р и р = tg у эти границы (так же, как и ядра Sn) могут быть представлены в функции трех переменных а, в и у, причем -п/ 2 <а< 0, -п/ 2 <в<п/2 (-<х>< у <<х>), 0 <у<п/2 (0 <р <<х>). Значения а = в и у = / 4, полученные с помощью новых переменных, являются границами областей однозначных решений (см. раздел 3).
В соответствии с допущениями дисковой теории функции Sn (а, в, у) определяются в
результате троекратного интегрирования по азимутальным углам лопасти 9 и расчетной точки у, а также по азимутальному углу элемента вихря S вдоль полубесконечного вихря (рис. 2). В работах [1] и [2] одной из поставленных задач было преобразование ядер Sn в плоскости вращения несущего винта к известным специальным функциям — полиномам Лежандра и Якоби, удовлетворяющим соответствующим уравнениям гипергеометрического типа [4, 5]. Полученные в результате такого преобразования интегральные представления для полиномов
Якоби pj¡a' в) (при замене в них целого n на полуцелое значение этого индекса n -1/2) оказались производящими функциями гипергеометрических полиномов Якоби нового типа, отсутствующих в справочной математической литературе [4—6]. Таким образом, исследование ядер Sn в плоскости вращения винта привело к появлению в ряду классических ортогональных полиномов [5] ранее неизвестных функций Якоби с полуцелыми (положительными и отрицательными) индексами. Частным случаем полиномов Якоби являются полиномы Лежандра Pn (z), определяющие группу
наиболее простых решений [1]. Ядра интегралов гармоник скоростей, индуцированных несущей линией, как в плоскости вращения винта, так и вне ее, определяются присоединенными функциями
Лежандра P^ (z) [2, 3, 6].
Базовыми функциями при вычислении интегралов Sn в общем случае также являются специальные функции — полные и неполные эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода, используемые для реализации однозначных и двузначных решений, соответственно [2, 4].
Как показано в работе [3], для воздушного рис 2
винта в осевом потоке ядра интегралов, соответствующих косинусным и синусным коэффициентам гармоник v, кратных числу лопастей k, определяются Бесселевыми функциями
— модифицированной функцией Бесселя первого порядка K1 (u) и G — функцией Майера:
M ( u ) = П [ L-1 ( u )-/1 (u )].
Здесь L-1 (u) — функция Струве, /1 (u) — модифицированная функция Бесселя [4]. Вычисление этих функций заменяет двукратное интегрирование по азимутальным углам лопасти 9 и элемента вихря S (0 < S < да).
Приведенные выше данные указывают на взаимосвязь ядер интегралов, используемых при расчете коэффициентов гармоник vcn и vsn, и специальных функций, удовлетворяющих однородным дифференциальным уравнениям 2-го порядка гипергеометрического типа — Лежандра, Якоби и Бесселя.
В настоящей работе ядра Sn (а, в, у) впервые рассматриваются в качестве специальных функций (см. раздел 2). В разделах 4, 6 и 7 приведены общие характеристики ядер Sn, а также полученные для них в однозначных областях дифференциальные уравнения (в общем случае не гипергеометрического типа). Выполнены массовые расчеты поверхностей этих ядер, заданных различными комбинациями переменных а, в, у и номеров гармоник n и v индуктивных скоростей v и циркуляций Г в однозначных и двузначных областях. На примере расчета средней по окружности радиуса r индуктивной скорости vr в разделе 5 приведена методика построения аналитических решений для анализа коэффициентов гармоник, учитывающая рассмотренные в работе особенности специальных функций Sn (а, в, у).
1. Гармоники v. На рис. 2 показан дискретный вариант вихревой пелены за лопастью винта, образованной винтовой поверхностью с расположенными на ней системами свободных продольных и поперечных вихрей, заданными известными соотношениями [1]:
x = -VScos а-pcos (9-S), y = VSsin а, z =psin (9-S). (11)
Здесь V — скорость потока, 9 и S — азимутальные углы лопасти и элемента вихря dl, линейные размеры отнесены к радиусу винта R, скорости — к окружной скорости конца лопасти юЛ.
Радиусы продольных вихрей р и азимутальные углы 9 - S образуют систему вихревых ячеек с циркуляциями Г(р, 9 - S). В точке A с координатами xA = -r cos у, yA = y, = r sin y, расположенной на окружности радиуса r в плоскости y = const, определяется вертикальная компонента скорости v, индуцированная вихревой системой k-лопастного винта (см. рис. 1).
В работе [2] в рамках дисковой теории при условиях (1.1) получены точные решения для определения гармоник поля индуктивных скоростей v, обусловленных влиянием заданных
гармоник циркуляций Г(р, 9-S):
да
v =vr vcn cosny + vsn sinny. (1.2)
n=1
Отметим, что вследствие использования осреднения по азимутальному углу лопасти 9 при вычислении интегралов от периодических функций в процессе анализа гармоник v в рамках дисковой теории параметр S в определении циркуляции можно исключить [1]. Таким образом:
Г(р, е) = Гг (р) + £rcv (р)cosv9 + r,v (р)sinV0. (1.3)
v=1
При этом под расчетом собственных и перекрестных влияний гармоник подразумевается определение коэффициентов у^Щ = Уап (Гау) при а = с или 5 (вариант а = Ь), а также
= Уап (гЬу) при а = с или 5, когда Ь = 5 или с (вариант а Ф Ь). Обозначения с и 5
соответствуют косинусным и синусным гармоникам скорости и циркуляции [2].
Собственные влияния гармоник. Система продольных вихрей (а = Ь):
1
с=sign а (- i)v i [ кг (1} - ^1})
2nV P0 4L • ' (1.4)
-sign а sign
ign ( n-v) KTvI( ^-(v+1,1)-^-(v-1,1))"
d р.
Перекрестные влияния гармоник. Система продольных вихрей (a ^Ъ):
—bv / -.w к 1 ^ГЪ„ 1
van
V- =-(-1)vidrv2[КГ+signbsign(n-v)KtvSn"(v,1)
ро
(1.5)
Собственные влияния гармоник. Система поперечных вихрей (a = Ъ):
С =- sign a (-l)v -V J rav 2 [ КТ( S<v+U> + sn^"1'1))-
P0 (1.6)
sign а sign
( n-v) Krvl( Sn-(v+U)+Sn-(v-U))"
Перекрестные влияния гармоник в системе поперечных вихрей отсутствуют. Функции sign a и sign Ъ в формулах (1.4) — (1.6) равны 1 для косинусных и -1 для синусных гармоник.
Функция sign(n -v) принимается равной 1 при n >v и -1 при n <v. Однако при n = v
величину sign (n -v) следует приравнять 1 для собственных и 0 для перекрестных влияний
гармоник. Отметим, что в формулах (1.4) — (1.6) отсутствует множитель (-l)n, так как он включен в определение ядер Sn (р, у), представленных в следующем разделе (см. (2.11)).
Перекрестные влияния следует дополнить составляющей скорости, индуцированной несущей линией [2, 3]:
vbn = signЪ-n J гъп (р)snn,1) dp. (1.7)
4nr J р
Р0
Суммируя соответствующие коэффициенты гармоник, данные формулами (1.4) — (1.7), придем к формированию ряда (1.2) и расчету поля индуктивных скоростей в пространстве вокруг винта в рамках дисковой теории.
2. Специальные функции Sn (a, Р, у). Как показано в работе [2] ядра Sn , полученные
в результате интегрирования по азимутальным углам S и у, могут быть определены интегралами вида
Sn (a, р, у) = S±(v l) (a, p, y). (2.1)
Интеграл в правой части (2.1) записан в форме полиномов Якоби Pn(a'р) [2, 5]:
^г} (а, в, y) = ^f cos[Иф± у(ф - 9)] f. (2.2)
П 0 Ly
Знаки «+» и «-» описывают сопряженные ядра [2]. Волной сверху отмечены линейные параметры, отнесенные к радиусу r:
sin ф = psin 9/L , cos ф = (pcos 9-1)/L, (2.3)
L2 = 1 + p2 -2pcos9, ¿2 = y2 + L2. (2.4)
и Ka
где
Весовая функция Kц может быть представлена в виде произведения весовых функций K5
Кц= K5 Ka, (2.5)
cos ц , ч cos 5 , s cos а
-Г, K5 (m) = --—, Ka (m) = "-:-, (2.6)
1 + sin ц 1 + m sin 5 1 - m sin a
sin5 = y/Ly, cos5 = L/Ly, (2.7)
cos 5 cos a sin 5-sin a ..
cos ц = --г—--, sin ц = --г—--. (2.8)
1 - sin 5 sin а 1 - sin 5 sin а
Параметр m = sign ц в этих формулах равен 1 при ц>0 (5>а) или -1 при ц<0 (5<а). Очевидно, если переменная ц не меняет знак при интегрировании по радиусу р и азимутальному углу лопасти 9, то весовые функции K(1 и K5 оказываются фиксированными (однозначными) и
равными K¿+ или K а, а также K¡+ или K -. Как следует из (2.6)
K± = ——а—-, 4=-^. (2.9)
1 ± sin а 1 ± sin 5
Теперь функция угла атаки а выходит за знак интеграла, обеспечивая представление решения в виде произведения ее и функции заданных координат r и y. В этой связи в однозначных областях интегралы (2.1) преобразуются следующим образом:
S, (а, в, Y) = ^1) (а, в, у) = Kn±V (m)S^1) (в, y), (2.10)
где
(-1)"
^Z) (в, Y) = J 4"±V| ( m ) cos |>Ф± v (Ф- 9)]^. (2.11)
П 0 Ly
К областям однозначных решений относится и плоский случай y = 0. В этом варианте
K5 = 1, и интеграл (2.12) принимает вид функции, производящей полиномы Якоби [2, 5]:
(-1)"
S±(v,1)(y) = -^ f cos [иф±у(ф-9)] . (2.12)
п о L
В однозначных областях общие решения (1.4) — (1.6) можно записать в приведенной ниже свернутой форме (с выделенной в качестве единого множителя функцией угла атаки). Собственные влияния гармоник. Система продольных вихрей (а = Ь):
С = sign a (-1)v -¡VKn (a) J ^ ( - <Í"U)) P dp. (2.13)
P0
Перекрестные влияния гармоник. Система продольных вихрей (a ФЪ):
Vbv
an
^'(-S?)^-)] ^ГН"1^ (2.14)
P0
Собственные влияния гармоник. Система поперечных вихрей (a = Ъ):
1
Kav(a)Jf (S(v+1'1).
P0
Van = - sign a (-1)v -JV= Kan (a) J (1) + ¡t1dp. (2.15)
В этих формулах общим множителем для всех рассмотренных вариантов решений является функция угла атаки следующего вида [2]:
K-+v (m) + sign Ъ (-1)v K--V(m), n >v, (2 ^
K-+v(m) + sign a (-1)nK--n (m), v>n. .
При a ФЪ и n = v в формулах (2.16) K^ (a) = Kan (m)/2. Как было отмечено выше, к более сложным (двузначным) решениям относятся варианты, при которых область интегрирования (0, п) разделяется на два участка с двумя различными функциями K- и K-,
которые необходимо включить в подынтегральные функции соответствующих ядер. Гармонический анализ в общем случае сводится к изучению решений с ядрами, описываемыми семействами трехпараметрических функций с тремя независимыми переменными — a, в и у. В качестве параметров в этих функциях используются номера гармоник n и v, а также показатель степени l = 1,2.... Как показано в [2], анализ ядер (2.12) значительно упрощается при l = 1. В этом случае сопряженные ядра могут отличаться друг от друга только знаком:
(v 1) ч í(-1)v S-^1 (в, у), n >v,
¡í'0 (в, yH n - * (2.17)
l(-1)nSn-(v,1)(e, Y), v>n.
Соотношения (2.17) выполняются в однозначных областях и при замене в них ядер S±(v,1) (в, y) на соответствующие функции F±v'1) (в, y) = |n ± v| Sñ±(v, 2) + myS^^ 3).
3. Разделение пространства вокруг винта на области однозначных и двузначных решений. На рис. 1 приведены различные варианты расположения расчетных окружностей г = const, пересекающих вихревой след за трехлопастным винтом, когда параметр m = sign ц в формулах (2.6) меняет знак (двузначные решения № 5), и не пересекающих его, если параметр m = sign ц не меняет знак (однозначные решения № 1— 4). Представленные данные для однозначных решений используются в основном при расчете коэффициентов гармоник, когда Р0 < р < R (см. раздел 5). Однако в случае вычисления одних только ядер при заданном значении
радиуса продольного вихря р аналогичное разделение пространства реализуется так же, как показано на рис. 1, но для следа за винтом этого радиуса.
Линия перемены знака разности углов ц определяется из условия sin 5 = sin a:
y = Ly sin a, (3.1)
y2ctg2 a = h2 = L2 = 1 + p2 - 2p cos 0. (3.2)
Если параметр т меняет знак при 9 = 9*, то, как следует из (3.2): В формуле (3.3)
008 9* = (1 + р2— к 2 У2р.
(3.3)
1 + р2 — к2 < 2р.
Следовательно, для двузначных решений (у < 0)
рр < р < р при рр =
1 ±1
у + < у < у при у-= геа|1 ±р|.
(3.4)
(3.5)
Можно показать, что при 9<9* и 9*<9<п параметр т в формулах (2.6) равен —1 и 1 соответственно, причем, если на первом участке Ка = К,—, то на втором — Ка = К+. Однозначные решения, очевидно, имеют место вне пределов, заданных формулами (3.4) и (3.5), устанавливающими границы двузначной области:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Переход к переменным Р и у приводит к следующему варианту этих соотношений:
Р+<Р<Р— при р-= аЮ§ ^ а |1 - у|), (3.9)
Р<Р+, |р>Ц, у < тс/ 2, т = —1, (3.10)
Р>Р—, р|<а, у < тс/4, т = 1, (3.11)
Р>Р—, я/2 >у>л/4, т = 1. (3.12)
р <р—, р -=к — 1, т = —1, Ка = Ка , га - К+,
р <р— <1, р— =1 — к 1, т = 1, Ка = ^, К5 = К-
р >р +>1, р+ =1 + к , т = 1, Ка = Ка , К5 = к- .
Пример расчета по формулам (3.9) — (3.12) границ областей, разделяющих пространство вокруг винта на зоны однозначных и двузначных решений, приведен на рис. 3, а при а = -45°. На рис. 3, б показана область двузначных решений (3.9).
Соотношения (3.6) и (3.10) при расчете ядер соответствуют варианту № 2, для которого окружность расчетных точек r = const расположена под следом, формулы (3.7) и (3.11) — варианту № 3 с расчетной окружностью, охватывающей след, а соотношения (3.8) и (3.12) — варианту № 4, когда окружность радиуса r расположена внутри этого следа (см. рис. 1). Четыре однозначных варианта можно разделить на две группы. В первую группу входят варианты № 1 и
№ 2 при Y = my > 0, а во вторую — № 3 и № 4, для которых Y = my < 0. Рассмотрим далее основные свойства ядер Sn (а, в, у) в однозначных областях.
4. Общие характеристики функций Sn (а, Р, у) в однозначных областях. Как следует из формулы (2.10), для двух произвольных значений угла атаки aj и а2, принадлежащих вместе с переменными Р и у к одной однозначной области, заданной параметрами m и Y = my, справедливы следующие отношения:
Sn (аь в y)
Sn (а2, P, Y)
Kg, ( m ) v Ка2 ( m )
\n±v
(4.1)
Здесь К и К — весовые функции (2.6) при угле атаки, равном а1 и а2. Как следует из
анализа примеров, приведенных ниже, дифференцирование и интегрирование ядер в однозначных областях приводит к решениям в тех же специальных функциях, что и сами ядра
(' = Р2):
d_ dz
2PS01,(а, Р, y) = Ка (m) YS00,3) (а, Р, y)
(0,3),
(4.2)
Si(0,1) (а, Р, y)1 = Ка (m)YS-(1,3) (а, р, y),
(4.3)
Рис. 3. Границ^1 областей р± (а, у), разделяющие пространство вокруг винта на зоны однозначных (варианты № 1—4) и двузначных (вариант № 5) решений: а — область решений для вариантов № 1—5 при а = -45°; б — область решений для варианта № 5
при Р+ < Р < Р-
d
zS2'^ (a, p, y) = -K3a (m) YzS"(1, J> (a, p, y).
Интегрируя (4.2) и (4.4), получим
z
Ka (m)YJS00,3) (a, p, y)dz = 2PS01,^ (a, p, y),
(4.4)
(4.5)
Ka ( m
(m) YJzS"(1,3) (a, p, y)dp = -zsl2 ^ (a, p, y),
(4.6)
где согласно работе [2]
s(0,3) = 2 E ( к ) . п (a-b)Va + b
Здесь E (к) — полный эллиптический интеграл 2-го рода,
a = 1 + p2 + y2, b = 2p, к2 = 2b I (a + b ).
(4.7)
(4.8)
В однозначных областях любое ядро S^v'1-) (a, р, y) может быть записано в виде линейной
комбинации аналогичных ядер S(j,1)(a, р, y) при i < n и j <v. Полагая Sn = Snv'1-)(a, p, y), приведем искомое линейное представление an+2Sn+2 = an+1Sn+1 + anSn + an-1Sn-1 + an-2Sn-2 при v = const. Коэффициенты an определяются из следующего рекуррентного соотношения [2]:
(n + 1)2 -v2 2 (n +1)
Sn+2 =-( 2n +1) Ka ( m ) YSn+1 +,
1 - 2p2 - 2Y2
n2 -1
Ka ( m ) Sn +
+( 2n -1) Ka ( m )YSn-1 -
(n-1)2-v 2 (n -1)
ka (m) Sn-2.
В однозначных областях переход к ядрам двух переменных Бп = З1^'1 (Р, у) можно реализовать, вычеркивая параметры а и Ка в приведенных выше соотношениях. По формулам разделов 2—4 были выполнены прямые массовые расчеты, подтвердившие правильность предложенной структуры решений.
При вычислении коэффициентов гармоник индуктивной скорости в пределы интегрирования по радиусу лопасти р может быть включена (полностью или частично) двузначная область. Особенности методики расчета таких решений в однозначной и двузначной областях рассмотрены в следующем разделе на примере анализа среднего значения индуктивной скорости.
5. Классические решения для средней индуктивной скорости. Рассмотрим выражение для средней скорости уг (Гг), индуцируемой лопастным винтом. Как показано в [1, 2], в общем случае при П = у = 0 (см. (1.4) и (2.13))
_ к г dГ,
v„ = —=
4nV.
Jddp pSiu)(p.У)
(5.1)
Из анализа функции (2.12), следует, что в плоскости вращения винта (у = 0) в интеграле
(5.1) ядро равно нулю или единице при р < 1 и р > 1 соответственно (см. раздел 6). Теперь
выражение (5.1) может быть приведено к виду классической формулы Н. Е. Жуковского [1, 2]:
=-*. = , (5.2)
г йр 4жУ
г
реализующей отличные от нуля решения в плоскости вращения в пределах активного диска, ометаемого лопастями (р0 < г < 1). Преобразуя (5.1) с учетом (4.2), в общем случае у Ф 0 с
использованием интегрирования по частям в однозначных областях, придем к следующему решению [2]:
_ к Гг (г, у)
= + ', (5.3)
г 4%¥
где
р1
Г
(r, У ) = |У| jrr (р) V (Р, y)~рdp. (5.4)
Р0
Здесь р0 = р0/r , Р1 = 1/r , верхний и нижний знаки в (5.3) соответствуют вариантам № 1 и № 2 (г = my > 0), а также № 3 и № 4 (г = my < 0). Функция влияния vr имеет вид ядра (4.7)
V- (р, у) = 4°,3)(Р, У). (5.5)
Особенность в этом ядре обеспечивает реализацию предельного перехода к плоскому решению [2]. Формула (5.3) позволяет вычислить средние индуктивные скорости, определенные по окружностям радиуса r, расположенным выше или ниже плоскости вращения в однозначных областях. Отметим, что в том случае, когда окружности r = const находятся над плоскостью вращения (вариант № 1), параметры р и y могут принимать любые положительные значения. Для варианта № 2 (окружности расчетных точек расположены под вихревым следом) диапазон интегрирования по радиусу лопасти р находится внутри этой однозначной области при r < h -1
и y < (r +1)tgа (см. (3.6)). В этих случаях (Г > 0) очевидно, что vr < 0 при Гг (р) > 0.
Для варианта № 3 r > 1 + h, y >(r -1) tg а и р<1, причем расчетные окружности охватывают след под винтом (см. (3.7)). В случае варианта № 4 при вычислении vr с помощью формул (3.8) и (5.3) нетрудно установить, что r < р0-h, р>1 и y >(р0 - r) tg а. При этом расчетные окружности расположены под плоскостью вращения внутри границы следа, определяемой радиусом р0. При небольшой величине радиуса комля р0 область № 4 мала и находится вблизи нижней части втулки винта (см. рис. 1). Таким образом, в областях № 3 и № 4 (Г < 0) реализуется обратное течение (vr > 0).
Подставляя (4.7) в (5.4), запишем решение (5.3) в форме интегрального преобразования заданного распределения циркуляций с выделенной особенностью в ядре:
Vr (ГГ ) = 1Гr (р)р. (5.6)
V ' 32nVr3/2' 1 - x п \р р0 '
Здесь х = к2 = 4pr I
У 2 + (p + r )2
Y = my = ±у. С учетом того, что 2E(х)/п;
«1 - 0.25х- 0.047х при х < 1 [4], придем к простому приближенному решению, не содержащему специальных функций.
Рассмотрим далее наиболее сложные варианты аналитических решений, для которых при вычислении vr под плоскостью вращения винта по формуле (5.3) пределы интегрирования полностью или частично захватывают двузначную область № 5. В качестве примера приведем следующий вариант расчета: а = -15°, у = -0.2, h = у ctg а«0.75, р-= 1 - h « 0.25 и р+= 1 + h « 1.75. Полагая r = 0.6 и р0 = 0.2, получим искомый результат: р-= 0.15, р+ = 1.05, при котором двузначная область полностью охватывает диапазон интегрирования (z = р2 ):
(Г r )
= Г F
8nV
Р
z0
(5.7)
где
F1* 2V* V ^f*
(5.8)
Звездочкой отмечены решения в двузначной области. Функция у* определяется по формуле (4.7) для ядер уг в областях однозначных решений с заменой полного эллиптического интеграла второго рода Е(к) = Е (я/2, к) на соответствующий неполный интеграл Е* = Е (ф*, к) при
Ф* =(я-0*)/2 (см. (3.3)):
E
v„ =-
п (a - b)Va + b ' (a2 - b2 cos2 9*)/пРу (a2 - b2 )sin 9*.
/Г =-2sinа(а2 -b2cos2 0*
Полагая в предыдущем примере г = 0.4, придем к варианту р-<р0 при р+ < 1. При р+ < р < 1 в решение (5.7) будет включена однозначная область № 4:
(Г )■
ку
Л
8nV
z1
Л
| rrF'dz + | rrvrd
z0
(5.9)
Диапазон интегрирования может включать и две однозначные области. В этом случае решение примет следующий вид:
(Г r )'
ку
(
8nV
V
±J Vrvrdz + JrrFr*,
z0 z-
z1 _ Jr rvr
\
(5.10)
Верхний и нижний знаки в первом интеграле в правой части (5.10) соответствуют однозначным областям № 3 (к < 1) и № 2 (к > 1).
Предложенная методика анализа двузначных решений с использованием неполных эллиптических интегралов может быть применена также для вычисления и других коэффициентов гармоник. Выше было отмечено, что реализация решения (5.2) обусловлена особенностями
v
2
v
v
ядер Бп. Изучение характерных свойств этих ядер продолжено в следующих разделах, где кроме численных расчетов, показанных на рис. 4—7, приведен ряд аналитических решений, а также впервые получены дифференциальные уравнения для ядер.
6. Исследование функций Бп (у) в плоскости вращения винта. Поверхности Якоби.
Как показано в [2], ядра Бп (у) = 1) (у) в плоскости вращения винта при р = tg у определяются
интегралами (2.12), производящими полиномы и функции Якоби с целыми и полуцелыми индексами N
г }(у) =
7 V2 Ф 1-1)( г), N =
п+г V2 ф1 -1)( 7 ), N =
п-V-/ ~2
-2-, 7 = р2, У < 45°
V -п -/
2
, г = 1/ р2, у > 45°.
(6.1)
В формулах (6.1) Р^' Р) = 0 при N = -1, - 2, ... В том случае, когда N = 0, как известно, ра> Р) = 1. Сопряженные ядра в плоском случае отличаются нормировочными коэффициентами СЩ( /), причем СЩ = 1 при / = 1 (см. (2.17)):
ИГ п >у,
) (у):
.(-l)nCnV(/)Sn-(V, 1 }(у), V>n,
(6.2)
где при / = 2т +1 > 3
с( / )=п
(п -V)2 -(2/ -1)2 =1 (п + У)2 -(2/ -1)2'
(6.3)
Подставляя решения (6.1) в гипергеометрическое уравнение для полиномов Якоби [5], придем к следующим дифференциальным уравнениям (в общем случае не гипергеометрического
типа) для ядер уп (г) = , 1 ) (г) в плоскости вращения винта:
:(1 -г) у;( 7) + [! -7 (1 + / )>;( 7 ) +
(п2-/2)
-/ 7 - V
47
-Уп (7) = 0, 7 = р2, р<1,
Г(1 - 7)у'п(7) + (1 - / - 7)у'п(7)-
(п2-/2 )
-V2 7
47
-Уп (7) = 0, 7 = р-2, р> 1.
(6.4)
(6.5)
Переходя в (6.4) к переменной х = 1 - 27, получим уравнение, которое при у = 0 является гипергеометрическим уравнением для полиномов Якоби Р^'1 1)(х), а при / = 1 уравнением Лежандра для полиномов PN, соответствующих полиномам Якоби [4]. Приведем два
примера решений (6.1) и (6.4) с целыми значениями индекса N при 7 = р :
Бп = 7у/2 [у +1 - 7(п -1)]/1! при N = 1,
Б, = 7 V2
(у + 1)(у + 2)-27(у + 2)(п -2)+ 72 (п -1)(п -2) /2! при N = 2.
Однако ядра, содержащие полиномы Якоби с полуцелыми индексами N, определяются только через полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода (см. (4.7)). На рис. 4 приведены результаты расчетов по формуле (2.12) (поверхности Якоби). Ядра Sn над полем номеров гармоник n и v показаны на рис. 4, а и б при р = 0.1 и 0.95. На рис. 4, в, г, д при l = 1 приведены поверхности Sn (n, у) для вариантов v = n и v = n ±l. Эти зависимости включают решения как на главной диагонали матрицы ядер v = n, так и на параллельных ей диагоналях v = n + l и v = n-l. Поверхность Sn (n, у), показанная на рис. 4, в (n = v), претерпевает разрыв на линии Y = 45° при р = tg y —^ 1. Поверхности Sn (n, y), приведенные на рис. 4, г и д для вариантов v = n ±l, образованы комбинацией нулевых и степенных решений, соответствующих целым отрицательным и нулевым индексам N в формулах (6.1):
¿г-°(y)=|( V т"45: srl)«=((tgy)" y<45° (6.6)
[(ctg y) , Y - 45°, [ 0, y - 45°.
При n = 0 и l = 1 функция ¿Пп+1 ,l^ равна нулю или 1/р при р<г и р-r соответственно. Именно это свойство ядер (6.6) обеспечивает возможность вычисление интеграла (5.1) при выводе формулы Н. Е. Жуковского (5.2). Перейдем далее к анализу наиболее сложного семейства
ядер Sn'1 (а, ß, y) при l = 1.
n = 1, V = 0, K:
n = 1, V = 0, K5 = -
1 + sin 5 " 1 + |sin 5|
Рис. 4. Зависимости Sn (n, v) и Sn (n, у) в плоскости вращения винта: _ cos ц
v = 0, Кц = —¡-- при а = -45
p¡r = 0.1 (у = 5.7°); б — ир/г1=ф»5ц|(у = 43.5°); в
-45°; г —
n = V = 1
n; г — v = n +1; д — v =
n -1
а
7. Исследование функций Бп (а,р,у) в пространстве вокруг винта. Поверхности
Sn (а, Р), Sn (а, у) и (Р,у). Результаты расчетов поверхностей Бп (р, у) приведены на рис. 5. Показанные на рис. 5, а и б поверхности (2.11) формируются в зависимости от рассматриваемых вариантов однозначных решений под плоскостью вращения винта (Р < 0). Как
отмечалось в разделе 3, выбранный вариант расчета определяется весовой функцией Кд(т), а
также знаком параметра У = ту. Если Р > 0, то реализуется вариант № 1 при К5 = К+ и У > 0
(см. рис. 5, а, б). Данные, приведенные на рис. 5, а, в случае Р<0, получены при Кд = Кд и
У < 0. В этом примере реализован переход от варианта № 1 к вариантам № 3 (у <45°) и № 4
(у >45°). На рис. 5, б представлено симметричное решение, обеспечивающее переход от
варианта № 1 к варианту № 2. Здесь Кд = К+ и У > 0 как при Р > 0, так и при р < 0. На рис. 5, в приведено общее решение (2.1), содержащее при а = -45° однозначные и двузначные варианты, границы которых показаны на рис. 3, а. Сравнение рис. 5, бив указывает на сходство симметричного и общего решений. Эти решения, очевидно, совпадают друг с другом при а = 0. Отмеченное обстоятельство позволяет использовать в приближенных расчетах при небольших углах атаки простые симметричные (однозначные) решения вместо сложных (двузначных) решений.
Не зависят от варианта расположения расчетной окружности только наиболее простые симметричные ядра Бп = Б- п'1 ^(р, у) с особенностью, реализуемой при р^-0 и у^45° (см. рис. 5, г):
^(Р, уьВД^ й е. (7.1)
0 у
Интегралы (7.1) определяют присоединенные полиномы Лежандра Р_"/2 (7) [6] при 7 = а/с,
где с2 = а2 - Ь2 (см. (4.8)). Преобразуя гипергеометрическую функцию этих полиномов к новой переменной х2 = (7 - 1)Д 7 +1), получим следующее решение:
. /, (-1)п (х/р)1/2 хпРп,2-1 (х2 )
*1} (Р, У) = М Сп (/) . (72)
Коэффициенты СЩ (/) определяются по формуле (6.3) при п = у. В плоскости вращения винта (у = 0)х = р и 1/р при р<1 и р>1 соответственно. Сравнивая (6.2) и (7.2), придем к
простой формуле пересчета ядер Б-п'1) с плоского (при у = у0) на пространственный вариант расчета и наоборот (р = tg у, х = tg у0):
*1 }(Р, у) = (х/ р)1/ 2 Б-( ^1 )(у 0).
Дифференцируя (7.1) по переменной 7 = р2 при у1 = Б-1 ^(р, у), а затем преобразуя
полученное выражение с использованием рекуррентных соотношений, придем к следующему результату:
у'=47 [(а - 2 7) у1+2- У/ ]. (7.3)
Функции у/, у/+2 и у/+4 связаны рекуррентным соотношением [2]:
/(/ + 2)(а2 -Ь2)у/+4 = 2а/(I +1)ут +(4п2 -12)уг.
(7.4)
После дифференцирования (7.3) получим: „ /
У/= 47
{[У/ - (а - г)У/+2 ] - ^[у/ - (а - 2г) у/+2 ]}.
(7.5)
Преобразуя (7.5) с учетом (7.3) и (7.4), получим однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, которому удовлетворяет функция уп = Б-"'1) (р, у):
где
Р ( г ) У" + Ч ( г ) у" + г ( г ) уп = О'
р ( г ) = г (1 - г + у2 ), Ч ( г) = 1 + у2-(/ +1) га( г) г ( г ) = 4 {/ [1 -а( г )]-Р( г )[/2 + у( г ) п 2 ]}.
В этих формулах
а
( г ) =
(2 - а)(а - 2г)
2 72 а - Ь
, Р( г ) =
(1 - г)(а - 2г)
2 Т2 а - Ь
' У( г ) =
(а - 2г)2
г (1 - г) "
(7.6)
В плоском случае (у = 0), когда а(г) = Р(г) = 1 и у(г) = — 1, уравнение (7.6) совпадает с
уравнением (6.4) при п = V. Как показано в разделе 4, производные ядер рБ;1,0 (Р, у), Б-[0,1) (р, у)
и гЗ{2,1)(Р, у) определяются интегралами Б)0,3)(Р, у) и (1,3)(р, у), которые являются
решениями уравнения 2-го порядка (7.6). Таким образом, эти ядра удовлетворяют дифференциальным уравнениям 3-го порядка.
Результаты расчета поверхностей Бп (а, р) и Бп (а, у), выполненные по общим формулам
(2.1) и (2.2), приведены на рис. 6 и 7. Сравнение вариантов а и б, а также в и г позволяет рассмотреть процесс трансформации этих поверхностей в окрестности особенности.
Рис. 6. Зависимости Бп (а, р): п ^ = 0, р/г = 0.5; б — п ^ = 0, р/г = 0.99; в — п = 1, v = 0, р/г = 0.5; г — п = 1, v = 0, р/г = 0.99
а
а) б) в)
Рис. 7. Зависимости Бп (а, у): а — п = у = 0, р = 5°; б — п = у = 0, р = -45°; в — п = 1, у = 0, р = 5°; г — п = 1, у = 0, р = -45°
ЛИТЕРАТУРА
1. Баскин В. Э., Вильдгрубе Л. С., Вождаев Е. С., Майкапар Г. И. Теория несущего винта. — М.: Машиностроение. — 1973.
2. Вождаев В. С., Вождаев Е. С. Аналитические решения для гармоник поля скоростей, индуцированных несущим винтом // Ученые записки ЦАГИ. — 2001. Т. XXXII, № 3—4.
3. Вождаев В. С., Вождаев Е. С. К вихревой теории винта Н. Е, Жуковского // Ученые записки ЦАГИ. — 1997. Т. XXVIII, № 1.
4. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — М.: Наука. — 1964.
5. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука. — 1978.
6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М.: Наука. — 1981.
Рукопись поступила 13/1Х 2004 г.
