Периодическая краевая задача для уравнения гармонических колебаний лопасти несущего винта относительно оси горизонтального шарнира Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1

№ 4

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАСТИ НЕСУЩЕГО ВИНТА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ШАРНИРА

В. С. Вождаев

Рассмотрен метод аэродинамического расчета несущего винта по лопастной теории. Показано, что преобразование системы урав^ нений связи и махового движения лопасти к виду системы уравнений связи сводится к решению краевой периодической задачи для уравнения гармонических колебаний. Получено решение этой задачи в интегральной форме, допускающее простой переход к решению соответствующего разностного уравнения, выраженного через полиномы Чебышева и родственные им смещенные полиномы с полуце-лыми индексами. Уравнение махового движения преобразовано к виду интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

В теории аэродинамического расчета несущего винта с шарнирным креплением абсолютно жестких лопастей в косом потоке широкое распространение получили приближенные аналитические методы, основанные на схеме плоской вихревой пелены и представлении решения уравнения махового движения лопасти в виде первой гармоники ряда Фурье [1] (гл. I —III). Развитие численных методов в более строгой постановке связано с разработкой квазилинейной лопастной теории на базе схемы скошенного вихревого цилиндра [1] (гл. XI). Как известно, основу аэродинамического расчета по этой теории составляет совместное решение сеточной системы уравнений связи порядка N = 1-^1 [Д и М — числа шагов Дг и Дф по радиусу лопасти г и ее азимутальному углу ф (рис. 1)]

2 5'еп Г (г, <!») — ®(г, <10 — ъь(г, Ф) + *Р(ф) = £(г, 40 (1)

а<х>Ь

и махового движения лопасти

Р"(Ф) + £*Р(Ф)вм(ф)==Я1г(<!0+ то, (2)

где

v(r> ']') = XS^(r> ь Р' 6)Г(р> 6), (3)

‘ i

v-o{r, ф) = — [Р(Ф) I* cos ф -}- р' (ф) (г — /г. ш)], _ (4)

g (г, ф) = FcoSin яв + Wx [То -f Д<? (?) + и (ф) — (я/2)(1 - sign Wx)\, (5)

I___ ______ s

■ тт($) = Тл I Wx Г (г, ф) (г —: Тт. ш) dr, Ото —— да0 —— g 2^,ш- ■ (6)

J Г. Ш

Го

Здесь Г(г, ф)— циркуляция скорости по контуру, охватывающему сечение лопасти; р = V cos ав, v (г, ф) и "z^s (а-, ф) — осевые

компоненты скорости потока, обусловленные индуктивным влиянием вихревых систем лопастей и маховым движением соответственно; Wx — г + р. sin ф — окружной компонент скорости потока, набегающего на профиль лопасти (рис. 2), sign IJ/',. = 1 и — 1, когда Wx^>0 и <[0. (при обтекании с передней или задней кромки); a^ — dCyjda-, b (г) — хорда лопасти; <р0 — угол общего шага; Д?(г)~ угол геометрической крутки лопасти; и (ф) — принятый закон управления [при управлении лопастью по первой гармонике — и(ф) = = cos ф -f- 02 sin 4*]^ Р (Ф) — угол взмаха лопасти; х — коэффициент регулятора взмаха; 7г.ш —расстояние от оси винта до оси горизонтального шарнира (см. рис. 1); /г. ш и 5Г.Ш —момент инерции и статический момент лопасти относительно оси „г. ш“; k2=\ + —(- е (е = 1Г. ш Sr. ш//г. щ); 7л = Рй^5Дг. ш> Рл — плотность воздуха на высоте h\ R и ш—радиус и угловая скорость вращения винта.

Перейдем к сеточной форме уравнения (2), полагая

■ Р" (Ф) = [Р (Ф + Дф>— 2,3 (ф) + р (ф — Аф)]/Дф2 и х = 1 — (£Дф)3/2,

Р(Ф + Дф) — 2хР(ф) + Р(ф — Дф)= Дфгт(ф), (7)

где, как следует из (6),

т (Ф) ~ 2 (г, ф) Д г — Да0, отг = Тл ^(г-/г.ш). (?)

j * Объединяя далее (1) и (7), получим систему алгебраических уравнений порядка /V + Ж для определения искомых значений Г (г, ф) и р(ф).

Однако можно фактически полностью исключить из рассмотрения маховое движение, если предварительно найти линейные связи р(Г) и Р'(Г) (т. е. определить соответствующие функции влияния р и Р') и подставить их в уравнение связи (1). В результате придем к основной системе уравнений порядка N, матричная запись которой имеет вид

МГ=Д- (9)

1т] == ®[Л - [и] + {рсоа'ф + *)$] + (Я—/г. ш) [И (10)

Здесь Г и С - векторы циркуляций и правых частей уравнений связи, [У] — единичная матрица, w = 2sign Wxl(axb)\ [U], [р] и [px] — матрицы функций влияния индуктивных скоростей, углов взмаха и их производных.

При таком подходе отсутствует весьма существенный недостаток изложенного выше обычно принятого метода, который характеризуется резким возрастанием объема вычислений и потребной оперативной памяти, затрачиваемых на учет махового движения лопастей при увеличении числа винтов и уменьшении шага Дф [2].

Таким образом, решение задачи сводится к интегрированию уравнения гармонических колебаний в дифференциальной или сеточной форме при периодических краевых условиях:

Ро = Р(Ф = 0) = р(ф = 2*), р; = ПФ = 0) = р'(Ф = 2*). (П)

Общий интеграл уравнения (2) имеет вид [3]:

ф

Э (4*) = Р0 cos Ро sin Н—^ m (6) sin А (ф — 6) c?0. (12)

о

Условия (11) позволяют определить р0 И Р0

Ро = -2ккы]п(в)со8А(«-в)с/е,

о

2к

Подставляя (13) в (12), получим

2тс

Р(Ф)>

1 Г 1

k 2 sin къ

о

ф

J т (0) cos k (тс + ф — 6) db +

-}- j т(0) sin k(ф— 0) ofoj. (14)

о

Представим р(ф) и т(ф) в виде рядов Фурье

Р (Ф) = «о + 2 cos гаФ + bn sin п ф);

П= 1

/ т(<Ь)—т0 +2 (тсп cos ny+msn sin Щ). (15)

П— 1

Тогда, как известно, из (2) или (14) можно установить, что

а0 = т01&, ап = mcJ(k2— га2), bn = mj(№ — п2). (16)

Формулы (16) подтверждают известный результат — высшие гармоники гпт слабо влияют на маховое движение лопасти. Из формул (13) и (16) следует, что при & = 1(е = 0) и п= 1 (вырожденный случай) периодическое решение существует только тогда, когда mcX=ms j=0 (при этом al = bl=Q). Переходя к пределу в (13) и (14) при k -> 1, получим

2тс 2ic \

Ро = — 2~г | m(0)0sin0d0, 30 = 1 m(0)0 cos ба!0, (17)

о о

2т: ф

3 (ф) =-.* -2~ J /га (0)0 sin (ф — 0)^/0 + J/га (0) sin (ф—6)rf0. (18)

■о о

Преобразуем (14), используя функцию Грина

а= 5ш*(Ф-е)и(^ И(*) = Р при ;>0 (19)

Л V (0 при £<0,

2тс

Р №) = 2/г sln/гх j 7/1 (6) (П “ “ C0S k (* + 0 + и (0 COS & (тс — dO ==.

0

2тс

= m (0) cos А (тс — | ф _ 0 1) «Г0. (20)

Дифференцируя р (ф), запишем выражения для q-й производной при четных и нечетных значениях q

_j 2к

Р(,) (Ф) = (- I)9'2 -^ПГЙГ [ Й0) cos А (тс - | Ф - 01) rf0 +

9/2

+ 2 (— !)р+2 Ь2(р~1} т(ч~’1р) (ф), 0 = 0, 2, 4; (21)

р-1

g—1

2 _

+ 2 (- 1)p+1 k^P-^m^p) (ф), q = 1, 3, 5. (22)

p=i

[В формулах (21) и (22) при ^ = 0 и 1, соответственно, второе слагаемое отсутствует; /га(9_2р) (ф) — производная т (ф) порядка q— 2р]. Подставляя (6) в формулы (20), (22) при <7=1 и (4) с учетом (8), получим

2к 1

Р(Ф) = —Ж + J Г(р, 6)mr(p, в)соз^(те —|ф—©Drfe^p, (23)

0 7.

7% 1

Р' (Ф) — Sign (ф - 6) 2 s-n j j Г(р, 6) тТ (р, 6) sin k (тс - |ф_6|) dtidp, (24)

э

2* 1

•j J Г (р, Ъ)ттС?, 6)fc(r, Ф, 6)<ШР. (25)

In 1

Да0 fx cos ф __________________1

k- 2 sin kn

0 70

Здесь переменная интегрирования г заменена на р

fa(r, ф, б) =-£- cos ф cos &(тс—)ф — 0|) —}-

+ sign (ф — 6) (г — /г. ш) sin k (тс — |ф—01).

Перейдем к сеточной форме представления результатов, полагая ф = Ч?‘Дф и 0 = гДф(4г, г = 0, 1, ... п — 1). Поскольку cos<f = x = = 1 — (&Дф)2/2 [см. (7)], то у ^ sin <f> ~ £Дф и тс = (дДф)/2. Следовательно, sin £тс ^ sin [(л«р)/2], cos k (тс — | ф — 0 |) ж cos vcp,

v = д/2 — | W - 11. 4 (26)

С учетом этих соотношений запишем выражения для р(ф)

иГ(Ф).

АФ2 —

Р(Ф) = 2i,ni cos vcp; (27)

2 sin ( ~2~ cp ) sin cp

I

Аф —

P' (Ф) = sign (Ф —г) 7~n \ misin ■ (28)

2 sin /

При /г = 2от (четное число шагов Дф) cosv!p = 7v(jc) и sin vcp/sin cp = = «,_i(x) — полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода, причем

2 sin{—■ <pjsin<p = Tm_i —rm+1 и sin ср^у/ sin<p = «m_i.

/

При нечетных значениях п — 2т + 1 середина интервала изменения ср смещена на угол <р/2 (соответствующий углу Дф/2 на интервале [0, 2тс]). Введем это смещение в тригонометрические тождества, определяющие реккурентные формулы Тт и ит

Cos sin lm

<f + cos (m—1 + -s-) <f> = 2 cos cp cos (m -}

^tti-j-1 -f- -y

+ t-f —)f-|-sin(m—1 -f- <? = 2 cos <psi

(m + 4-)

l

sin in

1

?;

?r

и.обозначим с об + у ^ сое (<р/2) =Тк и <р^т (<р/2)— ик

(к=т— 1, т и т-\- 1). В результате придем к реккурентным фор-

Л Л л л

мулам для смещенных полиномов Тт = Тп_г и ит—ип-\ первого

~2~~ 2

и второго рода с полуцелыми индексами, аналогичных формулам для Тт и

Тт+1(х) — 2хТт(х) ~Тт^(х);

Л А л

Т0 = \, Тх = 2х — 1, Г2 = 4*3-2*—1, . . .,

л л л

ит+1(^)=2л;«т (х) - йт_!(л); л л ' л

и0 = 1; == 2л: —(- 1; и2 = 4х2+2х—\, ....

Нетрудно проверить, что

т. - Г-+. {УЩ/УЧ1 • (/•

л

Гт == Т—т—1 == М2т1(ит + um—l) ~ {Ч-Чт+п + Un—i)/(Um+ „ -(- +n-l),

Тт—1— Тт+1— 2\Тт' T’m+i], Tmllm = u.2m,

л А л л

= - II—т~-1 == -f- U-m— I? —1 = * 11т— 2 —— 27 т.

л л

Полиномы Тт и «от показаны на рис. 3 и 4 при т<С10. Таким образом, формулы (23), (24) и (27), (28) примут вид

№=-^ + 22гА= |

[Дф2/(7т_1 — 7'т+1)]2^гГ, при я = 2/и,

г

[Д(Ь2/(Гт_! —Tm+i)] 2тг7\, при /г = 2т -J- 1;

г

1 /

sign (У — г) [A^/2«m_i] /гаг mv_i при п = 2т,

i

А — А " \

sign (Ч'—г) [Дф/2ит] Щ и-> ПРИ « = 2т + 1.

(29)

Покажем, что формулы (27), (28) и (29), (30) соответствуют

точному решению сеточного уравнения (7). Запишем это уравне-

ние и его решение в матричной форме

[Д]Р=Дф*«, (31)

71

Здесь £)л = с1е1[.в]— определитель системы п-го порядка. Разложим вначале этот определитель по элементам 1-й строки, а затем [каждый из полученных определителей (п— 1)-го порядка] — по элементам 1-го столбца. В результате придем к следующей рекуррентной формуле:

Оп = (- 1)"+1 2 (—*Д„_1 + Д„-2 + 1), (32)

где

2х 1 0 • 0

1 2х 1 . 0

0 1 2х . 0

1

0 0 0 1 2х

В соответствии с правилом Крамера элементы обратной матрицы Рчг. равны соответствующим алгебраическим дополнениям А у.. Повторяя для миноров | Aw.| элементов первой строки матрицы [Я]-1 процедуру, использованную выше при выводе формулы (32), получим

= (34)

Однако, как нетрудно заметить,

А„ = «л = sin [(л + l)tp]/sincp (35)

и, следовательно,

Dn = (-l)n+1 2 (1 - Тп), poi = (- 1)"+' 2 sin \ <fTn/2-ilsin ср. (36)

Подставляя (35) и (36) в (31), придем к выражениям (27), (28) или (29), (30) при v = л/2—г [см. (26) при ¥ = 0]. Отметим, что нет необходимости в получении рекуррентных формул для Pw. при ЧГ ф 0. Достаточно воспользоваться периодичностью решения — для произвольного W началом интервала изменения i последовательности ч — п/2 — i следует считать не г = 0, а г = 4?'. Тогда

можно показать, что зависимость v(W, i) имеет вид (26).

Решения (27), (28) и (29), (30) уравнения (7) получены независимо от общего метода решения разностных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами [4] (основанного по аналогии с классическими методами на представлении общего интеграла в виде суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнения) и в отличие от этого подхода следуют непосредственно из решения разностной системы алгебраических уравнений. В работе [4] рассмотрен ряд частных случаев разностных уравнений специального вида, общее решение которых может быть представлено линейной комбинацией полиномов Т (л;)

и и{х). Интересно отметить, что, как показано на примере решения (20), в некоторых случаях нетрудно получить те же результаты и с помощью классических методов интегрирования.

Соотношения (27), (28) и (29), (30) позволяют привести систему уравнений связи в форме (1) или (7) к окончательному виду

X 2 Ту/ = (l* cos Ф -f *) + ё(г> Ф). (37)

t /

ТИ (-Л — Vji + (v- cos <!> + *) F/i + (г — It. ш) hi, (38)

4dl*/KTCOSV!£> ~ Дф/KrSinvtp

------- • P' = si£n (lI - *) - П - (39)

2 sin -g- 9 sin 9 2 sin -y 9

= sign Wx (1 - sign ІЧГ — і I) (1 —sign I J—j I) ■ (40)

Индексы j, і и J, ЧГ относятся к текущему и контрольному радиусу и азимутальному углу лопасти соответственно; g (г, ф), тт(^) и v (4», і) определяются по формулам (5), (8) и (26); cos <р =

= 1—[Дф2 (1■ + е)]/2; sign а =1, 0 и —1 при а>0, =0 и -<0, соот-

ветственно.

Преобразуем дифференциальное уравнение махового движения к интегральной форме. Как следует из (1)-^-(6) при 1^л>0,

m (<!>) = щ (ф) + щ (ф) р (ф) + їй,- р (■!>), (41)

где

1

«О (Ф)= Jt Й» sin ав + wx <?а + v] Wx (г - Jr. ш) у (г) dr - Да0, (42)

Го

1

Щ (Ф) = — (Iа cos ф- + к) j Wx (г — /г.ш) Т (г)dr,, (43)

т'о

1

m, (ф) = _ J Wx (7-І. ш)2 Т {г) dr. (44)

г°

Параметр у = ул ах b (г)/2 в формулах (42) — (44) определяет геометрические, аэродинамические и инерционные характеристики лопасти; <?a = <f0 + Af(7) +

Подставим (41) в (20) и преобразуем полученное выражение [используя метод интегрирования „по частям" при и — т^ (ф) cos^X

X (тс — | ф — 0 |), d V — $db\ в интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

Р(ф.) = Ф(ф)-Ь j Р(0)К(ф, 0)db, (45)

о

2—.Ученые записки" № 4 17

где

2т.

Ф^)=='2*етг J* (в) e°s А (те — |-ф - 0|)d0, (46)

О

К 6) = Tk sin kr, {cos ft (* - | ф — 0 |) \щ (0) - mb (0)] +

+ sign(^ — 0) ft (0) sin ft (те — (ф — 0|)}. (47)

Введем обозначение

і _ _ _ _

Aij = \ ri (r — /г. шУ T (r) dr, і, / = 0, 1,2... (48)

Го

С учетом (43) и (44) получим

К($, 0)= — ыШкъ {1хЛп+Мо1 (4.ш cos 0 4 xsinO +

+ p. sin 0 COS 0)] COS ft (те — I (J) — 0 ]) -f-+ sign (<J> — 0) ft (A ,2 + ц sin 0Л 02) sin ft (те — І ф — 0 I)}. (49)

Гармоники индуктивных скоростей могут быть выражены через специальные функции (см. [1] гл. X и [5]). Уравнение (45) позволяет получить аналитическое решение по методу последовательных приближений. В силу малости р в качестве „нулевого11 приближения следует положить р = р0 = 0, тогда (3 = Д = Ф (■])) и т. д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскин В. Э., Вильдгрубе Л. С., Вождаев Е. С., Майкапар Г. И. Теория несущего винта. Под ред. А. К. Мартынова. М., „Машиностроение", 1973.

2. В о ж д а е в В. С. Метод расчета соосной системы винтов в косом потоке по лопастной теории. Труды ЦАГИ, вып. 1994, 1979.

3. С м и р н о в В. Н. Курс высшей математики, т. II, М., Гос. изд. физико-матем. лит., 1961.

4. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М., „Наука11, 1978.

5. Вождаев Е. С. О некоторых функциях гипергеометриче-ского типа, встречающихся в механике. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 6, 1970.

Рукопись поступила 5111 1980 г.