К теории индукции несущего винта с произвольным углом атаки Текст научной статьи по специальности «Математика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м III 197 2

№ 2

УДК 629.735.45.015.035.62.072.42

К ТЕОРИИ ИНДУКЦИИ НЕСУЩЕГО ВИНТА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ АТАКИ

Е. С. Вождаев

Разработан аналитический метод расчета скорости, индуцированной несущим винтом с пространственной вихревой системой, развивающий дисковую теорию Г. И. Майкапара [1]. Индуцированная скорость представляется в виде ряда Фурье. В отличие от известных работ с помощью гипергеометрического уравнения Гаусса дано преобразование интегральных выражений коэффициентов этого ряда к специальным функциям. Показано, что при постоянной циркуляции несущей линии интегральное представление коэффициентов при синусах ряда Фурье есть функция Лежандра, а при косинусах— полуразность смежных функций Лежандра, преобразуемая к функции Якоби. Получены удобные для приложений формулы коэффициентов, содержащие степенные полиномы и полные эллиптические интегралы I и II родов.

Предварительные замечания. Основной целью работ по дисковой теории являлось получение точных аналитических решений [2]—[6]. Цель данной статьи — найти в рамках допущений теории [1] точное решение задачи о гармониках индуцированной скорости в простой форме. Для этого применяется новый способ, заключающийся в определении коэффициентов разложения индуцированной скорости в ряд Фурье непосредственно по известному интегральному соотношению для индуцированной скорости с последующим применением дифференциального уравнения Гаусса для преобразования интегральных выражений коэффициентов к специальным функциям. Трудность преобразования в том, что эти выражения не имеют видимой связи с известными интегральными представлениями гипергеометрической и специальных функций. Однако выяснилось, что при определенных условиях, налагаемых на параметры уравнения Гаусса, интегральные выражения коэффициентов являются решениями этого уравнения и, следовательно, гипергеометрическими функциями.

Оказалось, что полученные гипергеометрические функции суть функции Лежандра, которые в зависимости от номера гармо-

ники скорости обращаются либо в полиномы Лежандра, либо в функции Лежандра первого и второго родов, допускающие преобразование к полным эллиптическим интегралам I и II родов. В итоге найдено, что при постоянной циркуляции несущей линии коэффициенты при синусах разложения индуцированной скорости в ряд Фурье суть новые интегральные представления функций Лежандра, а коэффициенты при косинусах выражаются через по-луразность смежных функций Лежандра. Получены также простые формулы искомых коэффициентов.

Исходные предположения и соотношения. Пусть в невозмущенный поток, скорость которого равна V, помещен ¿-лопастный винт диаметром 2/? с центром втулки в начале неподвижной декартовой системы координат Охуг (-фиг. 1). Винт вращается вокруг оси у с угловой скоростью со. Направление скорости V образует с плоскостью хг произвольный угол атаки а. Лопасть винта схематизируется радиальным отрезком несущей линии с переменной

по радиусу р(0-<р-</?) и постоянной по азимутальному углу 0 циркуляцией Г = Г (р).

Предполагается, что непрерывно отделяющиеся от несущей линии элементы свободных вихрей движутся в пространстве Охуг вместе с частицами невозмущенного потока, образуя вихревую пелену в виде скошенной винтовой поверхности (линейная теория). Индуцированная скорость V вычисляется в произвольной точке плоскости хг. Эта точка определяется значениями полярного радиуса г и азимутального угла <|». Под скоростью V понимается нормальный к плоскости компонент Фиг. 1 скорости, индуцированной винтом.

_ В дальнейшем будут применяться

безразмерные параметры У= 1//ш/?, Г=>Г/<о/?3, р~= р//?, р"=р/г,

г=г\я.

Воспользуемся известным интегральным представлением индуцированной скорости [1] и преобразуем его к виду

- - . к ГдГ - А Г ¿Г -

(1)

о о

где

¿г (г)

4кУ

(2)

Ф

’“2*

Ьг р эт 6 сое а 2(Ь 1,х соза)

¿0;

(3)

¿г — (pc°S0 — 1) Sin ф + p sin 8 cos <J>; L = V\ + p2 — 2p eos 0 ,

причем 2т:-периодические функции (3) и (4) обладают следующими свойствами симметрии:

ф„(-ф) = фр(ф); фг(-ф) = -фд(ф)- (5)

Вид (1) удобен для определения коэффициентов разложения скорости V в ряд Фурье. В частности, из формулы (1) сразу следует известный результат, полученный Баскиным [2]:

2к _ „

кт (г)

2я J т 4kV

О

так как справедливо равенство

2тс 2%

о о

вытекающее из признаков обращения в ноль интегралов от периодических функций. Как видим, классическая формула H. Е. Жуковского выражает в случае косого обтекания винта среднюю по углу ф индуцированную скорость.

Интегральные представления гармоник индуцированной скорости. Представим скорость v в виде ряда Фурье

00

V = vr + ^ (г>с „ cos nty + vs „ sin ra<j*)

n = i

и определим коэффициенты ■

2те 2тс

= — J t» COS Лф Vs „ = —j V sin wbdÿ, (6)

о о

пользуясь формулой (1). Выполним вначале интегрирование по переменному ф. Для этого введем замену

*=ф + «р, V)

где вспомогательный параметр <р находится из формул

cos 9 = -J- (р cos 0 — 1); sin ® = -j- р sin 0. (8)

Если подставить выражение (1) в соотношения (6) и учесть равенства (5), (7) и (8), то получатся формулы

где

1

2тс

Л

sin /sin «icosа

+ COS ÍCOS а

2 к

dt;

2тс 2 тс

1 г 1 1 Г 1

С„ — — \-j- sin <р sin «ср de, 5n = — \-j- cos db.

0 0

Интеграл (11) вычисляется элементарно:

и I —cosa

kan~ [l + |sina

а интегралы (12) целесообразно представить в виде

п

1 Г 1

(И)

(12)

Сп = Т f 77 [ (cos ?) — тп+1 (cos ?)]

О

тс

S„ = -^'jT7,»(cos'P)de*

de

(13)

(14)

где Tn (cos <р) = cos щ — полином Чебышева I рода. Переход к полиномам Чебышева удобен тем, что исключает из рассмотрения второе из равенств (8). Из формул (13) и (14) вытекает важное следствие:

„ 1

(Sn-l — Sn+l) ,

(15)

позволяющее установить простую связь между коэффициентами (9) и (10):

2V

ka 11)s п—1

_1_

¿al

п+1

(іб)

Как следует из формул (13) и (14), ядра Сп и 5Л интегралов (9) и (10) не зависят от параметров, характеризующих режим работы винта.

Аналитические представления ядер £„ при нечетных индексах п = 2т + 1(т—0, 1,2,...). Интеграл (14) допускает преобразование к гипергеометрической функции. Для реализации такого преобразования обратимся к помощи гипер-геометрического уравнения Гаусса, как это делалось в работе [7]. Можно показать, что интеграл (14) является решением уравнения Гаусса

6(1 -^" +

+ [? — (я + Р + 1)6] ч\' ~ <#»¡ = 0

Фиг. 2

при начальных условиях, определяемых ядром (14), т](0) = — 2, (0) =

= 2т(от+1), если \ = р2, а—— т,

*$2т+1 —

(17)

Р = /ге 4 1, к= 1- В силу этого интеграл (14) является гипергеометри-ческой функцией вида

-2/7(—т, т + 1, 1; р2) при р<1;

О при р> 1.

Гипергеометрическая функция И в формуле (17) суть полиномы •Лежандра Рт{х) при х = \ — 2р2. Выражение ядер (14) через полиномы Лежандра имеет вид

— 2РШ(1 —2р2) при р<1; |

О при р> 1. \

Для низших индексов т соотношение (18) дает элементарные

формулы искомых ядер:

5, = - 2; ‘

5,= - 2+ 4р~2;

$5 = —2 + 12?-12р4;

57 = - 2 + 24р2 — 60р4 + 40?.

Выражение (18) допускает также явное представление

>2т + 1 =

(18)

(19)

>2го-Н

Ат |а

№

(20)

11=1

где

лтц. -

(— !)•*■ (2р. — 1)!!

[(2гге+1)2— I2] [(2/и-Н)2-32]... [(2/И + 1)2—(2[х—I)2].

2ич*! (2**)!

Здесь (2[х — 1)!! = 1 -3-5... (2^ — 1). Для расчета ядер при больших индексах т. удобно пользоваться рекуррентной формулой

>2т+3 :

т

1

' $2т—1 ,

(21)

вытекающей из теории шаровых функций. Графики функций 5гт+1 приведены на фиг. 2.

Интегральное представление полиномов Лежандра. Преобразование ядер $2/71+1 к виду (18) приводит не только к удобным практическим результатам (19)—(21), но также дает следующее интегральное представление полиномов Лежандра, содержащее полиномы Чебышева:

Л* (сое 6)

1 Гт /

где

1

I

-^-СОзй

1

/=у 1 + зт2-^

о <; 0 тс, т = 0, 1, 2, ...

_ Коэффициенты vs„ при нечетных индексах п. Так как при

Я>1 ядра 52т+1, согласно (18), равны нулю, то формула (10) преобразуется к виду

В частном случае (/ге = 0) из выражения (22) при 5¡= —2 следует формула

<23>

полученная в данном виде Ван Ши-цунем. В иной форме результат (23) получен ранее В. Э. Баскиным другим методом.

При 0 коэффициенты (22) несложло определяются численным способом. Для получения аналитического решения запишем выражение (22) в виде

- к ( cosa \2m+! г дТ

^^1 = (.i' + Т?йн) J ~MPMix- (24)

— 1

где*=1— 2р2, и разложим производную циркуляции в ряд по полиномам Лежандра:

дГ 00

~ = (25)

р.=0

Тогда, учитывая свойство ортогональности полиномов Лежандра, получаем на основании (24) аналитическое выражение

7, = А_ hm í eos a

Vs2m+1 Ttr 2/П+1 (1 + I sin a | J ’ (26)

показывающее, что на коэффициент vs2m+i влияет только один из коэффициентов ряда (25) с индексом у.—т.

Аналитические представления ядер S„ при четных индексах

п — 2т. Пользуясь уравнением Гаусса так же, как и при нахождении преобразования (18), можно показать, что интеграл (10) допускает выражение через следующие гипергеометрические функции:

J2т '

2+ т+ ~ , 1; р2 j при р<1,

( \)т(2т— 1)!! р | 1 m , 1 . пт м. М

23-1 т{----р f í/n-j-g-, я| + —, 2/Я+1, p-J

при р > 1,

(27)

которые преобразуются к функциям Лежандра первого и второго родов

2 Р 1(1-2?) при р~<1;

$2т '

(— \)т — Q i (2р2 — 1) при р>1.

(28)

Представление (28) удобно тем, что из него сразу следует рекуррентная формула

>2т+2 -

г (1 - 2р2) S2m - -^рг S2m-2. (29)

2т ■+

Для удобства практических расчетов обратим функции (27)

в полные эллиптические интегралы I и II родов, учитывая, что эти интегралы имеют следующие представления:

, 1; х2

Положив в формулах (27) т—0 и т— 1, получим соотношения

при р<1,

4^(Р)

7С •

_4_

я

_4_

тср

[2£ (?)-*(?)] 1

/Г(— при р>1;

1

при р*0» при Р> 1.

2Р2£: — (2Р —1>/С(^

С помощью этих соотношений рекуррентная формула (29) позволяет легко определять ядра Э2т для любых натурных т. Графики

-10

——Ч |

\ ч ч Х/7=/

\\ У у* .8- ж

/о\ г

аж ул 0,7 \ % . ~1,7Г А

V / ?

/

'1°

. Фиг. 3

этих ядер приведены на фиг. 3. Теперь по формуле (10) численным способом или путем разложения ядер по полиномам Лежандра ВЫЧИСЛЯЮТСЯ коэффициенты фв2т ■

Полученные решения (18) и (28) позволяют сделать вывод о том, что все ядра суть решения уравнения Лежандра. Эти ядра с точностью до постоянного множителя определяют коэффициенты при этяф разложения скорости в ряд Фурье, индуцированной свободным вихревым слоем так называемого элементарного винта (или винта с постоянными циркуляциями несущих линий). Полуразность смежных ядер определяет в соответствии с формулой (15) коэффициенты при соэ/гф этого ряда.

Интегральные представления функций Лежандра с полуцелыми индексами. Преобразование интеграла (14) к виду (28) позволяет получить следующие интегральные представления функций Лежандра первого и второго родов:

Р 1 (1 — 2х2) — 12т{х) при 0<х<1;

ТП—

2

(2л;2

0=(—1)т-тг12т(х) при Х>1,

где

Здесь Т2т(р) — полином Чебышева I рода по параметру

(•хсов^—1), где /=уЧ+л:2 — 2лсозд.

Ядра Сп. Если ядра и коэффициенты г>8Я вычислены, то нет практической необходимости выражать ядра С„ через специальные функции и определять по ним коэффициенты^ „, пользуясь формулой (9). Для получения числовых значений vcn следует воспользоваться элементарным соотношением (16). Поэтому в рамках данной статьи преобразование ядер С„ к специальным функциям имеет главным образом теоретический интерес.

При четных индексах п = 2т ядра Сп на основании формул (15) и (18) выражаются через полиномы Лежандра

Рт(1 —2р2)— Рт-г (1 — 2рг) при Р<1, О при р>1,

которые могут быть объединены в полином Якоби

2р3 Р^'Л(1 - 2р2),

■"¿т '

(30)

откуда следует явное выражение

£2т

2'

'т ц Р

2|і

где

-2т (—1)^2 т

2^~1і>.[ (2[л—2)!!

(4т-

(р)

7

/ Л

/7= >0у X д

А ' \ ч

% г/* 5/ гв \* Iі ІГ

*<

>4

\

\

\

\

22)(4т2 — 4г)...[4/м2 Здесь (2а —2)!! =

Фиг. 4

при |А = 1,

(2}х — 2)г] при р > 1.

2-4-6... (2[а — 2). Для низших индексов т получаются элементарные формулы:

С2 = -2&

С4 = — 4р* + 6?;

С6 = — 6? + 24?—20?;

С8 = — 8р2 + 60(Г4 - 120? + 70 р8,

Ядра С2т могут быть также выражены через гипергеометрическую функцию, вытекающую из представления (30):

С2т = — 2тр2/?(-т+ 1, т+ 1, 2, р2).

Интересно отметить, что функция Т7 содержится в выражениях для коэффициентов ®Ся, полученных В. Э. Бас-киным [2], что устанавливает связь данной работы с работой [2].

Ядра С„ при нечетных индексах п = 2т + 1 могут быть с помощью формул (15) и (28) преобразованы к функциям Якоби первого и второго родов,

допускающим представления через полные эллиптические интегралы. Для низших индексов т имеем

4- [*(Р> — £(Г)1 при р< 1,

С,=

4 ~

— Р

К

с, =

т)-(7

-|г[(1-4р3)А:(р)-(1-8р2)£(р)] 4

(5-8р2)Д'|4-]-(1-8р2)£^

при р>1,

при Р < 1, при Р>1.

(р) \

\

\

/ \

Ч| V

7\Н\

/ А

X ■5Г Г \ \

■7 \ г?

0,25 ка,5\ Щ л УН 1,7Ь 2 Ч В 8р

О { л

\ V Ы=з

\ 1

Фиг. 5

Графики ядер С„ приведены на фиг. 4 и 5.

Получение простых формул гармоник скорости свидетельствует об эффективности применения аппарата теории гипергеомет-рической функции в теории винта. С помощью этого аппарата удается рассмотреть различные варианты интегральных преобразований и найти среди них удобные решения, а также обнаружить интегральные представления специальных функций. Рассмотренный подход обобщен и на случай учета влияния нестационарности обтекания лопасти на индуцированную скорость [8].

Автор признателен Г. И. Майкапару и В. А. Головкину за обсуждение работы и полезные советы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Майк ап ар Г. И. Приложения вихревой теории винта. Труды ЦАГИ, вып. 613, 1947.

2. Миль М. Л., Некрасов А. В., Браверман А. С., Гродно Л. Н., Лейканд М. А. Вертолеты. Расчет и проектирование. М., „Машиностроение*, 1966.

3. Проскуряков А. П. Теория несущего винта при нулевом угле атаки. ПММ, т. XX, вып. 4, 1956.

4. М а й к а п а р Г. И. Вычисление индуктивной скорости для режима косой обдувки воздушного винта. Сборник работ по теории воздушных винтов. Изд. БНИ ЦАГИ, 1958.

5. Слуцкий А. И. Аэродинамический расчет ротора геликоптера. Сборник работ по теории воздушных винтов. Изд. БНИ ЦАТИ, 1958.

6. ЛепилкинА. М‘. Теория несущего винта и взаимного влияния винтов. Изв. АН СССР, „Механика и машиностроение“, № 5, 1963.

7. Вождаев Е. С,. О некоторый функциях гипергеометриче-ского типа, встречающихся в механике. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 6, 1970.

8. Вождаев Е- С. Дисковая теория несущего винтат См. книгу: В. Э. Баскин, Л. С. Вильдгрубе, Е. С. Вождаев, Г. И. Майка-пар. Теория несущего винта. Под общей редакцией проф. А. К. Мартынова. М., Машиностроение, 1972.

Рукопись поступила 13/VII 1971