Аналитические решения для гармоник поля скоростей, индуцированных несущим винтом Текст научной статьи по специальности «Физика»

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXII 2001

№3—4

УДК 629.735.45.015.3.035.62

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ГАРМОНИК ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ, ИНДУЦИРОВАННЫХ НЕСУЩИМ ВИНТОМ

В. С. Вождаев, Е. С. Вождаев

В рамках дисковой теории с использованием специальных функций получены аналитические решения для определения коэффициентов гармоник трех компонент индуктивной скорости в пространстве вокруг несущего винта. Показано, что в общем случае, когда расчетные точки располагаются не только в плоскости вращения винта (у = 0), но и выше ее или под вихревым следом от винта, решения для гармоник представляют собой, как и в плоском случае, произведения функции угла атаки а на функцию координат г и у расчетных точек, находящихся на не пересекающих вихревой след окружностях (описываемых расчетными точками при изменении азимутального угла у в Пределах одного оборота). При этом решения определяются полными эллиптическими интегралами первого, второго и третьего рода.

Установлено, что с использованием простых преобразований выражения для первых гармоник по аналогии с плоским случаем (7 = 0) могут быть сведены к полным эллиптическим интегралам только первого и второго рода.

Для упрощения методики расчета коэффициентов гармоник развита замкнутая система рекуррентных соотношений. В неполных эллиптических интегралах реализуются решения в тех случаях, когда расчетные окружности пересекают след от винта.

Известно много работ в области построения аналитических решений на базе дисковой теории, развитых для быстродействующих программ расчета гармоник индуктивных скоростей у в плоскости вращения винта (см. литературу в [1]).

В работах [1] — [3] установлено, что в этом случае ядра интегралов по радиусу лопасти р, описывающие коэффициенты гармоник о , представляют собой полиномы или функции Якоби, умноженные на соответствующие весовые функции. Расчеты этих функций с использованием рекуррентных связей заменяют троекратные интегрирования по азимутальным углам лопасти 8, расчетной точки \|/ и элемента вихря $ (соответствующее интегрированию по полубесконечному вихрю), что существенно уско-

ряет вычисления. С использованием такого подхода для несущего винта с шарнирным креплением лопастей получены аналитические выражения, необходимые для расчета махового движения и первых трех гармоник циркуляции Г [4].

В [1] подробно рассмотрен также вариант задачи, связанный с отсутствием в следе поперечных вихрей при постоянной по времени (или азимуту

лопасти) циркуляции Г. Простота аналитических решений в этом случае обусловлена представлением ядер в виде полиномов и функций Лежандра [5]. Установлено, что ядра гармоник v , имеющие вид интегралов по азимутальному углу лопасти 0, являются новой формой интегральных представлений гипергеометрических полиномов и функций Лежандра, а также полиномов Якоби [6]. Полученные интегральные представления для полиномов Якоби р(а'^, как оказалось, при замене в них целого п на полуцелое значение этого индекса (положительное или отрицательное) могут служить производящими функциями нового типа классических гипергеометрических функций — функций Якоби, отсутствующих в справочной математической литературе (см. [6]).

В настоящей статье рассматривается расчет вертикальной проекции полной индуктивной скорости vy=v и двух других ее компонент 77rad и

Т>х, направленных соответственно вдоль радиуса 7 и перпендикулярно к нему. Кроме того поставлена задача применения развитых в [1] и [2] аналитических методов гармонического анализа при у = 0 к тем областям пространства, характерной особенностью которых является независимость пределов интегрирования по радиусу р и азимуту 0 Лопасти от угла атаки а и координат 7 и у . При этом окружность расчетных точек не пересекает след от винта, а базовыми функциями решений являются полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода.

В противном случае область интегрирования по азимуту лопасти 0,

приведенная к интервалу (0, к), разделяется на два участка (0, 0*) и (0*, л), на каждом из которых характерная функция угла атаки Ка = cosa/1 ± sin a имеет фиксированный знак. Отличительной особенностью этих решений является зависимость пределов интегрирования от начальных параметров a, 7 и у , обусловленная пересечением вихревого следа окружностью расчетных точек, а также использование вследствие этого в качестве базовых функций неполных эллиптических интегралов. В результате оказывается невозможным прежнее представление решения в виде простого произведения функции угла атаки на функцию координат 7 и у . Ввиду возросшей сложности задачи аналитические решения для ядер в специальных функциях практически реализуются только для первых гармоник. В работе [7] получено такое решение для средней; по времени индуктивной скорости vr (Гг).

Однако не следует полагать, что эффективное решение с использованием гармонического метода можно достичь только на базе дисковой теории. Как показано в [8], для воздушного винта в осевом потоке гармонический анализ в рамках лопастной теории позволяет заменить двукратное интегрирование по азимутальным углам лопасти 0 и элемента вихря 9 (вдоль полубесконечного вихря) вычислением модифицированной функции Бесселя и функции Майера, соответствующих косинусным и синусным членам гармоник и , кратных числу лопастей к , что позволяет реализовать программу расчета поля индуктивных скоростей практически без затрат машинного времени.

Основные интегральные соотношения для гармоник индуктивной скорости. Осредняя величину вертикальной составляющей полной индуктивной скорости в точке А(г, \|/, у) по азимутальному углу лопасти 0, а затем интегрируя по всей длине вихревого цилиндра по азимутальному углу

Рис. 1. Возможные варианты расположения расчетных точек на окружности радиуса г

элемента вихря 0, придем к известному в дисковой теории [1] выражению

V для системы продольных вихрей (рис. 1).

5 = 1 ^[5,+ У^ме. (1)

Ы I 0 ^

Функции влияния и £>2 имеют вид:

р р-СО8(0-1|/)

щ ==[-——— + сое а сое 0] [Ьу + (Ьх - ^а) сое а] 1, (2)

V Ьу

где [II

сое СЬ /»7 г * . ? н . —_1

и2 = \1у+ (Аг - у *§°0с0!3 а1 > (3)

■'Л

=р сое 0-сову, Ь2 = р8т0-8ш\|/, (4)

Ьу = ^у2 + 1?х + В2 = ^1 + р2 + у2 - 2рсоз(0 - \|/) . (5)

Параметры, отмеченные волной, отнесены к 7: Функции щ и й2 определяют соответственно собственные и перекрестные влияния гармоник Г и V . Под расчетом собственных и перекрестных влияний подразумевается определение коэффициентов и™ — Т>ап(ГаУ) при а = с или 5 и

—Ь\> — —Ьу

Оап — УаП(Г ), когда я = с или 5 при о = 5 или с соответственно (обозна-чения лис отмечают синусные и косинусные гармоники). Заменяя в интеграле (1) переменную 0 - \у на 0, получим

сое 8 соз(0 - <р) + сое а сов(0 + \|/)

— - ■ г > (6)

1у(1 + ^соза)

со8асо8б8т(ф + \|/) ^

1>2 ——='-=-------------------------------• (')

г Ьу{\ + гх сова)

Здесь

Ьу Ьу

(8)

Ь = + р2 -2рсо80, £у = \]\ + р2 + у2 -2рсоз0 , (9)

рвт0 рсов© — 1 ,,лч

вт ср = ——=—, совф^-—=--------------, (10)

1ы! . 1*)

^ =^^-sin6tgа. (11)

Ч

Существенно, что сумма в знаменателе (6) или (7) может быть представлена в виде произведения

1 + tx cos а = (1 -sin8sina)[l + cosPcos(<p + v|/)], (12)

где

cosScosa . „ sin8-sina

cosp =--------------, sinp =---------------. (13)

1-sin б sin a 1-sin 6 sin a

С учетом соотношений (8)—(13) рассмотрим для примера процедуру определения коэффициента її" =їїсл(ГСУ) (собственные влияния косинусных гармоник).

, 1 2к 2ж _

=—г- f f f—£— i>j cosn\|/ cos v(0 + \j/) dp dQ d\\i. (14)

8л - * ' dp

Po о о

Заменяя в (14) \|/ на \|/ - ф, а ф + у на ц/, получим

1 2п 2я

-cv _ k ГГ Г dr СУ cos v(6 + \|/ - ф) COS и(\|/ - ф)

С" SiJv-) ' * dp Zv(l-sin8sina)(l + cospcos\|/)

Po О и }

x[cos8cos^-0) + cosacos(0 + v|/^)] p dp dQ dty. (15)

В случае перекрестных влияний, например для .vsn(Tcv) > поступая аналогичным образом, получим

-cv A: cos a V 2 г 2 г dFcv cos 8 sin \\i cos v(8 + у - ф) sin и(\|/ - ф) ^ ^

Sn 8Л J i dp Zv (1 - sin 6 sin a)(l + cos (3 cos у)

p0 о о у

При интегрировании по у в этих формулах следует учесть, что

К J1 + C0SPC0SV|/ |sinp|

Здесь

(17)

р l + |sinp|

Используя выражения (13), можно показать, что

Ц=КъКа, (18)

где

1 + signP sin 8’

1 - signp sin a ’

signp = sign (sin 8 - sin a) =

1 при (sin8-sina)>0, -1 при (sin8-sina) <0.

(20)

Рассмотрим варианты решений, при которых параметр signp не зависит от переменных интегрирования р и 0 (при этом функция угла атаки Ка выносится за знаки интегралов). Независимо от значений р й 0 условие signp = 1 справедливо при a = -90°, а также при а<0, у>0, когда

окружность расчетных точек г = const расположена в плоскости вращения винта или выше этой плоскости (см. вариант 1 на рис. 1).

Отметим, что условие signp = -1 выполняется в том случае, когда

окружность расчетных точек при а<0, у < 0 расположена под вихревым цилиндром, не пересекая его (см. варйант 2 на рис. 1). В частности, при у —»-оо параметр 8—>-90°, и, следовательно, signP—>-1. Очевидно, что

в последнем случае смещение центра вращения A = |_yctga| должно превысить сумму относительных радиусов 1 + г (r<h-1).

В случае, когда окружность достаточно большого радиуса г > h +1 при а<0, -у< 0 охватывает вихревой след, выполняется соотношение|б| <ja|, при этом signp = 1 (см. вариант 3 на рис. 1). Отметим, что первые два варианта отличаются положительным знаком произведения Pjy (signPy = 1). В третьем случае Р.у < 0 (signp у - ~1).

Если угол р меняет знак на интервале 0 < 0 < к (окружность расчетных точек пересекает вихревой цилиндр), то функция угла атаки Ка, как отмечалось ранее, не выходит за знак интеграла и не может быть использована в качестве множителя в формулах, определяющих коэффициенты гармоник.

С учетом (17) запишем общие решения для собственных и перекрестных влияний. Отметим, что функции sign а и sign b равны 1 и -1 соответственно для косинусных и синусных гармоник, когда параметры а и Ъ равны с или s.

Собственные влияния при а=с или s (система продольных вихрей):

Ро

-signa sign(«-v)A:!rvWv+U) -s;(v-U))]rfP.

_ / пл+v k [dTbv 1 rlrn+vtr(v,l) ,

Van-~{~l) J —-=—-|Aa +

2nr-J do 2 Po

+ signb sign(n-v)K^S;M)]dp. (22)

Здесь для базовых функций S сохранен порядок записи подстрочных и надстрочных индексов, связывающий их с полиномами и функциями Якоби

^(а’Р) [3]:

Sn±(v’° (Р, У) = ~ ЬФ±У| со 8[жр ± v(<p - 0)]4f. (23)

яо Ly

Знаки «+» и «-» в (23) соответствуют сопряженным ядрам или решениям. В дальнейшем при обозначении ядер знак «+» может быть опущен.

В системе поперечных вихрей существуют только собственные влияния гармоник. После замен 0-\|/на0и<р + \|/на\|/ получим:

Г sin v(\|/ - ф + 0) cos и(у - ф)1

-av V V 2f 2f rav 1 COS v(u/ -ф + 0)sinи(\1/ - ф) I

Van =-signa—r== -s— ---------------------------;--x

Sn Vr.J - ' Ly (l-smasm5)(l + cospcosv|/) x[cos6-^7^-cosasin(i|/^ + 0)] dp dQ d\|/. (24)

Верхняя и нижняя строчки в фигурных скобках соответствуют вариантам а - с и а = 5 . Интегрируя (24) по параметру у (так же, как и в случае продольных вихрей), придем к следующему результату.

Собственные влияния при а= с ши 5 (система поперечных вихрей):

4 nVr-J 2

Po

-signa sign(n-v)4”“v|(5„~(v+U) +5„-(v-,’l))] dp. (25)

Ядра 5^уЛ)— интегральные представления специальных функций. Полиномы и функции Якоби. В частном случае при у = 0 в формуле (23) весовая функция Кь = 1, и Ьу = Ь . В результате ядра ^ определяются через полиномы и функции Якоби соответственно при целых и

полуцелых значениях N(z-p), [3]:

руР^' при7У = (я-у-/)/2 и р<1,

^ ПриЛ^ = (у-и-/)/2 и р>1.

Двухпараметрические функции (23) представляют собой более общий класс функций по сравнению с функциями Якоби (26).

; Частным случаем функций при V = п и I = 2т +1 являются

и присоединенные функции Лежандра [5]

"о 4

которые могут быть представлены также через функции Якоби с полуце-лыми отрицательными номерами

8-(пЛт+п =, и/и {(2л)2 - 1][(2и)2 -З2]....[(2я)2 — (2т — I)2];

[(2/и-1)!!]2

2т+1

/ \

X

2 (28)

где

1?=— 2=-Т===, а = \ + рг+у\Ь = 2р. (29)

2+1 \а -Ъ

Полагая в (29) у-0, нетрудно показать, что переменная х равна

р или 1/р соответственно при р<1ир>1. Сопряженные функции

5*('/,1)(р) в этом случае связаны следующим простым соотношением [3]:

,„п '|(-1)у5;(у’1),и>у,

^уЛЧ ",(зо)

(-1)'Ч~(У’\ У>п.

Однако установлено, что и в общем случае при уф0 функции

«^л также удовлетворяют соотношениям (30). Таким образом ока-

залось, что сопряженные решения при / = 1 могут отличаться друг от друга только знаком. Интегралы (27) приведены на рис. 2 и 3 в функции параметра р = р/7 при у = у/Т = 0,25 и / = 1,3.

Как следует из (26), ядра интегралов (23), определяющих коэффициенты гармоник индуктивных скоростей в плоскости вращения винта, являют-

Рис. 3

ся новыми интегральными представлениями функций Якоби с целыми и полуцелыми индексами. В частности, при р<1 имеем

(г = р , а = у, р = /):

Р„(а’р) (г) = (-1)“+Р+| р-“ 1 |с08[(2« +1 + а + Р)Ф + а(ф- в)]-~-. (31)

Я о ь

Замена в этом представлении п на (я-1)/2 приводит к переходу от целых к полуцелым решениям.

Отметим, что /^“’^=0 при целых отрицательных п, причем ^>(«,3) _ (а +1)_(а + р + 2)г, [3]. При а = Р = 0 эти интегралы

очевидно являются интегральными представлениями полиномов и функций Лежандра.

-5,

V

1

од

<м

о*

о

(О. I)

ру>0

— У/г=0

----У/г =0.05

-----у/г = 0.25

у/г = 0,5 у/гш I

Рис. 4

V

о,*

0,4

ор.

(1.1)

&У>0

~л'~4

//

/

■ /

——у/г~ О --- >'/'■ = 0,05 ...... у!гш0,25

-----у/г- 0,5

-----у/г=1

0*5

Рис. 5

На рис. 4 и 5 показаны зависимости -£,(0,1)(р,у) и р^1’11 (р, з>). Несложно показать, что функции _у) и 8$,]\р,у) могут быть представлены

в виде комбинации полных эллиптических интегралов первого и третьего рода:

5Г(р,й=41тГ'?<1’

Р>1,

*Г(Р

р[1±^“, р>1.

Верхний и нижний знаки в этих формулах соответствуют тем вариантам расположения расчетных точек, при которых $у > 0 и Р_у < 0 (см. рис. 1):

1 ^±F , р<1,

^=_и_

п^а + Ь

±К(к)

Здесь

кг^

(1 + р)2 (а + Ь)

Используя рекуррентные соотношения, нетрудно убедиться в том, что и в общем случае характер зависимостей 5^у,/)(р,у) определяется эллиптическими интегралами первого, второго и третьего рода.

Рекуррентные соотношения для ядер. Функции 5^у’^(р,^) могут быть определены интегрированием по формуле (23) или с помощью рекуррентных соотношений. Можно показать, что как в общем, так и в частном

случае у = 0, справедливы следующие выражения [2]:

2«5<у>0)=-(п + у)[^у+’1,)+^у'1|)],

2у^у’0) = р(л + У)[^у+и) + 5<у_и)]. Сравнивая (33) и (34), получим:

.. «р[^у+М) +-уГ1,1)]=-М5$) +$£?]•

(33)

(34)

(35)

Теперь можно показать, что искомые ядра описываются замкнутой системой рекуррентных соотношений:

[(Л + У)^ -(и-у)5^] = 2л[^у-1) -р^'’0], р[(п + ч)8(;+]Л + (п-у)^у~и) ] = -2у[ ^<у-'> + ^ ].

(36)

(37)

Полученные данные позволяют записать следующую общую рекуррентную формулу:

-Я2л+ 1^'> ■-[1-2р2 -2у2 +4-]S^,, + 1(п + 1) п - 1

(38)

2(л -1)

Для анализа присоединенных функций Лежандра 8„{'п,1\р,у) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями:

[2(л +1) - /]5'~|”+,’/> +[2(«-1) + /]^Г1’/) =4

Общие решения для гармоник индуктивных скоростей. С учетом правила (30), запишем решения (21), (22) и (25) в свернутой форме (с выделенной в качестве единого множителя функцией угла атаки).

Собственные влияния при а=с или 5 (система продольных вихрей):

Собственные влияния при а= с или 5 (система поперечных вихрей):

Формула (42) преобразована с использованием рекуррентного соотношения (34). В этих решениях общим множителем для всех рассмотренных вариантов является функция угла атаки следующего вида:

Сравнивая общие выражения (40) — (43) с соответствующими данными, приведенными в работе [2] для частного случая у = 0, нетрудно установить формальную тождественность полученных результатов. При этом очевидно, что решения для несущей линии не требуют специального анализа и могут быть сразу записаны с помощью формул, соответствующих

плоскому случаю, с заменой в них базовых функций <^у,/)(р) на 5’п'” 1\р,у). Тем не менее, рассмотрим краткий вывод этих решений-

Ро

Перекрестные влияния при а (система продольных вихрей):

о7п =*івпа(-1 )й+У-^=іС(а) -5<у-и))Р<*Р- (40)

4пУ Лр

—Ьу 1>ап =

2кг а р

Ро

(41)

»аап =-мёпа(-1)л+у-^=^аа;(а) ГгвУ(5'<у+,-1) +^у-.‘*|)) йр = 4пУг

Ро

А^(а) = І К«У + 8І§П*(-1)У*Г'. п > V,

При афЬпп = у в (43) К= К2п /2 .

(43)

Несущая линия. Осредненная величина и для несущей линии, как известно, имеет вид [2]:

<“>

8я г р0 о Ч

Функция Ьу определена формулой (9). Отличное от нуля решение (44) существует только для перекрестных влияний (а Ф Ъ) при п=у [1]:

-Ьп к 1 -

иа"п ^Тьп Jndp. (45)

Здесь

. 1 2?2г8т08тл08т2и\(/,п

=^2 I I------------Й------^ (46)

О О ЬУ

Нетрудно показать, что ядра Jn можно представить, как и в плоском случае, через присоединенные функции Лежандра (28):

^=п

3

= у). (47)

ур) Р

Подставляя (47) в (45), получим [2]:

1

[гАи5;(яД)^. (48)

4яг-'' р

Ро

Первые два ядра при п=0 и 1 имеют вид:

С=Л^Г(*2) = -.&М. (49)

\Р ~~ Л\Р

^Г(и) =хЯр(\’°\х2)=-2=[К(х)-Е(х)\. (50)

\Р ~2 ку/хР

Системы продольных и поперечных вихрей. Рассмотрим далее задачу определения собственных влияний гармоник, обусловленных суммарным воздействием продольных и поперечных вихрей. Запишем общее

выражение ДЛЯ индуктивной скорости V = 1>ир + Упп ■

к

-2т

1 2 к

8ГК-- п Ро 0

(51)

Здесь В — подынтегральная функция, определяющая собственные влияния гармоник

V =-

Ь у (! + (* сое а)

? ~ (эшб-эта) соя о ■

1 + ^соза

(52)

После замены переменных (0-\|/ на 0 и \|/+<р на \|/) и интегрирования по у с учетом того, что

1 я ч

я «I

С08"4'

0 (1 + С08Рс08\|/)2 вт2р

м / у л я| +

V .8ШНУ

(53)

зт р|

л

в результате несложных преобразований, получим ( г = р ):

7ап = -81§ш(-1)"+У Л= [Гву [Кпа+Ч Г (И + У)^> 2) + 81еПр^У-3) 1 +

4пУ ■' 1 ь -1

го

+81дпа^_У1 [|и - у| ^(У’2) + 81§пР5>5'“(у’ 3) | <&. (54)

Видно, что для перехода от выражения (54) к решению с выделенной в качестве общего множителя функцией угла атаки и согласования с плоским решением необходимо выполнить условие

^л + у)^2)±|;Р|5<у’3)

(_!)"[(„-у)5л-(у’2) ±|у|5;(у,3)], п > у,

.(-1)”[(у-и)^(у,2) ±|Я#У,3)], у>«.

Как следует из (55), при л=у ядра ^у определяются через присоединенные функции Лежандра (28), не содержащие интегралов третьего рода,

К =±(-1)й|>)|^я(л’3)- (56)

Напомним, что знаки «+» и «—-» соответствуют з1дп(Ру) — выбранному варианту расположения окружности расчетных точек, не пересекающей вихревой след (см. рис. 1). С помощью (56) при у = 0 можно установить связь сопряженных решений для функций Якоби 5*(у,2)(р) при 1-2:

(« + у)^у’2) =

(-іГСл-у)^’^, И>У, (-1)"(у-п)&у-2\ у>п.

(57)

Тождество (55) позволяет записать решение (54) в свернутой форме.

Собственные влияния при а = с или 5 (системы продольных и поперечных вихрей):

В общем случае, в отличие от плоского решения, внеинтегральный член отсутствует. Внеинтегральный член появляется только при у = 0 для

и и Г одинаковой четности. Соответствующие полиномы Якоби (27) имеют номера, переходящие при интегрировании по радиусу лопасти р последовательно от целых положительных (отрицательных) к целым отрицательным (положительным) значениям N соответственно при n >v (р<7) и V>п (р>7). Именно вследствие этой перемены знака N ядро при интегрировании по р претерпевает скачок (при N<0 оно становится равным нулю). Ниже представлен плоский случай общего решения (58) вместе с внеинтегральным членом в квадратных скобках:

(58)

Здесь, в соответствии с (43), при а=Ъ

(59)

Рассмотрим интегральное преобразование вида:

Рі

(60)

РО

Подставляя (60) в формулу (58), получим

(61)

системы продольных вихрей (40) в случае собственных влияний гармоник

Появление этого слагаемого обусловлено предельным переходом к плоским решениям. Сравнивая (61) и (62) при п = V с учетом (57), получим

р|

Гап =1ЙпГа„,

у-> О

(63)

РО

Предельное решение (63) может быть реализовано и с помощью обычных приемов интегрирования функции с особенностью. При у = 0 и п=у интегральный член в формуле (62) отсутствует и решение приобретает наиболее простой вид [2]

Суммируя решения для коэффициентов собственных влияний от систем продольных (40) и поперечных (42) вихрей придем, очевидно, к решению (58). Из этого обстоятельства следует возможность получения общих выражений для определения производных ядер интегралов индуктивных скоростей.

Производные ядер 4уД)(р,у). Примеры простых аналитических решений. Дифференциальные рекуррентные соотношения имеют вид:

Полагая в (65) и (66) п=у=0, получим простые выражения для произ-

I 4кГ]

(64)

ар

Здесь (как и в рекуррентных соотношениях) вместо у следует использовать у. Можно показать, что в формулах (67) и (68)

3

г .л;

£(0,3) _ Г £ |12 р(0,2) ,2 Ч _

° 1ру К(а-Ь)у1а + Ь ’

з

5Г(13)=-3

/ N

л:

,Р,

яр ыа+Ь

а-Ь

Е(к)-К(к)

Как следует из соотношения (63),при п = 0 (см. рис. 6):

Р1_

Гг = НтГ,., Тг=у [Гг(р)5д°’3^р^р.

?->о ~

* Ро

Полагая в выражении (40) п=у = 0, получим

А г^рчр^1’1)(р^жр.

4пУ */р

Ро

(69)

(70)

(71)

(72)

Интегрируя при у = 0, придем к формуле Н. Е. Жуковского (см. рис. 5):

- ч к (ч/Г, - кГг(г)

УГ(ГГ) =----= \—=г^Р =----------

ЛпУ -* й?р 4яГ

(73)

Рис. 6

Преобразуя (72) с учетом (67), получим общее решение, записанное в форме плоского случая (73):

_ к Р1-' И

иг(Гг)=--^ ГГг-^{1Л)(р,дар=

АтгУ На

4кУ • <1р

РО

Р1

= |г^0>3)р</р = -^р-^

А'ттХ/ *

4 пУУ

Ро

На оси винта решения (72) и (74) примут вид:

4я У

- = , к \агг

Ог(Гг)=-----= ——

4кУ -* (Гр

Ро

1 - 51ёПр У_-~

(Р +/)1/2

Ор =

т

4кУ У г (р2 + у2)3/2 Ро г

(74)

(75)

При п—у общие решения (58) имеют вид (64) с заменой Топ на Гап. Функция угла атаки Ка (см. (19)) зависит от варианта расположения расчетной окружности (см. рис. 1). Как следует из (41), при а=5,6=с, и=1 и V =0

од (Гг)=-^& Г^-5,(0’1)^р = -^- Ггг 2кг -■* (1р '

Ро

2пг

Ро

йр

с/р. (76)

Интегрируя при у = 0, придем к известному решению [1] (см. рис. 4):

- - кК гй?Г,. - кГг(г) соэа

ОД (Г/-) =-------& р =-------------^---------—-г

2яг-* <1р 2яг 1+вша

Ро 11

(77)

Преобразуя (76) с учетом (68), получим:

Р1.

2я г

„в1(Гг) = -81ёпр [гг5Г(1’3)(р, уЩ. (78)

Отг г 3

РО

Используя решение (40) при а=с, V =0 и и=1, запишем выражение для коэффициента первой косинусной гармоники при уф0 в форме, соответствующей плоскому случаю:

™(г'):=т% |^Г(1’П(Р.ЯРФ • (79)

2кУар

Ро

Гармоники продольной и поперечной компонент индуктивной скорости. Рассмотрим вначале задачу определения коэффициентов гармоник для проекции полной индуктивной скорости в направлении полета и (см. рис. 1). Как следует непосредственно из сравнения формул Био-Савара для *7=17 ий = их в случае перекрестных влияний (система продольных

вихрей при афЬ):

—Ьу —Ьч

Мдл = 1>ал • (80)

В [2] установлено, что для собственных влияний, обусловленных системами продольных и поперечных вихрей, при п Ф V и у- 0

—ам “йу

Ыап — Пап . (81)

Однако, как показано в предыдущем разделе, все формулы варианта

у - 0, в которые в явном виде не входит у , справедливы и в общем случае

уф 0. Варианту п = \Ф 0 соответствует следующее решение:

—ап -ап кГ „„

и ап = Щаиап----=-22— • (82)

4яКсоза

Здесь коэффициенты Гап определяются по формуле (63), причем

- — АТ

иг(Гг) = -Ка^. (83)

4 пУ

С учетом (72)—(79) при а-с или 5 имеем (функции, записанные ниже в квадратных скобках, не зависят от угла атаки а):

Кг(Гг) = -КаиДГг), йв1(Гг) = 18а*а ий,(Г')

(84)

Условия (80) — (83) позволяют записать поле скоростей в следующем виде:

u(r,y,\^l) = tgav(r,y,\^l)-ф±^l, (85)

4 пУ сова

где функция Г(7, у, у) задана рядом Фурье (63).

Перейдем далее к поперечной составляющей полной индуктивной скорости w=vz. Можно показать, что для собственных и перекрестных влияний при n^v имеем соответственно (а и Ь — с или s, причем signc = l, signs = -1):

• /0

wan =-sign(po)---^-~-------, (86)

К bn (a) cos a

wybv / \ bv

wa„=sign(p6)-^—------------. (87)

K&(a) cos a

В частности, при n > v

—av ;

wC = -sign(pa)-^-, (88)

cos a

—bv

Wbj„ = sign([3fr) . (89)

cosa

При n = v

Wr,

wan = signp(-l)"

l + signa(-l)”—2— cosa

^ )^р (90) 4яг

Ро

Коэффициенты первой гармоники примут вид при а * Ь(а=с или 5 при 6=5 или с):

и'г(Г/.)=^пр-^~

4яг -•'др

ро (91)

cosa

Ffci(rr)

Здесь функции в квадратных скобках также не зависят от угла атаки а . Рассмотрим теперь влияние несущей линии на гармоники и и м>. От-

5 ■ —Ь\

личные ОТ нуля решения имеют место ДЛЯ перекрестных ВЛИЯНИИ Ыап и для собственных ВЛИЯНИЙ у/ап При |/1 —у| = 11

- - кл> Р| —

Иа«(Гй(я±l)) = +signa-2L (’Гб(л±1)5,“("’3)й?р, (92)

8яг у

РО

^вя(Гв(|.±|)) = -Дг jra(„±i)5;(,,’3)Jp. (93)

~ Р1

8я г

РО

_ _ къ Р1-

«,.(Гг) = *с,(Гг) = -^1 |г,.5Г(1’3)^р. (94)

Ро

По известным значениям ми»по формулам пересчета могут быть определены радиальная йга(1 и окружная составляющие полной индуктивной скорости. Запишем выражение для средней за оборот окружной скорости в общем случае при Г(р, 0) = Гг(р) (см. (84) и (91)):

йгср =К.(Г,)+ й>С1(Гг)]/2 = -81впр^^. (95)

2Ка

Отметим, что, как следует из формул (77) и (95), при у-0 и (3>0 йхср =кГг/4к¥. Рассмотрим далее задачу определения коэффициентов гармоник в осевом потоке (при а = -90° , Р > 0). Сравнивая коэффициенты ц?1(Г,.) и и'с1(Гг), полученные для несущей линии (94) и системы продольных вихрей (см. (84) и (91)) при а = -90°, отметим, что они равны по величине и противоположны по знаку. Таким образом, с учетом компенсирующей роли несущей линии

-__Чс1_(Гх).С0 Я?= —(—- 8Ш\|/ ■

2Ка У 2Ка

Сравнение с экспериментом. На базе результатов, полученных в работе [4] с использованием предложенного метода анализа гармоник индуктивных скоростей, была создана быстродействующая программа расчета аэродинамических характеристик несущего винта с шарнирным креплением лопастей в косом потоке. В работе [4] для нескольких первых гармоник приведены необходимые аналитические выражения для определения углов взмаха лопасти Р(х(/), распределения циркуляций Г(7,\|/) и углов атаки а(г,у|/) профилей лопасти. Далее по этим данным с помощью таблиц, содержащих результаты трубных продувок профилей в стационарных условиях, определяются коэффициенты сопротивления сх, подъемной СИЛЫ Су

и момента тангажа тг (стационарное решение). В 1994 г. в вертикальной аэродинамической трубе Т-105 ЦАГИ были проведены измерения давления по поверхности дренированной в семи сечениях лопасти модели винта ^ = 2,656 м в достаточно широкой области заданных параметров — V, аЭф, сТ /а, характеризующих режим работы винта. Измерения выполнялись в 26 точках по контуру профиля ЫАСА 00-12 с шагом по азиму-

Рис. 7

тальному углу лопасти Д\|/ = 5° . Результаты измерений аэродинамических коэффициентов представлены в базе данных таблицами коэффициентов соответствующих рядов Фурье. На рис. 7 приведены следующие характеристики: стационарное решение, результаты испытаний, а также их многомерная аппроксимация по базе данных для заданных параметров (V =0,35, аЭф =-4,5°, сг/а = 0,1, F = 0,482 ). В зоне наступающей лопасти

различия между экспериментальными и расчетными (стационарными) решениями невелики. Значительные отличия видны в области отступающей лопасти, содержащей зону обратного обтекания, при нестационарном и срывном характере обтекания профилей. Сравнение стационарного решения и аппроксимации по методу Rotor Dynamic Stall (RDS) позволяет определить поправки Асх, t±cy и Amz, существенно расширяющие область

применения методов исследования характеристик несущих винтов, использующих гипотезу стационарности (см. рис. 7).

Авторы благодарят В. В. Вождаева за помощь при подготовке статьи к печати.

ЛИТЕРАТУРА

1.Баскин В. Э., Вильдгрубе J1. С., ВождаевЕ. С., Майка-па р Г. И. Теория несущего винта. —-М.: Машиностроение.— 1973.

2. В о ж д а е в В. С. Гармоники поля индуктивных скоростей в плоскости вращения несущего винта. Дисковая теория//В сб. Аэромеханика винта и профиля в нестационарном потоке//Труды ЦАГИ.— 1990. Вып. 2463.

3.Вождаев В. С. Функции Якоби в аэродинамике винта//В сб. Аэромеханика винта и профиля в нестационарном потоке/ЛГруды ЦАГИ.—- 1990.

Вып. 2463.

4. В о ж д а е в В. С. Гармонический анализ в теории несущего вин-та//Труды ЦАГИ.- 1995. Вып. 2564.

5. Я н к е Е., Э м д е Ф., Л е ш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы.— М.: Наука.— 1964.

6. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Главная редакция физико-математической литературы-М.: Наука.-^—1978.

7. В о ж д а е в В. С. Формула Н. Е. Жуковского для средней по окружности индуктивной скорости от несущего винта вне плоскости враще-ния//Труды ЦАГИ.— 1995. Вып. 2564.

8. В о ж д а е в В. С., В о ж д а е в Е. С. К вихревой теории винта Н. Е. Жуковского//Ученые записки ЦАГИ.— 1997. Т. 28, № 1.

Рукопись поступила 30/12001 г.