Аналитический метод учета упругости лопастей в задаче аэродинамического расчета несущего винта вертолета Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XV 1984

№ 5

УДК 629.7.035.62.001.2

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД УЧЕТА УПРУГОСТИ ЛОПАСТЕЙ В ЗАДАЧЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА НЕСУЩЕГО ВИНТА ВЕРТОЛЕТА

В. С. Вождаев

В рамках линейной лопастной теории рассмотрена задача аэродинамического расчета упругого несущего винта. На базе периодических решений дифференциальных уравнений 2-го порядка, приведенных к виду интегральных операторов, преобразующих входное силовое воздействие в периодическую реакцию системы, получены приближенные аналитические решения уравнений совместных изгибно-крутильных колебаний лопасти в частных производных и мгновенные коэффициенты влияний циркуляций на величины вертикальных перемещений и углов упругой закрутки элементов лопасти. В результате поставленная задача приведена к задаче аэродинамического расчета абсолютно жесткого винта, в матрицу функций влияния индуктивных скоростей которого введены поправки, учитывающие влияние упругости.

Задача интегрирования уравнений изгибно-крутильных колебаний лопасти несущего винта рассматривалась в большом количестве работ (см. литературу в [1] и [2]). Обычно применяемая методика сводится к следующей расчетной схеме: используя упрощенные формулы аэродинамического расчета абсолютно жесткого винта, основанные, как правило, на базе теории плоской вихревой пелены [3] с применением гипотез линейности и квазистационарности, определяются погонные аэродинамические нагрузки в правых частях уравнений упругости, а затем эти уравнения численно интегрируются по времени ^ от / — О до такого момента, когда решение становится практически периодическим (метод установления). Хорошие результаты дает применение линейной лопастной теории, основанной на схеме скошенного по потоку вихревого цилиндра [3]. В рамках этой постановки в {4] было получено точное решение уравнения гармонических колебаний абсолютно жесткой лопасти относительно оси горизонтального шарнира (гш) в форме интегрального оператора, ядром которого является простая функция от модуля запаздывающего аргумента. Разностное представление этой формулы позволяет определить коэффициент влияния циркуляции Г на угол взмаха р и при подстановке линейной зависимости Р(Г) в систему уравнений связи фактически исключать из рассмотрения уравнение махового движения. Влияние махового движения сводится в [4] просто к введению поправок к функциям* влияния индуктивных скоростей.

Для линеаризированных уравнений упругости в принципе могут быть получены аналогичные линейные представления по Г для вертикального перемещения у и угла упругой закрутки •б1 элемента лопасти. При этом точно так же влияние упругости может быть сведено к внесению поправок к функциям влияния индуктивных скоростей. Применение метода Бубнова—Галеркина разложения решения в ряд по собственным функциям приводит к необходимости представления периодического решения в виде интегрального оператора от правой части не только для одного уравнения гармонических колебаний, как в предыдущем случае, но и для систем дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными и периодическими коэффициентами.

1. Периодические решения дифференциальных уравнений 2-го порядка. Периодическое решение уравнения гармонических колебаний

У{*) + Яо У (*)=/(*). ?о = + £2, (Ы)

удовлетворяющее граничным условиям

у(0)=у(Т), у(0)=у(Т),

(1.2)

можно представить в виде интегрального оператора, преобразующего внешнее силовое воздействие /(О в вынужденную реакцию системы у Ц) = Н {/{,)} [4]

где

= х, *)/(x)rfx,

о

1 fcos[£(772 — \t — х I)] cosec (kT/2);

2k (ch [k (7/2 - \t — x I)] cosech (k T/2).

(1.3)

(1.4)

Оператор #{/(т)} и ядро K(t — t, k) обладают следующими свойствами:

dt

d

H {cos /гх} =

cos nt

dt

//{sin ftx

К (і, x) = —

d

sin nt

K(t, X); (1.5) (1.6)

q0 — n 2 q0 — Л2

K(t, t), К it, 0) = K (t, T), K(0, t) — K (7, x). (1.7)

Представим ядро К (t, x) в виде ряда Фурье (0 <£, х<7):

K(t, х) —

Как следует из (1.6),

X [К«, (0 cos Па>0 X + Ksn (t) sin ft(D0 X]. (1.8)

л=!

тг 2 wf / \ 2 cos ti(&o і

Ьсп = — //{COS«(00X} =— ----------------------

T T q о — (лсо0)2

К,

2 rj / , і 2 sin wwn t

— // sin rto)nx =-------------------------------2------

T T <7o — (и“о)2

(1.9)

После простых преобразований получим

Kit, х)

2

Т

+ 2

COS И0)0 (t — т)

* 1 q о — («“о)2

(1.10)

В результате получим сумму следующего тригонометрического ряда д0= ±&:

л=1

соб то0 (£ — т)

Яо — (П“ о)2

_7Мсоз [&(Т/2 — I* — х — 2к \сЬ [Л(772— \і — х|

|)] совес (АТ/2); |)] совесЬ(АТ/2).

Частный случай этого ряда при т=0 и &)о=1 приведен в разделе 5.4.5 [5] (стр. 730).

Рассмотрим уравнение

У (0 + [Яо + М (01 У (<)=/(*)•

Преобразуем (1.12) к виду

У (() + Я о У (*) = f{t) — м (()у (О и запишем его решение в операторной форме

У (0 = Н {/(*) — М (х) У (х)1 = У о (0 — р# {я (х) у (х)}

или в виде интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

т

У (*) = Уо(*) — Р>/А(< -X, А)?(х)у(х)а?х.

(1-12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Здесь у0(0 = #{/(т)} —решение (1.3) уравнения (1.12) при ц = 0. Решение уравнений (1.14) или (1.15) может быть получено по методу последовательных приближений

1 (і) = 2 (— 1)>»Я {(п)ср}, (п)!р = дН {(«—і)ср}.

(1.16)

п=0

Здесь л — номер приближения, <°)ф=/. Подставляя ряд (1.10) в

(1.15), придем к интегральному уравнению с вырожденным ядром [6]. Выполнив интегрирование в (1.5), получим

У (і)=у0 (0-

с0

2

+ 2 005/“о * + ^ этуЧ *)

где

т Яо (/“о)2

т до—о0;2

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Умножим уравнение (1.17) на ры, а затем проинтегрируем его в пределах от 0 до Т. Поступая точно так же и для р3и придем к следующей системе уравнений относительно коэффициентов с и 5 (1.17):

С0 аЧ012 + аЬ "Ь ^ Ь°іі) * 7

Со а^/2 +*.2 (с;а*/ + */ ^

(1.20)

где

т т

£а1=\уо (t)PAl (t) dt, а* = JpAi cosy«)0 tdt,

0 0 T

pAl sin jw0 tdt, A = c, s. (1.21)

0

Запишем эту систему в порядке следования коэффициентов ряда

Фурье в (1.17). Определителем этой системы является определитель

Фредгольма £>(ц) [6]. Подставляя ее решение в (1.17), получим

т

У (Q = Уо (Q —-Щм j D (t, rivMyо (■')*• (1-22)

Представление D(t, т, р.) в комплексной форме примет вид

оо со

D(t, X, р) = 4- И Z (1.23)

п = ~оэ т — — со

Гпт (t1) = ~Гг--\{ А^ш-1)(2п-1) — £>(2т)(2л) +

2 [?0—(/я<с0)2]

+ i [D(2m)(2n—l) + D(2m— 1) (2я)]}; (1-24)

Dtj ([х) — °пределитель, полученный из D([j.) вычеркиванием i-й

строки и у-го столбца. Первый член разложения D(p) по степеням (х — D ([л) = 1 + Dl (х + D2 jj.3 + • • • имеет вид

т

t)q{t)dt = -^- ?ctg(£772). (1.25)

и

Можно показать, что при q = 0 [q — среднее за период 7" значение функции q(i)]

D(V)~ 1 — i1" -Jk' CtS (Л7’/2) ^ (2£)2 _ (ЯШо)2 •

П

Периодическое решение уравнения с постоянными коэффициентами y(t) + 2p0y (<)-f q0y(t)=f(t), q0=±k2 (1.26)

записывается аналогично (1.3)

7

у (*) = #{/(Т)} = \ К (t-*, р0, ?„)/(*)*, (1.27)

б

где при

шг = <Jo — Р\ > 0, q0= + k'i и C=o)(chp0 7’— cos <о 7); (1.28)

K(t — i, р0, q0) — -у С-1 {sin [(Г — | t - г |) ш] +

-{- sin (| t — т ] со) е±[7'-к-^1]Ро}. (1.29)

*

При ©2<0 (q0=—k2) все тригонометрические функции в (1.28) и

(1.29) следует считать гиперболическими. Знаки ± в (1.29) определя-

ются в соответствии с sign(^ — т). Оператор #{/(т)} сохраняет свойства

(1.5). При этом

Н {cos пх\ = — и2)cosnt + 2иА)sin nt _

(go - «2)а + (2и/^о)2

Н {sin /г.х)

— 2яр0 COS nt + (go — я2) sin я1

(go - и2)2 + (2«Л,)2

(1.30)

Ядро /С(^ — t, po, qo) обладает свойствами периодичности (1.7), но не является симметричным. Представим функцию K(t, т) в виде ряда Фурье (1.8). Коэффициенты этого ряда определяются с помощью (1.30)

K(t, х)

2go

■+х

л=1

[go - (mop)2] cos [яо>о (^-т)] + 2яо)0р0 sin[nu>o(f—т)] [go — (п<»о)2]2 + (2я“о Ра)2

.(1.31)

Соотношения (1.28), (1.29) и (1.31) позволяют получить суммы тригонометрических рядов нового типа. В частности, при т = 0 и соо= 1 имеем

2

л=1

(+ *2 — я2) cos nt + 2«p0sin nt _______

(± A2 - я2)2 + (2яр0)2 —

sin [<o (2rc — /)] e—Po<+ sin (<л<) ePt№b—t)

2k2

+

2(o

ch 2jc p0 — cos 2tco> sh [u> (2n - Q] + sh (соt) eP°(2*-<>

ch 2it/?0 — ch 2itm

Перейдем к уравнению с периодическими коэффициентами

.У (*) + [2/?о + ^(0]у (0 + too + м(*)] у (О =/(*)•

(1.32)

(1.33)

Поступая так же, как и в случае уравнений (1.12) и (1.26) с учетом (1.5), запишем интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода и его решение [6]

г

У{*)=Уо(*) — г! K(t, x)_y(x)dx, (1.34)

О

У(*) = Уо(0— X, v)y0(x)dx,

о

(1.35)

где y0(t) — решение (1.27) уравнения (1.33) при ц = 0,

K{t, х) — s (х) К.о (t, x) — p(x)dK0{t, i)/dx, s(x) = q{x) — dp(x)/dx.

Разлагая ядро K(t, т) в ряд Фурье {разложение Ko{t, т) дано формулой (1.31)], придем снова к задаче с вырожденным ядром, для которой комплексная форма представления D(t, х, ц) имеет вид (1.23). Запишем сумму тригонометрического ряда, обобщающего ряды (1.11) и (1.32)

со

2 {ая COS «<»„(* — x)-f 6„sin<!)0(/ — х)}= ---2^Г> (L36)

где

(go — (яю0)2]5(т) + 2 (пи>0)2р0 р (х)

[g0 — (яо>о)2]2 + (2яи)0ро)2

(1.37)

2noiQ Po S (т) — ПMq [go — (nmp)2] P (I)

(1.38)

[?о-(«“о)2]2 + (2л»оЛ)2

Рассмотрим векторное уравнение (1.1):

У + Qf>y(t) =/(0. y(0)=-JP(7’), У(0)=У(7’), q0 = k2; (1.39)

здесь — матрица постоянных коэффициентов+ Ау.

Можно показать, что решение (1.37) дается формулами, аналогичными (1.3) и (1.4), в векторной записи

Периодическое решение уравнения (1.39), представленное не в свернутой форме (1.40), а в виде суммы двух интегралов, эквивалентных общему решению однородного уравнения и частному решению неоднородного уравнения, приведено в [7]. Пусть и(и,7) и У(ч)ц)— нормированные матрицы собственных векторов матриц А и А (транспонированная матрица). Тогда скалярная запись решения (1.40) примет вид

Решения (1.40) и (1.42) не существуют, если какое-либо собственное значение ks удовлетворяет условию ks = n2n/T, где /2 = 0, ±1, ±2.

Для векторного уравнения (1.26) решение имеет вид (1.27) — (1.29) в векторной записи. Это решение существует, если ни одно из собственных значений матриц ш, fch Тр0 — cos 7u>) и С не равно нулю. Скалярное решение в общем случае оказывается более громоздким по сравнению с (1.42), однако если матрицы собственных векторов матриц р0 и q0 одинаковы, то и в этом случае решение в операторной форме имеет вид (1.42) (слева). Отметим, что ни в скалярном, ни в векторном случае периодические решения (1.3) и (1.27) уравнений (1.1) и (1.26) в свернутой к одному интегралу форме в литературе, по-видимому, не приводились. Для векторных уравнений с периодическими коэффициентами решение может быть получено по методу последовательных приближений или выражено в интегральной форме через резольвенту, которая примет вид матрицы-функции [см. (1.35)].

2. Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний лопасти. Приведем известную систему совместных изгибно-крутильных колебаний лопасти [1] к безразмерному виду (рис. 1)*

г

y{t) = H {/(х)} = / (t - х, <70)/(х) dz,

(1.40)

о

где

K{t— х, д0) = — [к sin (£7/2)]'1 cos \k (772 — 11 — x|)]. (1.41)

П ft

УI (0 = X X Hs {/>} uis vsJ =

/= 1 4=1

T

my + {{Ely"]" - [ЛУП = L +

dT

(2.1)

dr

* Колебания лопасти в плоскости вращения не учитываются.

7тЪ-1[ОТкрЪ']'-1я9} = М, + -3г, (2.2)

где

/, == тоЬ (ср + 0) - \rnabr (<р 4~ ^)Г> (2-3)

М = ттЬ [у + гу') — 7т (ср + <Р) + [ОГкр у']'. (2.4)

Штрихом и точкой отмечено соответственно дифференцирование по радиусу г и азимутальному углу лопасти ф; у11—перемещение точек упругой линии лопасти относительно плоскости вращения винта (рис. 1); о = а/? = а%Ъ — расстояние от оси жесткости

лопасти до центров тяжести ее элементов (рис. 2); & — угол упругой закрутки сечения лопасти; <р + & — угол установки профиля

(рис. 3); т—т-^- ртсЛ?2 и 1т = 1т ртс/?4 — погонная масса и момент инерции лопасти относительно оси ее жесткости; М= = ТУрте/?2 (Й/?)2 — центробежная сила в сечении лопасти; Е1 =

= Е1\ рте/?4(2^)2 и (ЗГкр = (ЗТке ~ ртс/?4 (9/?)2— жесткость лопасти на

изгиб и кручение; дТ/дг = д77дг-^-(ис/?2(0/?)2 и дШ/дг = д$И/дг-^-ркЦ3Х

X (Й/?)2 — погонная сила тяги* и крутящий момент относительно оси жесткости.

Выпишем выражения для погонных сил и моментов с учетом линейности характеристик су и тг по а(<^ = аа, тг = тг0 4- тсгУ-су). Как видно из рис. 3, дТ ду п д(? . 0

1Г = 17 005 ^Г8,пР,=р

'Х'.т -±с„ЬЧГШЛ'У,№.)\~ <2.5>

где

<р = <р0 +Д<рг(г) + Д?А>п(ф) —*р„. (2-7)

д^А.п = 01 созф + в^пф, Ро = -^-(г = ':г.ш). (2.8)

Здесь Д<рг(г) — угол геометрической крутки с учетом поправки на кривизну профиля; ДсрА п — угол, обусловленный воздействием автомата перекоса; х— коэффициент регулятора взмаха.

С учетом (2.6) выражение (2.5) примет вид

= А (і

дг * *

+ 1тх ъ - 4- -81ёп М ~ — V*г- (2-9)

ХР х [ я 2 J я

Погонный момент полной аэродинамической силы с компонентами ду,/дг = ду/дг + дСЦдго. и дх^дг имеет вид

<Шг \ <Шг дуг

~Ь Лг -*Ц. ж ------------

дг /ц. ж дг ' дг

= Р ^ |[т> + (1 + -2-) хц. ж ] Г + 4- о} ■ (2. Ю)

При повороте профиля относительно оси жесткости с угловой скоростью с?(ф + ,&)/сИ возникает, как известно, пикирующий момент

-с — (? + &). (2.11)

16

Здесь с — коэффициент, учитывающий влияние нестационарное™ на величину демпфирующего момента.

С учетом (2.10) и (2.11) получим

дг

тгУ + хц. ж (1+ -^-)]г £ Ш* (*+&) + (2.12)

По методу Бубнова—Галеркина решение (2.1) и (2.2) обычно записывается в виде рядов [1], [2]

У (г, Ф) = 25» (') фп (*). & (г, Ф) = 2 Й С» (ф). (2.13)

п п

Функции 8п(г) и ()п{г) определяют системы ортогональных нормальных форм или собственных функций, удовлетворяющих уравнениям

[тЭп]" - [Л#/- = 0; (2.14)

[ОТкр о;]' + >0« 4 <3„ = 0. (2.15)

Из уравнения (2.15) собственные числа определяются для невра-щающегося винта. С учетом поля центробежных сил ^ = 1 + ^„. Граничные условия имеют вид

Здесь && — жесткость системы управления.

Для определения и Qn выбирается система аппроксимирующих функций 7г(г) и 8; (г), удовлетворяющая граничным условиям

(2.16) или (2.17)

Коэффициенты аПг и Ьги и собственные числа кп и Уои определяются из решения однородных систем алгебраических уравнений, которые могут быть получены различными методами, однако по существу они эквивалентны минимизации средне-квадратичной погрешности аппроксимации и (?„ рядами (2.18) [2]. Функции \{(г) обычно задают выражениями

а коэффициенты Л,, В* и С* определяют, решая систему из трех уравнений при каждом г из граничных условий (2.16).

Функции (2.19) близки между собой и сближаются еще более при увеличении в результате чего при решении однородных систем появляются плохо обусловленные матрицы, что усложняет вычисления и увеличивает погрешности. Однако нетрудно получить и почти ортогональные базовые функции, разложив ранее определенные для типичной лопасти функции 5, — г в синусный ряд Фурье

то легко заметить, что все граничные условия для шарнирного крепления лопастей (2.16) выполнены, за исключением условия (г — 1)=0. Однако для четного п и нечетного т (или наоборот) функции

удовлетворяют и этому условию..^При этом будем полагать п/т< 1/3, чтобы дополнительный член в? (2.20) не вносил существенных погрешностей.

5Я(0) = 0, 5; = 5;|7=1 = 0,

5л(0) = 0— жесткое крепление лопастей;

5„ (0) = 0 — шарнирное крепление лопастей;

ог*р (& |г=0 = Ь (0), <?; (1) - 0.

(2.17)

5/. = 2апЛ<('‘). <Зя=26«^ЛГ)-

(2.18)

со

Если теперь для произвольной лопасти положить

со

(2.20)

На рис. 4 и 5 показаны первые пять форм изгибных колебаний [1] и определенные по ним базовые или аппроксимирующие функции типа

(2.20).

Умножая уравнения (2.1) и (2.2) соответственно на 5т(г) и С1т(г) и интегрируя по г с учетом ортогональности нормальных форм, получим [2]

о

(Ф) + V» Ся (Ф) = | (ж + <?„ (7) (2.22)

1 1 Л„ = ] (г)йг, £„ = 17т <& (г) йг. (2.23)

о о

3. Приближенное аналитическое решение уравнений изгибно-кру-тильных колебаний лопасти. Ввиду слабого воздействия крутильных колебаний на величину у в правой части (2.21) можно пренебречь Ъ. Тогда, определяя дТ/дг по упрощенной формуле (2.9) с учетом (1.3) и (1.4), получим

2ч 1

ф„ (Ф) = Н {/(0)} = | | /С(Ф - е, хл) \УХ (7, в) (г) X

п п о -о

ХГ(г,1)^0. (3.1)

Перейдем теперь к решению уравнения (2.22). Подставляя полученное для у решение в (2.4) с учетом (2.7), (2.8) и (2.12), после несложного преобразования (2.22) получим

^>« + 2Х(/^га + ^1п^и*)+ ''Х('Ь) = /„(Ф), (3-2)

где

/п (Ф) = I [То п (г> Ф) + 7 м (г> Ф) Г (г> Ф)1йг +

1

+ 11 Ъп (г> ф — б) Г (г, 0) йгйЬ,

То л (г, ф)=

О О

ФлО") ) «го

(Гб)2

С 1Р63 Д*А. п:

#л I 71 4" 8

— 7щ (?о + а^г) -+■ Дфг огкр j,

Т1л(г> Ф) = ^Р^#(>, ф)£(/и> + ^ц.ж ) +№х(г, ф)2“»Лй1

т

Т2„(г, ф)=4-^й 0)2[*(ф-0> ^»+*(ф-6, итизд.

“ т

Здесь

я"»‘ = -;П! ' Г Й 1^5т (Г) + *4 5т (0)] (Гг,

лт °п •/

Р„

1 С!„ (О [таЬ (гБ'т (?) - )2т 5т (г)) +

+ х/т(1 - Х„) 5т (0)] с1г,

= X -Я- 1 Qл (О <*Г.

8 В»

о

1

1

с

16В,

- | гЬ3 Ят <3п Лг, Я»= -ЩГ1 Ьъ (±т 0_п Лг.

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

В случае жесткого крепления лопастей в формулах (3.5) и = 0. В векторной записи система уравнений (3.2) примет вид

£ + 2 (р + р. бШ $р) £ + ('4 /„) £ = / (ф).

(3.7)

_ Матрица р близка к диагональной матрице р01п при й=сопз! и/т=сопз1, р0 == сир/?й3/32/ш. Полагая /?=10,5 м, & = 0,52 м, 1т — ==0,016 кг-с2 и (7=1,8, получим /?0~ 2. Пренебрегая величиной порядка /^[хэШф, решение (3.7) можно получить по формулам (1.27) — (1.29) в векторной записи при Т— 2к, £ = ф, т = 0, р0 = р и ^ Iп и <л2 = ч2п1п—р2. В силу того, что величины весьма

велики (по данным [1] V! ж 3, 16, м3г5;33), матрица о> близка

к диагональной матрице шп7п, йричем « 7А2—рх, №2^ч,

<оп^'*п. Это допущение существенно упрощает процесс вычисления функций С„(ф).

Наиболее простое решение (3.7) при малом |л можно получить, если пренебречь взаимным влиянием тонов колебаний, полагая р~рп1п. При этом по формулам (1.27) — (1.29) с учетом (3.3) и (3.4) получим

1 2и

С„(Ф) = Со„(*)+П

К(ф - 0, Рп, ^)Т1 я (Г, 0) +

2тс

+ { АГ(Ф — б,, рп, V,,) Т2л (г, 0, - 0)

Г (г, ЩйгйЬ,

где

2тс 1

Со„(Ф) = 1 |а'(Ф-0, /?„, vл)•r0п(r, 0)йГЫ0.

(3.8)

(3.9)

Учет взаимного влияния тонов колебаний осуществляется по методу последовательных приближений. Так, например, выражение для £г(^) в первом приближении с учетом влияния 1-го тона примет вид

^(10 = С2(ф)-2р21Я Мб)}. (3.10)

Как следует из (2.13), (3.1) и (3.8), функции у(г, ф) и Ф(г, Ф)

представлены в виде линейных зависимостей от Г (г, <!>).

Угол атаки профиля а можно записать в следующем виде [см.

(2.6) и рис. 3]:

(1 — 8120^), — 1г<;а<;тс,

где

рр = р*+Да+Д8 +Де,

'= У&1пав1УРх.

(3.11)

(3.12)

Углы скоса потока Да, А6 и Ае, обусловленные, соответственно, индукцией, маховым движением лопасти и колебанием профиля с угловой скоростью ф + Ф, могут быть приближенно определены следующим образом (см. рис. 3):

Да = Ч>1Ш, Д5=^8/Ж Де = (3.13)

*>5 = — (У + IX СОБ ф/)-

(3-14)

Величина ъе = (<р + &)(0,75 — Х^Ь весьма мала_и_в уравнении связи ее обычно не учитывают. Поскольку а = 2Т/аЬШ, с учетом

(2.7) и (2.8) получим

-^Г = v + vl-y^WxУ0+ №хЪ + ё,

аЬ№

где

Ш=]/ Гж + (1/со81пав)2,

•й

§= 1/со81пав+ №х ср0 + Д<?г-+- ДсрА_ п----------------^-(1 — .

(3.15)

(3.16)

Как показано в [8], индуктивная скорость в контрольной точке лопасти, расположенной на трех четвертях хорды, имеет вид

1 Й-1 1 со

V (г", ф) = ) 5„. л Г (Р, 6)4 + 211 ^ (Р* е« - аы'?’ (3-17)

Ро п=0 Ро 0

где г/н. л и ъ = дъпп/др — дvпp|дЬ— функции влияния в контрольной точке несущей линии и системы продольных и поперечных вихрей; я — О, —1, ... К—1 — номер лопасти; 0„ = 0 + 8,,я; п — азимутальный угол га-й лопасти; 0О = 6 = ф— азимутальный угол контрольной лопасти; р и 9 - радиус и азимутальный угол элемента вихря, сошедшего с лопасти. Подставляя интегральные выражения для V, ъ-й, у’о и & в (3.15) с учетом (2.13), (3.1), (3.8), (3.9), (3.14) и (3.17), придем к следующему интегральному уравнению:

Г (г, ф) = Р (г, Ф) + I ( ®н. л Г(р, 0)<*р +

2Wr

"=° Р„ 0

1 2т:

-2,П

л=10 о

2т.

^упр

•Уупр d%.

Г(р, B)dbd?\

(3.18)

где

«(1> — А

"Уупр— я

Sn(p)^(p. 0) ,^(л,

Ап

V

0, gs,(r) +

+ К(Ф — б, Хя) [^С08ф5„(г) + ^(г, 4»)S„(r)]} — — ф) Q„ (г) А- (ф — 9, ря, v„) Tln (р, I),

Ф) Q«(r)K(t[» — 01, рп, v„)bn(р. е1 —6);

(2)

упр

F(r, ф) =

л=1

(3.19)

(3.20)

(3.21)

При наличии достаточно хорошего первого приближения, которым может служить распределение Г (г, г|)) для абсолютно жесткого винта, уравнение (3.18) может быть решено по методу последовательных приближений. Разностный аналог (3.18) имеет вид системы алгебраических уравнений

_ М£.= ®, [Т] + N +_[®упР]- _ (З-22)

Здесь w = —2 Wxjab W^ — sign Wx 2/a.j bs, [©] и [г»упр] — соответственно матрицы функций влияния индуктивных скоростей и упругости лопасти. Функции влияния индуктивных скоростей определяются, как известно, суммированием по номерам лопастей и оборотов вихревых линий индуктивных скоростей от дискретных замкнутых вихрей (вихревых ячеек) с единичной циркуляцией. _ Функции влияния упругости и элементы вектора G — gJ4. определяются из соотношений (Эь 18) — (3.21) с заменой интегрирования суммированием при р ^ р;-, 0 = г’Дф, г = гл ф = 1гДф и 01 = г1Дф (У, /= 0, 1, ... L — 1; г, ^ и = 0, 1, . .. , М — 1). Таким образом,

как отмечалось ранее, учет упругости сводится просто к введению поправок в элементы матрицы индуктивных скоростей, что приводит к существенному сокращению времени счета и потребной памяти ЭВМ.

Решение системы (3.22) порядка N = L-M дает мгновенные распределения Г и а по радиусу и азимутальному углу лопасти, знание которых необходимо для целенаправленного поиска оптимальной компоновки лопасти. Далее определяются величины прогибов и углов упругой закрутки лопасти, а также суммарные аэродинамические характеристики несущего винта, причем необходимые для этих расчетов характеристики су, сау, схр, mz, mZo и тр выбираются на основании экспериментальных данных по известным значениям углов атаки и чисел Маха и Рейнольдса. Как следует из [8], предложенный метод нетрудно распространить и на случай я-винтовой системы несущих винтов.

ЛИТЕРАТУРА

1. М и л ь М. Л., Некрасов А. В.,. Браверман А. С., Грод-

ко Л. Н., Лейканд М. А. Вертолеты (расчет и проектирование)./Под

ред. доктора техн. наук М. Л. Миля. — М.: Машиностроение, 1966.

2. В г am well A. R. S. Helicopter Dynamics. Department of Aero-

nautics, The City University. — London, 1976.

3. Баскин В. Э., В и л ь д г p у б e Л. С., Вождаев Е. С.,

М а й к а и а р Г. И. Теория несущего винга./Под ред. доктора техн. наук А. К. Мартынова. — М.: Машиностроение, 1973.

4. В о ж д а е в В. С. Периодическая краевая задача для уравнения гармонических колебаний лопасти несущего винта относительно оси горизонтального шарнира. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 4.

5. Прудников А. П., Б рычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981.

6. Краснов М. Л. Интегральные уравнения (введение в теорию).— М.: Наука, 1975.

7. Якубович В. А., Старжи некий В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.— М.: Наука, 1972.

8. Вождаев В. С. Система интегральных уравнений, определяющих мгновенные аэродинамические нагрузки в л-винтовой комбинации несущих винтов. — Труды ЦАГИ, вып. 2245, 1984.

Рукопись поступила 3/VIII 1982 г.