CC BY
79
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI 1 9 85 № 3
УДК 629.735.45.015.4 : 533.6.013.43 : 629.7.035:62
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАСТИ НЕСУЩЕГО ВИНТА ВЕРТОЛЕТА
Р. А. Михеев, Т. Д. Смольянинова
Предлагается метод вывода уравнений колебаний лопасти несущего винта вертолета.
Дана система уравнений для лопасти с непрямолинейной формой упругой оси до нагружения в произвольной системе координат.
В работах по динамической прочности лопасти несущего винта в зависимости от принятых допущений и избранной формы ее упругой линии в исходном (ненагружен-ном) состоянии приводятся уравнения колебаний, имеющие различную форму. Целью данной статьи является изложение методики вывода таких уравнений в более общем виде.
За исходные примем уравнения, выражающие условия равенства нулю равнодействующей сил на элементе лопасти и момента этих сил:
¿<3 - „ дм - - _ л
(1) (2)
Здесь (?, М — векторы внутренних сил и моментов; ¡л — векторы поверхностных и массовых погонных сил и моментов; т — единичный вектор, направленный по касательной к упругой оси. В состав д и ¡л входят инерционные погонные силы и моменты.
Введем матрицы-столбцы:
т
Фз
м
Я1 ) Г1
Яг | . х=| *2
Чъ > 1 *3
>1 |
И-З | . с = | с2
-Рз ' и
(3)
Элементы этих матриц — проекции векторов <2, ц, х, М, ц и т на оси некоторой системы координат, которая может быть выбрана различными способами, представлены ниже. Вектор к — угловая скорость вращения трехгранника, определенного вектором т и ортами главных геометрических осей инерции сечения стержня, при его движении по оси лопасти:
где <о — вектор Дарбу; а — угол между главной осью инерции и соответственно нормалью или бинормалью к упругой оси стержня; — элемент дуги упругой оси стержня.
Введем также кососимметричеокие матрицы:
<?* =
О <?3 ~<?2
-0« о р!
<г2.-<?! о
о
*3
-*2
"*3 *2
О — *! О
(4)
С использованием матриц (3) и (4) векторные уравнения (1) и (2) могут быть записаны в проекциях на оси некоторой системы координат в матричной форме:
¿0.
а«
+ **<? + д = О,
(5)
дМ
~- + *,*М + |1+<?* С :
08
: 0.
(6)
д<? дМ
Здесь производные -т- и —— определяются в принятой системе координат. 05 05
Система (1), (2) является неполной, так как содержит три неизвестных вектора <3, М и Т. Для получения замкнутой системы уравнений воспользуемся обычно принимаемой в теории тонких стержней гипотезой, в соответствии с которой упругие моменты в сечении пропорциональны приращениям компонентов вектора у. при деформациях [1]
Жг = А (хг —осн).
(7)
Здесь матрица А равна:
Ап ООП О Аца О О 0 Азз л
Элементы матрицы А—крутильная (Ли) и изгибные (Л22 и Лзз) жесткости стержня.
Момент М* определен относительно центра тяжести сечения. Момент относительно центра жесткости равен
М = М* + яжХ<Гп.
где о® — радиус-вектрр центра тяжести относительно центра жесткости сечения. С учетом (7) получим (в матричной форме):
Мг — А (хг — *„) + <2г 1
Здесь Жг — матрица-столбец с элементами-проекциями М на касательную к упругой оси и главные оси сечения, фг1 — проекция <3 на касательную к упругой оси, о®2 и а^д — проекции аж на главные оси сечения.
Уравнение (8) дополняет систему (1) и (2) или (5) и (6) до замкнутой.
В дальнейшем будем считать деформации лопасти при действии нагрузки малыми. При деформациях главный трехгранник поворачивается. Матрица перехода к главной системе координат (для деформированной лопасти) от начальной главной системы (для ненагруженной лопасти) имеет вид
г 1 т
= 1 И, I. ф и
(9)
где ■а — угол поворота главного трехгранника относительно оси, совпадающей с касательной к упругой оси лопасти; ср и г|) — углы поворота (при малых деформациях) относительно осей, параллельных главным осям инерции и проходящих через центр жесткости сечения (угол ф — относительно оси, соответствующей минимальному и г|з — максимальному значениям момента инерции).
Используя общие выражения для у. из работы Светлицкого В. А. * при малых деформациях, с учетом вида матрицы Ь можно записать:
дЬ
*Г= — + *Н+ (Ь-£)Хн. (10)
<75
где 6 — матрица-столбец:
вт={»,ф. <р}. (11) С учетом (10) выражение (8) примет вид:
Мг = А ^ + (I - Е) *„| + 0Г
(12)
+
В заданной системе координат
М = РМГ, (13)
где Р — матрица перехода от главной к рассматриваемой системе. Аналогично
<2г ! = (14)
где Л— строчная матрица.
Подставляя (12), (13) и (14) в уравнение моментв (6), получим:
х*р{л ^-{-(¿-£)х„| + + + = (15)
В уравнения (5) и (15), образующие искомую систему, входят инерционные погонная нагрузка и момент ц, которые зависят от характера движения лопасти при колебаниях. Движение лопасти удобно характеризовать законами изменения по времени перемещений ее сечений. Поэтому от неизвестных функций Ф, ф и 1|э, входящих в уравнения (5) и (15), удобнее перейти к совокупности функций О, иг и и3, где и2 и ы3 — проекции перемещения центра жесткости в избранной системе координат. Следуя [1], можно записать векторное равенство:
(16)
<75
В матричной форме в проекциях на оси некоторой системы координат уравнения для перемещений имеют вид:
да
— + **а — с + Ь = 0. (17)
<75
* Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей.—М.: Машино-
строение, 1978.
Здесь « и ¿»-матрицы-столбцы, элементы которых — проекции соответственно перемещения и и орта ¿н 1 касательной к упругой оси стержня в ненагруженном состоянии— см. (16). Введем базовую систему координат, начало которой совпадает с центром жесткости комлевого сечения лопасти, оси Хъ ( и Хв з расположены в плоскости вращения винта, ось Хв 2 параллельна оси винта. Матрица перехода от базовой системы координат к начальной главной системе в общем виде может быть записана так:
К =
¿21 ¿22 .¿31 ¿32
¿18 ¿23
¿,3
(18)
На основании выражений (9), (10) и (18) второе и третье уравнения для перемещений (17) в базовой системе принимают вид:
ди6.
а*
дибз дв
: ^¿22 — ^¿32,
: фЛ23 — Щ3.
Решая эту систему относительно ср и ф, получим
да63
„ /<Э"б2 .
? = а I Т7 "зз —
(-V дв
диь 2
дБ
ди6г
а«
дэ
где
1
¿зг|; ¿22^ . 1
(19)
в'
¿22 ¿33 — ¿23 ¿3:
«11
Подстановка (19) в (11) и (9) приводит к следующим выражениям для 0 и Ь—Е:
/ див, .
а I —:— к.
А
[ а«
' даб 2 дв
¿33"
д"б3 ая
ацбз
(20)
" 0 ? -ф"
—? 0 »
. Ф —» 0.
Ч"аГ
ая
/дыб2 адбз.
а I —:;— «зз — —:— Л9.
анба аабз. \
"23 — , «22 I
а«
а«
диы
дв
'див!
аиб;
• (21)
Подставляя (19)—(21) в выражение (15), получим уравнения в окончательной форме:
да
дв
ds
d
А ds
(диб2 диб g
f( ds 33 ~ 32
(ÔU62
[ ds
duñí
ds
-(
-(
д«б2 , àu6 g \
— —--«32 I
ös
Ö«6 2 ÖS
+ dQ
Í 0
Jr3
-o?
ö
+ x*P А ds
—
£53 — '
àtiQ g t
ds due, a
ds
ds
ь а»бз
«33 - «32
+
ös
fc диб31- \ k23- ds k,,A
! àUb 2 . öa6 3 ,
• я I ~— «33 — -1— «32
0
-9
дчб2 . дибз ds 23 ~ ds 22
du
6 2
0иб;
ÖS
ÖS
ös
d"6 2 Ö«6 3 .
ös *23~ ös *22
ös
а I *зз — k3¡ I — a I — -r2- k
da б 2 . du6■
0
"23 — , »22 ös ös
*H
+
+ dQ
0
г 3 ■ + [1 +
„ж
_ г 2
О Уз У2
-<?з 0 Q,
L Q2 -Ol 0.
с = 0.
(23)
Вид элементов матриц Р, •/,*, с1, с зависит от нзбрашгоП системы координат н формы упругой оси незагруженной лопасти. Рассмотрим для примера закрученную лопасть с прямолинейной до приложения нагрузки осью, Для этого варианта ид уравнений (22) — (23) получим:
н базовой системе
Л
дз
I" 1 1
1дц6 г 1 Ап — дз } •
да в ;
I £».5 I
дщ;
ди6
дз
дз ' - (Аи + Ы3)
л. - ал.
дф
дЯъ диь
+ = 0; з , , ди6[
А.,
/1, + «Ь4, Л, - »А
1 1 дибл
+ Я б | } + м = °>
дчьз I I
+
(<?б:
Об
дз
-Об
диб:
д$
I, ( диб= А, — 0Х2
Х2 + «А»
где
(24)
(25)
X, = - о^сов »0. А\ = Изз - АП) бШ соэ Ад = А» сова »о 4 л 33 8т2 80,
/13 = = Л2-> эш2 90 + Лзз сов- &0;
в главной системе
ООУ . дз Иб2 дз? 0 -сое а0 СОБ 0 0 , ¿2«бз - 0 вт 5Ш — сое " 0 0 , /а», *н 11 ' 0 0 0 0 0 1 <?* + дг = 0; (26)
Б1П 0 0 _ сое 90 о о _ 0 1 0_
ds
л
'г 1 °гЖ3
. ¡д2 »бг . „ д*и63 \
+
(^33—^22)
í
+ *н 1
О
/02Иб2 . , ¿>2«бЗ , , «6 3 „
.(l?)2sin'0cos&0_ dft (д*иб2 à1 Üb 3 \
(Лп-Лз) Ts cos»о + — sin »о j ., . . д» /У щ 2 . fl»g6, „ '
/ d2 Мб 2 da Мб 3
¿3"6 2 à» и6 з /д=Ыбз \2 .
, Иб2 . .
ж / , ï
+ Иг +
= 0.
• +
(27)
Для дальнейшего применения этих уравнений следует получить выражения для погонных инерционных и аэродинамических нагрузок и моментов <7 и |х, что можно рассматривать как самостоятельную задачу. Предлагаемый подход позволяет на основе общих формул (22)—(23) легко получить уравнения в проекциях на оси любых специально выбранных для решения той или иной конкретной задачи систем без утери каких-либо членов. В частности, новыми являются первое уравнение системы (25), система (26) и второе и третье уравнения (27). В уравнениях (25) и (27) слагаемые, содержащие множители Л2 и Х3, являются более полными по сравнению с известными.
Рукопись поступила 15/Х11 1982 г.
