CC BY
31
Проектирование и конструкция судов
УДК 681.326
А.В. Славгородская, К.А. Молоков, М.В. Китаев, Д.В. Немкин
СЛАВГОРОДСКАЯ АЛЕКСАНДРА ВЛАДИМИРОВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры самолето- и вертоле-тостроения Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: [email protected]
МОЛОКОВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры сварочного производства Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: [email protected]
КИТАЕВ МАКСИМ ВЛАДИМИРОВИЧ - кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры кораблестроения и океанотехники Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: [email protected]
НЕМКИН ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ - аспирант кафедры кораблестроения и океанотехники Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: [email protected]
Определение секториально-линейных геометрических характеристик лопасти гребного винта на основе компьютерных образов
Приводится алгоритм разработанного авторами автоматизированного расчета интегральных характеристик контурных сечений трехмерных моделей (в частности, геометрических характеристик цилиндрических сечений лопасти гребного винта с волнообразной поверхностью или других трехмерных объектов сложного профиля).
Геометрические характеристики сечений в прочностных расчетах стержневых конструкций балочно-ферменного типа определяются относительно собственных главных осей, следовательно, полученные значения напряжений и перемещений отсчитываются по направлениям главных осей, поэтому сечения могут быть необязательно плоскими и практически повторяющими геометрию объекта набором контурных сечений, геометрические характеристики которых в произвольной системе координат можно представить в виде суммы соответствующих характеристик треугольников, имеющих общую вершину, являющуюся началом координат.
Возможности численного и символьного интегрирования, имеющиеся в программах Mathcad и MatLAB, позволяют определить геометрические характеристики не только произвольных сечений, но и объемов. Алгоритм применим для расчета секториально-линейных характеристик и координат центра сдвига для несимметричных и тонкостенных сечений открытого профиля.
Ключевые слова: осевой момент инерции, площадь сечения, центробежный момент инерции, контур сечения, секториально-линейные моменты инерции, центр сдвига, гребной винт.
© Славгородская А.В., Молоков К.А., Китаев М.В., Немкин Д.В., 2015
Лопасть гребного винта представляет собой тонкостенный крыловидный профиль, образованный криволинейными поверхностями по цилиндрическим (относительно оси вала) сечениям. Традиционная вогнутая форма сечения лопастей для целей увеличения упора «авиационного» или сегментного профиля принята на основе экспериментальных и теоретических исследований, в том числе вихревой теории крыла, основоположником которой является русский ученый Н.Е. Жуковский.
Заметим, что если сечение симметрично, то возникающие поперечные деформации уравновешивают друг друга. Из-за малости упругих деформаций в традиционных прочностных расчетах балочно-ферменных элементов пренебрегали искривлением поперечного сечения и могли считать его плоским. Для тонкостенного или несимметричного профиля наличие поперечных деформаций имеет существенное значение, а для открытого профиля нарушающееся равновесие вызывает появление дополнительных деформаций (при изгибе - кручения, а при кручении - изгиба), приводящих к искривлению нейтральной оси и депланации поперечных сечений.
Корабельные винты имеют достаточную прочность и жесткость, чтобы не учитывать относительно небольшие депланации. В авиастроении проблема возникающих по аналогичной причине изгибно-крутильных колебаний устранялась установкой элеронов: дополнительные жесткости исключают искривления и как бы возвращают к первоначальной гипотезе плоских сечений, лежащей в основе стержневой теории прочности. Поворот сечений под нагрузку также снижает асимметрию сопротивления.
Но если следовать современным тенденциям развития качества используемых конструкционных материалов в целях облегчения конструкций, повышения долговечности и надежности, когда с увеличением теоретической прочности одновременно увеличивается упругость материала, то, вероятно, в ближайшем будущем мы будем иметь дело с заметно упругодеформируемыми волнистыми лопастями гребных винтов с волнистой поверхностью, напоминающих, например, плавники кита, который, несмотря на кажущуюся медлительность движений, способен обогнать судно за один-два взмаха хвоста.
Составим таблицу, симметричную относительно главной диагонали, назовем ее «матрицей моментов инерции» [1, 2]:
У =
Л
Уу У
Ухт Уут У т
(1)
Здесь внедиагональные элементы матрицы представляют интегралы от произведения координат:
Уху = | ух^л; = | утйЛ; У^ =| хтйЛ, (2)
Л
а элементы на главной диагонали - интегралы от их квадратов:
У = |у2йЛ; У =|х2йЛ; у = |ю2йЛ. (3)
Элементы , У , У^ - осевые и центробежный моменты инерции площади сечения, м4. У®, У® - секториально-линейные моменты инерции (статические моменты) площади сечения,
5 т 6
м ; У - секториальный момент инерции сечения, м .
Заметим, что в технической литературе Ухй) и У обозначают через £хй) и Б и называют, соответственно, секториально-линейными и статическими моментами.
А
А
Координаты называются главными, если в матрице моментов инерции J все внедиагональ-ные элементы равны нулю. Известно, что именно условию ^ = 0 удовлетворяют главные оси координат. Следовательно, главные секториальные координаты должны быть подчинены условиям: 8ХЮ = |уа ёЛ = 0; 8уЮ = {ха ёЛ = 0. (4)
= | у ёЛ = 0; Бу = { * ёЛ = 0,
(5)
нам требуется, чтобы эпюра а обращала аналогичный интеграл в ноль: = |а ёЛ = 0.
(6)
Координаты а, удовлетворяющие равенствам (4), (5) и (6), называют главными секториаль-ными координатами сечения.
С точки зрения теории механики, смысл этих равенств легко понять, если условно принять, что эпюра а - это эпюра нормальных напряжений (о2 = с а). Тогда станет ясно, что два равенства (4) и (5) выражают условие: при кручении в сечении отсутствуют изгибающие моменты М2 = 0, Му = 0, а равенство (6) - что отсутствует продольная сила N = 0. Можно сказать, что эпюра главных сектори-альных координат в статическом отношении - это самоуравновешенная эпюра а.
Секториальная площадь равна:
| , (7)
а =
где г - перпендикуляр, опущенный из полюса А в направлении касательной к средней линии сечения, проведенной через данную точку (рис. 1).
Известно, что интеграл (7) равен удвоенной площади заштрихованного на рис. 1 сектора, ограниченного лучами АМ, Ап и контуром средней линии сечения. Для контура, ограниченного прямыми линиями, секториальная площадь а равна удвоенной площади треугольника, заключенного между линией контура и лучами АМ и Ап.
А
А
А
А
А
А
А
а
Рис. 1. К определению секториальных координат а сечений криволинейного и прямолинейного контуров
(все рисунки сделаны авторами)
При криволинейном контуре сечения длина перпендикуляра г, а значит и величина секториальных площадей, изменяются по длине контура, в зависимости от его очертания (а = а(а) ). Если контур сечения представляет собой ломаную линию, то для всех точек каждого прямолинейного участка величина г будет иметь одно и то же значение, и эпюра секториальных координат будет состоять из отдельных прямолинейных участков (рис. 2).
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 4 (25)
Рис. 2. Правило знаков ю (стрелкой указано направление обхода контура)
Пусть ах и ау - координаты истинного центра кручения А (когда юа = 0) по отноше нию к произвольной точке В. Ниже показано, что юа и юв связаны равенством:
юа = юв -аху + ауХ - С,
8Хюв - ах Ух +ау Уху + СБХ = 0;]
8у®В - ахУ ху + ауУу + СБу =
где С - произвольная постоянная.
Если и, V - это главные центральные оси сечения, то Уму = 0, = 0, =0. Поэтому из (8) имеем формулы для координат точки А:
|\ювёЛ | итв йЛ
а = Битв = л_. а = —= — Л__(9)
и У™ | у2йЛ v Уут1П | и2йЛ
и тах
Координаты центра изгиба не зависят от величины С, т.е. от выбора того или иного начала отсчетов секториальных площадей, таким образом, начало отсчетов может быть взять произвольно. Секториально-линейные характеристики в декартовой системе:
юп=—| уйх хйу. (10)
п
ю1 Ю2
В произвольной системе координат любую из геометрических характеристик можно представить в виде суммы соответствующих характеристик треугольников (рис. 3), имеющих общую вершину, являющуюся началом координат.
Рассмотрим произвольный (£-й) треугольник в выбранной системе координат. Площадь треугольника AОji определяется как
(^ )к = ^ёе! 2
= 0,5(Х,У/ — Х/У,) = 0,5Ли . (11)
Площадь треугольника будет положительной при нумерации узлов против часовой стрелки и, наоборот, отрицательной - при нумерации по часовой стрелке.
Л
Л
Рис. 3. Деление произвольного сечения на треугольные элементы
Статические моменты определим как произведение площади треугольника на расстояние от центра тяжести до соответствующей оси:
(&)к = А (У + У) • 6
Координаты центра тяжести равны:
У + У X + X,
У/с = --- ; Хс = ' -
(12)
3 ' 3
Осевой момент инерции относительно оси X определим как
(Л)к = Ак (У^ + УУ- + У2) .
Центробежный момент инерции: (3^у)к=Ак (Ег^ф +Еф ¥г+ 22г^г +2Еф Тф)/24.
(13)
(14)
(15)
В итоге для всей фигуры, имеющей п характерных точек (рис. 3), получим следующие расчетные формулы:
1 " / \ 1" / \ р = 0,5е а; ^ = 1 £ак (у- + у ) ^у = 1 £ Ак (х- + X');
к=1 6 ¿=1
к=1
tg (2а0) =
2 • J,
:сУс
Jyc - Jx
Для центральных осей: у _Sy. Y = S ■
Xc - F Y F '
J, = £ J -£ • Fk) Jyc = £ J -X2 • Fk) JXcyc = £(Jk -XCYC • Fk)
k=1 k=1
k=1
J
u max,v min
J + Jyc )±V(/, - Jyc )2 + 4 • JL
(16)
Главные центральные моменты инерции осей, согласно формулам:
J,
u max,v min
( JxC + JyC ) ±V(J xC JyC ) + 4 • J.
Г2
' xCyC
(17)
Зависимости (16), (17) полностью определяют алгоритм расчета геометрических характеристик через координаты контурных точек и позволяют автоматизировать расчет с помощью компьютерных программ AutoCAD и Microsoft Excel.
При подготовке исходных данных необходимо иметь в виду следующее:
- если контур сечения имеет криволинейные участки, их приближенно заменяют ломаными линиями;
- если сечение состоит из несвязанных элементов, необязательно вводить фиктивную связь между элементами приблизительно нулевой толщины, можно просто рассматривать два независимых замкнутых контура, но в одной общей системе координат;
- нумерация узлов производится последовательным обходом контура с любой точки против часовой стрелки;
- если сечение имеет отверстие, нумерация узлов внутреннего замкнутого контура (координата первой точки контура совпадает с координатой последней точки контура) производится последовательным обходом с любой точки по часовой стрелке.
Разработанное программное средство решает следующую задачу [2]. Пусть задан трехмерный твердотельный объект средствами 3D моделирования (рис. 4, а), и требуется определить интегральные секториально-линейные характеристики некоторых сечений, заданных точками контуров, определяющими трехмерную модель (рис. 4, б).
Для автоматизированного расчета через координаты контурных точек геометрических характеристик сечений лопасти возможно использовать функции численного интегрирования MatLAB (или Mathcad).
Используя в качестве пределов интегрирования уравнения прямых, ограничивающих к-й треугольник AOij с вершиной в точке О (точка О), совмещенной с началом координат, можно получить символьные выражения всех остальных геометрических характеристик матрицы инерции.
1
2
Рис. 4. 3D-модель гребного винта с выходной волнистой кромкой в сборе (а) и цилиндрические сечения
лопасти с обеими волнистыми кромками (б)
Для прямых, ограничивающих к-й треугольник ДОу с вершиной в точке О, совмещенной с началом координат (рис. 3):
уравнение прямой (Oi): уравнение прямой (ij): уравнение прямой (Oj):
x - 0 _ y - 0
о - x; о - y
x - Xt _ y - Y
X - X, Y - Y,
x - X,
j
y - Y
Xj - о y - о
Y
y( x) = -!- x,
7 X
Y - Y
y( x) = x —
7 X - Xj
Y
y(x) = ^—x. X
j +XYj - XY
X, - X,
Секториально-линейные характеристики относительно главных осей инерции:
n-1
S ■=V
uac ' / *
i=0
J с
K+i, o+0.0001u2
u ы
Kr,+0.0001
vdvdu+ J J J Jk,
Ki 0 jKi+1,1-Ki 1 ))u+Ki+1,0Ki 1 -Ki+1,1Ki 0
K,+,„+0.0001
u2vdvdu
Ki+1,0 K, „+0.0001
s -t
vac ■ ^
i=0
i+1,0 V
J JKr
Ki +1,0 +0.0001v 2
u
K n+0.0001
udvdu + J J^
Ki ,0 (Ki+1,1 -Ki,1) )u+Ki+1,0 Ki ,1-Ki+1,1Ki ,1
K +0.0001
v 2udvdu
K +0.0001
(18)
а также координаты центра сдвига вдоль главных осей:
a = □ Swc ® о a = Sj°c ® о
uv ш I I
vmin umax
(19)
где главные центральные координаты:
u = (x - xc) • cosa + (y - yc) • sina;
u
u
0
u
u
0
K
i+1,0
v = (y - yc) • cosa- (х - хс) • sina, (20)
Kio0=Xi, Ki+ю =Xj, Kíj=Yí, Ki+jj=Yj - элементы матрицы координат контура (ранг матрицы 2); 0,0001 - погрешность для исключения деления на ноль.
Для работы м-файла необходимы исходные данные - текстовый файл <*.txt> со значениями точек по двум координатам. Это файл получают из 3D-модели выделением сечения обходом точками по контуру. В пределах одного сечения координаты первой точки должны быть продублированы - координаты первой и n-й последней выбранной точки должны совпадать. Процедура разбора отдельных сечений реализована в представляемом м-файле. Текстовый файл должен находиться в той же директории, что и запускаемый м-файл.
Для примера мы рассмотрели 9 сечений (рис. 5) и подготовили массивы координат точек контурных сечений (можно использовать данные 2D).
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 4 (25)
б)
- тг
- -лЛ—4-4-1 1 г1—
Т7 т ''. шХ
-
—.'г' ~.у ■>' "I
ВШ
Рис. 5. Рабочие чертежи гребного винта с волнистой поверхностью лопасти: а - боковая и нормальная проекции, спрямленный контур лопасти; б - контуры рассматриваемых сечений лопасти, построенные по
координатам точек 3D-модели
После запуска и выполнения м-файла в Ма1ЬАВ на выходе получаем матрицу линейно-секториальных характеристик всех сечений (см. таблицу), расчет ведется по зависимостям, указанным выше. На рис. 6 показаны графики зависимости осевых и центробежных моментов инерции поперечных сечений вдоль лопасти Ь.
Рис. 6. Моменты поперечных сечений лопасти: □ - осевой относительно собственных центральных осей сечений X; *- осевой относительно оси Y; о - центробежный
Координаты центров сдвига сечений волнистой лопасти, мм
au 11.268 7.377 8.353 7.133 5.854 2.443 0.75 -0.203
av 0.369 0.648 0.719 1.138 1.093 1.008 0.841 0.588
L 180 270 360 450 540 630 720 810
Разработанная (запатентованная: [3]) программа представляется модулем, результаты работы которого передаются в расчетный модуль метода конечных элементов или непосредственно используются для анализа конструкции на выносливость, статическую прочность, устойчивость.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. 5-е изд., стер. / под ред. А.В. Александрова. М.: Высш. школа, 2007. 560 с.: ил.
2. Молоков К.А., Славгородская А.В., Китаев М.В. Программа расчета интегральных характеристик контурных сечений трехмерных моделей. А.с. № 2015618056 от 29.07.2015.
3. Молоков К.А., Славгородская А.В. Программа для расчета деформаций на основе стержней аппроксимации метода конечных элементов. А.с. № 2014617090 от 10.07.2014.
4. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Изд. 14-е, испр. М.: МГТУ, 2007. 591 с.: ил.
THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Ship Design and Construction
Slavgorodskaya A., Molokov K., Kitaev M., Nemkin D.
ALEXANDRA V. SLAVGORODSKAYA, Ph.D., Associate Professor, Department of Aircraft and Helicopter, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e -mail: [email protected]
KONSTANTIN A. MOLOKOV, Ph.D., Assistant Professor, Department of Welding Engineering, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e -mail: [email protected]
MAKSIM V. KITAEV, Ph.D. (Technics), Senior Lecturer, Department of Shipbuilding and Ocean Technique, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e -mail: [email protected]
DMITRII V. NEMKIN, Ph.D. student, Department of Shipbuilding and Ocean Technique, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e-mail: [email protected]
Sectorial linear geometrical features of a propeller blade based on computer models
The article presents of the authors' computer-aided computation of integrated characteristics of contour sections for three-dimensional models (in particular, the geometrical characteristics of cylindrical sections of a propeller blade having a wavy surface or other three-dimensional objects with a complicated profile.) The geometrical characteristics of the sections when designing strength of framings of a girder type are determined in relation of their own axes. So, the obtained tension and movement values are considered in the direction of the principal axes and they need not be flat and follow the geometry of the object by the contour cross-sections. In the arbitrary frame of axis, the latters' geometrical characteristic can be represented as a sum of corresponding characteristics of the triangles having the general top which is the beginning of coordinates. The possibilities of numerical and symbolical integration which are available in the Mathcad and MatLAB programs make it possible to determine the geometrical characteristics not only of the arbitrary sections, but those of the volumes as well. The algorithm can be applied to calculate the sectorial straight-line characteristics and the coordinates of the shear centre for asymmetrical and thin-walled sections of an open profile.
Keywords: axial moment of inertia, sectional area, product of inertia, section's contour, geometrical properties of sections, coordinate of shear centre, screw propeller.
REFERENCES
1. Alexandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Strength of Materials, 5th ed., edit. A.V. Alexandrov. Moscow, Higher School, 2007, 560 p. (in Russ.). [Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Sopro-tivlenie materialov. 5-e izd., ster. / pod red. A.V. Aleksandrova. M.: Vyssh. shk., 2007. 560 s.: il.].
2. Molokov K.A., Slavgorodskaya A.V., Kitaev M.V. The program of calculation of integral characteristics of cross-sections contour three-dimensional models. The certificate number 2015618056, 07.29.2015. (in Russ.). [Molokov K.A., Slavgorodskaja A.V., Kitaev M.V. Programma rascheta integral'nyh harakteristik konturnyh sechenij trehmernyh modelej. Svidetel'stvo № 2015618056 ot 29.07.2015].
3. Molokov K.A., Slavgorodskaya A.V. The program for the calculation of the deformation-based cores approximation finite element method. The certificate number 2014617090, 07.10.2014. . (in Russ.). [Molokov K.A., Slavgorodskaja A.V. Programma dlja rascheta deformacij na osnove sterzhnej approksimacii metoda konechnyh jelementov. Svidetel'stvo № 2014617090 ot 10.07.2014].
4. Feodosyev V.I. Strength of Materials. 14th ed. Moscow, Moscow State Technical University, 2007, 591 p. (in Russ.). [Feodos'ev V.I. Soprotivlenie materialov. Izd. 14-e, ispr. M.: MGTU, 2007. 591 s.: il.].
