Спектры стабильных расслоений ранга 2 на P3 с классами Черна C1=0 и1≤c2≤19 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е л (х)

п= ограниченных измеримых функций, множество сумм которого нелинейно в про-

1

странстве Lm (0,1) и 0 при всех n=1, 2,...

Библиографический список

1. Steinitz E. Bedingt konvergente Reihen und konvexe systeme // J.Reine Angrew.Nath., 1913, V. 143, P. 128175; 1914, V. 144, P. 1-49; 1916, V. 146, P. 68-111

2. Красносельский, М.А., Рутицкий, Я.В. Выпуклые функции и пространства Орлича [Текст]. - М.: Физ-матгиз, 1958.

L

3. Кадец, М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве p // Успехи матем. наук, 1954. - Т. 1. - С. 107-110

4. Никишин, Е.М. Перестановки функциональных рядов // Матем. сборник, 1971. - Т. 85 (127). - С. 272286.

5. Островский, М.И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах [Текст] // Теория функций, функц. анализ и приложения. - 1986. - № 6. - С. 77-85.

6. Корнилов, П.А. О перестановках условно сходящихся функциональных рядов //Матем. сборник, 1980. -113 (155), №4(12). - С. 598-616.

7. Корнилов, П.А. О линейности множества сумм функционального ряда // Успехи матем. наук. - 1982. -Т. 37. - Вып. 2 (224). - С. 205-206.

8. Корнилов, П.А. О теореме Римана в функциональных пространствах // Доклады Академии наук СССР, 1983, Т. 271. - №6. - С. 1310-1313.

9. Корнилов, П.А. Об условно сходящихся рядах последовательностей и функций // Сибирский матем. журнал. - 1987. - Т. XXVIIL - №3. - С. 140-148.

10. Корнилов, П.А. О множестве сумм условно сходящегося функционального ряда // Матем. сборник, 1988, 1 (9). - С. 114-127.

J M (f (t ))dt = an

© Корнилов П.А., 2010

УДК 512.7

С.А.Тихомиров, А.А.Смирнова

СПЕКТРЫ СТАБИЛЬНЫХ РАССЛОЕНИИ РАНГА 2 НА P3 С КЛАССАМИ ЧЕРНА

И 1 < с2 < 19

С = 0

В настоящей работе авторами изучаются спектры стабильных векторных расслоений

2 Р3 Ч с1 = 0 1 < с2 < 19 1 < с2 < 19

ранга 2 на Р3 с классами Черна 1 и 2 , в том числе для каждого 2

определяется точное количество реализуемых спектров.

Ключевые слова: векторные расслоения, кондиционные спектры, классы Черна, стабильное расслоение

S.A. Tikhomirov, A.A. Smirnov

SPECTRA OF STABLE STRATIFICATIONS OF A RANK 2 ON P3 WITH CHERNA'S

CLASSES ci = 0 H 1 - c2 - 19

In this article we study spectra of stable rank-2 vector bundles on P3 with Chern classes

C = 0 1 < C < 19 1 < C < 19

1 , 2 and calculate the exact number of realizable spectra for each 2 .

Keywords: vector stratifications, conditioned spectra, Cherna's classes, stable stratification

1. Введение

Пусть E - стабильное векторное расслоение ранга 2 на P3 с классами Черна C1 = 0 и °2 = n. Тогда расслоению E можно сопоставить его спектр.

Барт и Эленцвайг в статье [1] определили спектр E в характеристике 0 как упорядоченную

/ к к к

последовательность чисел в количестве c2 штук. Пусть ^ ={ 1 2>---> С2 }-спектр E (kie Z). Тогда /

^ удовлетворяет свойствам:

- (S1) симметричность: {-ki}={ki};

/

- (S2) связность: для любых двух чисел в Л каждое число, лежащее между ними, также лежит в

?

- (S3) если число l0, такое, что 1 < l0< max{ki} появляется, только один раз в % , то каждое число l, такое, что l0<l<max{ki}, появляется только один раз в % .

Определение спектра, не зависящее от характеристики, а также свойства спектра (S1)-(S3), указываемые выше, были даны и доказаны Хартсхорном в статьях [2] и [3].

Данная работа посвящена изучению спектров стабильных векторных расслоений ранга 2 на m TI c, = 0 1 < c2 < 19 c2

P3 с классами Черна 1 и 2 , в том числе для каждого 2 определено точное количество реализуемых спектров.

Через MP3(2; 0, n) мы будем обозначать пространство модулей (классов изоморфизма) стабильных векторных расслоений ранга 2 на P3 с классами Черна C1 = 0 и °2 = n. В качестве основного поля используется поле комплексных чисел C.

2. Спектры стабильных расслоений из MP3(2; 0, n)

Для начала дадим определение, впервые вводимое нами в научный оборот. Определение 1. Спектр расслоения из MP3(2; 0, n) мы назовем некондиционным, если он удовлетворяет свойствам (S1) и (S2), но не удовлетворяет свойству (S3), указанному выше. Спектр, удовлетворяющий всем трем указанным выше свойствам, будем называть кондиционным. Далее, Р. Хартсхорн и А.-П. Рао показали в [4, теорема 2.1], что для 1 < c2 < 19 реализуемыми являются именно кондиционные спектры, т.е. в действительности существуют стабильные расслое-

1 < c < 19

ния ранга 2 на P3 с c1 = 0 и 2 , обладающие такими спектрами. Изучая более детально такие спектры, можно заниматься очень важным вопросом в теории векторных расслоений - вопросом об изучении географии и геометрии компонент пространств модулей MP3(2; 0, n). Нас же будут главным образом интересовать следующие задачи:

- сформулировать и доказать утверждение о качестве всех спектров наших расслоений при произвольном c2;

- выделить кондиционные и некондиционные спектры (высчитать точное количество кондиционных и некондиционных) и тем самым указать число реализуемых спектров в каждом c2 от 1 до 19 включительно.

В силу свойства симметричности (S1) спектров мы будем работать лишь с их правыми частями, что, естественно, не изменит сути рассуждений и правильности получаемых результатов. Также иногда для удобства будем называть спектрами их правые части.

Замечание 2. Общее число спектров расслоений c2=n и c2=n+1 одинаково, если n - нечетное. К соответствующему спектру из n нечетных просто в середине добавляется еще один 0, в силу чего общее число спектров не меняется.

Замечание 3. Из каждого некондиционного спектра при некотором фиксированном n получаются 2 некондиционных спектра при c2=n+2. А именно, в соответствии со свойством связности

n - 2

спектра (S2) мы можем добавлять к набору {k1, k2, ... , kl}, где l= , если n - четное, и l=

п-1

, если п - нечетное, только 2 числа: либо само к1, либо к1+1, что по-прежнему, как нетрудно видеть, будет давать некондиционный спектр.

Теперь мы формулируем важный результат, который помогает в проверке правильности вычислений.

Теорема 4. Общее число dn спектров расслоений из МР3(2; 0, п) при произвольном с2=п равно 2 2 , если с2- нечетное, и 2 2 , если с2 - четное.

Доказательство. Применяем метод математической индукции по номеру п. Рассмотрим случай нечетного п (случай четного п аналогичен).

С 2 -1

п=1: 2 2 =20=1спектр - верно (это спектр, состоящий из одного 0).

к-1

Предположим, что при п=к наше утверждение верно, т.е. dk=2 2 . Переходим к п=к+2 (см. замечание 2 выше): поскольку в с2=к+2 каждый спектр получается согласно свойству ^2) прибавлением справа к соответствующему спектру 2 чисел (либо равного крайнему правому числу, либо

к+2-1 к+1

на 1 большего числа), то получаем 2 2 =2 2 . Теорема доказана.

Пользуясь только что доказанным утверждением, мы можем приводить наборы всех спектров до с2=19 включительно. В качестве примера приведем такой набор спектров для с2=10 (жирным шрифтом выделены некондиционные спектры): 0,0,0,0,0; 0,0,0,0,1; 0,0,0,1,1; 0,0,0,1,2; 0,0,1,1,1; 0,0,1,1,2; 0,0,1,2,2; 0,0,1,2,3; 0,1,1,1,1; 0,1,1,1,2; 0,1,1,2,2; 0,1,1,2,3; 0,1,2,2,2; 0,1,2,2,3; 0,1,2,3,3; 0,1,2,3,4.

Полные результаты наших вычислений приведены в следующей таблице.

C2 Число реализуемых спектров Общее число спектров Число некондиционных спектров

1,2 1 1 0

3,4 2 2 0

5,6 4 4 0

7,8 7 8 1=1

9,10 12 16 4=2+2

11,12 19 32 13=4+4+5

13,14 30 64 34=8+8+10+8

15,16 45 128 83=16+16+20+16+15

17,18 67 256 189=32+32+40+32+30+23

19 97 512 415=64+64+80+64+60+46+37

Библиографический список

Pn (C )

1. Barth W., Elencwajg G. Concernant la cohomologie des fibres algebriques stables sur v 7 , Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.

2. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves, Math. Ann., 254 (1980), 121-176.

3. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves, II, Inv. Math., 66 (1982), 165-190.

4. Hartshorne R., Rao A.P. Spectra and monads of stable bundles, J. Math. Kyoto Univ., 31, № 3 (1991), 789-806.

© С.А.Тихомиров, А.А.Смирнова, 2010