О перестановках числовых и функциональных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.521

П.А. Корнилов

О ПЕРЕСТАНОВКАХ ЧИСЛОВЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

В данной статье рассматриваются перестановки условно сходящихся функциональных

Lp [0,1] 1 < р < 2 И Р

рядов в пространствах р при ^ . Известная теорема Римана утверждает, что множество сумм любого сходящегося числового ряда линейно. М.И.Кадец доказал, что в про-

Lp> [0,1] 1 < р <ш „

странствах р при ^ условия линейности множества сумм ряда выглядит следа т1п(2, р)

^ЦхУ <ш

II п II

дующим образом: п-1 . В данной статье приводится пример ряда с нелинейным

Lp [0,1] „

в пространстве множеством сумм, который показывает неусиляемость условия

М.И.Кадеца в рассматриваемых пространствах.

Ключевые слова: перестановки функциональных рядов, теорема Римана, линейность множества сумм.

P.A. Kornilov

ABOUT SHIFTS OF NUMERICAL AND FUNCTIONAL NUMBERS

This article is devoted to permutations of functional series in Lp [0'1] with 1 ~ p ~ 2. Rim-

an's theorem states that all number series have linear set of sums. Cadec shows that functional series

ш min(2, p )

L [0,1] Uxnll <ш

in p have linear set of sums if satisfies condition n=1 In this article we

proved that this condition can not be strengthened.

Keywords: Permutations of functional series, Riman's theorem, linearity of the set of sums.

Известна классическая теорема Римана: для любого условно сходящегося числового ряда

Za„

n

n=1

и любого действительного числа а существует перестановка п данного ряда, сходящаяся к

I

л( n)

данному числу: n=1

a„( n) = а

М.И. Кадец в [3] ввёл определение области сумм ряда п-1 векторов банахова про-

Хп

y е X,

странства Х как множества всех таких У с ^' что при некоторой перестановке п ряд п-1 сходится к у . Для рядов комплексных чисел описание области сумм было дано П.Леви в 1905 году.

I

Xn

п

Е. Штейниц [1] в 1913 году доказал следующую теорему: область сумм ряда п-1 в т-мерном пространстве Х есть подпространство вида s+Г0, где s - сумма исходного ряда, а Г0 - аннулятор

Г = < f е X * : Ц f (xn)| - сходится)

множества ^ n=1

М.И. Кадец в [3] доказал, что в пространствах р [ ' ] при 1 < р < ш условия линейности

11ХП <ш

р1

ш т1п(2, Р)

Б

множества сумм ряда выглядит следующим образом: п=1 , где под нормой понима-

Lp [0,1] й

ется стандартная норма в пространстве р , а линейным называется множество, которое вместе с любыми своими двумя точками содержит и прямую, проходящую через них.

Банах выдвинул гипотезу о том, что множество сумм функционального ряда относительно сходимости почти всюду является линейным. Однако оказалось, что в бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница неверен и область сумм ряда может быть нелинейной [4], незамкнутой [5], состоять, например, из двух точек, образовывать любую конечную или бесконечную арифметическую прогрессию в произвольном банаховом пространстве [10]. Автором были построены примеры рядов, область сумм которых обладает свойством линейности в одних пространствах (и при этом является нетривиальной) и не обладает этим свойством в других пространствах [8,9].

Р ! 2

Е.М. Никишин в [4] доказал, что при и данное М.И.Кадецом условие нельзя заменить

ш 2+е

^11x11 <ш

0

на более слабое условие п=1 ни при каких е + 0 .

В работе [6] автором была доказана неусиляемость условия Кадеца линейности множества

Lp [0,1] 1 < р < 2 й

сумм в пространствах при в виде следующей теоремы:

Пусть дана произвольная функция х) , положительная при х>0 и такая, что 11т,(х) = 0 при

Х — +0 Т ~ •• ф - Lp) [0,1]

л —г . т огда найдется ряд из функций, принадлежащих всем пространствам р при

1 < р < 2 и две его перестановки и .2 такие, что:

ЪЫ р )<ш

1) п= LР ' при всех 1 <р < 2,

ш

Ъ#ст1(п) L [01] 1 < р < 2

2) ряд п=1 сходится к 0 по норме р ' при всех и ,

ш

^#ет2(п) Lp [0,1] 1 < р < 2

3) ряд п=1 сходится к 1 по норме р при всех ^ ,

4) ни при каких нецелых Я е ^ и р е [1'2] не существует перестановки данного ряда, после кото-

Я L [0,1]

рой он сходится к Л по норме пространства р .

В данной работе, несколько изменив конструкцию доказательства, мы хотим придать ей

окончательный вид. А именно, справедлива следующая

Ъ

а„

п

Теорема 1. Пусть задан произвольный положительный числовой ряд п=1 , общий член ко-

Ъ апр = ш

1 < р < 2 •• , ^ торого стремится к нулю, и число р, ^ , причем п=1 . Тогда существует ряд

ш

Ъ1"(Х) д. - Lv[0,1] „ \\fn\V = ап

п1 функций из пространства р , множество сумм которого нелинейно и р

при всех п=1,2,... Доказательство теоремы 1.

Без ограничения общности, поскольку речь идёт о перестановках рядов, мы будем считать, что общий член данного числового ряда стремится к нулю монотонно. Кроме того, мы будем для удобства считать, что все его члены не превосходят 1, поскольку добавление или удаление любого

конечного числа любых функций из пространства р ' не влияет на структуру множества сумм ряда в этом пространстве, а просто сдвигает его множество сумм на фиксированную функцию. Разобьём данный числовой ряд на два ряда - из членов с нечётными номерами и членов с чётными

ад

Е а2к-1 р

номерами. Из теоремы сравнения положительных рядов вытекает, что оба ряда к=1 и

ад

Еа2кр ^

к 1 расходятся. Обозначим их частные суммы через п и О п , п=1,2,3... соответственно. Нулевые частные суммы, естественно, будем считать равными 0. Далее, определим две системы мно-

Е Е Е

жеств п и Е п , п=1,2,3... из полуинтервала [0,1) следующим образом: множество п состоит из

[О S ) '

дробных частей всех точек полуинтервала [ п-1' п ), а множество Е п состоит из дробных частей всех точек полуинтервала [ 0 п-1, Оп). Ясно, что каждое из определённых нами множеств пред-

[О О ) [ ' '

ставляет собой один полуинтервал (если полуинтервал [ п-1' п) или [ $ п-1, $ п) не содержит целую точку) или два полуинтервала на [0,1).

Теперь определим две последовательности функций, из которых и будет состоять искомый

ряд:

/ п (х) = /Е (х) / п (х) = -/Е (х) х е [01] , , ,,

; V ! лцп\ ! и у ' ЛЕ»У \ при всех 1 ' ] и п=1,2,3,...,

где /е (х) означает характеристическую функцию множества Е.

Для вычисления норм построенных функций заметим, что при всех п=1,2,3,...

mes{x : х е Еп 1= $ п - О, = а2 ,р mes{x: х е Е'1= а2пр „

-1 2 -1 и, аналогично, 2 . Отсюда, по определе-

Lp [0,1]

нию нормы пространства , имеем:

1 У1 р

. I - I ■ I Т I -Г 11 /-"»Т - ■ 1/1/» /-»а! »-/ \ ^

П

р i

-0 1 при всех п=1,2,3,...

V+п I = I 2/+п (0| = (mesCЕп )У р = а^

Р п\ь - а2п

Аналогично, р при всех п=1,2,3,...

Итак, первый пункт теоремы 1 доказан. Для доказательства второго пункта теоремы построим перестановки . и .2 ряда, после которых переставленные ряды будут сходиться к нулевой и единичной функции соответственно в пространстве [°'1] . Построение будет идти по схеме, предложенной Риманом для числовых рядов в своей знаменитой теореме.

При построении обеих перестановок как положительные, так и отрицательные функции мы будем располагать в том порядке, в котором они нумеровались. При этом каждая частичная сумма

ад ад

Е/+п Е Гп

переставленного ряда разобьётся на сумму двух частичных сумм рядов п1 и п1 . Наша

задача при построении перестановки . состоит в том, чтобы «перемешать» положительные и отрицательные функции так, чтобы они почти компенсировали друг друга. Опишем формальное правило построения данной перестановки. Начинаться она будет с первой положительной функции. Далее, если в перестановку уже вошли первые М положительных и первые К отрицательных

V + о < о $

функций, то следующей в перестановку будет включена функция ^ м+1, если м ~ К или функ-/ - о + о $

ция к+1, если м к . Посмотрим, как устроена сумма М первых положительных функций.

О с d

Если обозначить целую часть м через м , а дробную - через м , то из определения функций

/ + d с d

п видно, что на полуинтервале [0, м) их сумма равна м +1, а на полуинтервале [ м ,1) сум-

с

ма равна м . Аналогично, для суммы первых К отрицательных функций обозначим целую часть £ $ с' d' ~ /_ с'

К через К а дробную — через К Тогда частичная сумма ряда функций ^ п будет равна (- К

К через К, а дробную - через К . Тогда частичная сумма ряда функций •> п будет равна (- К ■

I, ^ ) и (- Ск ) на полуш м К

/ / + п (X) + 1/ п (X)

1) на полуинтервале [0, dк ) и (- Ск ) на полуинтервале [dк , 1).

м К

/ п (х) | 5 _ 5 $ |

Отсюда вытекает, что п= п= отличается от 0 на множестве меры 1 м К 1, на

котором она принимает значение — 1. Поскольку из построения перестановки следует, что

1 \— тах(а 2м_1,а 2К ) — 0, то построенная перестановка сходится к нулю. Осталось

заметить, что в неё войдут как все положительные, так и все отрицательные функции (из-за расхо-

ад ад

Е а2к_1 Е а2к

димости рядов к=1 и к=1 ).

Для построения перестановки .2 и доказательства её сходимости к единичной функции поступим аналогично, но правило её построения будет выглядеть следующим образом: начинаться она будет с первой положительной функции. Далее, если в перестановку уже вошли первые М положительных и первые К отрицательных функций, то следующей в перестановку будет включена / + £ — £ $ + 1 / - £ + £ $ + 1 функция ■> м+1, если м ~ К , или функция ■> К+1, если м К . При этом снова перестановка . будет содержать все функции исходного ряда, а её частичные суммы будут отличать-

\ 5 _ 5' \

ся от единичной функции (причём отличие может быть только — 1) на множестве меры м К

, которая стремится к нулю, поэтому перестановка . исходного ряда сходится к единичной функции.

Для доказательства теоремы осталось заметить, что поскольку все функции построенного нами ряда в каждой точке [0,1] принимают только целые значения, то и любая частная сумма любой перестановки построенного ряда также будет принимать только целые значения. Из этого соображения с помощью тривиальных оценок вытекает, что функция, тожественно равная нецелому

числу ^ е ^ на отрезке [0,1], не принадлежит множеству сумм построенного ряда в пространстве

[0'1] (см.[6]), что и означает нелинейность множества его сумм в рассматриваемом пространстве. Теорема 1 доказана.

В работе [7] автором было доказано следующее условие, обеспечивающее линейность множества сумм функционального ряда в пространствах Орлича ^ м (0,1) (соответствующие определения можно посмотреть, например, в книге [2]:

Теорема. Пусть ^функция М(и) такова, что её производная р(и) выпукла вверх при и>0. Тогда

ад 1

ЕЕ 2м (/«))Л < ад

условие п=1 0 является достаточным для линейности множества сумм ряда в про-

странствах 1 м .

Изложенная в данной работе конструкция позволяет при минимальных изменениях (они ка-

5 5

саются только определения последовательностей п и 5 п, которые берутся равными соответствующим частным суммам рядов с чётными и нечётными членами ряда, делённым на М(1)) доказать и следующий результат автора:

V

/ ап

^^ п

Теорема 2. Пусть задан произвольный положительный числовой ряд п=1 , общий член которого

ад

Е ап =ад

стремится к нулю, и произвольная ^функция М(и), причём п=1 . Тогда существует ряд

Е л (х)

п= ограниченных измеримых функций, множество сумм которого нелинейно в про-

1

странстве Lm (0,1) и 0 при всех n=1, 2,...

Библиографический список

1. Steinitz E. Bedingt konvergente Reihen und konvexe systeme // J.Reine Angrew.Nath., 1913, V. 143, P. 128175; 1914, V. 144, P. 1-49; 1916, V. 146, P. 68-111

2. Красносельский, М.А., Рутицкий, Я.В. Выпуклые функции и пространства Орлича [Текст]. - М.: Физ-матгиз, 1958.

L

3. Кадец, М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве p // Успехи матем. наук, 1954. - Т. 1. - С. 107-110

4. Никишин, Е.М. Перестановки функциональных рядов // Матем. сборник, 1971. - Т. 85 (127). - С. 272286.

5. Островский, М.И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах [Текст] // Теория функций, функц. анализ и приложения. - 1986. - № 6. - С. 77-85.

6. Корнилов, П.А. О перестановках условно сходящихся функциональных рядов //Матем. сборник, 1980. -113 (155), №4(12). - С. 598-616.

7. Корнилов, П.А. О линейности множества сумм функционального ряда // Успехи матем. наук. - 1982. -Т. 37. - Вып. 2 (224). - С. 205-206.

8. Корнилов, П.А. О теореме Римана в функциональных пространствах // Доклады Академии наук СССР, 1983, Т. 271. - №6. - С. 1310-1313.

9. Корнилов, П.А. Об условно сходящихся рядах последовательностей и функций // Сибирский матем. журнал. - 1987. - Т. XXVIIL - №3. - С. 140-148.

10. Корнилов, П.А. О множестве сумм условно сходящегося функционального ряда // Матем. сборник, 1988, 1 (9). - С. 114-127.

J M (f (t ))dt = an

© Корнилов П.А., 2010

УДК 512.7

С.А.Тихомиров, А.А.Смирнова

СПЕКТРЫ СТАБИЛЬНЫХ РАССЛОЕНИИ РАНГА 2 НА P3 С КЛАССАМИ ЧЕРНА

И 1 < с2 < 19

С = 0

В настоящей работе авторами изучаются спектры стабильных векторных расслоений

2 Р3 Ч с1 = 0 1 < с2 < 19 1 < с2 < 19

ранга 2 на Р3 с классами Черна 1 и 2 , в том числе для каждого 2

определяется точное количество реализуемых спектров.

Ключевые слова: векторные расслоения, кондиционные спектры, классы Черна, стабильное расслоение

S.A. Tikhomirov, A.A. Smirnov

SPECTRA OF STABLE STRATIFICATIONS OF A RANK 2 ON P3 WITH CHERNA'S

CLASSES ci = 0 H 1 - c2 - 19