Интегральные аналоги рядов в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3(11)

УДК 517. 521

Е.Г. Лазарева, О.С. Осипов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ РЯДОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ1

Исследуются интегральные аналоги условно сходящихся рядов в банаховых пространствах. Показано, что область значений интегрального аналога ряда есть аффинное подпространство. Его можно найти способом, описанным в теореме Штейница об области сумм рядов в конечномерных пространствах.

Ключевые слова: интегральный аналог ряда, перестановка ряда, область сумм ряда, перестановка интеграла, область значений интеграла.

ад

Рассмотрим сходящийся ряд ^ хі в банаховом пространстве Е над полем К

і=1

Интегральным аналогом этого ряда назовём несобственный интеграл Бохнера

^+ад Т

...... ^

[ х(/= Иш [ х(/)й?/ , где х(0 = хг при tе [г - 1, г), г е N. Заметим, что собст-

*• т—+ад ^

0 0

+ад

венный интеграл Бохнера | х(^)& существует тогда и только тогда, когда сущест-

0

+ад ад ——+ад

вует | ||х(/)|| & = XII хг\\ , однако несобственный интеграл | х(^Л определен и

0 г=1 0

ад

его значение совпадает с суммой ряда ^ хг . Пусть члены ряда переставлены

г=1

биекцией п: N—N. Тогда интегральный аналог можно переставить соответствую-

—+ад т

щим образом: [ х(5(/))й?/ = Иш [х(5(/))Ж , где 5: [0;+®)— [0;+®), 5([г - 1, /')) =

*• т—+ад ^

0 0

—+ад

= [п(г) - 1, я(0). В общем случае под перестановкой интеграла | х()& пони-

0

—+ад

маем | х(5^))Л , где 5: [0;+®)— [0;+®) - биекция, сохраняющая меру Лебега,

0

то есть перестановка (см. [1]). Аналогично области сумм ряда (см. [2]) определим область значений несобственного интеграла, как множество всех таких элементов уеЕ , что найдётся перестановка 5: [0;+®)— [0;+®), для которой не-

—+ад

собственный интеграл | х(5(/))Л сходится к у.

0

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П937 от 20 августа 2009 года.

В работе [1] рассмотрен ряд Корнилова (см. [3]) Бфг- , ф,єІр(0;1), область

і=1

сумм которого состоит из двух точек Ьр(0,1), а именно, из функций, тождественно равных 0 и 1 на интервале (0;1). В [1] показано, что интегральный аналог этого

^+ад

ряда | ф(/)Ж имеет область значений, состоящую из всех постоянных функций

0

в £р(0,1). Цель нашей работы - доказать, что интегральный аналог любого условно сходящегося ряда в банаховом пространстве Е имеет в качестве области значений аффинное подпространство в пространстве Е. А именно, докажем следующую теорему.

ад

Теорема. Пусть дан условно сходящийся ряд Б х- = ^ в банаховом про-

і=1

^+ад

странстве Е. Тогда для его интегрального аналога | х()& выполнено:

0

^+ад Гад ^

ОС ( | х(ї)сІї) = 50 + Гх є Е: V/ є Е* Б / (х )1 < +ад ^ / (х) = 0 I.

0 І і=1 J

( ад

Отметим, что множество 50 + < х є Е: V/ є Е ' Б/ (х- ^ <+ад^ / (х) = 0!

ад

согласно теореме Штейница, область сумм ряда Б хі , если пространство Е ко-

і =1

нечномерно (см. [2]). В случае бесконечномерного пространства Е область сумм ряда лишь содержится в этом множестве, но она может быть незамкнутой, ограниченной и даже состоять из конечного числа элементов [3]. Наличие в бесконечномерном пространстве рядов, область сумм которых не подчиняется теореме Штейница (например, состоит из конечного числа точек), можно объяснить существованием несжимаемых систем (см. [4]). А именно, в любом бесконечномерном банаховом пространстве для всякого М > 0 найдется система векторов

есть,

{хь х2, ..., хп}, такая, что тах

1< ]<п

Б хп

і=1

(і )

> М • тах хЛ +

1< ] < п

Б х

і=1

для любой переста-

новки л:{1,2,...,и}^ {1,2,...,п}. Такие системы называются М-несжимаемыми. Приведём пример 3-несжимаемой системы в пространстве с0 с нулевой суммой. Система состоит из 6 векторов:

х1 = х2 = х3 = х4 = х5 =

хб =

1, 0, 0,.

-1, 0, 0,.

-1, 0, 0,.

1, 0, 0,.

-1, 0, 0,.

1, 0, 0,.

)

)

)

)

1 3

Число ненулевых координат в каждом векторе этой системы равно 2 Ч = 10,

то есть число -1 поставлено на любые 3 из 6 мест по вертикали, а потом убраны столбцы, которые получаются из встретившихся раньше умножением на -1.

Следующая лемма показывает, что при переходе к интегральному аналогу ряда любую систему векторов можно сжать.

Лемма 1. Пусть дана система векторов (хь х2, ..., хп} в пространстве Е. Пусть

^+ад ад

хк = 0 Ук > п, | х(ґ )Л - интегральный аналог ряда Б хк . Тогда для любого є > 0

к=1

I x(S(t))dt

найдется перестановка 5: [0;+да)^ [0;+ю), такая, что sup

0<т<п

причем 5([0; n)) = [0; n), 5| [n +Ш) (t) = t, то есть перестановка 5 отлична от тождественной только на множестве [0; n).

Доказательство. Зафиксируем є > 0. Пусть max

1S jS n

Z x

i=1

= M max I Ы|. Найдем

1SiS n

NeN такое, что M +1 maxi |x|| <e. Строим искомую перестановку 5. Каждый по-

N \<i<n

луинтервал [i - 1, i) (i = 1, 2,..., n) делим на N равных промежутков [i - 1+(k-1)/N, i-1+k/N), к = 1, 2,..., N.

На первом шаге составляем подряд первые промежутки из каждого полуинтервала:

5 ([(i-1)/N; i/N)) = [i -1, i -1+1/N), i = 1, 2 ,..., n.

Вторым шагом составляем подряд вторые промежутки из каждого полуинтервала:

5 ([n/N+(i-1)/N; n/N +i/N)) = [i -1+1/N, i -1+2/N), i = 1, 2 ,..., n.

Соответственно на K-м шаге 5 ([(K-1)n/N +(i-1)/N; (K-1)n/N +i/N)) =

= [i -1+(K-1)/N, i -1+K/N), i = 1, 2,., n.

Сделав N шагов, мы закончим построение функции 5 на полуинтервале [0; n). Осталось положить 5|[n +Ш) (t) = t и построение нужной перестановки 5 закончено.

Т

Оценим sup

0<T<n

I x(S(t))dt

. Заметим, что при K = 1, 2, ..., N

Kn

N

I x(S(t))dt

(K —1 )n

i—1+K / N

Z I x(t)dt

i=1 i—1+( K—1)/N

N

Z

Kn Kn

Пусть те[-^ + j/N; +(/'+1)/N) при некоторых K, j. Имеем

Т Kn N Т

I x(S(t ))dt 0 S I x(S(t))dt 0 + I x(S(t))dt Kn N

N

K

N

n j i-1+(K+1)/N Т

Zx + Z j x(t)dt + j x(5(t))

i =1 i=1 i-1+K / N j / N+Kn / N

Z x

i=1

j 1

Z - x

Ni

i=1

iixj+1ii/N.

Поэтому

Т

j x(5(t ))dt

sup

0<T<n

Z x

i=1

1

+

N

(

max

1< j<n

j

Zx

i=1

+max|| xll

1<iin

Z x

i=1

M+1 +-------max xJ <

N 1<i<n iM

Z x

i=1

+є.

что и требовалось. ■

Замечание. Ниже нам понадобится обобщенный вариант леммы 1:

Пусть дана система {хь х2, ..., хп} векторов в пространстве Е,

{а, I = 0, 1, 2,., п} - возрастающая система вещественных чисел, х(г) = х, при ге [а, _ 1, а,), х(г) = 0 при остальных г, а, = а, _ а,-1 . Тогда для любого е > 0 найдется

перестановка 5, такая, что sup

j x(5(t))dt

Z

i=1

+ є, причем 5 отлична от

тождественной только на множестве [а0; an).

Доказательство проводится аналогично лемме 1, а именно, нужно разделить

Г\ЛГ M +1||||

каждый полуинтервал [а,_ь а) на N равных промежутков, где ———max||а;х,-1| <е .

N 1<i<n

число М получено из равенства max

1< j< n

Zaixi

i =1

=M maxl laixill.

1<i<n

Для работы с интегралом нам понадобится

Лемма 2. Пусть функция /: [0, +о) ^ Я интегрируема по Лебегу на [0;+®).

+0

Тогда для любой перестановки 5: [0;+®)^- [0;+®) интеграл Лебега | /(5(г)) &

существует и выполнено равенство: | /(г)Ж = | /(5(г))Ж.

0 0

Доказательство. Используем определение интеграла Лебега. Множество простых функций на [0;+®) обозначим через Р([0, +о)), ст-алгебру измеримых по Лебегу множеств в [0;+®) _ через £[0, +о). Пусть последовательность Коши

{фп }П=1 такова, что фп (г) ^ /(г) почти всюду. А именно, фп = V а1пXА ,

п^оо 1 ’ 1,п

i=1

ai,n є R , 4,n є L[0, +00) , Ai,n ° Aj,n =0 при i * j

x Ai n (t) =

Тогда по определению

I0, t г A ,n. kn

j f (t)dt = lim Z ai,nМ4,n .

и_n

n

+C0

+C0

i =1

Докажем, что последовательность простых функций {фп о л}^ является последовательностью Коши в пространстве Р([0, +о)) и сходится к функции / о п почти всюду. Заметим, что уА°п = хп-1А для любого А е £[0, +о).

Пусть е> 0 . Выберем N е N так, что

+о

^ д > N : ||фр-ф?||р = Цфр(г)-фд (г)| Ж <е.

Тогда для любых р, д > N :

кр кд

Vа.рхА, р -Ха1Лха,.

1|ф * -ф,1 1р

і, *

і=1 7=1

пр п,

=ХХ М =

1=1 7=1

Ви = 4,* п 7

Ъ|,7 = «і,* - 7

Хп-1в

1=1 7=1

XX Ъ, 7 X Ві

і=1 7=1

п В, ] =

= п-14 * пп-14

7,3

X «,*хп-‘4* -X «7,,хп

1=1 •* 7=1

X «і,* ХЛ-,„ ° П-Х «7,, Х^ ° П

= ф* о п-ф, о П

,=1 7=1

Следовательно, ||фр ° п-фд о п||р < е .

Пусть множество М е £[0, +о) таково, что цМ = 0 и Иш фп (г) = /(г) для лю-

бых г е [0, +о)\М . Тогда ц(п М) = 0 и Иш фп (п(г)) = /(п(г)) для любых

^ ' п^о

г е [0, +о) \ л-1м .

Осталось заметить, что

+о +о кп кп +о

I /(п(г))Л = 1йп | фп °п = 11т Vа,пц(п-14,п)= 11т Vа,пм4-,п = I /(г)Л.

п^о ^ п^о . , ' 7 п^о . , ^

0 0 г=1 г=1 0

Лемма доказана.

Нам понадобится следующая лемма (см. [2]).

о

Лемма 3. Пусть дан условно сходящийся ряд V х, в банаховом пространстве Е.

множества

Пусть у е Е, 6(}”=1) = |£Ь,.х : 0 < \ < 1, N = 1,2,...| (замыкание

о

конечных сумм элементов ряда V х с весами от 0 до 1),

=1

( о

Ге({х }”=:) = ]х е Е: V/ е Е* V / (х )| < +о ^ /(х) = 0 ^ (аннулятор множест-

о

ва функционалов сходимости ряда V х, ).

=1

=1

Тогда для каждого элемента х е у + Q ({х}" 1) множество х + Г0 ({х1 }" 1) содержится в у + Q ({хг. }”=1).

Доказательство теоремы.

1. Покажем, что ОС ( | х(/)Ж) з 50 + Г0({х }“=1). Для простоты записи обо-

0

значим Г0= Г0({х1}" 1). Пусть 5е50 + Г0.

Построим сначала перестановку ст:[0;+®)^- [0;+®) и возрастающую последо-

Тк

вательность положительных чисел (хк)^® так, что Иш [ х(ст(/))Л = 5. Зафикси-

к**

0

руем числовую последовательность (ек)^0, ек > 0. Так как 50 е Q({xг■ }“=1), то по лемме 3 имеем: 5 е50 + Г0 с 0({х }“=1), то есть найдутся X] е[0;1], для которых

выполнено условие

-Ех}х

і=1

< е

* 1

1. Положим т1= М + (! - Х1). Перестановку ст

на [0; т1) зададим так: для каждого іє{1, 2,..., И1}, такого, что X1 >0, возьмем промежуток [і - 1, X1 + (і - 1)), затем составим эти промежутки подряд в порядке следования индекса і и добавим в конце промежуток [1 - Х|; 1), если Х| ^1. Мы не будем указывать точную формулу для перестановки ст, отметим только еще раз, что объединение вышеназванных промежутков есть ст([0; т1)) и это множество содержит полностью промежуток [0; 1). Получаем

| х(ст(/))Ж - 5

N

Хх1х +(1 -х1) х1 - 5

< X, +е,.

что

Обозначим | х(ст())& = 51 . Отметим,

0

50 е 51 + 0. ({х Сл1+1 и {(1 - х1)х1, 1 = 2,3,..., Л1}) ,

множество Г0 ({х }Г=Л1+1 ^{(1 -Х1) х, 1 = 2,3,..., Л1 }) совпадает с Г0 ({х1 }“=1), так как изменилось только конечное число членов ряда. Тогда по лемме 3 5 е 50 +Г0 с 51 + 0({х}“=Л1 +1 и{(1 -X1 )х1, 1 = 2,3,...,Л1}), то есть найдутся

X2 є [0; 1], для которых выполнено условие

51-Хх

і=2

< е2. При этом оче-

видно, что X2 < 1 -X] , 1 = 2,3,...,Л1 и можно считать, что Л2 > Л1. Положим

л2

т2= т1 + ^ X2 + (1 - Х2 - Х2). Перестановку ст на [т1; т2) зададим так: для каждого

1=2

1 е {2, 3,..., Л1}, такого, что X2 >0, возьмем промежуток [ X] +(1 - 1), X? +X1 +(1 - 1)),

г=1

г=1

т

а при 1 е { Л1+1,., Л2} - промежуток [1 - 1, X2 +(1 - 1)), составим эти промежутки подряд в порядке следования индекса 1, а в конце добавим промежуток [2-X1-, -X2, 2), если он не пуст. В результате определено множество ст([0; т2)), которое содержит полностью промежуток [0, 2), причем

| х(ст(/))Ж - 5

51 +ХХіХі + (1 Х2 Х2 )х2 5

< х2 +е2

Построение т3 аналогично построению т2. Обозначим | х(ст(/))Ж = 52 . Имеем

0

50 е 52 + 0( }Г=Л2 +1 и {(! - X2 - X])( , 1 = 3,..., Л} и {(1 - X2)х, 1 = л + 1,..., N2 }), следовательно, по лемме 3

5е50 + г0с52 +0({хСл2+1 и{(1-Xг2 -x])(, 1 ^..^^^{С1-^х1, 1 = л 1) .

Находим X3 є [0; 1], такие, что

* 3

:-52 -ХХ

< е3. Положим

т3= т2 +^3X3 + (1-Х3 -X2 -Х3).

і=3

Перестановку ст на [т2, т3) зададим так: для каждого іє{3,..., Ы1}, такого, что X3 > 0, возьмем промежуток [ X2 + Х1 +(і - 1), X3 +Х2 + Х1 +(і - 1)), при іє{М+1,..., Ы2} - промежуток [X2 +(і- 1), X3 +Х2 +(і - 1)), а при іє{Ж2+1,..., N3} - промежуток [і - 1, X3 +(і - 1)). Составим эти промежутки подряд в порядке следования индекса і, а в конце добавим промежуток [3-Х'3 -Х^ -Х^, 3), если он не

пуст. В результате определено множество ст([0, т3)), которое содержит полностью промежуток [0, 3), причем

3

| х(ст(/))Ж - 5

< х3 + е3

Построение дальнейших членов последовательности (тк) и перестановки ст на промежутках [тк-1, тк) аналогично, при этом всякий раз ст([0, тк)) содержит [0, к) и

тк

| х(ст(/))Ж - 5

< \хк\\ + ек

Теперь «исправим» перестановку ст отдельно на каждом промежутке [тк-1,тк),

построив перестановку 5:[0;+®)^[0;+®) такую, что | х(ст о Ь^))Ж = 5 . Для

0

дого кеК рассмотрим систему элементов { акх^, _/е./к},

{+1 х , 1 = к +1,..., Лк+1} и {(1 }к - X* -... ^)кк } ={ ак х,кк},

каж-

г=2

1=Ъ

которая состоит из элементов, добавленных к значению 5к = | х(ст(/ ))Ж для полу-

тк +1

тк+1

тк

чения

як+1 = { х(ст(/))Л. Заметим, что ^ ак] х]- = | х(ст(/))Ж - | х(ст(фЛ ^0

0 jеJk 0 0

при к^®, где ак - длина промежутка, на котором зафиксирован соответствующий элемент х^ . К системе {х^}, jеJk , применим обобщенный вариант леммы 1 и получим перестановку 5к, отличную от тождественной на [тк; тк+1) и такую, что

Бир

тк

X аkJxj 1е-1к

+ ек. Перестановку 5 построим так:

5(/) = 5к (^ при tе [тк, тк+1), 5(0 = t при tе [0, т1). Имеем

тк

I х(ст(5^)))Ж - 5

I х(ст(5к (t)))Ж

тк

I х(ст^))Л - 5

I х(ст(5к (t)))Л

< \хк\\ + ек +

X

jеJk

а kixj

что и требовалось доказать.

/ ^+<Ю Л

2. Покажем, что ОСI I х(t)^ с 50 + Г0 (■ }“=1).

Заметим, что I х^)Л = 50. Допустим

сначала, что

Г ({х }Г=1 ) = Е,

то есть не

существует функционалов сходимости: для каждого / е Е* ряд X | /(х1) | расхо-

1=1

дится. Тогда 50 + Г0 ({хг- }“=1) = 50 + Е = Е и по доказанному в п.1 теоремы

/ ^+<Ю Л

ОС I I х^)Ш з ^0 + Г0 (х ) = Е. Таким образом,

V 0 )

/ ^+ад Л

ОС I I x(t)А = Е = 50 +Г0 ({хг }“=1),

V 0 )

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь случай, когда функционалы сходимости существуют. За-

ад

фиксируем такое / е Е*, что XI /(х )| < +^ . Заметим, что для функции

1=1

/ о х: [0; +ад) ^ К существует собственный интеграл Лебега I /(x(t))dt, по-

0

скольку

к

0

т

к

[ т]

I\f(x(t))\dt = lim If(x(t))|dt = lim f(x)| + f|f(xM)|dt

J ті+^ ті+w . , J 1 1

0 0 Vl=1 [т]

([т]

= lim

ті+w

[т]+1

Х1/(Х)\ +(т-N Ит Х1/(х.^ = Х1/(х)1 <+°° •

Л .-=1 7 Т^+ш .-=1 .-=1

Согласно лемме 2, для любой перестановки 5: [0;+®)^- [0;+®) существует инте-

+ад +ад / ^+ад Л ^+ад

грал | /(5(1 ))& = | /(I) & • Зафиксируем у е ОСI | х()& , у = | х(5(*))& •

( Y

Л Y

V 0

/

Заметим, что для всех Y > 0 f Имеем

/ —+<ю Л

f (У) = fl f л-(5(/))dt = f lim f x(5(t))dt

J Y ——+(^ •*

f x(t)dt =f f (x(t))dt (см. [5, теорема III.6.20]).

V

i+w

( Y

= lim f

Yi+w

I x(5(t))dt

0

= lim I f (x(S(t)))dt = Г f (x(S(t)))dt = I f (x(S(t)))dt =

Yi+w

( Y

= I f (x(t))dt = I f (x(t))dt = lim I f (x(t))dt = lim f [ x(t)dt

j J Yi+^ Y —i+w J

= f

0

i+w

lim I x(t)dt I = fl I x(t)dt

Yi+w V 0

Yi+w

= f (s0).

V 0

Тогда f (s0 - y) = 0 и y e s0 + Г0 ({x }“=). Доказательство теоремы завершено.

ЛИТЕРАТУРА

1. Осипов О.С. Об интегральном аналоге ряда с двухточечной областью сумм // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50. № 6. С. 1348 - 1355.

2. Kadets M.I., Kadets V.M. Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence. Birkhauser Verlag, 1997. 153 p.

3. Корнилов П.А. О множестве сумм условно сходящегося функционального ряда // Матем. сборник. 1988. Т. 137. №1. С. 114 - 127

4. Подстригич А.Г. Несжимаемые системы в ^-пространствах // Материалы XXXIV Меж-дунар. науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск, 1995. С. 68.

5. ДанфордН., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

ЛАЗАРЕВА Елена Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент,

доцент кафедры общей математики Томского государственного университета. E-mail:

lazareva@ math.tsu.ru

ОСИПОВ Олег Сергеевич - кандидат физико-математических наук, программист ООО

«Сольвейг Мультимедиа». E-mail: osipov-os@math.tsu.ru

+w

X

+w

Статья принята в печать 22.05.2010 г.