По своим частотным характеристикам все лексемы ИТБ разделяются на две группы: 1) лексемы, имеющие наибольшую частоту (основные лексемы); 2) лексемы, частота которых не превышает некоторого числового порога. Из них впоследствии формируются реляционные ряды, каждый из которых однозначно соответствует одной из основных лексем.
При этом структура МЛ-компонента [7], отражающего основную лексему, дополняется соответствующими переходными вероятностями.
Построение ИТБ согласно реляционной модели позволяет значительно снизить трудоемкость его прохождения и увеличить эффективность системы обучения в целом. При этом применение реляционной модели хорошо сочетается с другими методами оптимизации структуры ИТБ, в частности с методами оптимального разбиения ИТБ на блоки и модули [5].
Библиографические ссылки
1. Ковалев И. В., Усачев А. В. Мультилингвисти-ческий метод изучения иностранной терминологической лексики на базе мнемотехнического подхода // Первая Всерос. науч. интернет-конф. «Соц.-психол. пробл. развития личности». Вып. 4. Тамбов : ТГУ, 2001. С. 57.
2. Карасева М. В., Ковалев И. В., Суздалева Е. А. Модель архитектуры мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии // Новые информ. тех-
нологии в унив. образовании : тез. междунар. науч.-метод, конф. Кемерово : КемГУ и ИДМИ, 2002. С. 204-205.
3. Огнерубов С. С. Алгоритмы оптимизации блочно-модульной структуры информационно-терминологического базиса // Вестн. унив. комплекса. Вып. 20. 2006. С. 104-118.
4. Программа анализа и формирования информационного мультилингвистического терминологического базиса, на основе реляционной модели оптимизации, TuMLas v.1,0 : программа для ЭВМ : свидетельство об офиц. регестрации № 50200701261 / В. О. Лесков, И. В. Ковалев. Зарегистр. ВНТИЦ. 2010.
5. Лесков В. О., Огнерубов С. С. Реляционная модель и алгоритмы оптимизации модульной структуры мультилингвистического информационно-терминологического базиса // Вестн. унив. комплекса. Вып. 21. 2009. С. 116-133.
6. Лесков В. О. Система предварительной обработки текстов, основанная на скрытой марковской модели, в контексте мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии // Вестн. унив. комплекса. Вып. 23. 2006. С. 110-119.
7. Ковалев И. В., Карасева М. В., Суздалева Е. А. Системные аспекты организации и применения муль-тилингвистической адаптивно-обучающей технологии // Образоват. технологии и общество - Educational Technology & Society. Вып. 5(2). 2002. С. 198-212.
M. V. Karaseva, D. V. Kustov
INFORMATIONAL AND TERMINOLOGICAL BASIS IN MULTILINGUAL ADAPTIVE-TRAINING TECHNOLOGY
The paper considers functional assignment and structure of the algorithmic software of the multilingual adaptive-training technology. It is realized as a program system TuMLas v. 1,0. The relation model of the informational and terminological basis structure and the initial informational and terminological basis structure are presented as a conceptual ER-diagram.
Keywords: multilingual technology, software system, ER-diagram.
© Карасева М. В., Кустов Д. В., 2011
УДК 517.552
А. С. Кацунова О ПОВТОРНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ КОШИ-СЕГЕ
Получен аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в шаре. Главное значение интеграла рассмотрено в смысле Керзмана-Стейна.
Ключевые слова: интеграл Коши-Сеге, главное значение особого интеграла в смысле Керзмана-Стейна, формула перестановки повторного интеграла.
Будем рассматривать п -мерное комплексное про- Пусть Бт (є) — шар в С" с центром в точке г ра-
странство С" (п > 1) переменных г = (2Х,..., 2п). Если диуса Є т е
г,'№ є С", то (г,= г1м>1 +... + 2п^п, а | г |= у!(¥,^ , где т = (Т1,..., 1п).
в2(є) = кє Си : |ç-z\ <є} .
Тогда B - единичный шар из C”, а именно B = B0(1) = {q: |q|< 1}, а S - граница шара В:
S = {q: |q| =l}.
Обозначим через K(q, z) ядро интеграла Коши-Сеге для шара, т. е.
K (q, z) =-----------------------1-,
(Mr
а через CT(q) дифференциальную форму
CT(q)=т”-гг Ê(-1)k-1 qkdq[k ] л d q,
(2n i ) k=1
где dq[k ] = d q л... л dqk-г л dqk+г л... л d qn,
d q = d qr л ... л d qn.
Для любых точек q, z є S выполняются соотношения [1; 2]
Ci I1 -(q z)| <|q-zl < C^¡1-(q, z)1. (1)
Интегральное представление Коши-Сеге.
Теорема 1 [3]. Для любой функции f, голоморфной
в В и непрерывной в B, справедлива формула f ( z ) = J f (q) K (q, z ) CT(q), z є B.
S
Рассмотрим для точек z є S главное значение в смысле Керзмана-Стейна [1; 2]:
v. p.h. J f (q) K (q, z) a(q) =
S
= lim J f (q) K (q, z) <j(q),
є^0 J
S\Ez (є)
где Ez(є) = {q : 1 -(q,z)| <є}. Оно отличается от обтічного главного значения v. p. по Коши тем, что из границы области выбрасывается не шар Bz (є), а «эллипсоид» Ez (є). Далее в работе для точек z є S будем рассматривать главное значение в смысле Керз-мана-Стейна и знак v. p. h. будем иногда опускать. Теорема 2 [1; 2]. При n > 1 справедлива формула
v. p.h. J f (q) K (q, z) a(q) = Г, z є S. S2
Обозначим для интегрируемой на S функции f предельное значение интеграла
J f (q) K (q, z ) CT(q)
S
изнутри шара B через K + [f ].
Функция / удовлетворяет на £ условию Гельде-
ра с показателем а, 0 < а < 1, (т. е. / є Са (Б)), если для точек д, г є Б выполняется неравенство [2]:
|/(д) - /(т)| < С I1 -(?, т) 1“.
Заметим, если функция / удовлетворяет на Б условию Гельдера относительно метрики |1 - , то
она также будет удовлетворять условию Гельдера относительно метрики |д- с тем же показателем (так как верно соотношение (1).
Теорема 3 [1; 2]. Если / є Са (Б), 0 <а<1, то интеграл К + [/] непрерывно продолжается на Б и К + [/] є Са (Б) и справедливо равенство
K + [ f ] = v. p. h. J f (q) K (q, z) a(q) -
f ( z)
z є S.
Целью работы является получение аналога формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в случае, когда главное значение особого интеграла рассматривается в смысле Керзмана-Стейна.
Вспомогательные результаты. Следствием оценок, приведенных в [4], являются леммы 1 и 2.
Лемма 1. Пусть f є Cа (S x S), тогда для z є S
J d ct( w) J f (q, w) K (q, z ) a(q) =
SW Sq
= J K (q, z ) CT(q) J f (q, w) d <j(w),
Sq Sw
где dct(w) - мера Лебега на S.
Лемма 2. Пусть f є Cа (S x S), тогда для z є S и 0 < v < n
J dct(w) J
f fe z )
1 -(q,z) I'
d CT(q) =
J f (q, z) d CT(q) J
d ct(w)
Iі -(q,z) Г
Теорема 4. Пусть /(д,w) = /0(д,w)-|1 -(д,м} |у, /0(д, м)е Са (Б х Б), 0 <у< п, тогда
| dст(м) | /(д, м) К(д, г) ст(д) =
Бм Бд
= 1 К(д, г) ст(д) | /(д, м) dст(м), г е Б.
Бд Б„
Доказательство. Введем разбиение единицы следующим образом. Рассмотрим множество
М = Вдх Вм = {(д, м): д е В, м е В}. Введем в нем
компактные окрестности М1 множества
{д, м)е М : д= м} и М2 множества
|(д,м) еМ : д= г}, пересекающиеся лишь по одной точке (г, г). Тогда открытые множества и1 = М \М1 и П2 = М \ М2 являются покрытием множества М \ {г, г)}. Пусть а1(д,м) и а2(д,м) - гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, т. е. а1 +а2 = 1 на и1 и П2, 0 <а1 < 1, 0 <а2 <1. Тогда а1 (д, м) = 0 в окрестности точки д = м при фиксированном м Ф г, а1 (г, м) = 1, а а2 (д, м) = 0 в окрестности точки д = г и а 2 (м, м) = 1.
Тогда
| dст(м) | /(д, м) К(д, г) ст(д) =
Бм Бд
= | dст(м) | (а! (д, м) + а2 (д, м)) /(д, м) К(д, г) ст(д) =
Бм Бд
= | dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) +
Бм Бд
+ | dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).
Бм Бд
Рассмотрим интеграл
| dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).
Бм Бд
Так как а1 (д, м) = 0 в области Бд п Ем (е), то в последнем интеграле, применив лемму 1, можно поменять порядок интегрирования. Тогда получим
| dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) =
Бм Бд
= | dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).
Бд Бм
Рассмотрим интеграл
| dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).
Бм Бд
Так как а2(д, м) = 0 в области Бд п Е2 (е), то,
применив лемму 2, можно поменять порядок интегрирования:
| dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) =
Бм Бд
= | К(д, г) ст(д) | а2(д, м) /(д, м) dст(м).
Бд Бм
Таким образом,
| dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) +
Бм Бд
+ | dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) =
= | К(д, г) ст(д) | а1(д, м) /(д, м) dст(м) +
Бд Бм
+ | К(д, г) ст(д) | а1(д, м) /(д, м) dст(м) =
Бд Бм
= | К(д, г) ст(д) | (а1(д) + а2(д)) /(д, м) dст(м) =
Бд Бм
= |К(д, г) ст(д) | /(д, м) dст(м).
Бд Бм
Лемма 3. Для точек г0, д0 е Б справедливо равенство
| К(м, г0) К(д0, м) ст(м) = 0, г0 Фд0.
Б
Доказательство. Рассмотрим разбиение единицы, аналогичное разбиению из предыдущей теоремы. Рассмотрим множество М = В. Введем в нем компактные окрестности М1 множества { е М : м = д0}
и М2 множества {м е М : м = г0}. Тогда открытые множества и1 = М \ М1 и П2 = М \ М2 являются покрытием множества М. Пусть а1(м) и а2(м) -гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, т. е. а1 +а2 =1 на П1 и П2, 0 <а1 < 1,
0<а2 < 1. Тогда а1(м) = 0 в окрестности точки м = д0 при фиксированном д0 Ф г0, а1(г0) = 1, а а2(м) = 0 в окрестности точки м = г и
«2(д0) = 1.
Тогда
|К(м,г0) К(д0,м) ст(м) =
Б
= |(а1(м) + а2(м)) К(м,г°) К(д0,м) ст(м) =
Б
= |а1(м) К(м,г0) К(д0,м) ст(м) +
Б
+|а2(м) К(м, г0) К(д0, м) ст(м).
Б
Преобразуем каждое слагаемое отдельно, воспользовавшись теоремой 3 и учитывая, что а1 (г0) = 1,
а2(д0) = 1, ст(м)|Б =ст(м)Б и К(д,м) = К(м,д):
| а1 (м) К(м, г°) К(д0, м) ст(м) =
Б
= Иш [а1(м) К(д0,м) К(м,г)ст(м)-а1(г )К(д ,г )
= Иш [а1(м) К(д,м) К(м,г)ст(м)-
2
К(д0,г0)
д^д"еБ
Ja 2(w) K (w, z0) K (qG, w) a(w) =
= Ja 2(w) K ( w, z °) K (w, qG) ct( w) =
=Ja2(w) K (w, z°) K (w, qG) a(w) =
= lim Ja2(w) K (w, z°) K (w, q) a(w) -
a2 (qG ) K (qG, z°)
q—q"ES
= lim Ja2(w) K(w,z0) K(q,w) a(w)-
q—q0ES S
= lim Ja2(w) K(w, z) K(q, w) a(w) -
z—— z0esS
q—q0£S
Тогда, применяя теорему 1, получим
J K (w, z°) K (qG, w) a(w) =
2
K(qG,z°)
K(qG,z°)
= lim fa1(w) K (q, w) K (w, z) a(w) -
q—qusS
lim Ja2(w) K(w, z) K(q, w) a(w) -
T Ч,0гЄ J
K(qG,z°)
K(qG,z°)
q—q"ES
= lim J K (w, z) K (q, w) a(w) - K (qG, z°) =
q—qusS
= K(qG, z°) - K(qG,z°) = 0.
Основной результат. Теорема З. Пусть
f є Ca (S x S), тогда для z є S
J K ( w, z ) ct( w) J f (q, w) K (q, w) a(q) =
= J J f(q, w) K (w, z) K (q, w) a(q) a(w)-
f ( z, z )
Доказательство. Преобразуем интеграл следующим образом:
J K ( w, z ) ct( w) J f (q, w) K (q, w) a(q) =
Sw Sq
= J K (w, z ) CT(w) J (f (q, w) - f (w, w) ) K (q, w) a(q) +
Sw Sq
+ J K (w, z ) CT(w) J ( f (w, w) - f ( z, w) ) K (q, w) a(q) +
Sw Sq
+ J K (w, z) CT(w) J ( f (z, w) - f (z, z)) K (q, w) a(q) +
Sw Sq
+f (z, z) J K (w, z) CT(w) J K (q, w) a(q).
sw Sq
В первых трех интегралах по теореме 4 можно поменять порядок интегрирования. По теореме 2
J K (w, z ) CT(w) J K (q, w) CT(q) = 4,
sw Sq
а по лемме 3
J J K ( w, z) K (q, w) a(w) a(q) = 0.
Sq sw
Тем самым доказан аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге и для главного значения в смысле Керзмана-Стейна.
Библиографические ссылки
1. Kerzman N., Stein E. M. The Szego kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels II Duke Math. J. 1978. Vol. 45. № 3. P. 197-224.
2. Alt W. Singulare integrale mit gemischten homogenitaten auf mannigrfaltigkeiten und anwendungen in der funktionentheorie II Math. Zeit. 1974. B. 137. № 3.
S. 227-256.
3. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из C”. М. : Мир, 1984.
4. Кацунова А. С. О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях II Журн. СФУ. Математика и физика. 2011. Т. 4(1). С. 102-111.
A. S. Katsunova
ON ITERATIVE SINGULAR CAUCHY-SZEGO INTEGRAL
The article presents an obtained Poincare-Bertrand formula analog for Cauchy-Szego integral in a full-sphere. Principal value of integral in terms of Kerzman-Stein is considered in the article.
Keywords: Cauchy-Szego integral, principal value of integral in terms of Kerzman-Stein, formula of change of integration order for iterative integral.
© Кацунова А. С., 2011
+