CC BY
24
О.С. Осипов
ОБ ОБЛАСТИ СУММ УСЛОВНО СХОДЯЩЕГОСЯ ИНТЕГРАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ БАНАХА
Введены определения перестановки и области сумм для сходящегося несобственного интеграла Лебега-Бохнера на множестве [0,+х). Рассматривается несобственный интеграл, соответствующий ряду Марцинкевича-Корнилова. Установлена его область сумм.
Е- Схематично задание перестановки п изображено на
X - ряд в банаховом пространстве X. Областью , 0
рис. 1 и 2.
Заметим, что несобственный интеграл
J (хопв данном случае можно
сумм этого ряда называется множество у е X таких, что при
сс
некоторой перестановке п : N ^ N ряд ^ ^ сходится к у.
к=О
->+сс ж
По теореме Римана, если Х = Я , то область сумм любого формуле [ (х оп)()Ж = У [х.
условно сходящегося ряда совпадает с X Если X — конечномер- ^ / V / ¿-и J
вычислять по
условно сходящегося ряда совпадает с X. Если X — конечномер^ ное нормированное пространство, то область сумм любого сходящегося ряда в X обладает свойством аффинности. В беско-
і=1 і
Рассмотрим ряд Марцинкевича-Корнилова. Возь-
нечномерном пространстве L2 [0,l] известен ряд Марцинкеви- мём в пространстве L2 [0,l] следующую систему функ-
ча-Корнилова, область сумм которого не является аффинным
множеством. Поставим перед собой целью установить область
сумм условно сходящегося интеграла, соответ-ствующего ряду ций: е“ =
Марцинкевича-Корнилова.
Пусть X - банахово пространство, х[0,+да) - ст -ал-
0,
к к +1
2т 2т к к +1
2т 2т
, где m є
N U {0}
гебра Лебега подмножеств [0,+®), ц - мера Лебега, 0 < k < 2„ _!. Графики пяти функций указаны на рис. 3.
Если обозначить x0 = е0
Х1 = e0 , x2 = e0 ,
x3 = -ej, x4 = ej, x5 = -ej, x6 = e2 и т.д., то ряд Марцинкевича-Корнилова примет вид
сс
Z0 0,1 1,1 1 ,
Хк - e - e + eo - e e - e + • • • .
отображение x : [0,+да) ^ X таково, что существует
несобственный интеграл J x (t~}dt = lim Jx(t)dт .
0 M+CC 0 Определение. Перестановкой несобственного интеграла J x(t )dt на множестве [0,+®) назовём измеримую
о Его область сумм не обладает свойством аффинно-
биекцию п : [0, +<») ^ [0, +<») такую, что функция я“1 сти. Установим область сумм следующего соответст-
вующего ряду Марцинкевича-Корнилова несобственного интеграла.
Теорема 1. Пусть в пространстве L2 [0,l] дана последовательность функций вида
измерима и ц (пА) = цА для любого множества А е Ь[0, +<х>).
Определение. Областью сумм интеграла |х()сй
назовём множество OC
J x(t )dt
V о )
таких у є X , что
'(5) =
при некоторой перестановке п : [0, +да) ^ [0, +да) выполнено равенство | (х о п) () С/ = у .
о
Пример 1. Пусть {ал}"=|) - такая числовая последо-
всех
1, 5 є
0,5«
к к +1
где m є
N U {О}
0 < к < 2т -1. Пусть x0 = e°, Xj =-e0, x2 = e0, x3 = —ej, x4 = ej, x5 = —ej, x6 = e0 и т.д., отображение x: [0,+да) ^ L2 [0,l] действует по правилу x(t)= xk при
вательность, что а - 0 , ал-1 < ап для всех натураль- t є [k, k +1) и k є N U {ö}. Тогда интеграл J x(t )dt схо-^ lim a=+® , I„ = K-1, а), ink - последо-
ных n,
дится и имеет область сумм, равную L2 [0,
вательность, представляющая собой перестановку натуральных чисел. Перестановку п : [0, +<х>) ^ [0, +<х>)
определим так: п +1 при t е [о, ^,
п ) = ^1 +1 - К. при * е + у.11Ь ),
■ ”, система функций Хаара, то выполняется условие
Заметим, что поскольку хк = 22 - 22 +i при
m є N и к є |о,...,2- і],где {/”;m є N,0 < k < 2"'^'-l} -
,/=і
Ё м7», > Z
. ,/=і ,/=і )
sp{e”; m є N U {0},0 < k < 2m -1} = L2 [0,l]. Теорема 1 является следствием теоремы 2.
и
ü
e
и
к
Рис. 1
П//ЄІ,, П//єІ., П/єІ^
І Н--------Ч---------10 цІцІ,,+цІ,,
П'-ієІ„
ч------------Ч-
ц І,,+Ц І„+Ц1»,
¿-І А
ІИ1-, ІЦ1»,
У=І /= і
Рис. 2
а
а
а а
а
О
а
а
е
а
Рис. 3
Теорема 2. Пусть в банаховом пространстве X дана последовательность [вп }=0, удовлетворяющая следующим четырём условиям.
1. Существует М > 0 такое, что
*%0.0
е = е = ^ е , то и и ^ м,
и %.о.о.о ¿-и ^.И.О и,и,и
к=()
ти.у
в. = V в. , тп, < М, 0 < / < тп ,
гл./л ^ ’ 0,1,/ ’ ^ 0,0,0’
Є = V е , Шо„ , ^ М, 0 < 5, < тп 0 0,
Ъ.п.1.р ^ ^.л+1.*./ ’ °’П’3 * 1 0,0,0 ’
к=0
0 < 52 < т0Лл , ... 0 < Їп_2 < т0 п_^п_ъ, 0 < р < т0,п_2 ^_2 ,
0 < у < т
0,п-1,р ’
тд.о.о
еп = г. = У г. , тплл < М,
у Ю.ъ.м ^ гш.*.о У,0,°
к=0
т£.1.у
г = У г. , тп, < М, 0 < / < тпп п,
Ъ.и.о ¿-і Ю.ї.к.і ’ 6,1,7 ’ ■> 6,0,0 <
к=0
г = У г , тп„ , < М, 0 < 5, < тп 0 0,
^./г.у.р ¿—і ^./г+|.*.у И>п>У ’ 1 И,0,0 >
к=0
О < ^ < твм , ■■■, 0 < 5л_2 < т&п_з ^з,
0 ^ Р < те,«-2,^, < 0 < у < тв,п_1р ,
Пусть £ +1 < М, {г?лЛр ;п е N, 0 < д <
0 ^ ^ тг,о,о. 0 ^ 52 ^ тч,х,ц . -, 0 - Р - тч,п-1,^2 >
0 ^ < тч,п-х,р } = N ■ пУсть гг, л,,Л * г?2 д,,. если qx Ф ц2 или и1 ^ и2, или к1 ^ к2, или у\ ^ у2 .
2. Пусть в пространстве X существует базис (хи }“=0
р,
и Р > 0 такое, что хл = ^ а е Для каждого
./=0
п е N и {о}, где < р и а е ^.
3. Нт|| еп\ = 0.
пчда" 11
4. !р{еИ; п е N и {о}} = X.
Пусть отображение х: [0,+да) ^ X задано по правилу х( ) = ек при t е [2к ,2 к + 1), х(г )=-вк при / е [2к +1,2к + 2), где к е N и {о}. Тогда
ОС
V О
= X.
Схематично задание отображения х изображено на рис. 4.
Доказательство. Пусть 1, п е N и {о}, I = г ^ А .
Множество I, „ = ■£,. ;
1 \ гі/0 .«о+/г.*.у
0 < у < т
?0,% +и-2,і„,
%+п-2 _ Чо,Щ +п-3,*,щ*„-з ’ 0 ^ к < тщ,Щ +П-1,і } бУДеМ на3ы-
вать п-й пачкой разложения вектора е1 . Через Зг п обо-
к=0
т
-■>
значим сумму векторов множества 11 п. Здесь и далее
будем полагать, что ід 0 0 0 = д , шд п к = 0 , если хотя бы
одно из чисел д, п, к отрицательно.
Обозначим через [] целую часть вещественного числа ?.0
Докажем, что |х() = 0 . Пусть є > 0 и Т > 0 та-
кие, что р»|
т Чз x -
0
[J-1ЛТ1 I
XJ x (x)d т+ J x (t)d т
к=О t
после (или перед) слагаемым к^ . Тогда кроме этого описанного действия выполним ещё два: удалим вектор к из множества Бщ , добавим вектор акщ к множеству Вп . Аналогично будем поступать с рядами
-єх +... + (-і) 11 - |е[/?11 - є • Следовательно,
Іх(ґ) = 0 .
0
Возьмём произвольный вектор у є X. Тогда
У = X ап Єп .
п=0
Возьмём такую перестановку а , что
—>+сс ¡уг. ¿+1
Г (х о ст)(/)& = V Г (х о ст)(/)& = є. - є. + є. -
J \ / V / J V / V / ;0.0.0.0 ;0.0.0.0 'і.О.О.О
о А=0 А
—Є. + ... + Є. — Є. + Є. — Є. + Є. —
і.о.о.о г£.о.о.о г£.о.о.о ^.і.о.о ^.і.о.о *0.1.1.0
—Є- +... + Є- — Є- + Є- — Є- +
^.і.і.о го.і.лго.о.о-° го.і.лго.о.о-° ги.о.о *1.1.0.0
+Є — Є +... + Є — Є +... +
*1.1.1.0 *1.1.1.0 гІ.І.йі|.0.о.О гІ.І./н|.0.0-°
+Є — Є + Є — Є +... + Є —
г£.І.0.0 г£.і.0.0 ^.1.1.0 ^.1.1.0 ^-і-я^.о.О-0
— Є + ^ \ ’ Ь
^-'•«^.О.О-0 — к .
Схематично это условие можно изобразить так:
I (х о а)) (і/ = 3^0 - + Зх;() - Зх^ + ... + Зд0 -
о
- ї + ї - ї + ї - ї + + ї - ї + ї -
и 6,0 + и 0,1 и 0,1 + и 1,1 и 1,1 + * * • + и 6,1 и 6,1 + и 0,2
- ї +
и 0,2 + ••• .
Несложно увидеть, что I (х о а) () = 0 .
о
Пусть п є N и {о}, ъ„= іп£ { є [0,+да);(х о а)(?) є /0 ,
тя+1
| (х о а)(/)с!ґ = ку . Тогда определим множества Вп
по формуле Вп = {; vл < V < уп+1 -1}.
В дальнейшем при конструкции перестановок слагаемые ряда ^ кк мы будем переставлять и умножать
X bv fv > Z Cv gv и ДР-
v=0 v=0
Построим последовательность перестановок
{nk }^^=0, указанных в примере 1, и таких, что
J (х°П)(t)dt = ZaPeP -
о p=о
Для {nt выберем последовательность чисел
{tk }^^=0 такую, что tk_г < tk при к е N U {о}, где t_х = 0 , limtk =+да , п () = П-, (i) при t е [О,tk_l) и
J (х ° п )(t) = ^ при некотором u е N U {о}. Кроме то-
1к
го, для каждой перестановки л* будем требовать суще-
/* +1
ствования ряда ^ cv gv ,
Ik.l
J (xoП)(t)dt = Z J (x°n)(t)dt = Zcg ,
о v=0 v-l V=0
Sk''
где {gv;v є N u {ö}} c= {er;n є N U {ö}}, |cj < 1, и выполнения следующих свойств.
а) Пусть k, u0 є N U {}
4 +1
такие, что
J(x °n k \( )=e„.
на числа, при этом получая ряды ^ Ьу /у , ^ су gу и др.
т=0 у=0
Примем следующую договорённость. Пусть к е Бщ , к е В . Допустим, что при описании правила построения перестановки мы вычеркнули из ряда ^ кк
к=0
слагаемое к и упомянули, что ак нужно прибавить 152
пусть % = 8щ > э е N и {О}, ея участвует в разложении
вк, и е е ; С < 0, V - V} - Тогда
(V ^ V; £, = е. С < 0} = {V, V} < ^ ^2 < + с, =-1 при
v1 Ф у2 и СУ1 =-1 при v1 = у2 - Кроме того, соответст-
-~>-нх да
вующий интегралу | (х ° пк )(гряд ^ еуgу удовле-
0 у=0
творяет условию: если е1 участвует в разложении ек и
ее V; С < 0> V > } >
gv = е1 ^ ^0 > Cv < °} = {^1 > }> ^ > то Сп = Сщ
и -
Обозначим через Г е [0,1] такое число, что
СП =-(1 - г), =-г . Пусть
%+1
I (х ° П )(г‘)) = = % е вщ , п ^ п0.
к
b) Если ^ < w < I, д е N, 0 < д < <2, gs, gl е Вп, gs и g 1 участвуют в разложении вектора ед, то gw участвует в разложении е^ -
c) Пусть q, п е N, 0 < ц < е, Спл = {суgv;
gу участвует в разложении ед }, дг < д2, gя е Сп,щ ,
ёI е Сп,Ч2 - Тогда 5 ^ 1 -
»
Ü
n
v=0
к=0
X
d) Для каждого n и q существует семейство мно-
h
п-Ч
ЖЄсТВ Dn,q, j > 0 ^ j ^ К* , ТаКое^ ЧТо Cn,q = И Dn,q, j ';
j=0
если j ^ j2 < gs Є Dn,q, j, < gt Є Dn,q, j, < TO s ^ l ; существует Gk > 0 такое, что Dn q \ < Gk для любых чисел n,
q>j и Z cv gv = 0 ■
tt = inf j/ є [0, +»);(x о п )(/)є 5max{/l,/2!+h]+2} пРи г + r > 1 .
к
Покажем, что J (x о nk) (t) dt = akek. Представим
be-1
интеграл J (x о nk в виде суммы
vov
c,.gr eD„.q.j
Несложно видеть, что перестановка а удовлетворяет всем этим условиям.
Допустим, что перестановки я_, =а , п , П , ■■■,
и числа г_х = 0, г0, гх, ..., 1к_х уже построены. При этом перестановке пк_1 соответствует ряд ^Ьу/ . По-
у=0
строим перестановку п .
Пусть г е [0,1] - число, указанное в свойстве (а) для
‘к
J (х ° П )()dt = cVo gro + eVe+1g%+1 + • • ■ + eg . В
приве-
дённую сумму входят все векторы множеств В , ■■■,
Втах{{ ,и }+[ак ] при Г + Г < 1 и множества Вц , ■,
Втах{ ,Ь }+Ь ]+1 при Г + Г1 ^ 1 . Других векторов нет. Среди них есть векторы как участвующие в разложении ек , так и не участвующие в нём. Рассмотрим векторы, не участвующие в разложении ек . Пусть к = г ^ у. .
перестановки
J (х ° ns_, ){t(dt - f4 - ещ є Вп . в сумму ^cvgv входят все векторы из множеств
Пусть uj = min{v; v > v0, f участвует в разложении ek, bv =-(і - r)}, u2 = min{v; v > v0, fv участвует в раз-
-k’uv Vа /) ’ 2 шш1' ’ V—V0’>J v
ложении ek, bv = l}, bv f Є В , bv fv є Bh ,
k’uv \ ■
- ( - г )71,п с Вц, 71.п с БЬ . Пусть К е БЩ,. Возможны два случая: ак > 0 и ак < 0 . Для каждого случая правило построения перестановки будет своим.
1. Пусть ак > 0 .
Обозначим г = |ак - [ак ] . Возможны два случая: г + г < 1 либо г + г > 1. Для каждого случая для всех векторов , участвующих в разложении ек , проделаем следующую операцию.
1.1. Пусть г + г1 < 1. Пусть - (1 - г )ея с fv; V > у0 }.
Вычеркнем - (1 - г )ея из ряда ^ fv . Прибавим
у=щ
- (1 - г - г) сразу после векторов множества
- (1 - г)/]. Вычеркнем -ге5 из ряда. Прибавим
- (г + тх )е5 сразу после векторов множества -т1 я ]+1.
1.2. Пусть г + г > 1. Пусть - (1 - г )ея с {fv; V > }.
Вычеркнем - (1 - г )ея из ряда ^ Ъу fv . Прибавим
у=щ
- (2 - г - тх) сразу после векторов множества
- (1 - г . Вычеркнем -ге5 из ряда. Прибавим
- (г + тх -1) сразу после векторов множества
-rI,
[ак ]+2 '
Мы получили ряд Z cv gv • Ему соответствует пере-
v=0
становка щ : [0, +да) ^ [0, +да), указанная в примере. Так как cvgv = bv fv при 0 < v < v0 -1, то nk_, (t) = щ (t) для любых t е [0, tk_j) • Пусть tt = inf j/ e [0, +»);(x О n )(t )e } при r + r! < 1,
C C C C C
,0 , C^,1 , ■", C^,q-1 , C^,q +1 , ■", C^,Q , ■",
C C C
max{{ ,Ь }+[aj ],0 , max {,h }+[a| ],1 , ■■■, max{{ ,Ь }+[ч ].q -1 ,
Cmax{ ,h }+[a ],q +1 , ■, Cmax{/, ,h }+[a, ]Q , ука3анных в свойстве
(b) перестановки rcs_,. Кроме них в сумму входят все вект°ры множеств Сщq , ■, Cmax{{h. Каждый вектор, не участвующий в разложении ек и попавший в
і
сумму ^ cv gv, входит в одно из указанных множеств
v=v0
Cnw. Из свойства (d) перестановки пк_^ следует, что
X cvgv = ^ ■ Следовательно, никакого влияния на
cvSv єСп.ч
результат эти векторы не окажут. Рассмотрим теперь участвующие в разложении ek векторы.
Пусть r + r < 1. Из множеств B!t, ■, B!tц мы удалили все векторы множеств - (l - r )їкщ , ■,
- (l - r )Ik,n +W 1-1 , -rIkn , ■, -rh,n, + [a„ J-2 и ничего не
добавили. В силу свойства (d) перестановки и определения множеств Ik n сумма векторов множеств Bh , ■, Bh +[at]_! равна {[ак]-г)ек . Из множеств Bh+[at] ■, Bmax|{ i2 }+[ak ] мы удалили векторы множеств
(l Г ,n+[^ ^ ■, +[^ ]+max{{ ,Ь }-^ , ,n +\_ak ]-1 ,
■■■, -rh,n+[ak }fmax{{,h}-l,-1 и добавили векторы множеств
- (l- г - r )/kn , ■, - (l- г - rx )/k+max{, J2,
- (r + Г1 Ук,n , ■, - (r + ri )7k,n +max{ ,b}-/, -1 . Сумма векто-
ров Bh +w], ■,
Bmax{{ ,Ь}+
w ] равна (r + r )ek . В итоге
сумма векторов множеств Bh , ■, Bmax{{ ,/2 }[ак ] равна
l
akek . Следовательно, ^ cvgv = akek .
v=v0
Пусть r + r > 1. Из множеств B(|, ■, Blf +[at ] мы удалили все векторы множеств -(l-r)ікщ , ...,
к-і
к-1
к-1
V=VA
- ( - rУ*,n+h], “r/i,n , ■, -rIk,n+h]-1 и ничего не добавили. В силу свойства (d) перестановки и определения множеств Ik n сумма векторов множеств В, ,
., Bl, +[а„ ] равна ]+ 1 - r К . Из множеств Bh +[ч ]+ ,
■, Bmax{{ ,ь }+h ]+1 мы удалили векторы множеств
(l Г ,n+[«* ]+1 , ''', (l Г )1k ,n+[a* ]+max { >h Wi +1 ,
-r/k,n,+h], ■, “r/k,n+[a„ }fmax{{,b}-/, и добавили векторы
множеств - ( - г - гх ))Л|, ., -(2 - г - r)/s,„l+lmx{/l,/2H ,
- (г + Г, - l)7 k ,n , ■, - ( + Г1 - l)h +max{ ,l2 }-l,-1 . Сумма
векторов 5+k]+1, ., В
max{{ ,b ]+i равна (r + ri -1).
В итоге сумма векторов множеств Вц , ., Втях{ h ¡+k ]+1
l
равна akек . Следовательно, Z cvgv = акet.
v=v0
2. Пусть ak < 0 .
Обозначим rx = 1 -1ak - [ak ] . Возможны два случая: r + r < 1 либо r + r > 1. Для каждого случая для всех векторов es, участвующих в разложении ek , проделаем следующую операцию.
2.1. Пусть r + r, < 1. Пусть es участвует в разложении вектора ek . Если - (l - r )es с {bv fv; v > v0}, то вместо вектора - (l - r ) в ряде Z bv fv поставим
v=v0
- (l - r - r, )s, вместо -res - вектор - (r + rx )es. Если es с {bv fv; v > v0}, то в ряде Z bv fv вычеркнем вектор
v=v0
es и прибавим его непосредственно перед векторами множества 7s| ^ ] .
2.2. Пусть r + Г > 1. Пусть es участвует в разложении вектора ek . Если - (l - r )es с {bv fv; v > v0}, то
вычеркнем вектор - (l - r )es в ряде Z bv fv и прибавим
v=vo
- (2 - r - rx )es сразу после векторов множества
- (1 - r)1 іД , вычеркнем вектор -res в ряде и прибавим
- (r + гх - l)es сразу после векторов -rls 2. Если
es с {bv fv; v > v0}, то в ряде ^ bv fv вычеркнем вектор
у=щ
es и прибавим его непосредственно перед векторами множества 7s| ^ ] .
Как и ранее, в результате мы получили ряд ^ ck gk .
k=0
Ему соответствует перестановка пк : [0, +<») ^ [0, +да). Так как cv gv = bvfv при 0 < v < v0 -1, то я*-і (t) = П (t) для любых t є [0, tk_j). Пусть
t = inf [t є [0, ); (x о n) (t) є Втш{Ш+|Ы |+1}.
Покажем, что | (х о пк) ) А = акек. Представим
Ьс-1
к
интеграл | (х о п)(/в виде суммы
Ьс-1
| (Х ° П )('1 )Л = Счёч + ^ + с& . Как и ра-
1к-1
нее, векторы, не участвующие в разложении ек , никакого влияния на результат не окажут. Рассмотрим теперь векторы, участвующие в разложении ек . Пусть пх - минимальный номер пачки векторов множества {§■ у; V > у0 , еу = -(і - г - гх), gу участвует в разложении ек}. Если г + гх < 1, то в указанную сумму входят все вект°ры множеств - (1 - г - гх )7 к п , - (1- г - гх У к п +1, . „,
- (і - Г - Г1 У к ,щ +| [ак ] , - (Г + Г1 Ук п , - (Г + Г1 )4 ,п +1 , .,
- (г + г1 )ікщ+[щ ]_1, а также все векторы множества
-тік _х. Если г + тх > 1, то в указанную сумму входят все векторы множеств - (2 - г - г1 )ік ,
- (2 - г - гх )ік,щ +1, ... , - (2 - г - гх )ікщ +| ], - (г + г, -1) /4Л],
- (г + Гх - 1)7к+1 , ., - (г + Гх - і)ік+ [аі , а также все векторы множества !кщ и —г1к _х. Других векторов в указанной сумме нет. Следовательно,
1к т
І(х°П )('1 )Ж = Е = аА .
гм >'=>'о
Докажем, что построенная перестановка щ удовлетворяет нужным свойствам. Поскольку перестановка свойствам (а), (Ь) и (с) удовлетворяла, то несложно видеть, что и перестановка щ им удовлетворяет. Перейдём к свойству (ф.
'і-1+і
Пусть | (х о пк х= Ъч/ч . Рассмотрим сла-
Ьс-1
гаемые, участвующие в разложении ек. Пусть их = шіп{у; V > участвует в разложении ек, Ъу =-(1 - г)}, и2 = шіп{у; V > , /у участвует в раз-
ложении ек,= і}. Пусть 1Х, 12 - числа, описанные в начале построения перестановки л*,
/,.+1
| (х ° п )(^)<* = є В.
к
Пусть 1 > 13 . Пусть а = - (1 - г - г), Р = - (г + гх) при г + гх < 1, а = -(2 - г - г), Р = - (г + г-1) при г + гх > 1 . Тогда, согласно правилу построения перестановки щ , во множество В1 входят все векторы множеств
к , Р^/5-1 и 7і,п2+1-12, других вектоPов, участвующих в разложении ек , во множестве В1 нет.
В ряд ^ с^, векторы указанных множеств входят
>■=()
следующим образом. Возможны два случая: п2 -12 < п -13 и п2 -12 > п -13. Рассмотрим каждый из них. Пусть п2 -12 < п -13 и и е N такое, что
си8и е 4,щ+1-12, и = ^«1,л . Тогда
,gv;u < v < u +
+1 +
+ \h n-„+i-i\\ = {e }ual , ,u
kt-n-m-лЛ "2+,2 h I ( 'qi-m-щ-л ) '«1-я-»1-л Л Ъ+h h
Ußl
U al
!4l
= D^ щ . Оценим количество эле-
q >W .
=
ментов множества Dl
| 1 + I12~h | + -nl~n2"rh~h~^ |
-тс
=1 + Z Z
Z
m +
i/l ,/)| +Щ -П2 +¡2 -4-va|,/.'|-ß|-ii2-/2-44
42~h~h ~ -i\ ■.Р1~Ч-"1~Ь-Ь-^М1.щ~1Ц-1г1~12-1у-1
+ Z Z-
< 1 + M'4~n2^2~h + Ml4~ni±h~h .
*3
u = z’
Li2-P2-M-2 -32 - '
<?2 ,k ,1
A,„ ,w - 1 +
42 ■P2 -H2-J2 ’’
-I-n, +I-. — I-
42 ■P2 -H2-J2 ’
-1 +
- z z
0 V V iij
¡>2 ~ 42-.‘/2~^-J2 P2~l 42-F2-sr.
z
И ■ И n. ■ I I ■ 1 с +
^2 -Pl ~n2~’\ ~h ~l2 ~M/-2-«2-/.>i-('W2-1
< 1 + M^-^h-h+i + M2
+
z
m,,
Покажем, что ряд Z C'g сходится к z ae , и
v=0 л=0
следовательно, интеграл J (x о nk) (t) dt = Z a„en -
о л=0
Докажем, что lim cn gn = 0 . Пусть s > 0, Nx > 0 такие,
z
<1
Пусть n2 -12 > nx -13 и u e N такое, что
что ||/„||<£ для всех п > Мх. Возьмём М2 > 0 такое, что {;0 < п < ;0 < п < М2}. Тогда
|С^| |^| |^| для любого п > Ы2. Следовательно,
Ит Сп 8п = 0 .
Перейдём к доказательству сходимости ^ cv gу . Пусть
у=0
и и £
б > 0, Мх > 0 такие, что < — для любых V > Мх,
ск
1к-1
| (х о п) ) & = сГ/ ^ . Пусть N = шах{#1,ук}, п > N ,
‘к
щ - наибольший из номеров пачек вк векторов { ;0 < V < п,с, = 1}, } е О . Тогда В , ...,
(.О^ ’ , ) ’ <Ь п Щ , 70 ^ Щ
Вщ -1 С {Cv gv ; < V < n), Сщ ,0 , ■,
Сщт-1 с {cv;V < V < n}, Бщ,т,0, .,
-1 С {cv {V ; V < V ^ n}.СлеДовательно,
тогда
g v; и < v < и +
+ !} = I ;.iUа1 и
’ !42-n-'-n-J2' 2 ni-h 2 1 l42-/'2-'-n-J2-i
Uiße } = - Оценим количество элементов
(, l‘i2-./-2-.'-7-.J2 ) v2 'K' "2
k n n
a e ¿_^ av ev - Z cv g v = Z cv g v + Z Cv g v + ••• +
v=0 v=0 к=vs veB«o
+ Z cv gv + Z cv gv + ... + Z c gv + Z cv gv +
| -l veQj .o vsC„{ ■90- veD/rj .i/o-0
n
= Z cv gv <
v=min D„,.m.M
Следовательно, если п2 -12 < и1 -13, то
вк = шах{эк_х,1 + Мщ~П2+~1ъ + Мщ~П2 +‘2~‘3}, если
п2 -12 > п -13, то вк = тах[ок-1,1 + ЫПг-Л| +^~ь +1 + М2}. Поскольку в построении перестановки л* в ряде
Z с„ g„ принимали участие только векторы, участ-
т=0
вующие в разложении ек , причём в случае необходимости вектор заменялся всей пачкой /я п, перестановка пк_х удовлетворяла свойству (ф, то перестановка лк также удовлетворяет свойству (d). Доказательство свойства ^) завершено.
+ - + Z cv gv + Z cv gv
vsD'4-m-M-1 v=min D'4-m-M
* Z lieg II G =E -
гeZ)(i| ^ y(. w k
Ряд z cv gv сходится к X an en -
v=0 n=0
Построение последовательности перестановок
}Г=0 завершено-
Полученная нами последовательность чисел {tn }^^=0 удовлетворяет свойствам: tn l < tn при натуральном п, lim tn =+да, пп (t) = п„^ (t) при t е [0, tn) - Составим
перестановку п : [0, +<х>) ^ [0, +да) по правилу п (t) = п (t) при t е [0 ,t л) - Тогда
J (х о п)(t= lim J(x о n)(t= lim J(x о nn )(t=
^ o п-КС o
n
= lim Z akek = y -
n^wk=0
Осталось доказать, что n действительно является перестановкой-
1- Функция п измерима, так как является поточечным пределом измеримых функций-
Vi °-sP4ismrn-p,--P
n
+
2. Функция п инъективна. Пусть т, ф т2 . Выберем число (п такое, что т,, т2е [0,г„). Тогда
п (Т) = П (Т) (Т) = п (Т).
3. Функция п сюрьективна. Пусть / е [0,+да). Выберем такое к, что х()е {ек ,-ек}. Тогда существует такое 1 е N , что г еп' [0,г;), т.е. существует те [0,г;) такое, что / = п (т) = п (т).
4. Пусть А е ф ,+да). Тогда
ц(пА) = ц п| Ц(АП[^1 >К))
V V п=1 У
= ^Й ([и, К })) = ц П [с,, ^
= £ ^ ( ( П [^1 > ^ ))) = £ ^ ( П [^1 > ^ )) = М.
п=1 /?=1
Следовательно, функция л является перестановкой. Доказательство завершено.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кадец М.И., Кадец В.М. Перестановки рядов в пространствах Банаха. Тарту: ТГУ, 1988.
Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 15 июня 2006 г., принята к печати 23 июня 2006 г.
