Структура пространства дважды сходящихся рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА_______________

Август 2007

МАТЕМАТИКА

Е.Г. Лазарева

СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ДВАЖДЫ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Рассмотрено пространство, элементами которого являются сходящиеся ряды, причем эти ряды сходятся еще и после некоторой заранее заданной перестановки п. Полученное пространство рядов наделяется нормой, относительно которой оно является банаховым. Доказывается сепарабельность и строится базис этого пространства для специально выбранной перестановки п.

Рассматривается пространство последовательностей, сыгравшее важную роль при изучении свойств перестановок рядов (см. [1]), а именно пространство (Е), Е - банахово пространство, п - перестановка,

т.е. биекция п : N ^ N . Напомним, что это пространство определяется следующим образом:

5с,п (Е) = \х = (хк )Г : Е хк > Е хп(к) - сх°дятся в Е

{ к=1 к=1

и наделяется нормой |х| = тах IX с IX,) , где

п

1Х1 с = шр Е хк > 1Х1 п = шр

Е^

п(к)

норма в про-

странстве Е. Элементы пространства Бс л (Е) нам

удобно называть рядами, т.е. речь идет о пространстве дважды сходящихся рядов.

мы показываем полноту пространства

перестановка п

В п. 1

& . ( Е ),!*|) • В п. 2 для случая, когда

меняет сумму, мы устанавливаем, что последовательности с конечным числом ненулевых членов не образуют всюду плотного множества в пространстве 5С п(Е). Таким образом, вопрос о сепарабельности

этого пространства оказывается нетривиальным. Чтобы ответить на него, в п. 3 нам приходится рассматривать конкретную перестановку п3 2, свойства которой послужили отправной точкой многих наших исследований [2, 3]. Следует отметить, что впервые эта перестановка была упомянута в монографии М.И. Кадеца и В.М. Кадеца [4. С. 12], посвященной различным вопросам о перестановках рядов. В случае п = п3 2 пространство 5С п (Е) оказывается сепарабельным при условии

сепарабельности пространства Е. Результат п. 3 удается обобщить лишь на некоторый класс перестановок, т.к. построение счетного всюду плотного множества, предложенное нами, опирается на структуру перестановки п, определяющей пространство 5Сп (Е). Наконец, п. 4

содержит построение базиса в пространстве ЯСж(И) для случая п = п3 2 . В п. 5 мы формулируем вопросы, связанные с пространством 5С п (Е), ответы на которые нам на сегодняшний день неизвестны.

1. Полнота пространства 5С п (Е). Пусть {X.}“ -

,П 7 7=1

последовательность Коши в пространстве (£с п (Е), | * |),

X. = (х Г, х є Е . Так как пространство Е полно,

] ' ],к )\ ] ,к

существует предел последовательности

{х. }ю

1 .1=1

по нор-

ме |*|с, который представляет собой сходящийся ряд X = (хк ) [4. С. 177]. С другой стороны, переставив каждый ряд X перестановкой п, мы получим сходящиеся ряды У] = (х. п(к^ . Так как \х^} - последовательность

Коши и в норме | * |п, последовательность {г.}“ схо-

7 7=1

дится по норме | * |с к некоторому У = (ук), причем

ряд У тоже сходится. Если мы покажем равенство у = хп(к), это будет означать, что X е (Е) и имеет место

сходимость X. ^ X по обеим нормам | * |с, | * , что и

требуется. Для доказательства равенства у= хп(к) заметим, что из сходимости по норме |*|с последовательности {х^.} к элементу X следует «покоординатная» сходимость: для каждого к е N х ^ х в пространстве Е

],к к

при у . Действительно,

хм - х | = к п 1=1

к Е (х. . - X. +

к-1 I

X . . - X.

],1 1

< 2\Х. - X .

I 1 I с

Аналогично из сходимости У ^ У по норме |*|с получаем х п(к^ ^ ук, у для каждого к е N . В силу

единственности предела в банаховом пространстве Е имеем ук = хп(к), что и требовалось.

2. Ряды с конечным числом ненулевых членов в пространстве (Е).

Зафиксируем перестановку п, меняющую сумму,

т.е. такую, что существует ряд, сходящийся ^ х в про-

к=1

странстве Е, который сходится после перестановки п, но к другому элементу. Такие перестановки играют основную роль в вопросе изучения области сумм ряда (см. [3]), поэтому мы уделяем им наибольшее внимание. Пусть множество Б с 5С п (Е) состоит из рядов,

имеющих только конечное число ненулевых членов. Покажем, что Б Ф (Е). Зафиксируем в пространст-

*

к=1

<

1=1

ве

Е ряд X xk =0 X x ,к. = x, x Ф 0 . Рассмотрим £-ок-

Ё xk- Ё x

k=1 к=N+1

< |X - Y + 0 + sup

n

I xk

k=N+1

< |X - Y\ + sup

имеем n {1,..., {1,..., N} и

V X

чаем

(k)

M

I x

> x - s . Полу-

(k)

словой ряд, который сходится к нулю:

111111

1 1

2 2 2 2 4 4

4 4

8 слагаемых

11 11

+--------+ ... +----+ ...,

8 8 8 8

(4)

рестность этого ряда как элемента X пространства Бс п (Е). Предположим, что нашелся ряд У = {ук ) е В

(ук = 0 при к = N + 1, N + 2, ...) такой, что |Х - Г| <8 .

N

Оценим норму элемента у = ^ ук в пространстве Е. С

к=\

одной стороны,

N ,

И - £ ( - х

16 слагаемых

а после перестановки п = п3 2 сходится к 1:

^ „11,111111

/ а — 0 +1 + 0 +-\-1 +-\-\-\-+

П n(k) 22 442442

111 111111

+ — +-+...+ —+-+-+-+....

884 884 16 16 8

£ (- у ) + £ (- у )

к=\ к=1

< 3|Х - у\ < 3е . (1)

С другой стороны, при достаточно большом М е N

(2)

>||Х| - £ - \Х - У| > ||X - 2е .

Сравнивая неравенства (1) и (2), мы видим: \\х\\ - 2е <|У < 3е , т.е. е > 0,2||^ . Поэтому при меньших

значениях положительного числа £ в £-окрестности ряда X нет рядов с конечным числом ненулевых членов, т.е. Б Ф (Е).

Замечание. Рассуждения этого пункта не изменятся, если Е = И. Таким образом, мы получили пространство числовых последовательностей с нормой |*|, которое не является замыканием множества последовательностей с конечным числом ненулевых членов.

3. Счетное всюду плотное множество в пространстве 5С п (Е), если Е - сепарабельное пространство. В

качестве перестановки п рассмотрим перестановку п3 2, которая определяется так:

п32 (3п - 2) = 4п - 3, п32 (3п -1) = 4п -1,

п3 2 (3п) = 2п, п е N . (3)

Перестановка п = п3 2 является частным и самым

простым случаем перестановки п , которая числа,

кратные р, переводит в числа, кратные д, а числа, не кратные р, в числа, не кратные д, с сохранением порядка натуральных чисел. Отметим, что при р, д е N \ {1}, р Ф д перестановка п определена корректно и является меняющей сумму ([3]).

Для перестановки п3 2 существует «эталонный» чи-

12 слагаемых

Мы будем использовать идею компенсации членов в ряде (4) в исходном порядке и после перестановки П = П3 2 для построения рядов, образующих счетное

всюду плотное множество в пространстве 5С п (Е).

Вначале зафиксируем счетное всюду плотное множество Q а Е . Наша цель: для произвольного ряда

X е (Е) и любого £ > 0 подобрать в £-окрестности ряда Х ряд Z е 5 с (Е), где 5 - некоторое счетное

множество рядов. Зададим ряд X = (хк ) и число £. Так

как ряды X хк и X хж(к) сходятся, можно найти номер к=1 к=1 П

N е N такой, что

при всех п, т > 2N при всех п, т > 3N

П

k=m

Строим ряд Z = (zk .

n

(k)

4

£

^ — .

4

(5)

(6)

Пусть

к е К = {1,2, ...2N} и {2N + 1,2Ж + 3,..., 4Ы -1} . Используя плотность множества Q в пространстве Е, найдем гк = хк + гк е Q такие, что

£

ГЛ < —

^ 4

(7)

Дальнейшие члены ряда Z будут иметь вид

2 N

X + 22N +1 - Z2N-1 +

— z +... + z — z +

2 N+3 2 N+3 4 N-1 4 N-1

z z z z

. 2АЧ1 2A'-1 + 2ЛЧ1 2АЧ1

z z z z

+ 2ЛЧЗ 2ЛЧЗ + 2ЛЧЗ 2ЛЧЗ +

z z z z

I 4N-1 4 N-1 1 4 N-1 4 N-1 +

"'2 2 2 2 z z z z

и 2 N+1 2 N+1_ + 1 2 N+1 2 N+1 +

4 4

4 4

8 слагаемых

z z z z

2N +3 2 N+3 + 1 2 N+3 2N+3

zz

4 4

4 4

+ ...+

+

z z z z

“4N-1 4N-1 , , 4N-1 4 N-1 ,

-------------------- +____+-------------------------г ... .

4 4

4 4

(8)

8 слагаемых

Можно увидеть, что принцип построения этого ряда аналогичен конструкции ряда (4), только роль слагае-

k=1

k=1

к=1

<

k=1

>

>

S

к=1

k=1

k=m

2

2

+

8 слагаемых

k=1

мых 1 и -1 играют г2#+2;-1 и -г2#+2;-1, і = 1,2,..., N. Построить ряд (8) удается благодаря простой компенсации при перестановке п = п3 2 : согласно (3) член ряда с номером 2п компенсируется членами с номерами 4п-3, 4п-1. Поэтому в ряде (8) член - г2 М+2І-1 компен-

2.2.

сируется членами 2к+2;-1 , 2У+2;Ч , далее каждый из 2 2

£ £

них компенсируется членами 2м+^'~1 , 2м++ Переставив ряд Z перестановкой п, получим

21 + 23 + 22 + 25 + 27 + 24 + - + 24 N-3 + 24 N-1 + 22 N +

и т.д.

z z z z

+ _2N+L + _2N+L - ^ l +... + - z4n l +

2 2 2N+L 2 2 4N-1

z2A41 , z2A41 z2A-’-rl

+... + + +.... (9)

4 4 2 4 4 2

Осталось показать, что |Х - ^ < е . Для этого нужно

оценить 1Х - Л с и |Х - Z| . Используя (5) и (7), имеем

Iх - Zl C = suP < supfEl

4> . ■■

'^2A-1 i=1

E

=2A’-rl

=2A’-rl

О, n - четное

Є Є , _

< —I-----------------------------+ ^ II ІІ —

4 4 11Iz II, n - нечетное

8 II II 8 8 8

<— + X + r\\ <-----------1----1---= 8 .

2 II » «II 2 4 4

(10)

Аналогично, используя (6) и (7), а также вид переставленного ряда (9), получаем

Iх - ZL = sup

* sup I E||

^2A'U=1 11

r II +

r

E

n(k)

8 8 <— + — + 4 4

=3A’+1

0, n = 3m

E

n(k)

I 2

, n = 3m -1

n = 3m - 2

8 II II 8 8 8

< — + X. + r.\\ <— + — + —= 8 .

2 II ' 'II 2 4 4

низм компенсации в ней может быть неизвестен, и вопрос о сепарабельности 5 (Е) остается открытым.

4. Базис Шаудера в пространстве Б (И). Снова положим п = п32 . Пространство (*(К)> |*|) представляет собой некоторое пространство числовых последовательностей. Как мы увидели в п. 2, последовательности с конечным числом ненулевых членов не образуют всюду плотного множества в этом пространстве. Поэтому обычные орты не могут быть базисом в Б (И). Мы построим

базис ]. , %. = (г. к) , используя ту же идею ком-

пенсации, что и в п. 3. А именно, на Ы-м шаге будем строить элементы базиса - ряды X ,, X X є 5 (И),

задавая при у є {3N - 2,3N - 1,3Ж} члены г к, для к є = {1,2,...2#}и {2# +1,2N + 3,...,4Ж-1}, а последующие члены определяя согласно (8). Представим члены рядов Z в виде таблицы (табл. 1). Строка таблицы

с номером у представляет собой члены ряда Z. В каждой

строке таблицы выделены те члены, которые мы задаем. В ряде 2 , все они равны нулю, кроме г , = 1, в

ряде 2 все они равны нулю, кроме гЗЛ, 14Л, 3 = 1, в

ряде Z все они равны нулю, кроме г 1 = 1.

Наша задача - показать, что любой элемент X є 5 (И) можно однозначно представить в виде суммы

сс

х=х а ^ (*)

/=1

с коэффициентами а є И, причем ряд (*) должен сходиться в норме пространства Б (И) . Мы воспользуемся

следующим критерием базиса [5]. Система {х.1. является базисом пространства 5 (И) тогда и только тогда,

когда выполнены два условия:

(а) *р , у є ^ ^ (К);

(Ь) существует константа М > 0 такая, что для любых

(11)

Из оценок (10) и (11) следует, что

\X - Z\ = max {|X - Z|r, \X - Z^} < s .

Осталось заметить, что ряд Z определен однозначно конечным набором элементов {zk,к е K}, выбранных

из счетного множества Q, поэтому множество S всех рядов вида Z - счетное, что и требовалось.

Замечание. Что касается перестановок п = п при

других значениях p и q, в общем случае компенсация в них

устроена более сложным образом. Построить «эталонный» ряд, аналогичный (4), можно [3. С. 40], и, по-видимому, далее можно с его помощью построить ряды типа (8), т.е. показать сепарабельность пространства S (E). Если же

взять в качестве п более сложную перестановку, то меха-

m < n и і а , , ...

т п

У а Z. ^ і і < M У а Z ^ ./ ./

/=1 ./=1

, где

норма в пространстве

^ (к).

Посмотрим, что представляет собой линейная ком-

т

бинация ^ а .2. . В случае, когда т = 3М, эта сумма

/=1 1 1

есть элемент множества 5 (см. п. 3), причем для любого элемента Z е £ можно подобрать число т такое, что

т ^

Z = ^ а 2. . Действительно, если ряд Z = (гк) е 5

/=1 1 1

определялся своими членами с номерами из множества К = {1,2, ...2Ы} и {2Ж + 1,2Ж + 3,...,4Ы -1} , то т = 3#,

а = *1 ’ а = ^ > а = ^.

п

z

Первые элементы базиса в пространстве Яс те(К)

1 3 2 5 7 4 9 11 6 13 15 8 17 19 10 21 23 12 25 27 14 29 31 16 33 35

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 1 0 >2 >2 -1 X 1/ /4 - х 1/ /4 /4 1/ /2 1/ /8 X _ 1/ /4 У 1/ /8 - Уа X У, _ 1/ /4 1/ /8 У, _ 1/ /4 Хб Хб

4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 1 0 0 >2 >2 -1 0 0 0 1/ /4 У - Уг 1/ /4 1/ /4 - Уг 0 0 0 0 0 0 1/ /8 Уг

6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/ /2 X -1 0 0 0 0 0 0 1/ /4 1/ /4 _ 1/ /2 1/ /4 У - Уг 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Уг У. -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 1/ /4

9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1/ /2 У! -1 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Уг 1/ /2 -1 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Уг Уг -1 0 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Уг Уг

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Следующие а , у = 4,5, ...,3М определяются из прет

дыдущих и условия, что к-й член ряда ^ а 2. есть

/=1 1 1

гк . Так как 5 = 5,, ,(К) , получаем, что условие (а) выполнено.

Для того чтобы найти константу М, т.е. проверить условие (Ь) критерия базиса, мы укажем константы М

и такие, что т У а 2 ^ .і .і < ых п У а 2 ^ .і .і

./=1 с ./=1

У а 2

і і

< М_

У а 2

і і

для любых т < п. Тогда

м п /=і ' ' ,

т У а 2. і і /=1 = тах т У а 2. /=1 С т У а 2. /=1

< М

У а 2

^ і і

,і=і

, М = тах |М1, М,

ряда ^ а 2 , а через я" - к-й член ряда ^ а 2 .

./=1

./=1

Чтобы сравнить

т п

У а 2 ^ .і .і и У а 2 ^ .і .і , мы должны

./=1 с ./=1 с

сравнить 8ир X а и 8ир X а

/еК к= 1 /єК к=1

(здесь

ство ак = °1,к = 1,2, ...,2Ы .

Поэтому X а=X ак, I < 2 N . Что

касается осталь-

к=1 к=1

т

ных членов ряда У а

ряда У а 2. , т.е. п™ при к > 2N ,

./=1

а", или равны нулю.

этом если

а + а + ■■■ + , І - четное

к_х к [а” + а” + ■■■ + а”у + а”, І - нечетное

X а

X а

при г> 2N имеем

(±1 II II

что ат = -—- а" . Так как а <

Т 1 11/11

+ а , ГДе I таково,

X'

X'

8Ир

/еК

х<

< 3 8Ир

/єК

х

Чтобы сравнить

ш

У а .г.

і і і ./=1

п

У а 2

^ ./ ./ ./=1

ны сравнить 8ир

/еК

Х‘

п(к)

И 8Ир

/єК

Х

'п(к)

, мы долж-

Для этого

удобно использовать табл. 2, в у-й строке которой указано, как выглядит ряд 2 , переставленный перестановкой п = п32. С помощью этой таблицы нетрудно увидеть, что а”щ = а"(к}, к = 1,2, ...,3М,

т.е. X<<*, = X<<*,>‘ ,

4=1 4=1

если т = ЗЫ +1, ЗЫ + 2, ЗЫ + 3 .

Что касается сумм ^ а”^}, г > ЗЫ, то они отлича-

4=1

ЗА’

ются от ^ а™ самое большее на 5 слагаемых, каждое

Зафиксируем т < п и обозначим через а™ к-й член мы

±1

2

из которых имеет вид —а"(;у I < 3^. Таким образом,

X'

'п(к)

получаем

ЗА’

Xа

грубую

оценку

п(к)

+10 8Ир

/єЛ’

X*

п(к)

чательно имеем

8Ир

/еК

норма в

X'

'п(к)

<118Ир

/єК

X'

'п(к)

при і > 3Ы . Окон-

, м, = 11. (13)

пространстве Е = И , т.е. модуль числа). Заметим, что при т = 3N,3^ +1,3^ + 2 и любом п > т верно равен-

они или

совпадают с соответствующими а , или имеют вид

(^1)

т с' к

При

і > 2Ы, то

. Поэтому

, полу-

, М = 3 . (12)

Из (11) и (13) следует, что базисная константа М существует и не превосходит 11, т.е. условие (Ь) выполнено.

5. Некоторые открытые вопросы. Всегда ли сепарабельно пространство 5 (Е) при сепарабельном Е?

Заметим: если перестановка п не меняет сходимость, то (Е) изоморфно £ (Е), где - тождественная

перестановка. Пространство ^ (Е) есть обычное

пространство сходящихся рядов, в котором ряды с конечным числом ненулевых членов образуют всюду плотное множество, т.е. это пространство сепарабельно. Нужно рассмотреть случаи: 1) перестановка меняет сходимость, но не меняет сумму; 2) перестановка меняет сумму и имеет более сложную конструкцию, чем п . Другой вопрос, более общий: изоморфны ли про-

Р-Ч

странства 5 (Е) и 5 п(Е) при различных переста-

новках п и о? Скорее всего, при доказательстве такого изоморфизма нужно накладывать дополнительные условия на п и о. Что касается базиса, построенного в п. 4, нас интересует, что представляют собой последовательности (а.), при которых ряды (*) сходятся?

Возможно, описание этих последовательностей даст новую информацию о свойствах пространства Б (Е).

и

Л

ТІ

т

п

к=1

к=1

к=\

*

чаем

Первые элементы базиса в пространстве Яс те(К), переставленные перестановкой п = тс,,

1 3 2 5 7 4 9 11 6 13 15 8 17 19 10 21 23 12 25 27 14 29 31 16 33 35

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 1 0 1/ /2 /2 -1 X % - х X 1/ /4 - Уг % 1/ /8 - X У X _ 1/ /4 1/ /8 X - X X 1/ /8 _ 1/ /4 Хб Хб

4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 1 0 0 /2 /2 -1 0 0 0 1/ /4 1/ /4 - Уг X 1/ /4 - Уг 0 0 0 0 0 0 1/ 78 X

6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 /2 X -1 0 0 0 0 0 0 1/ /4 1/ /4 - X X 1/ /4 _ 1/ /г 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Уг Уг -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 1/ /4

9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Уг 1/ /2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ /2 Уг -1 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Уг 1/ /2 -1 0 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Уг Уг

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

ЛИТЕРАТУРА

1. Лазарева Е.Г. Умножение перестановки ряда на число в банаховом пространстве с базисом Шаудера // Вестник Томского государственного

университета. № 299. С. 98-100.

2. Иванова Е.Г., Сибиряков Г.В. О делении перестановок П пополам. Всесибирская конференция по математике и механике: Избр. докл.

Р-Ч

Томск, 1997. Т. 1. С. 122-128.

3. Лазарева Е.Г. Исследование области сумм векторного ряда посредством умножения перестановки ряда на вещественные числа // Математи-

ческие труды. 2001. Т. 4, № 1. С. 36-67.

4. Кадец В.М., Кадец М.И. Перестановки рядов в пространствах Банаха. Тарту: Изд-во Тартус. ун-та, 1988.

5. Lindenstrauss J, Tzafriri L. Classical Banach Spaces I. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg, 1977.

Статья поступила в редакцию журнала 12 февраля 2007 г., принята к печати 19 февраля 2007 г.