О множестве рядов, сохраняющих сходимость после данной перестановки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.Г. Лазарева

О МНОЖЕСТВЕ РЯДОВ, СОХРАНЯЮЩИХ СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕ ДАННОЙ ПЕРЕСТАНОВКИ

Известно, что множество безусловно сходящихся рядов является всюду плотным множеством первой категории в пространстве сходящихся рядов с супремум-нормой. Доказывается, что этим же свойством обладает множество рядов, сходимость которых не меняется после фиксированной перестановки, если только эта перестановка меняет сходимость. Результат справедлив для пространства рядов над любым банаховым пространством.

Введение. Пусть (E,||*||) - банахово пространство. Рассмотрим пространство сходящихся рядов над пространством E:

{œ

х=(** )L: Е xk сходится

к=1

\х\=sup jii ее xk!1, n е n j.

Нетрудно убедиться, что (SC (E), |*|) - банахово

пространство. В работе [1] было показано, что множество

Г œ Г

Sus (EH X e SC (E) : Е xk сходится безусловно >

I к=1 j

является всюду плотным множеством первой категории в пространстве SC (E). В данной работе мы значительно расширим множество SUC (E) с сохранением указанного свойства. Для этого введем следующее понятие. Будем говорить, что перестановка п меняет сходимость (является существенной), если найдется

œ œ

числовой ряд Е ак = а e R , такой, что Е ап(к ) рас-

к=1 к=1

ходится. Зафиксируем перестановку п, меняющую сходимость, и рассмотрим множество

SC,п (E) = jX e SC (E) : ЕЕ xn(k) сходится j.

Очевидно,что Suc (E) с SC п (E). Цель работы -

доказать теорему : Множество SCn(E}есть всюду

плотное множество первой категории в пространстве SC (E) для любой существенной перестановки п.

Доказательство основной теоремы. Для доказательства нам понадобится следующая

Лемма. Пусть перестановка п меняет сходимость, E - банахово пространство. Тогда найдется

œ

сходящийся ряд Е Ук в пространстве Е, такой, что

к=1

sup<

yn(k )

k=1

n є N > = œ .

Доказательство. Так как п меняет сходимость, то

найдется числовой ряд ^ at = 0, такой, что ^ i

расходится. Построим числовой ряд ^ bt = 0, такой,

і =1

что sup <

Е b

i =1

n(i)

n є N > = œ . Тогда для любого

элемента e є E, e Ф 0 ряд Е Ук, Ук = ebk , будет ис-

k=1

комым. Введем обозначения:

s(I, n) = Е аі , s(n, n) = Е'

n(i) •

п(і)

i=1 i =1

Так как s(n,n) не сходится к нулю, то найдется последовательность {rij} 1,n1 < n2 <..., nj e N V/ e N ,

такая, что для некоторого C > 0 выполнено: V/ e N s(n, П/) > C > 0. Положим M1 = n1 и найдем

C

натуральное N1, такое, что Vn > N1 |s(/,n)| < — и

n{1,...,M1)c{1,...,N1 -1} .

Теперь для каждого k e N найдем натуральные числа

Mk+1 = min{n/ : {l,...,Nk + l}cп{l,...,n/}},

Nk+1 = min {N: Ч1— Mk+l}c{1,..., N -1}}.

Выпишем в естественном порядке натуральные числа, образующие множество

Пк =п{1,...,Мк+1}\{1,...,Nk +1} :

Nk + ll , Nk + ll +Nk + l1k + да1к,

Мк + 1кг(к) ,Мк + /к(к) + 1,....^к + 1кг(к) + т^(к).

Здесь г(к) - количество блоков подряд идущих натуральных чисел во множестве Пк. Заметим, что г (к) ^да при к ^да, так как сумма элементов ряда

Е{яг,I е{Ык + /к,...,Мк + /;к + тк} } для каждого

] е {1,...,г(к)} стремится к нулю по критерию Коши при к ^да , а сумма

IЕ {а, ‘е Пк} 1=1 ^ мк+1) - 5(7, Мк +1) >

с с > с - с = с > 0 2 2

для всех натуральных к.

i =1

i =1

Строим ряд X bi :

bi =

ln r (k) r (k) '

если 3k є N, j є {1,2,...,r(k)}: i = Nk + /;

ln r (k)

k .

r (k )

если Зк е Ы, у е {1,2,...,г(к)} : I = М + /у + ту +1; Ъ, = 0

в остальных случаях.

Очевидно, что lim bt = 0 и ^ bt = 0, так как в

i =1

Х=

k=1

'П( k )

< n Vm є N у.

зафиксируем и е N. Пусть X е £с (Е), е > 0 . Найдем в открытом шаре и(Х,г) шар £7(2,5), такой, что и (2,5) п £п = 0 . Если X таков, что

sup <j

то Z=X.

Если же sup

Z = X +-І-Г-Y ■

2 Y'l

X^

k=1

n(k)

І;

k=1

n( k)

да є N у = +ж .

,т є N у < ж , то положим

где Y = (k )'Ж=1. Очевидно, что

Бир<

этом

Х^

k=1

'п( k )

т є N у = ж .

ряде чередуются положительные и отрицательные члены. После перестановки п имеем

Мк+1

Е Ъп(1) = Е Ъ =1п г (к),

1=1 ,еПк

следовательно (так как г (к) ^да), нужное условие выполнено. □

Теорема. Множество £Сп(Е}есть всюду плотное множество первой категории в пространстве 8с (Е) для любой существенной перестановки п.

Доказательство. Множество £ = £с п (Е) всюду плотно в £с (Е), так как уже ряды с конечным числом ненулевых членов образуют всюду плотное множество в £с (Е). Представим множество £ в виде счетного объединения:

£ = ^ £п, пеЫ

Найдем число К е N, такое, что Е 2

П( k )

k=1

> 2п.

Положим 5 =-------.

4K

Пусть V = (Vk )Ж=і є U(Z, 5),

п

тогда ¥=2+Я,

|Л| < . Покажем, что V г . Для этого отметим,

II 4К п

что

k=1

П( k )

< K• max{І,k є{і,...,K} =

= K • rk I < K

"U

X r

k=1

ku-1

X'

k=1

<21RK<П.

Получаем:

X^

k=1

n( k )

X;

k=1

'n( k )

X r

k=1

n( k )

3n

> —, то

2

Покажем, что множество нигде не плотно в

есть V г £п .Теорема доказана.

Замечание. Несколько изменив доказательство

пространстве £с (Е). Зафиксируем сходящийся ряд леммы, легк° доказать, что:

да а) Перестановка, меняющая сумму, меняет схо-

димость;

Ь) Если перестановка меняет сходимость или сумму в пространстве Е, то она меняет сходимость.

Поэтому для таких перестановок утверждение теоремы остается справедливым.

k=1

Е Ук в пространстве Е, такой, что

т

"Е, уп(к)

sup

k=1

ЛИТЕРАТУРА

1. ИвановаЕ.Г. Пространства векторных рядов // ИНПРИМ-1998: Тез. докл. Ч. I. Новосибирск, 1998. С. 71.

Статья представлена кафедрой общей математики механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 24 мая 2003 г.

i =1