Теорема Винера для периодических на бесконечности функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

6

-1

. Отсюда легко видеть, что второй сомно-

Тогда локальный множитель равен П 1 — . .

Р /=АД N (р)

житель в произведении (6) определяет функцию, регулярную в полуплоскости и > 1/2. Рассмотрим функцию /(в), определенную первым сомножителем в произведении (6),

' / 1 \ -1 f (s) = П' lE - M (F [p])N (p)-s |-1 = П' П i1 - Щру) = fi (s)

(7)

где

fi(s) = ü'(1

N (p)s

-1

(8)

Рассмотрим максимальное абелево расширение каъ: к С каь С К. Известно [1], что если в — простой идеал поля каь, лежащий над простым идеалом р поля к, а ¡3 — простой идеал поля К, лежащий над простым идеалом р поля к, то NkaЬ|k(в) = NK|k(/3) = р?, т.е. если простой идеал р полностью разложим при расширении к С К, то он полностью разложим и при расширении к С каъ. Таким образом, к функции /\ (в) вида (8) применима лемма 1 в случае абелева расширения к С каь,

т. е.

/ГОО = ФГ (в)^ 00, (9)

где Ф^з) — целая функция.

В силу (7), (8) и (9) получаем /(з)п = Ф2(s)Z¡!гaЬ(в), где Ф2(в) — целая функция. Отсюда в силу представления ¿-функции Артина (6) в виде произведения двух сомножителей получаем, что Ьп(в,х,К|к) является функцией, регулярной во всех точках полуплоскости и > 1/2, за исключением точки в = 1, где она, возможно, имеет полюс п-го порядка.

Отсюда по следствию 1 теоремы Брауэра получаем, что Ь(в,х,К|к) регулярна в полуплоскости и > 1/2, а в силу следствия 2 теоремы Брауэра ¿-функция Артина может иметь полюса только на критической прямой и = 1/2. □

Библиографический список

1. Artin E. Über eine neue Art von L-Reihen // Abh. Math. Sem. Hamburgischen Üniv. 1923. Vol. 3. P. 89108.

2. Хейльброн Х. (-функции и L-функции // Алгебраическая теория чисел М. : Мир, 1969. С. 310-348.

3. Brauer R. On Artin's L-series with general group characters // Ann. of Math. 1947. Vol. 48. P. 502-514.

4. Кассел Дж., Фрелих А. Нормы из неабелевых расширений // Алгебраическая теория чисел. М. : Мир, 1969. С. 476.

УДК 517.9

ТЕОРЕМА ВИНЕРА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ

И. И. Струкова

Воронежский государственный университет E-mail: [email protected]

В данной работе определяется банахова алгебра периодических на бесконечности функций. Для таких функций вводится понятие ряда Фурье и его абсолютной сходимости. Получен аналог теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье для периодических на бесконечности функций.

Ключевые слова: банахово пространство, медленно меняющиеся на бесконечности функции, периодические на бесконечности функции, теорема Винера, абсолютно сходящийся ряд Фурье, обратимость.

Wiener's Theorem for Periodic at Infinity Functions 1.1. Strukova

In this article banach algebra of periodic at infinity functions is defined. For this class of functions notions of Fourier series and absolutely convergent Fourier series are introduced. As a result Wiener's theorem analog devoted to absolutely convergent Fourier series for periodic at infinity functions was proved.

Key words: Banach space, slowly varying at infinity functions, periodic at infinity functions, Wiener'stheorem, absolutely convergent Fourier series, invertibility.

m

1

ВВЕДЕНИЕ

Пусть l1 (Z) — банахово пространство двусторонних суммируемых последовательностей a : Z ^ C

с нормой ||ay1 = |a(k)| < го.

he z

Символом Сш (R) будем обозначать банахово пространство непрерывных ^-периодических функций f : R ^ C.

Будем говорить, что функция f е Сш(R) обладает абсолютно сходящимся рядом Фурье, если

она может быть представлена в виде ряда f (t) = £ a(k)elt, t е R, где a е l1 (Z). Совокупность

he z

всех таких функций обозначим через АСШ(R). Заметим, что АСШ(R) является банаховой алгеброй (см. [1]) с поточечным умножением и нормой

llf IIac = ||a|i = £ |a(k)|-

he z

В терминах введенных обозначений теорема Винера формулируется следующим образом: Теорема 1. Если функция f е АСШ(R) и f(t) = 0 для всех t е R, то 1/f е АСШ(R), т.е.

1/f (t) = £ 6(fc)e*^t, где b е 11(Z).

he z

Доказательство теоремы 1 приводится в [2].

Теорема Винера обобщалась в нескольких направлениях. Отметим теорему Бохнера-Филлипса [3] для функций со значениями в банаховой алгебре, а также статьи [4,5], в которых теорема Винера была доказана для операторов, матрицы которых имеют абсолютно суммируемые диагонали. Ссылки на исследования, связанные с приложениями результатов, имеются в [6].

В данной статье теорема Винера распространяется на класс периодических на бесконечности функций.

Далее введем множество периодических на бесконечности функций.

Пусть X — комплексное банахово пространство, EndX — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих из X в X.

Символом Съ,и = Съ,и (R, X) будем обозначать банахово пространство равномерно непрерывных и

ограниченных на R функций со значениями в X с нормой ||x||<^ = sup ||x(t)||x-

teR

Символом Со = Со (R, X) будем обозначать замкнутое подпространство из Съ,и убывающих на бесконечности функций.

В банаховом пространстве Съ,и рассмотрим изометрическую группу операторов (или представление) S : R ^ End Съ,и, действующую по правилу

(S(a)x)(t) = x(t + a), a e R. (1)

Определение 1. Функция x e Cb,u(R, X) называется медленно меняющейся или стационарной на бесконечности, если (S(a)x — x) e C0 (R, X) для всех a e R.

Например, функция f e Cb,u(R, C) вида f (t) = sinln(1 +t2) является медленно меняющейся на бесконечности.

Определение 2. Функция x e Cb,u(R, X) называется периодической на бесконечности периода и > 0, если (S(u)x — x) e Co(R,X).

Определение периодической на бесконечности функции было предложено А. Г. Баскаковым и использовалось в статье [7].

Множество медленно меняющихся на бесконечности функций обозначим символом Csi = = Csi(R, X), а множество периодических на бесконечности функций периода и — символом =

= Cw,œ(R,X ).

В случае X = C для рассматриваемых пространств будем использовать обозначения C&>u(R), Co (R), Csi (R), CW,^(R).

Отметим, что C^,œ(R,X) — банахово пространство с нормой ||x||œ = sup ||x(t)||X. Кроме того,

te R

Csi(R,X) и C^,œ(R,X) образуют банаховы алгебры с поточечным умножением, если X — банахова алгебра.

Определение 3. Обобщенным рядом Фурье функции x е Cc,œ(R, X) будем называть ряд вида

x(t) ~ Y^ xn (t)e*^t е R,

пег

а функции xn, n е Z, определяемые по формулам

„ с

„ — г ^^ t г

e ^ / •

xn(t) =- x(t + т)e—г^Tdr, t е R, n е Z, (2)

0

— коэффициентами Фурье функции x. Будем говорить, что обобщенный ряд Фурье функции x абсолютно сходится, если найдутся функции yn е Cs1 (R, X), n е Z, такие, что yn — xn е C0(R, X) и Е ||уп< го.

пег

Заметим, что слово «обобщенный» в дальнейшем будет опускаться.

Отметим также, что рассматриваемый ряд Фурье может не сходиться к функции x и понимается как формальный ряд.

Пример 1. Примером функции из Cc,œ(R) с абсолютно сходящимся рядом Фурье является функция f : R ^ C вида

V- ( 1...... ^

f (t) = 1^2 sin(an ln(1+ t2))l e*—4, t e R, an e R. (3)

nez\{ü} ^ '

Отметим, что функции fn, n e Z, построенные по функции f по формуле (2), не совпадают с функциями yn : t ^ —2 sinan ln(1 + t2), t e R, n e Z, но fn — yn e C0(R). n2

Замечание 1. Если x e C^ (R), то ряд Фурье из определения 3 совпадает с обычным рядом Фурье функции x.

Далее будем использовать следующее обозначение: en(t) = егt e R, n e Z. Заметим, что отображение x ^ Pnx = xnen : C^,^(R,X) ^ X), n e Z, является огра-

ниченным оператором с ||Pn|| < 1. Кроме того, Im(pn — ) С C0(R,X) для образа Im(pn — Pn) оператора РП — (доказательство приводится в конце параграфа 3), однако операторы Pn, n e Z, не являются проекторами.

До конца этого параграфа символ X будет обозначать банахову алгебру.

Определение 4. Функцию x e Cb,u(R, X) назовем обратимой относительно подпространства

C0(R,X), если существует функция y e Cb,u(R,X) такая, что xy — 1 e C0(R,X). Функцию y будем

называть обратной к x относительно подпространства C0 (R, X).

Замечание 2. Непосредственно из определения 4 следует, что функция x e X) обратима

относительно подпространства C0(R, X) тогда и только тогда, когда она представима в виде x = y+x0,

где x0 e C0(R, X), а функция y e X) такова, что inf ||y(t)||X > 0. Из определения 4 также

t gR

следует, что функция x e X) обратима относительно подпространства C0(R, X) тогда и

только тогда, когда существует такое число A > 0, что inf ||x(t)||x > 0.

|t|>A

Нетрудно видеть, что если yi,y2 — обратные к x e Cb,u(R, X) относительно подпространства C0(R, X) функции, то yi — y2 e C0(R,X).

Основным результатом данной работы является следующая

Теорема 2. Если функция a e X) обратима относительно подпространства C0(R, X)

и имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, то ряд Фурье обратной относительно C0(R, X) функции также абсолютно сходится.

2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ИХ РЯДЫ ФУРЬЕ

Пусть B — банахова алгебра с единицей и и — положительное число. Рассмотрим действующую в ней и—периодическую изометрическую сильно непрерывную группу операторов (представление) T : R ^ End B, обладающую свойствами

T(t)(ab) = T(t)a ■ T(t)b, T(t)e = e, t e R, (4)

где a, b — произвольные элементы из B, а e — единица в алгебре B.

Таким образом, каждый из операторов T(t),t G R, является гомоморфизмом алгебры B и каждая функция t ^ T(t)a : R ^ B, a G B, является непрерывной ^-периодической функцией. Из приведенных свойств следует, что если элемент a G B обратим, то

e = T(t)e = T(t)(aa-1 ) = (T(t)a)T(t)a-1 = (T(t)a-1 )T(t)a, a G B,

и, следовательно, (T(t)a)-1 = T(t)a-1.

Рассмотрим ряд Фурье (см. [8, с. 64-66]):

T(t)a ane^^*, t G R, ne z

функции t ^ T(t)a : R ^ B, a G B, где коэффициенты Фурье определяются по формулам

ш

an = 1 J T(t)ae-i^*dt, n G Z. (5)

0

Ряд a ~ an назовем рядом Фурье элемента a G B, а an, n G Z, — коэффициентами Фурье этого

ne z элемента.

Если ряд Фурье элемента a G B абсолютно сходится, т.е. выполнено условие ||an|| < œ, то

ne z

справедливо равенство a = an.

ne z

Лемма 1. Пусть a G B. Тогда T(a)an = e*aan, n G Z, для любого a G R, где an, n G Z, — коэффициенты Фурье элемента a. Причем операторы Pn, определяемые формулой

ш

Рпа = ап = 1 J Т(*)ае-^* п € Z,

о

являются проекторами с ||Рп|| < 1, п € Z.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент а € В и зафиксируем произвольное число а € К. Пусть ап, п € Z, — коэффициенты Фурье элемента а, определяемые по формуле (5). Тогда для них справедлива следующая цепочка равенств:

ш \ ш ш

Т(а)ап = т(а) [ 1 /* Т(*)ае-^I = ^ /* Т(а)Т(*)ае-^= 1 / Т(а + *)ае-^=

0/0 0 ш+а „ ш

/i а

T(т)ae-i^тdr = ^^ T(т)ae-i^Mr = е4^аап, n e Z.

а0

Таким образом, мы показали, что Т(а)ап = ег ^ аап, п € Z, для любого а € К.

Покажем теперь, что операторы Рп, п € Z, определяемые формулой Рпа = ап, являются проекто-

рами, т. е. РП = , n е Z. Пусть a е B. Тогда

ш

Pnа = 1 I T(t)ae-i^^dt, n е Z,

^ J

о

ш ш

Р^а = Pn (Pna) = — T (t)an e-i ^Mt = - an dt = an = Pn a, n е Z. ^ 7 ^ J

оо

Покажем теперь, что ||Pn|| < —, n е Z (при доказательстве используется свойство ||T(t)|| = —,

ш ш ш

|Pn|| = sup ||Pna|| = sup ||1 I T(t)ae-i^*dt|| < sup 1 / ||T(t)a||dt < sup 1 / ||T(t)||||a||dt < —. IM|<1 yay<i ^ 0 yay<i ^ 0 yay<i ^ 0

t e

Лемма доказана.

Для элемента a е B рассмотрим оператор A е End B вида Ax = a^P, x е B. Оператору A поставим в соответствие ^-периодическую операторнозначную функцию Фа : R ^ End B, определяемую формулой Фа(t) = T(t)AT(—t), t е R.

Функции Фа поставим в соответствие ее ряд Фурье:

Фа (t) An ег ^t, t е R,

пег

где коэффициенты Фурье определяются по формулам

с

An = 1 I T(t)AT(—t)e—г^*dt, n е Z. (6)

u J

0

Ряд E An назовем рядом Фурье оператора A, а операторы An — коэффициентами Фурье этого

пег

оператора. Определим двустороннюю числовую последовательность (dA(n)), положив dA(n) = ||An||, n е Z.

Лемма 2. Для коэффициентов Фурье An, n е Z, оператора A справедливы представления Anx = anx,n е Z, x е B, причем ||An|| = ||an||, n е Z.

Доказательство. Покажем, что Anx = anx для всех x е B.

Используя формулы (5) и (6), а также тот факт, что операторы T (t), t е R, образуют гомоморфизм алгебры, получаем

с с

An x = 1 i T (t)AT (—t)xe—г ^ *dt = 1 i T (t)(aT (—t)x)e—г ^ *dt =

u J и J

00

с / сс \

= 1 J (T (t)a)T (t)(T (—t)x)e—г ^ * dt = I 1 J T (t)ae—г ^ *dt I x = an x.

00

Для любого x е B справедливо неравенство ||Anx|| < ||an||||x||. Поскольку an = Ane и ||e|| = 1, то ||An|| = ||an||, n е Z. Лемма доказана.

Пусть ряд Фурье оператора A абсолютно сходится, т. е. E ||An || = E ||an || < го. В этом случае

nez nez

функция Фа непрерывна в равномерной операторной топологии. Далее используется следующая

Теорема 3. Если обратимый оператор A е End B имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, то ряд Фурье обратного оператора также абсолютно сходится.

Данное утверждение следует из теоремы 2 и замечания к ней из работы [3] (см. также [9]).

3. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ

Всюду в этом параграфе через X обозначается банахова алгебра с единицей. Ясно, что группа сдвигов S, определенная по формуле (1), в пространстве периодических на бесконечности функций не является периодической.

В дальнейшем символом B будем обозначать фактор-пространство (R, X)/C0(R, X), которое становится банаховой алгеброй, если умножение вводится следующим образом:

j j = xy, x, j е B. (7)

В нем построим изометрическую группу операторов T : R ^ End B, действующую по правилу

T(t)j = ад^ = S(t)x + Co(R, X), t е R, (8)

где x — некоторый представитель класса xj е B.

Поскольку Т(^)ж = £(^)ж = £(^)ж + Со (К, X) = (£(^)ж — ж) + ж + Со (К, X) = ж + Со (К, X) = ж, то представление Т является ^-периодическим.

Кроме того, из сильной непрерывности представления £ следует сильная непрерывность представления Т.

В терминах группы Т принадлежность класса ж алгебре В будет означать, что Т(<^)ж = ж. Ряд Фурье функции ж € (К, X), являющейся представителем класса ж, имеет вид

X Л / \ i ,

ж(т) Xn(т)e

nez

где коэффициенты Фурье xn, n G Z, определяются по формуле (2), а среднее ж0 имеет вид

ш

Xo(t) = x(t + т)dT, t G R.

0

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Коэффициенты Фурье функции ж G C^œ(R, X) обладают следующим свойством: xn g Cs1 (R, X), n G Z.

Доказательство. Вначале покажем, что среднее ж0 функции ж G (R, X) принадлежит пространству Cs(R, X). Возьмем произвольное число a G R и покажем, что (S(а)ж0 — ж0) G С0(R, X). Непосредственно из леммы 1 следует, что для класса ж0, содержащего функцию ж0, справедливо равенство T(а)ж0 = ж0, т. е. ж0 обладает свойством (S(а)ж0 — ж0) G C0(R, X). В силу произвольности выбора числа a G R из определения медленно меняющейся на бесконечности функции получаем, что ж0 G Csi(R,X).

Теперь докажем это свойство для коэффициентов Фурье жп, n G Z, функции ж. Обозначив y (t) = ж(^ ^ *, t G R, n G Z, получаем, что S(u)y — y G C0(R, X ), т.е. y G C^œ(R, X ). Тогда среднее функции y, определяемое формулой

ш

y0(t) = - ^(t + т)e-i^(t+TW, t G R, и J 0

принадлежит пространству Cs (R, X). Сравнивая последнюю формулу с формулой (2), получаем, что жп g Cs1 (R, X), n G Z. Лемма доказана.

Итак, у нас имеется фактор-алгебра B = (R, X)/C0(R, X) и действующая в ней и-перио-дическая сильно непрерывная изометрическая группа операторов (представление) T, определяемая формулой (8).

Представлению T поставим в соответствие его ряд Фурье:

T(t)â - P^^t G R, ж G B.

nez

Коэффициенты Фурье представления T имеют вид

ш

рж = - J T(t)£e-i^*dt, n G Z. 0

На представителях рассматриваемых классов имеем

ш ш

(Pn ж) (т ) = - / (S С0ж)(т )e-i ^ * dt = - /^(t + т )e-i ^ * dt = жп(т )ei ^ т,

и J и J

00

где жп, n G Z, — коэффициенты Фурье функции ж, определяемые по формуле (2).

Из формулы (5) непосредственно следует, что коэффициенты Фурье представления T обладают следующим свойством: Рпж = жп, n G Z.

Пусть x — представитель класса X G B. Тогда последнее равенство означает, что Pnx = ХП, т.е. Pnx — xn G C0(R,X), n G Z. В силу того что Pn являются проекторами, справедливо равенство Pn X = Pnж = x;, n G Z. Поэтому P^x = xn, т. е. P;x — xn G C0(R, X), n G Z. Отсюда получаем, что P2x — P;x G Co(R,X), n G Z, т.е. Im(P2 — Pn) с Co(R,X).

Если ряд Фурье класса ж G B абсолютно сходится, т.е. выполнено условие E l|xn|| < го, то из

nez

свойств нормы в фактор-пространстве следует, что в этом случае можно найти такие представители yn

классов x;, что E ||yn|U < го.

nez

Заметим, что функция x G X) обратима относительно C0(R, X) тогда и только тогда,

когда обратим класс ж G B, ее содержащий. Это утверждение непосредственно вытекает из определения 4.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Теперь для получения основного результата в качестве алгебры B рассмотрим фактор-алгебру X)/C0 (R, X), а в качестве представления T : R ^ End B рассмотрим ^-периодическую группу изометрических операторов T : R ^ End B, определяемую по формуле (8). Покажем, что группа T обладает свойствами (4). С использованием формул (7) и (8) получаем, что

T(t)(Xy) = T(t)(xy) = S(Wx/) = S(t)xS(t)y + Co(R,X) = (T(t)X) T(t)y, x G ж, y G y, t G R,

т. е. для группы T свойство (4) действительно выполняется. Рассмотрим оператор A G End B следующего вида:

Ax = XX, X G B. (9)

Оператору A поставим в соответствие ^-периодическую операторнозначную функцию Фа : R ^ ^ End B, определяемую формулой Фа(0 = T(t)AT(—t), t G R.

Таким образом, для рассматриваемого оператора справедлива теорема 3.

Приступим к доказательству теоремы 2. Рассмотрим банахову алгебру B = X)/C0(R, X)

и действующую в ней ^-периодическую изометрическую группу операторов T, определяемую по формуле (8).

По обратимой функции а G (R, X), объявленной в условиях теоремы, построим класс â G B, который также будет обратим. Обозначив обратный класс символом b, получаем, что âb =1.

Введем в рассмотрение оператор A G End B, определяемый формулой (9). Это оператор умножения на элемент â G B, причем он обратим. Его обратный оператор имеет вид BX = bX, b G B.

Для оператора A справедлива теорема 3, и, значит, ряд Фурье класса b абсолютно сходится. Тогда можно найти такой представитель b класса b, что ab — 1 G C0 (R, X), и его ряд Фурье абсолютно

сходится: E ||bn||œ < го. Теорема доказана.

nez

Расшифровкой теоремы 2 является следующая

Теорема 4. Если функция a G (R, X) обратима относительно подпространства C0(R, X) и ее ряд Фурье абсолютно сходится, то существует функция b G X) с абсолютно схо-

дящимся рядом Фурье, такая, что ab — 1 G C0(R, X).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00276).

Библиографический список

1. Кахан Ж. П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. 4. Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц М. : Мир, 1976. 203 с. и спектральный анализ линейных операторов // Изв.

2. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложе- РАН Сер. математическая. 1997. Т. 61, № 6. С 3-26. ния. М. : Физматлит, 1963. 256 с. 5. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов

3. BochnerS, Fillips R. S. Absolutely convergent Fourier матриц обратных операторов и гармонический анализ expansion for non-commutative normed rings // Ann. of // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 14-28.

Math. 1942. № 3. P. 409-418. 6. Groechenig K. Wiener's lemma : theme and variations.

An introduction to spectral invariance and its applications // Applied and Numerical Harmonic Analysis. Boston : Birkhauser, 2010. P. 60-63.

7. Калужина Н. С. Медленно меняющиеся функции, периодические на бесконечности функции и их свойства // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2010. № 2. С. 97-102.

8. Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004. Т. 9. С. 3-151.

9. Баскаков А. Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 2. С. 17-26.

УДК 517.518

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССАМ БЕСОВА-ПОТАПОВА И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Р. Н. Фадеев

Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]

В данной статье мы получаем необходимые и достаточные условия принадлежности функции классам Бесова-Потапова. Используя функции с коэффициентами Фурье по мультипликативным системам класса GM, мы показываем точность некоторых из этих результатов.

Ключевые слова: мультипликативная система, классы Бесо-ва-Потапова, обобщенная монотонность, теорема Харди-Литтл-вуда-Пэли.

Necessary and Sufficient Conditions of Belonging to the Besov--Potapov Classes and Fourier Coefficients with Respect to Multiplicative Systems

R. N. Fadeev

In this paper we obtain necessary and sufficient conditions for a function to belong to the Besov-Potapov classes. Using functions with Fourier coefficients with respect to multiplicative systems from the class GM, we show the sharpness of some these results.

Keywords: multiplicative system, Besov-Potapov classes, generalized monotonicity, Hardy-Littlewood-Paley theorem.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Р = {р^ — последовательность натуральных чисел такая, что 2 < р^ < N для всех ] € N и Zj = {0,1,... — 1}. Если т0 = = р^ при ] € М, то каждое ж € [0,1) имеет разложение

x = ^^ x.,- m j=i

-i

xj e .

(1)

Это разложение определено однозначно, если при ж = к/тп, 0 < к < тп, к, п € Z+, брать разложение с конечным числом ж^- = 0. Если ж,у € [0,1) записать в виде (1), то по определению

x Ф y = Yh Zjm,- , Zj = Xj + yj (mod pj), Zj e Zj. Аналогично определяется x Q y. j=i

Каждое k e Z+ однозначно представимо в виде

k = 2_ kjmj^, kj e Z+. j=i

(2)

Для чисел x e [0,1) вида (1) и k e Z+ вида (2) положим по определению

Xk(x) = exp kj /pA .

¿=1

Система {хк(ж)}^=0 называется мультипликативной системой, или системой Виленкина. Система {хк(ж)}Г=0 ортонормированна и полна в ¿[0,1) (см. [1, §1.5]). Поэтому можно определить коэффициенты Фурье и частичную сумму Фурье формулами

л 1 _ п-1 л

/(п) = /(ж)хп(ж) ¿ж, п € Z+; £п(/)(ж) = V /(г)х*(ж), п € N.

]0 г=0