Теорема Винера для периодических на бесконечности функций с рядами Фурье, суммируемыми с весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 144-152.

УДК 517.9

ТЕОРЕМА ВИНЕРА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ С РЯДАМИ ФУРЬЕ, СУММИРУЕМЫМИ С ВЕСОМ

И.И. СТРУКОВА

Аннотация. В работе определяется банахова алгебра периодических на бесконечности функций. Для таких функций вводится понятие ряда Фурье и его абсолютной сходимости, а также понятие обратимости. Получен аналог теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье для периодических на бесконечности функций, коэффициенты Фурье которых суммируемы с весом.

Ключевые слова: банахово пространство, медленно меняющиеся на бесконечности функции, периодические на бесконечности функции, теорема Винера, абсолютно сходящийся ряд Фурье, обратимость.

Mathematics Subject Classification: 46J10.

1. Введение

Пусть l1(Z) — банахово пространство двусторонних суммируемых последовательностей а : Z ^ C с нормой ||а|1 = kеZ \a(k)\ < то.

Символом Сш (R) будем обозначать банахово пространство непрерывных ^-периодических функций f : R ^ C.

Будем говорить, что функция f Є Сш (R) обладает абсолютно сходящимся рядом Фурье, если она может быть представлена в виде ряда f (t) = ^2kez a(k)e%~г, t Є R, где a Є l1(Z). Совокупность всех таких функций обозначим через АСШ(R). Заметим, что АСШ(R) является банаховой алгеброй (см. [1]) с поточечным умножением и нормой

||f IIac = |a|1 = ^ \a(k)\.

keZ

В терминах введенных обозначений теорема Винера формулируется следующим образом:

Теорема 1. Если функция f Є АСШ (R) и f (t) = 0 для всех t Є R, то

1/f Є АСШ(R), т.е. 1/f (t) = ^keZ b(k)e%2^Lt, где b Є l1(Z).

Доказательство теоремы 1 приводится в [2].

Теорема Винера обобщалась в нескольких направлениях. Отметим теорему Бохнера-Филлипса [З] для функций со значениями в банаховой алгебре, а также статьи [4], [5], в которых теорема Винера была доказана для операторов, матрицы которых имеют абсолютно суммируемые диагонали. Ссылки на исследования, связанные с приложениями результатов, имеются в [б].

I.I. Strukova, Wiener’s theorem for periodic at infinity functions with summable weighted Fourier series.

© СтруковА И.И. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00378).

Поступила 30 июня 2012 г.

В данной статье теорема Винера распространяется на класс периодических на бесконечности функций.

Далее введем множество периодических на бесконечности функций.

Пусть X - комплексное банахово пространство. EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих из X в X.

Символом Cb,u = Cb,u(R,X) будем обозначать банахово пространство равномерно непрерывных и ограниченных на R функций со значениями в X с нормой ||x||^ = sup ||x(t)||x.

teR

Символом Co = Co(R, X) будем обозначать замкнутое подпространство из Cb,u убывающих на бесконечности функций.

В банаховом пространстве Cb,u рассмотрим изометрическую группу операторов (или представление) S : R ^ EndCb,u, действующую по правилу

(S(a)x)(t) = x(t + а), а Є R. (1)

Определение 1. Функция x Є Cb,u(R,X) называется медленно меняющейся или стационарной на бесконечности, если

S^)x — x Є Co(R, X) для всех а Є R.

Например, функция f Є Cb,u(R, C) вида f (t) = sinln(1+t2) является медленно меняющейся на бесконечности.

Определение 2. Функция x Є Cb,u(R,X) называется периодической на бесконечности периода и > О, если

S(u)x — x Є Co(R,X).

Определение периодической на бесконечности функции было предложено А.Г. Баскаковым и использовалось в статье [7].

Множество медленно меняющихся на бесконечности функций обозначим символом Csi = Csi(R,X), а множество периодических на бесконечности функций периода и - символом C^,^ C^,^(R,^X).

В случае X = C для рассматриваемых пространств будем использовать обозначения Cb,u (R), Co(R), Csi (R), C^(R).

Отметим, что C^,^(R,X) - банахово пространство с нормой

||x||^ = sup ||x(t)|x.

teR

Кроме того, Csi (R, X) и CW,^(R, X) образуют банаховы алгебры с поточечным умножением, если X - банахова алгебра.

Определение 3. Обобщенным рядом Фурье функции x Є C^,^(R,X) будем называть ряд вида

x(t) ~ xn(t)e*~г, t Є R,

neZ

а функции xn, n Є Z, определяемые по формулам

о W

• 2жп t „

/ * 2пп

xn(t) =------- x(t + т)e-dT, t Є R, n Є Z, (2)

и

o

— коэффициентами Фурье функции x. Будем говорить, что обобщенный ряд Фурье функции x абсолютно сходится, если найдутся функции yn Є Csj(R, X), n Є Z, такие, что Уп — xn Є Co(R,X) и ^;neZ IlynlU < то.

Отметим, что слово "обобщенный"в дальнейшем будет опускаться.

Отметим также, что рассматриваемый ряд Фурье может не сходиться к функции x и понимается как формальный ряд.

Пример 1. Примером функции из C^,o(R) с абсолютно сходящимся рядом Фурье является функция f : R ^ C вида

f (t) = ^2 (“2 sin(a« ln(l + t2))^ e*t G R, a„ G R. (3)

n€Z\{0} ' '

Отметим, что функции fn, n G Z, построенные по функции f по формуле (2), не совпадают

с функциями yn : t ^ -2 sin an ln(l + t2), t G R, n G Z, однако, fn — yn G C0(R).

Замечание 1. Если x G Cw (R), то ряд Фурье из определения 3 совпадает с обычным рядом Фурье функции х.

Далее будем использовать следующее обозначение:

/ ч А 2пп + ^ ^

en(t) = e s , t G R, n G Z.

Заметим, что отображение x ^ Pnx = xnen : Cw,o(R,X) ^ Cw,o(R,X), n G Z является ограниченным оператором с ||Pn|| < l. Кроме того, /m(P?2 — Pn) С C0(R,X) для образа /m(P?2 — Pn) оператора P^ — Pn (доказательство приводится в конце раздела 3), однако операторы Pn, n G Z не являются проекторами.

До конца этого раздела символ X будет обозначать банахову алгебру.

Определение 4. Функцию x G Cb,u(R,X) назовем обратимой относительно подпространства C0(R,X), если существует функция y G Cb,u(R,X), такая, что xy — l G C0(R,X). Функцию y будем называть обратной к x относительно подпространства C0(R, X).

Замечание 2. Непосредственно из определения 4 следует, что функция x G Cw,o(R, X) обратима относительно подпространства C0(R,X) тогда и только тогда, когда она представима в виде x = y + x0, где x0 G C0(R,X), а функция y G Cw,o(R, X) такова, что inf ||y(t)||x > 0. Из определения 4 также следует, что функция x G Cw,o(R,X) обратима относительно подпространства C0(R,X) тогда и только тогда, когда существует такое

число A > 0, что inf ||x(t)|| X > 0.

|t|>A

Нетрудно видеть, что если yi, y2 - обратные к x G Cb,u(R, X) относительно подпространства C0(R,X) функции, то y1 — y2 G C0(R,X).

Рассмотрим функцию a G Cw,o(R, X) и введем обозначение da(k) = ||а&||o, k G Z, где afc - k-й коэффициент Фурье функции а, определяемый по формуле (2).

Для рассматриваемой функции будем считать выполненным одно из условий следующего предположения:

Предположение 1. Для функции а G Cw,o(R,X) выполнено одно из условий:

1) da(k)a(k) < то, где а : Z ^ R+ - весовая функция, для которой выполнено fceZ

т ln a(k) гл

соотношение пт .Л ; = 0;

м—о |k|

2) lim da(k)|k|7 = 0, k G Z, 7 > l;

| k| —

3) da(k) < Constexp(—e|k|), k G Z, e > 0.

В частности, условие выполнено, если ряд Фурье функции а имеет конечное число отличных от нуля коэффициентов Фурье, т.е. существует такое M G N, что d0(k) = 0, |k| > M + l.

Основным результатом данной работы является следующая

Теорема 2. Если для обратимой относительно подпространства C0(R,X) функции a G C^,o (R, X) выполнено одно из условий 1) - 3) предположения 1, то обратная к ней относительно C0(R,X) функция b удовлетворяет соответствующим условиям:

1’) Yl db(k)a(k) < то; fceZ

2’) lim db(k)|k|Y = 0;

|fc|^^

3’) db(k) < Constexp(-e0|k|), k G Z, для некоторого е0 > 0.

Заметим, что величины Const и е0 зависят от величин Const и е из условий предположения 1.

2. Периодические векторы и их ряды Фурье

Пусть B - банахова алгебра с единицей и ш - положительное число. Рассмотрим действующую в ней ш—периодическую изометрическую сильно непрерывную группу операторов (представление) Т : R ^ End B, обладающую свойствами

Т(t)(ab) = Т(t)a ■ Т(t)b (4)

Т(t)e = e, t G R, (4)

где a, b - произвольные элементы из B, а e - единица в алгебре B.

Таким образом, каждый из операторов Т(t),t G R является гомоморфизмом алгебры

B, и каждая функция t ^ Т(t)a : R ^ B, a G B является непрерывной ш-периодической

функцией.

Из приведенных свойств непосредственно следует, что если элемент a G B обратим, то

e = Т(t)e = Т(t)(aa-1) = (Т(^а)Т(t)a-1 = (Т^)а-1)Т(t)a, a G B,

и, следовательно, (Т(t)a)-1 = Т(t)a-1.

Рассмотрим ряд Фурье (см. [8])

Т(t)a ~ ane*_=r*,t G R,

nGZ

функции t ^ Т(t)a : R ^ B, a G B, где коэффициенты Фурье определяются по формулам

an = — [ Т(t)ae-i_nr*dt, n G Z. (5)

ш

0

Ряд

SneZ an назовем рядом Фурье элемента a G B, а an, n G Z, — коэффициентами Фурье этого элемента.

Если ряд Фурье элемента a G B абсолютно сходится, т.е. выполнено условие

^2nez l|an|| < то, то справедливо равенство a = nеZ an.

Лемма 1. Пусть а Е В. Тогда Т(а)ап = ег ^ аап,п С Z, для любого а Е К, где

ап, п Е Z, — коэффициенты Фурье элемента а. Причем операторы Рп, определяемые форО

мулой Рпа = ап = О- / Т^)ае-г“^, п € Z, являются проекторами с ||РП|| < 1, п € Z.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент а ЕВ и зафиксируем произвольное число а Е К. Пусть ап, п Е Z, - коэффициенты Фурье элемента а, определяемые по формуле (5). Тогда для них справедлива следующая цепочка равенств

О \ О

T(а)а„, = T(а) | — J T(t)ae i ^ *dt J = — J T(а)Т(t)ae i ^ *dt

00

О ;2nn, Ш+а

-i2nnt, °

1 Г &i2nn а .

— T (а + t)ae-i _^_tdt =- T (т )ae-i 2^T dT

ш J ш J

0а

Л 2пп а ,

Є Ш I т/ ч , „'2пп а

ш an,

ш

0

T(т)ae-i*dT = ei^аan, n Є Z.

Т.е. мы показали, что Т(а)ап = ег~птаап, п Є для любого а Є К.

Покажем теперь, что операторы Рп, п Є ^, определяемые формулой Рпа = ап, являются проекторами, т.е. Р^2 = Рп, п Є ^.

Пусть а Є В. Тогда

Ш

Pna = — Т(t)ae-i~nr*dt, n G Z, ш

0

Ш Ш

P2a = Pn(Pna) = — Т(t)ane-i~*dt = — andt = an = Pna, n G Z.

n ш ш

00

Покажем теперь, что ||Pn|| < 1, n G Z (при доказательстве используется свойство ||Т(t)|| = 1, t G R).

Ш

||Pn|| = sup ||Pna|| = sup || — Т(t)ae-i~*dt|| <

||o||<1 м<1 ш J

0

Ш Ш

< sup — ||Т(t)a||dt < sup — ||Т(t)||||a||dt < —

||oM< 1 ш J ||oM< 1 ш ,/

00

Лемма доказана.

Для элемента a G B рассмотрим оператор A G End B вида

Ax = ax, x G B.

Оператору A поставим в соответствие ш-периодическую операторнозначную функцию Фа : R ^ End B, определяемую формулой

ФаСО = ТфАТ(—t), t G R.

Функции Фа поставим в соответствие ее ряд Фурье

ФА^) ~ ^ Ane"t G R,

nGZ

где коэффициенты Фурье определяются по формулам

= 1 [ Т(і)АТН)е-^^, п Є Z. (6)

^ У

0

Ряд £гае2 Ап назовем рядом Фурье оператора А, а операторы Ап - коэффициентами Фурье этого оператора. Определим двустороннюю числовую последовательность ^а (п)), положив dA(n) = ||Ага||, п Є Z.

Лемма 2. Для коэффициентов Фурье Ап,п Є Z, оператора А справедливы представления Агах = агаж, п Є Z, х Є В, причем ||Ап|| = ||ап||,п Є Z.

Доказательство. Покажем, что Апх = апх для всех х ЕВ.

Используя формулы (5) и (6), а также тот факт, что операторы Т(^^ Е К образуют гомоморфизм алгебры, получаем

О О

Anx = — [ T(t)AT(—t)xe i “ *dt = — [ T(t)(aT(—t)x)e i ^ *dt шш 00

О /о

= — J(T(t)a)T(t)(T(—t)x)e-i-^_tdt = I — J T(t)ae-i~*dt | x = anx. 00 Для любого x Є B справедливо неравенство ||AnxI < ||an II x I.

Поскольку an = Ane и || є I = 1, то ||An|| = ||an||,n Є Z. Лемма доказана.

Отметим, что если ряд Фурье оператора A абсолютно сходится, т.е.

^d^(n) = ^ |an| < то,

n€Z n€Z

то функция Фа непрерывна в равномерной операторной топологии.

Для рассматриваемого оператора будем считать выполненным одно из условий следующего предположения:

Предположение 2. Для оператора A Є End B выполнено одно из условий:

1) dA(k^(k) < то, где а ; Z ^ R+ - весовая функция, для которой выполнено fceZ

т ln а(к) п

соотношение lim .Л 7 = О;

ik—o |k|

2) lim dA(k)|k|Y = О, k Є Z, 7 > 1;

| k| —

3) dA(k) < Constexp(—є|k|), k Є Z, є > О.

В частности, условие выполнено, если ряд Фурье оператора A имеет конечное число отличных от нуля коэффициентов Фурье, т.е. существует такое M Є N, что dA(k) = О, |k| > M + 1.

Далее используется следующая

Теорема З. Пусть оператор A Є End B обратим и для него выполнено одно из условий

1) - 3) предположения 2. Тогда обратный оператор B = A-1 Є End B удовлетворяет

соответствующим условиям:

1’) dB(k^(k) < то;

fcez

2’) lim dB(k)|k|Y = О;

|fc|—o

3’) dB(k) < Constexp(—є01k|), k Є Z, для некоторого є0 > О.

Данное утверждение следует из [9; теорема 1].

3. Элементы гармонического анализа периодических на бесконечности функций

Всюду в этом параграфе через X обозначается банахова алгебра с единицей.

Ясно, что группа сдвигов S, определенная по формуле (1), в пространстве периодических на бесконечности функций не является периодической.

В дальнейшем символом B будем обозначать фактор-пространство Cw,o(R, X)/C0(R, X), которое становится банаховой алгеброй, если умножение вводится следующим образом

жу = xy, ж, у Є B. (7)

В нем построим изометрическую группу операторов T : R ^ End B, действующую по правилу

T(t)£ = S(t)x = S(t)x + C0(R,X), t G R, (8)

где x - некоторый представитель класса х G B.

Поскольку

T (w)£ = S(w)x = S (w)x + C0(R, X) = = (S(w)x — x) + x + C0(R, X) = x + C0(R, X) = x,

то представление T является w-периодическим.

Кроме того, из сильной непрерывности представления S следует сильная непрерывность представления T.

В терминах группы T принадлежность класса х алгебре B будет означать, что T (w)£ = х.

Ряд Фурье функции x G Cw,^(R, X), являющейся представителем класса х, имеет вид x(t) ~ J^neZ xn(T)e*2Snr, где коэффициенты Фурье xn,n G Z определяются по формуле (2), а среднее x0 имеет вид

x0(t) = — x(t + т)dr, t G R. w J 0

Справедливо следующее утверждение:

Лемма 3. Коэффициенты Фурье функции x G Cw,TO(R,X) обладают свойством: xn G Cs1 (R, X), n G Z.

Доказательство. Вначале покажем, что среднее x0 функции x G Cw,^(R,X) принадлежит пространству Csi(R,X). Возьмем произвольное число a G R и покажем, что (S(a)x0 — x0) G C0(R,X). Непосредственно из леммы (1) следует, что для класса х0, содержащего функцию x0, справедливо равенство T(а)х0 = х0, т.е. x0 обладает свойством (S(a)x0 — x0) G C0(R, X). В силу произвольности выбора числа a G R из определения медленно меняющейся на бесконечности функции получаем, что x0 G Csi(R,X).

Теперь докажем это свойство для коэффициентов Фурье xn, n G Z функции x. Введя обозначение y(t) = x(t)e*^zr*, t G R, n G Z, получаем, что

S(w)y — y G C0(R,X), т.е. y G Cw,ro(R, X). Тогда среднее функции y, определяемое фор-{jJ 2

мулой y0(t) = 1 f x(t + т)e-i2nn(t+r)dT, t G R, принадлежит пространству Cs1(R,X). Срав-0

нивая последнюю формулу с формулой (2), получаем, что xn G Cs(R, X), n G Z. Лемма доказана.

Итак, у нас имеется фактор-алгебра B = C^,^(R,X)/C0(R, X) и действующая в ней w-периодическая сильно непрерывная изометрическая группа операторов (представление) T, определяемая формулой (8).

Представлению T поставим в соответствие его ряд Фурье

T(t)S' ~ Pn2el^пг*, t G R, х G B.

nGZ

Коэффициенты Фурье представления T имеют вид

Pnх = — I T(t)£e-*“nr*dt, n G Z. w J

0

На представителях рассматриваемых классов имеем

Ш Ш

(Рпх)(т) = — [($(£)х)(т)е г “ = — [ х(£ + т)е г ^ ^ = хп(т)ег ^ т,

и ] и ]

0 0

где хп, п Е ^ - коэффициенты Фурье функции х, определяемые по формуле (2).

Из формулы (5) непосредственно следует, что коэффициенты Фурье представления Т обладают следующим свойством

РгаЖ = хП, п € ^.

Пусть х - представитель класса ж Е В. Тогда последнее равенство означает, что Рпх = хп, т.е. Рпх—хп Е СО (К, X), п Е ^. В силу того, что Рп являются проекторами, справедливо

равенство Рп ж = Ргаж = ХП, п Е ^. Поэтому Р^х = ХП, т.е. Р2х — хп Е С0(К,X), п Е ^. Отсюда получаем, что Р^х — Рпх Е С0(К,Х), п Е ^, т.е. /т^Р^ — Рп) С С0(К,Х).

Если ряд Фурье класса ж ЕВ абсолютно сходится, т.е. выполнено условие

Е

||хпу < то,

п^Ъ

то из свойств нормы в фактор-пространстве следует, что в этом случае можно найти такие представители уп классов хп, что

Е

У yn ||^ < (то.

n€Z

Заметим, что функция x Е C^,^(R,X) обратима относительно C0(R,X) тогда и только тогда, когда обратим класс X" Е B, ее содержащий. Это утверждение непосредственно вытекает из определения 4.

4. Доказательство теоремы 2

Теперь для получения основного результата в качестве алгебры B рассмотрим фактор-алгебру C^,^(R,X)/C0(R, X), а в качестве представления T : R ^ End B рассмотрим w-периодическую группу изометрических операторов T : R ^ End B, определяемую по формуле (8).

Покажем, что группа T обладает свойствами (4).

С использованием формул (7) и (8) получаем, что

T (t)(Xy) = T (t)(xy) = S (t) (xy) = S (t)xS (t)y + Co (R, X) =

= (T(t)X) T(t)y, x Е ", y Е y, t Е R,

т.е. для группы T свойство (4) действительно выполняется.

Рассмотрим оператор A Е End B следующего вида

A" = а", а Е B. (9)

Оператору A поставим в соответствие w-периодическую операторнозначную функцию Фа : R ^ End B, определяемую формулой

ФаС0= T(t)AT(-t), t Е R.

Для рассматриваемого оператора справедлива теорема 3.

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим банахову алгебру B = C^,^(R,X)/C0(R,X) и действующую в ней w-периодическую изометрическую группу операторов T, определяемую по формуле (8).

По обратимой функции а Е C^,^(R,X), объявленной в условиях теоремы, построим класс а Е B, который также будет обратим. Обозначив обратный класс символом b, получаем, что ab =1.

Введем в рассмотрение оператор A Е EndB, определяемый формулой (9). Это оператор умножения на элемент а Е B, причем он обратим. Тогда его обратный имеет вид

= b", b Е B.

Для оператора A справедлива теорема 3, и, значит, можно найти такой представитель b класса b, что аЬ — 1 Е C0(R,X), и он удовлетворяет сооответствующему условию из теоремы 2. Теорема доказана.

Следствие 1. Если функция а Е C^,^(R,X) обратима относительно подпространства C0(R,X) и имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, то ряд Фурье обратной относительно C0(R,X) функции также абсолютно сходится.

Следствие 2. Если функция а Е C^,^(R,X) обратима относительно подпространства C0(R,X) и ее ряд Фурье абсолютно сходится, то существует функция b Е C^,^(R,X) с абсолютно сходящимся рядом Фурье, такая, что аb — 1 Е C0(R,X).

В заключение отметим, что в недавно вышедшей статье [10] были введены в рассмотрение почти периодические на бесконечности функции, и естественным образом для их рядов Фурье возникают вопросы, аналогичные рассматриваемым в данной статье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кахан Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.: Мир. 1976. 203 с.

2. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматлит. 1963. 121 с.

3. S. Bochner, R.S. Fillips Absolutely convergent Fourier expansion for non-commutative normed rings // Ann. of math. 1942. № 3. P. 409-418.

4. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61. № 6. С. 3-26.

5. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38. № 1. С. 14-28.

6. K. Groechenig Wiener’s lemma: theme and variations. An introduction to spectral invariance and its applications // Birkhaeuser, Applied and Numerical Harmonic Analysis. Boston. 2010. P. 60-63.

7. Калужина Н.С. Медленно меняющиеся функции, периодические на бесконечности функции и их свойства // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. № 2. С. 97-102.

8. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // СМФН. 2004. Т. 9. С. 64-66.

9. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Матем. заметки. 1992. Т. 52. №2. С. 17-26.

10. Баскаков А.Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А.Г. Баскаков // УМН. 2013. Т. 68. №1(409). С. 77-128.

Ирина Игоревна Струкова,

Воронежский государственный университет,

Университетская пл., д.1,

394006, г.Воронеж, Россия E-mail: [email protected]