Умножение перестановки ряда на число в банаховом пространстве с базисом Шаудера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.Г. Лазарева

УМНОЖЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ РЯДА НА ЧИСЛО В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С БАЗИСОМ ШАУДЕРА

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ, грант МК-2803.2005.1.

Для перестановки п натуральных чисел вводится понятие умножения на целое число т в нормированном пространстве: если ряд в данном пространстве сходится к нулю в исходном порядке, к элементу х - после перестановки п, то он должен сходиться после перестановки 5, принадлежащей множеству т-п, к элементу тх. Показано, что для банахова пространства с базисом Шаудера множество т-п такое же, как для пространства вещественных чисел.

В связи с проблемой описания области сумм ряда в бесконечномерном банаховом пространстве нами было введено понятие умножения перестановки ряда на число [1. С. 44]. Мы сформулировали это понятие независимо от нормированного пространства, в котором рассматриваются ряды. Это объясняется тем, что все полученные нами примеры умножения перестановки на число являются конструктивными и не зависят от рассматриваемого пространства. Однако можно дать и другое определение.

Определение. Пусть п: - перестановка (т.е.

биекция), т - целое число, Е - нормированное пространство. Определим множество перестановок т-п в пространстве Е следующим образом: перестановка 8 принадлежит множеству т-п в Е тогда и только тогда, когда для любого ряда в пространстве Е из условий

к=1

те

Ф)

Пусть (Е, ||*||) - банахово пространство, п: N ^ N -перестановка. Мы будем использовать следующее пространство рядов:

те те

5с,п (Е) = іх = (хк )Г : Е хк > Е хп(к) - сх°дятся в Е [>,

[ к=1 к=1 J

наделив его нормой |х| = тах IX с, IX,}, где

п

1Х1 с = шр Е > |х|п = шр

nєN к=1

Е

(к)

относительно ко-

следует сходимость ряда ^ х5(к) к элементу тх (х -

к=1

произвольный элемент пространства Е).

Нас интересует ответ на вопрос: зависит ли факт принадлежности 8 е т - п в Е от пространства Е? Заметим, что условия 8 е т - п в Е и 8 е т - п в И эквивалентны, если Е - конечномерное пространство. В случае, когда Е - бесконечномерно, из условия 8 е т - п в Е очевидно следует 8 е т - п в И. Если же 8 е т - п в И и

те те

ряды ^ хк, ^ хп(к) сходятся в банаховом пространстве Е

к=1 к=1

те

к элементам 0 и х соответственно, то ряд ^ Хф) либо

к=1

сходится к элементу тх, либо расходится. Действи-

те

тельно, если ^ Хф) = у Ф т ■ х , то найдется функцио-

к=1

нал / е Е" такой, что ^(у)Ф^(т-х), а значит, и числовой

те те

ряд Е /(хк) = °> Е /(хп(к)) = /(х) что

к=1 к=1

те

Е /(хъ(к)) ^ т ' /(х). Последнее противоречит условию

к=1

8 е т - п в И.

В этой работе мы покажем, что множество т-п не изменяется, если рассматривать банаховы пространства с базисом Шаудера. Более того, при этом множество т-п в Е совпадает с множеством т-п в И.

торой это пространство полно.

Для доказательства основного результата нам понадобится следующая

Лемма. Пусть даны перестановки п и 5, причем существует целое число т такое, что 8 е т - л в И. Пусть (Е, ||*||) - банахово пространство с базисом Шаудера. Тогда множество

5С,п,5 (Е) = \ Х = (Хк )Г е 5С,п : Е Х5(к) - схоДИТСЯ в Е

У к=1

всюду плотно в пространстве 5С п(£).

Доказательство. Пусть (еу. )“=1 - базис в пространстве

Е. Зафиксируем элемент X = (хк)“ е 5Сп (Е) и разложим

те

по базису каждую его компоненту: хк = ^ ау. к е;. . Для ка-

7=1

N

ждого N є N рассмотрим хк = ^ а. к е. , а также элемент

7=1 ’

Xм = (хкУк=\. При фиксированном N векторы х^ содержатся в ^мерном пространстве Е = Бр {, е, ,■■■, }и

те те

ряды ^ хк, ^ х%(к) сходятся. Действительно, если К -

к=1 к=1

базисная константа базиса (е, )“=1, имеем

* N * те ^ ч

х-1 N Е хі = ЕЕ а у,к е} < К ЕЕ а,к е = К Е хк

к=р 7=1 к=Р у=1 к=р к=р

куда в виду сходимости ^ хк следует сходимость ряда

к=1

те те

^ хк . Сходимость ^ х^(к) проверяется аналогично. Так

к=\ к=1

те

как 8 є т •п в И, то сходится и ряд ^ х^( к) . Следователь-

к=1

но, Xм є SC п д (Е). Нам осталось показать, что в произвольной £-окрестности элемента X найдется элемент X ы при некотором натуральном N.

к=1

Фиксируем s > 0. Рассмотрим сначала

n n те

sup X (- xf) сл II I Iaj,kej

пё№ k=1 nєN k=1 j=N+1

. Обо-

значим х

= X xk . Разложим по базису этот вектор:

x = ^ ajej . Найдем номер N1 такой, что при всех N >

J=i

>N1

X а jе j

j=N

< — . При этом 2

n те n те те те

I Ia j ,k ej < I I aj,kej - I aj ej + I aj ej

k=1 j=N+1 k=1 j=N+1 j=N+1 j=N+1

те !п

j=N+1 V k=1

E 1E (a,k- a )ej

s

+ —< 2

те Ґ n Л N ( n Л

< E IE(a - a)e;) + E IE (a,k- a j )e)

j=1Vk=1 J j=1 V k=1 J

s

+ — < 2

< (1 + K)

X xk--

є

+ — <8 , 2

n те n те

I Iaj,kej * I I aj,k ej

k=1 j=N+1 k=1 j=N+1

если только

X<

j=N+1

j,k ej

X - X N = sup

Теперь рассмотрим

X X aj,ie

k=1 j=N+1

< 8 .

n n те

sup Z (Xn(k) - Xk(k) ) = sup I I aj,n(k)ej

neN k=1 пё№ k=1 j=N +1

I b

j=N

k=1 j=N+1

2 є {l, 2, n}

X Xa j,n

k=1 j=N+1

j,n(k )ej

s

k=1 j=N+1

< 8 .

Таким образом, найдется номер N такой, что їх - X= шахІІХ - XN , |х - X^ }<£ , что и требо-

I I Ч ІС I \п'

валось.п

Теорема. Пусть даны перестановки п и 8, причем 8 є т -л в И при некотором целом т. Пусть Е - банахово пространство с базисом Шаудера. Тогда 8 є т - л в Е.

Доказательство. Рассмотрим последовательность линейных операторов 8п : 5С п (Е) ^ Е , которые дейст-

вуют по правилу 8n (X) = ^;

'5 (k) .

Каждый из этих

если n больше некоторого щ. Пусть теперь n є {l, 2, n} .Имеем

є

< n — = є , n

операторов ограничен: ||Sn(X)|| < nmax||xn|| < n 2 X.

Для того чтобы эта последовательность сходилась к непрерывному линейному оператору, согласно теореме Банаха-Штейнгауза, нужно доказать ее равномерную ограниченность и сходимость на всюду плотном множестве в SCn(E) [2. С. 266]. Согласно лемме, второе условие выполнено. Покажем равномерную ограниченность ||5„||. Согласно принципу равномерной ограниченности, достаточно показать, что при любом X е Sc„ (E) sup8„ (X)|| < +да . Чтобы проверить, что

5(к) \ ограниче-

к=1 J n=1

<— при к = І, 2, ..., щ. Так как и,

здесь мы имеем дело с остатками сходящихся рядов

те

X іе , нужно лишь выбрать достаточно большой

7=1

номер N > N1. Для такого номера N получаем

Вектор у = ^ хп(к) разложим по базису: у = ^Ьу.е;. .

к=1 7=1

Найдем номер N2 такой, что при всех N > N2

< —. Аналогично предыдущему получаем

< s при N > N2, n >n2. При

нужно лишь выбрать достаточно большой номер N > N2. Для такого номера N получаем

последовательность К (X )}г = \х х

[к=1

на, применим к ней произвольный функционал / е Е*.

те

Числовой ряд X /(х5(к)) сходится, так как сходятся

к=1

те те

ряды X/(хк), X/(хп(к)) и 8е т -л в И. Поэтому

к=1 к=1

Г п Iю

последовательность <{ ^ /(х5(*) Н ограничена при

I*=1 \ п=1

любом / е Е*. Следовательно, последовательность К (X )}г ограничена при любом X е (Е), т.е. операторная последовательность {5П} равномерно ограничена. Итак, существует непрерывный линейный оператор А:5Сп(Е)^-£, который является пределом последовательности {5П}. Это означает, что каждый сходящийся ряд в пространстве Е, который сходится после перестановки п (т.е. элемент X = (хк)“ е 5Сп (Е)), сходится и после перестановки 5, ведь существует

п

А(X) = Нш 8п (X) = Нш ^ хъ{к) . Как мы уже отмечали,

п^те п^те к_1 (

те

ряд ^ Х5(к) может сходиться только к вектору

к=1

те

тХ хп(к) при условии, что в исходном порядке ряд

к=1

сходился к нулю. Этот факт окончательно доказывает, что 8 е т - л в Е □

Замечание 1. Что касается сложения перестановок [3], аналогичным образом можно доказать: если 5 е п+о в И и Е - банахово пространство с базисом Шаудера, то 5 е п+о в Е. Для этого нужно рассматривать пространство £с,п,а(£) с нормой |Х|=тах {\Х\с, \Х\п, |Х|0}.

k=1

k=1

<

<

k=l

г

ТІ

e

Замечание 2. Как заметил В.М. Кадец, полученные результаты легко переносятся на произвольное банахово пространство Е.

те

Действительно, вместо ряда ^ хк , хк е Е, можно рас-

к=1

сматривать ряд из образов элементов {хк, к = 1, 2, ...}

при изоморфном вложении в пространство С [0;1] замыкания линейной оболочки векторов \хк, к = 1, 2,...}. Так как пространство С [0;1] имеет базис Шаудера, полученные результаты остаются справедливыми для ряда из образов, а значит и для исходного ряда.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лазарева Е.Г. Исследование области сумм векторного ряда посредством умножения перестановки ряда на вещественные числа // Математи-

ческие труды. 2001. Т. 4, № 1. С. 36-67.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

3. Лазарева Е.Г. Сложение перестановок ряда // Вестник Томского государственного университета: Бюл. операт. науч. информ. «Актуальные

проблемы алгебры и анализа». 2005. № 54. Декабрь. С. 61-73.

Статья поступила в редакцию журнала 13 июня 2006 г., принята к печати 20 июня 2006 г.