CC BY
10УДК 512.7
С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, Е. А. Рузанов
О многообразиях модулей M р3 (2;0,10) и M р3 (2;0,11) стабильных 2-расслоений с классами Черна c1 = 0, c2 = 10 и 11 на комплексном проективном пространстве
В данной статье мы находим число компонент Эйна в многообразиях модулей Mр3 (2;0,10) и Mр3 (2;0,11), вычисляем их размерности и устанавливаем соответствие этих компонент спектрам стабильных расслоений.
Ключевые слова: векторное расслоение, стабильное расслоение, классы Черна, многообразие модулей. S. A. Tikhomirov, A. P. Lyapin, E. A. Ruzanov
On Varities of Moduli M рЪ (2;0,10) and M рЪ (2;0,11) of Stable 2-Bundles with Chern's Classes c1 = 0, c2 = 10 and 11 on Complex Projective Space
In this article we find the number of Ein's components in varieties of moduli 3 (2;0,10) and M (2;0,11), calculate their dimensions and establish the correspondence of this components to spectra of stable bundles.
Keywords: vector bundle, stable bundle, Chern's classes, variety of moduli.
Для стабильного векторного расслоения ранга 2 на р3 с C1 = 0 и наперед заданным c2 понятие спектра в характеристике 0 было дано В. Бартом и Г. Эленцвайгом в статье [6]. В случае произвольной характеристики понятие спектра было введено Р. Хартсхорном в [8]. В дальнейшем через Хе будем обозначать спектр расслоения E. Все возможные значения для спектров расслоений и типы монад, когомологическими пучками которых они являются. Эти расслоения при 1 < c2 < 8 были перечислены Р. Хартсхорном и А. П. Рао в статье [9]. Л. Эйн в работе [7] рассмотрел специальный класс стабильных векторных расслоений ранга 2 на р3 - класс так называемых обобщенных нуль-корреляционных расслоений E2, являющихся когомологическими пучками монад типа
0 ^ Орз (-c) ^ Орз (-b) ® Орз (-a) ® Ор# (a) ® Ор# (b) ^ Ор3 (c) ^ 0, (1)
где a, b и c - целые числа, удовлетворяющие условию
c > b > a > 0. (2)
В этом случае, как нетрудно вычислить, c1 (E2)=0, c2(E2)= c2 — a2 — b2. Более того, Л. Эйн показал, что такие расслоения стабильны тогда и только тогда, когда
c > a + b, (3)
и из утверждения (a) теоремы 3.1 работы [7] следует, что пространство (многообразие) модулей
M р3 (2;0, c2 — a2 — b2) стабильных 2-расслоений с ci=0 и c2=c2-a2-b2 на р3 над комплексным полем C имеет гладкую неприводимую компоненту N (a, b, c), общая точка которой соответствует классу расслоений, являющихся когомологическими пучками монад типа (1). Такие компоненты будем называть компонентами Эйна.
Далее, В. Барт, обозначая левый крайний член монады через A, средний - через B, а правый крайний - через C соответственно, предъявил в работе [5] формулу, по которой в случае, когда A, B и C -
© Тихомиров С. А., Ляпин А. П., Рузанов Е. А., 2012
О многообразиях модулей М р3 (2;0,10) и Мр3(2;0,11) стабильных 2-расслоений 13
с классами Черна С1 = 0, С2 = 10 и 11 на комплексном проективном пространстве
фиксированные прямые суммы линейных расслоений и HomO (C, B) = 0, можно вычислять раз-
p3
мерности /и множеств локально замкнутых в Mр3 (2;0, n) классов стабильных 2-расслоений на P3 с классами Черна c1 = 0 и c2 = n:
/ = dim Homo (B, C) - h0(A2C) - dim GL(C) - h0(S2B). (4)
p3
Напомним некоторые результаты, касающиеся компонент Эйна (см. также [10]).
1. В пространствах Mр3 (2;0,1) , Mр3 (2;0,2) и Mр3 (2;0,6) нет компонент Эйна.
2. В пространстве Mр3 (2;0,3) имеется единственная компонента Эйна: классы расслоений, обладающих спектром (-1,0,1) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-2) ^ Op3 (-1) Ф 2Op3 Ф Op3 (1) ^ Op3 (2) ^ 0, образуют компоненту Эйна размерности 21.
3. В пространстве Mp3 (2;0,4) имеется единственная компонента Эйна: классы расслоений, обладающих спектром (-1,0,0,1) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-2) ^ Ф4Op3 ^ Op3 (2) ^ 0, образуют компоненту Эйна размерности 29.
4. В пространстве Mp3 (2;0,5) имеется единственная компонента Эйна: классы расслоений, обладающих спектром (-2,-1,0,1,2) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-3) ^ Op3 (-2) Ф 2Op3 Ф Op3 (2) ^ Op3 (3) ^ 0, образуют компоненту Эйна размерности 40.
5. В пространстве Mp3 (2;0,7) имеются 2 компоненты Эйна: компонента размерности 55, содержащая классы расслоений, обладающих спектром (-2,-1,-1,0,1,1,2) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-3) ^ 2Op3(-1) Ф 2Op3 (1) ^ Op3 (3) ^ 0, и компонента размерности 65, содержащая
классы расслоений, имеющих спектр (-3,-2,-1,0,1,2,3) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-4) ^ Op3 (-3) Ф 2Op3 Ф Op3 (3) ^ Op3 (4) ^ 0.
6. В пространстве Mp3 (2;0,8) имеется единственная компонента Эйна размерности 62, содержащая классы расслоений, обладающих спектром (-2,-1,-1,0,0,1,1,2) и задаваемых монадой типа 0 ^ OP3 (-3) ^ OP3 (-1) Ф 2OP3 Ф OP3 (1) ^ OP3 (3) ^ 0.
7. В пространстве Mp3 (2;0,9) имеются 2 компоненты Эйна: компонента размерности 69, содержащая классы расслоений, обладающих спектром (-2,-1,-1,0,0,0,1,1,2) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-3) ^ 4Op3 ^ Op3 (3) ^ 0, и компонента размерности 96, содержащая классы расслоений, имеющих спектр (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-5) ^ Op3 (-4) Ф 2Op3 Ф Op3 (4) ^ Op3 (5) ^ 0 0 ^ Op3 (-3) ^ 4Op3 ^ Op3 (3) ^ 0.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема. В пространстве Mp3(2;0,10) нет компонент Эйна. В пространстве Mp3(2;0,11) имеются 2 компоненты Эйна: компонента размерности 98, содержащая классы расслоений, обладающих спектром (-3,-2-2,-1,-1,0,1,1,2,2,3) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-4) ^ Op3 (-2) Ф Op3 (-1) Ф Op3 (1) Ф Op3 (2) ^ Op3 (4) ^ 0, и компонента размерности
133, содержащая классы расслоений, имеющих спектр (-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5) и задаваемых монадой типа 0 ^ Op3 (-6) ^ Op3 (-5) Ф 2Op3 Ф Op3 (5) ^ Op3 (6) ^ 0.
Доказательство. В силу условий (2) и (3) имеем: b=a+r, c=2a+r+1+q, где r,q > 0, тогда с2(Е2)=(2а+г+1+д)2 - (a+r)2 - a2 =(2a+r)2 +(1+q)2+2(2a+r)(1+q)-2a2 -2ar-r2=4a2+4ar+r2+1+2q+q2+4a+4aq+2r+2rq-2a2-2ar-r2=2a2+2ar+4a+4aq+2r+2rq+ 1+2q+q2, и поскольку a, r и q - неотрицательные целые числа, а само выражение представляет собой сумму единицы и произве-
дений этих трех переменных в неотрицательных степенях, то мы получаем возрастающую функцию от трех переменных, принимающую натуральные значения при подстановке конкретных значений а,г и д (фиксируя любые две из трех переменных, легко проверяем, что получается возрастающая функция от оставшейся переменной). Анализируя данную функцию, мы элементарными вычислениями получаем: при а > 2 с2(Е2) > 17, что нас не устраивает; при а=0, г=5, д=0 (тем самым, Ь=5 и с=6) с2(Е2)=11; при а=1, г=1, д=0 (тем самым, Ь=2 и с=4) с2(Е2)=11 и других подходящих троек нет. Таким образом, в пространстве М р3 (2;0,10) нет компонент Эйна, а в пространстве М р3 (2;0,11) имеются в точности 2 компоненты Эйна. Установим соответствие этих компонент спектрам стабильных 2-расслоений на Р3 с с1=0 и с2=11 и найдем их размерности.
В работе [4] было указано точное количество реализуемых спектров стабильных расслоений ранга 2 на Р3 с классами Черна С1 = 0 и 1 < с2 < 19. В частности, было показано, что для с2=11 имеется 19 реализуемых спектров. Перечислим эти спектры:
1. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0); 2. (-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1); 3. (-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1); 4. (-2,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,2); 5. (-1,-1,-1,0,0,0,0,0,1,1,1); 6. (-2,-1,-1,0,0,0,0,0,1,1,2); 7. (-3,-2,-1,0,0,0,0,0,1,2,3); 8. (-1,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1); 9. (-2,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2); 10. (-2,-2,-1,-1,0,0,0,1,1,2,2); 11. (-3,-2,-1,-1,0,0,0,1,1,2,3); 12. (-4,-3,-2,-1,0,0,0,1,2,3,4); 13. (-1,-1,-1,-1,-1,0,1,1,1,1,1); 14. (-2,-1,-1,-1,-1,0,1,1,1,1,2); 15. (-2,-2,-1,-1,-1,0,1,1,1,2,2); 16. (-3,-2,-1,-1,-1,0,1,1,1,2,3); 17. (-3,-2,-2,-1,-1,0,1,1,2,2,3); 18. (-4,-3,-2,-1,-1,0,1,1,2,3,4); 19. (-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5).
I. Рассмотрим случай а=0, Ь=5, с=6. Тогда монада (1) имеет вид: 0 ^ 0р3 (-6) ^ Ор3 (-5) Ф 20р3 Ф 0р3 (5) ^ 0р3 (6) ^ 0. Соответственно, дисплей монады имеет вид: 0 0
0^ 0рЪ(-6) ^ Ь ^ Е2 ^0
|| I I
0 ^ 0р3 (-6) ^ 0р3 (-5) Ф 20р3 Ф 0р3 (5) ^ 0 ^ 0,
I I
0р3(6) = 0р3(6)
I I
0 0
где Ь и 0 - некоторые пучки. Тем самым для Е2(-1) диаграмма имеет вид:
0 0 I I
0 ^ 0р3 (-7) ^ Ь(-1) ^ Е2(-1) ^ 0
|| I I
0 ^ 0р3 (-7) ^ 0р3 (-6) Ф 20р3 (-1) Ф 0р3 (4) ^ 0(-1) ^ 0,
I I
0р3 (5) = 0р3 (5)
I I
0 0
откуда с учетом стабильности Е2 легко получаем равенство И1Е2(-1)=21. Аналогично для Е2(-2) имеем диаграмму:
0 0 I I
0 ^ 0р3 (-8) ^ Ь(-2) ^ Е2(-2) ^ 0
|| I I
О многообразиях модулей Мр3(2;0,10) и Мр3(2;0,11) стабильных 2-расслоений 15
с классами Черна С1 = 0, С2 = 10 и 11 на комплексном проективном пространстве
0 ^ OP3 (-8) ^ OP3 (-7) Ф 2OP3 (-2) Ф OP3 (3) ^ Q(-2) ^ 0,
Op3 (4)
I 0
I
Op3 (4)
I 0
откуда с учетом стабильности Е2 также легко получаем равенство h:E2(-2)= 15. Теперь рассмотрим спектр под номером 19 из вышепредставленного перечня. По технологии Барта (см. работу [5]) имеем h1E2(-1)=h0K, h1E2(-2)=h0K(-1), K= Ф Op1 (k), a числа k пробегают наш спектр. Элементарным вычислением получаем h1E2(-1)=21, h:E2(-2)=15. Тем самым в силу единственности спектра [8] получаем, что наша компонента Эйна соответствует именно спектру с порядковым номером 19. Применяя формулу Барта (4), найдем размерность ц этой компоненты:
1) dim Hom (Op3 (-5) Ф 2Op3 Ф Op3 (5), Op3 (6) )= hЮрЪ (11) + h0 2Op3 (6) + h0Op3 (1) =
=364+168+4=536; 2) dim Hom (Opi (6), Opi (6) )= h0Op, =1; 3) h0 (Л2 (Opi (6) ))=0;
4) h0(S2( Op3 (-5) Ф 2Op3 Ф Op3 (5) )) = h0(S2( Op3 (-5) Ф 2Op3)) +h0Op3(10) + h0Opi +
+ h02Op3 (5) =h0Op3(-10) + h°3Op3 + h°2Op3 (-5)+286+1+112=0+3+0+399=402.
Таким образом, ц=536-1-0-402=133.
II. Теперь рассмотрим случай a=1, b=2, c=4. Тогда монада (1) имеет вид: 0 ^ Op3 (-4) ^ Op3 (-2) Ф Op3 (-1) Ф Op3 (1) Ф Op3 (2) ^ Opi (4) ^ 0. Соответственно, дисплеи монад для E2, E2(-1) и E2(-2) имеют вид:
0 I
0
I
0 ^ Op3 (-4) ^ L ^ E2 ^ 0
|| I I
0 ^ OP3 (-4) ^ OP3 (-2) Ф OP3 (-1) Ф OP3 (1) Ф OP3 (2) ^ Q1 ^ 0,
I
Op3 (4)
I
I
Op3 (4)
I
0 I
]
I
I
E2(-1) ^ 0
0 ^ Op3 (-5) ^ Li(-1) ^
||
0 ^ Op3 (-5) ^ Op3 (-3) Ф Op3 (-2) Ф Op3 Ф Op3(1) ^ Q1 (-1) ^ 0
I
I
Op3(3)
I
I
Op3 (3)
I
0 ^ Op3 (-6) ^
||
0 I
I
L1(-2)
0 I
E2(-2) ^ 0
I
0
0
0
0
0
0 ^ Op3 (-6) ^ Op3 (-4) Ф Op3 (-3) Ф Op3 (-1) Ф Op3 ^ Qi(-2) ^ 0,
I I
Op3 (2) = Op3 (2)
I I
0 0
где L1 и Q1 - некоторые пучки. Из двух последних монад с учетом стабильности E2 также легко получаем, соответственно, равенства h1E2(-1)= 15 и h1E2(-2)=9. Рассмотрим спектр под номером 17 из вы-шепредставленного перечня. Снова по технологии Барта очевидным образом имеем h1E2(-1)=15, h1E2(-2)=9. Следовательно, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, что наша компонента Эйна соответствует в точности спектру с порядковым номером 17. Снова применяя формулу Барта (4), найдем размерность ц этой компоненты:
1) dim Hom ( Op3 (-2) Ф Op3 (-1) Ф Op3 (1) Ф Op3 (2), Op3 (4) )= h°Op3 (6) + h °Op3 (5) + + h0Op3 (3) + h0Op3 (2) =84+56+20+10=170; 2) dim Hom ( Op3 (4), Op3 (4) )= h°Op3 =1;
3) h0 (Л2 ( Op3 (4) ))=0; 4) h0(S 2( Op3 (-2) Ф Op3 (-1) Ф Op3 (1) Ф Op3 (2) )) = h0(S2 (Op3 (-2) Ф
Ф Op3 (-1) Ф Op3 (1))) + h °Opl (4) + h °Opl + h°Opl (1) + h °Op3 (3) =60+ h0 (S2 (Op3 (-2) Ф
Op3 (-1) + h 0Op3 (2) + h 0Op3 (-1) + h 0Op3 = 71 + h 0Op3 (-4) + h 0Op3 (-2) + h °Opi (-3) =71. Таким образом, ц=170-1-0-71=98. Теорема доказана.
Замечание. 1) Выше мы указали на отсутствие компонент Эйна, когда Mp3 (2;0,1) , подразумевая,
что в этом случае классы расслоений, удовлетворяющих условиям (1), (2) и (3), дают нам все Mp3 (2;0,1), но не какое-либо его собственное подмножество.
2) Как известно, в многообразии Mp3 (2;0, n) для любого натурального n всегда имеется так называемая «инстантонная» компонента «правильной» размерности 8n-3. В работах [1] и [2] показана ее неприводимость, в работе [10] - гладкость, в работе [11] - рациональность.
Библиографический список
1. Тихомиров, А. С. Модули математических инстантонных векторных расслоений с нечетным c2 на проективном пространстве [Текст] / А. С.Тихомиров // Принято к печати в «Известия РАН. Серия математическая». -
2012. - № 5. - С. 82.
2. Тихомиров, А. С. Модули математических инстантонных векторных расслоений с четным c2 на проективном пространстве [Текст] / А. С.Тихомиров // Принято к печати в «Известия РАН. Серия математическая». -
2013. - № 4. - С. 23.
3. Тихомиров, С. А. К вопросу о поиске компонент в пространствах модулей Mp3 (2;0, n) стабильных векторных расслоений ранга 2 на F3 с классами Черна С1 = 0 и c2 = n [Текст] / С. А.Тихомиров // Математика, информатика, физика, астрономия и экономика (материалы международной конференции «Чтения Ушинско-го»). - Ярославль : ЯГПУ, 2008. - С. 7-9.
4. Тихомиров, С. А., Смирнова, А. А. Спектры стабильных расслоений ранга 2 на P3 с классами Черна
С1 = 0 и 1 < С2 < 19 [Текст] / С. А.Тихомиров, А. А.Смирнова // Ярославский педагогический вестник. Серия «Физико-математические и естественные науки». - 2010. - № 2. - С. 5-7.
5. Barth W. Some experimental data. In: les equations de Yang-Mills. A.Douady, J.-L.Verdier, eds, seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.
6. Barth W., Elencwajg G. Concernant la cohomologie des fibres algebriques sur pn // Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.
7. Ein L. Generalized null correlation bundles // Nagoya Math. J., 111 (1988), 13-24.
8. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254 (1980), 121-176.
О многообразиях модулей Mp3(2;0,10) и Mp3(2;0,11) стабильных 2-расслоений 17
с классами Черна С1 = 0, С2 = 10 и 11 на комплексном проективном пространстве
9. Hartshorne R., Rao A. P. Spectra and monads of stable bundles // J. Math. Kyoto Univ., 31, № 3 (1991), 789806.
10. Jardim M., Verbitsky M. Trihyperkahler reduction and instanton bundles on CP3 // arXiv: 1103.4431, 40 p.
11. Markushevich D., Tikhomirov A.S. Rationality of instanton moduli // arXiv:1012.4132, 18 p.
