О размерностях семейств стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P3 с классами Черна C1 = 0 и C2 = n ≥ 7, имеющих спектр (-1,0N2,1)

Тихомиров Сергей Александрович

МАТЕМАТИКА

УДК 512.7

С.А. Тихомиров

О размерностях семейств стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P3 с классами Черна c1 = 0 и c2 = n > 7, имеющих спектр (-1,0n 2,1)

В данной статье мы приводим доказательство одного результата для специальных классов стабильных расслоений ранга 2 на P 3 .

Ключевые слова: векторное расслоение, стабильное расслоение, классы Черна, монада.

S.A. Tikhomirov

On Dimensions of Families of Rank-2 Stable Vector Bundles on P3 with Chern Classes Ci = 0 and C2 = n > 7 Having a Spectrum (-1,0 n-2,1)

In this article we give the proof of one result for special classes of rank-2 stable bundles on P3 . Key words: vector bundle, stable bundle, Chern classes, monad.

В работе доказывается общий результат, касающийся специальных классов расслоений Е2 второго ранга на трехмерном проективном пространстве, имеющих нулевой первый класс Черна, второй класс п > 7, а также имеющих спектр (-1,0 п ,1), где символом 0 п обозначается набор нулей в количестве п — 2 штук.

Как показано в статьях [1], [2] и [5], указанные расслоения могут являться когомологическими пучками монад двух или более видов, поэтому нас будут интересовать расслоения, соответствующие монадам вида

0 ^ (п — 4)Орз (—1) Ф Орз (—2) ^ (2п — 4)Орз ^ ^ Ор#(2) Ф (п — 4)Орз(1) ^ 0(*)

Действительно, монада (*) задает на р 3 расслоение ранга 2п — 4 — (п — 4 +1) — (п — 4 +1) =

= 2 и многочленом Черна

_1_

(1 — 21 )(1 + 21 )(1 — I )п—4(1 +1 )п—4 1

(1 - 4t 2)(1 -12)n

= (1 + 4t2)

(1 + +t 2)n-4 = (1 + 4t 2)(1 + (n - 4)t2) = 1 + nt2

Члены степени > 4 мы везде опускаем в силу их очевидного зануления по свойствам классов Черна. Поскольку определение спектра в работе [з] вводилось для стабильных расслоений, то нам остается проверить, что монада (*) задает расслоение со спектром х = (-1,0п—2,1). Основной смысл спектра х заключается, согласно [3], в соблюдении равенств

Н ЧЕ2(—1 — /) = Н 0(К(—/)), V/ > 0, где

K = 0 k^zOpi(k).

В

нашем случае

K = O, (-1) 0 (n - 2)Op1 0 Opl (1) , тем самым

H и( K) = n, H 0( K (-1)) = 1,

H0 (K(-2 - j) = 0, V/ > 0. Следовательно, нам необходимо убедиться в справедливости соотношений H *(E2(-1)) = n,

н 1( E 2 (-2 -

Н \ Е2(— 2)) = 1,

— У)) = 0 , V/ > 0, исходя из монады (*). Дисплей монады (*) имеет вид (см., например,

[4]):

О размерностях семейств стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве р3 с классами Черна с = 0 и С2 = п > 7, имеющих спектр (—1,0п—2,1)

0

0 ^ (n - 4)О,(-1) е OP3 (-2) ^ K

=I

0 ^ (n - 4)Ор (-1) е OP3 (-2) ^ (2n - 4)OP

I

I I I

E 2 ^ 0

Q ^ 0

(n - 4)OP3 (1) е OP2 (2) =(n - 4)OP3 (1) е OP2 (2).

I I

0 0

Доказательство. При подсчете размерностей U таких семейств справедлива известная формула Барта, предъявленная в статье [2]:

U = dimHomo (B, C) - h0(A2C) -

p3

dim GL(C) - h 0(S2 B), где B - средний член, а C - правый член монады. Вычислим отдельно каждое слагаемое.

Тензорно умножая его подходящим образом, легко получаем требуемое.

Имеет место следующая

Теорема. Семейства стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P3 с классами Черна cl = 0 и с2 = п > 7, имеющие

спектр (-1,0п-2,1)и являющиеся когомологическими пучками монад (*), имеют «правильную» размерность 8п-3 и могут, тем самым, образовывать компоненты в соответствующих пространствах модулей.

1)

Homop3 ((2п - 4)Ор, ОрЪ (2) © (п - 4)Ор3 (1)) = h0 ((2п - 4)Ор# (2) © (2п - 4)(п - 4)Ор3 (1)) = (2п - 4)10 + (2п - 4)(п - 4)4 = 20п - 40 + 8п2 - 32п - 16п + 64 = 8п2 - 28п + 24;

V 2 У

Орз (2) е (n - 4)Ор# (3)) = 5(n - 5)(n - 4) +

+ 20(n - 4) = 5n2 - 45n +100 + 20n - 80 = 5n2 - 25n + 20;

3) g = dim GL(C) = dim НаШо?3 (Ор (2) е (n - 4)Ор (1), ОрЪ (2) е (n - 4)Ор (1)) = h0 (Ор# е е (n - 4)OP3 (-1) е (n - 4)OP3 (1) + (n - 4)2 OP3) = 1 + 4(n - 4) + (n - 4)2 = 1 + 4n -16 + n2 - 8n +

+16 = n - 4n +1;

4) s= h 0( S 2((2n - 4)Ор #)) = h 0(

(2n - 3^ 2

Ор3) =

(2n - 3)(2n - 4) 2

= (2n - 3)(n - 2) = 2n2 - 7n + 6.

Таким образом, размерности наших семейств равны ¡ = И -Х- g - 5 = 8п2 - 28п + 24 -- (5п2 - 25п + 20) - (п2 - 4п +1) - (2п2 - 7п + 6) = 8п - 3. Теорема доказана.

О размерностях семейств стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве р3 с классами Черна с = 0 и С2 = п > 7, имеющих спектр (-1,0п-2,1)

0

Библиографический список

1. Hartshorne R., Rao A.P. Spectra and monads of stable bundles, J. Math. Kyoto Univ., 31, № 3 (1991), 789-806.

2. Barth W. Some experimental data. In: les equations de Yang-Mills. A.Douady, J.-L.Verdier, eds, seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.

3. Barth W., Elencwajg G. Concernant la cohomologie des fibres algebriques sur Pn, Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.

4. Оконек, К., Шнайдер, М., Шпиндлер, Х. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах [Текст].- , М.:Мир,1984.

5. Тихомиров, С. А. Метод двойных расширений в

исследовании стабильных расслоений на Р3 [Текст] // Труды шестых Колмогоровских чтений, - Ярославль: ЯГПУ, 2008.- С. 174-183.

О размерностях семейств стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве р з с классами Черна С1 = 0 и С2 = п > 7, имеющих спектр (- 1,0п 2,1)

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тихомиров Сергей Александрович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тихомиров Сергей Александрович

On Dimensions of Families of Rank-2 Stable Vector Bundles on P3 with Chern Classes C1= 0 and C2= n ≥ 7 Having a Spectrum (-1,