CC BY
6УДК 512.7
С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, О. А. Войлокова
Инварианты стабильных 2-расслоений на комплексном проективном пространстве и адаптация вычислительной технологии Барта
В данной статье мы вычисляем инварианты некоторых стабильных 2-расслоений на P3 и адаптируем известную вычислительную технологию Барта поиска соответствия расслоений спектрам на случай обобщенных нуль-корреляционных расслоений.
Ключевые слова: векторное расслоение, стабильное расслоение, классы Черна, спектр расслоения. S. A. Tikhomirov, A. P. Lyapin, O. A. Voylokova
Invariants of Stable 2-Bundles on Complex Projective Space and Adaptation of Bart's Computing
Technology
In this article we calculate invariants of some stable 2-bundles on P3 and adapt Bart's known computing technology of search of compliance of bundles to spectra on a case of generalized null correlation bundles.
Keywords: a vector bundle, a stable bundle, Chern's classes, spectrum of bundle.
Хорошо известно, что непостоянная функция, голоморфная на комплексной плоскости, неограни-чена. Другими словами, в некоторых случаях по локальным свойствам функций (например, голоморфности) можно судить о ее глобальных свойствах. Взаимосвязь локальных и глобальных свойств позволяет исследовать явление в целом, начиная с его локальных, обычно проще контролируемых свойств.
Необходимый для этого математический аппарат был создан в середине прошлого века. Он основан на теории пучков. Пучки, разновидности пучков - расслоения и их инварианты - составляют в наше время основу геометрической науки. Свойства пучков автоматизируют свойства тензорных полей на многообразиях. Пучкам отвечают коммутативные группы, называемые группами когомологий со значениями в пучке, и специальные элементы групп когомологий со значениями в постоянном пучке, называемые классами Черна. Группы когомологий и классы Черна определяют важнейшие фундаментальные свойства пучков. Эти понятия являются основным языком всех разделов современной геометрии.
Настоящая работа посвящена вычислению важных инвариантов - размерностей некоторых групп когомологий для стабильных расслоений s2 ранга 2 с нулевым первым классом Черна и вторым классом от 1 до 8 включительно на трехмерном проективном пространстве. Кроме того, мы адаптируем технологию Барта поиска соответствия расслоений спектрам посредством вычисления инвариантов -групп когомологий на случай обобщенных нуль-корреляционных расслоений. Для решения поставленных задач активно задействуется спектральный анализ расслоений (пучков, предпучков), высокая эффективность работы которого в различных аспектах была неоднократно показана ранее (см., например, [6] и [1]). Все конструкции рассматриваются над полем комплексных чисел С.
Пусть s2 - стабильное векторное расслоение ранга 2 на P3 с c1=0 и заданным c2 над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики. Тогда расслоению s2 можно сопоставить его спектр.
Барт и Эленцвайг в статье [3] под спектром s2 в характеристике 0 понимали определенную последовательность чисел в количестве c2 штук. ПустьX ={k1, k2,...,kC2}, kjeZ - спектр s2. Тогда X и s2 удовлетворяют:
(51) симметричность {-k1}={k1}.
(52) связность: для любых двух чисел в X , каждое число, лежащее между ними, также лежит в X .
© Тихомиров С. А., Ляпин А. П., Войлокова О. А., 2013
(83) если число 10 такое, что 1 —10 — шах^}, появляется только один раз в X , то каждое число 1 такое, что 10 — 1— шах^}, появляется только один раз в X .
Определение спектра, не зависящее от характеристики, а также свойства спектра (81)-(83), указанные выше, были даны и доказаны Хартсхорном в статье [7].
Эйлерова характеристика х (в2) названных выше расслоений равна 2-2п, где п=с2(в2) - второй класс Черна расслоения (см, например, [7]). С другой стороны, по двойственности Серра (см., например, [2]) с учетом симплектичности е2, то есть наличия изоморфизма в2 ~ в 2 и равенств И(£2)=к3~1(£2(-4)), 0 — \— 3, получаем:
Ь2(В2) = Ь1(В2(-4)), Ь3(В2) = Ь0(В2(-4)). (*)
В силу (*) имеем 2-2п= х (в2)= И0^ - Ь^) + Ь2^ - Ь3(е2)=Ь0(е2) - Ь^) + ^^(-4)) - ^(-4)) =0 -Ь1(в2) + И1(е2(-4)) - 0= - И1(в2) + И1(е2(-4)). Здесь первое и четвертое слагаемые, очевидно, зануляются в силу стабильности в2.
Теперь, пользуясь последней формулой и данными табл. 1 из статьи Барта [4], находим интере-
сующие нас инварианты:
1. п=1; спектр 0; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-1= =0 - И1(в2 + 0 - 0, отсюда И1 e2)=0.
2. п=2; спектр 00; h°(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-2= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 e2)=2. h:(E2(-4))=0; h0(E2
3. п=3; спектр 000; h0(E2)=0; -4))=0;
тогда 2-2-3= =0 - И1(в2 + 0 - 0, отсюда И1 e2)=4.
4. п=3; спектр -101; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-3= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=4. h:(E2(-4))=0; h0(E2
5. п=4; спектр 0000; h0(E2)=0; -4))=0;
тогда 2-2-4= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=6.
6. п=4; спектр -1001; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-4= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=6.
7. п=5; спектр 00000; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-5= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=8.
8. п=5; спектр -10001; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-5= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=8.
9. п=5; спектр -1-1011; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-5= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=8.
10. п=5; спектр -2-1012; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-5= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=8.
11. п=6; спектр 000000; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-6= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=10.
12. п=6; спектр -100001; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-6= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=10.
13. п=6; спектр -1-10011; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-6= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=10. h:(E2(-4))=0; h0(E2
14. п=6; спектр -2-10012; h0(E2)=0; -4))=0;
тогда 2-2-6= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=10.
15. п=7; спектр 0000000; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-7= =0 - И1(В2 + 0 - 0, отсюда И1 E2)=12; h0(E2
16. n=7; спектр -1000001; h0(E2)=0; hJ(E2(-4))=0; -4))=0;
тогда 2-2-7= =0 - h'(E2 + 0 - 0, отсюда h E2)=12.
17. n=7; спектр -1-100011; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-7= =0 - h!(E2 + 0 - 0, отсюда h1 E2)=12. h0(E2
18. n=7; спектр -1-1-10111; h0(E2)=0; hJ(E2(-4))=0; -4))=0;
тогда 2-2-7= =0 - h'(E2 + 0 - 0, отсюда h1 E2)=12.
19. n=7; спектр -2-100012; h0(E2)=0; h:(E2(-4))=0; h0(E2 -4))=0;
тогда 2-2-7 =0 - Ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =12.
20. п=7; спектр -2-1-10112; h0(s2)=0; h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2-7 =0 - ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =12.
21. п=7; спектр -2-2-10122; h0(s2)=0; h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2-7 =0 - Ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =12.
22. п=7; спектр -3-2-10123; h0(s2)=0; h:(s2(-4))=1; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2-7 =0 - Ь1(82) + 1 - 0, отсюда Ь (s2) =13.
23. п=8; спектр 00000000; h0(s2)=0; h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2- 8 =0 - Ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =14. h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
24. п=8; спектр -10000001; h0(s2)=0;
тогда 2-2- 8 =0 - ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =14.
25. п=8; спектр -1-1000011; h0(s2)=0; h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2- 8 =0 - Ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =14. h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
26. п=8; спектр -1-1-100111; h0(s2)=0;
тогда 2-2- 8 =0 - ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =14.
27. п=8; спектр -2-1000012; h0(s2)=0; h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2- 8 =0 - Ь1(82) + 0 - 0, отсюда Ь (s2) =14. h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
28. п=8; спектр -2-1-100112; h0(s2)=0;
тогда 2-2- 8 =0 - h'(s2) + 0 - 0, отсюда h (s2) =14.
29. п=8; спектр - -2-2-100122; h°(s2)=0; h1(s2(-4))=0; h0(s2(-4))=0;
тогда 2-2- 8 =0 - h^(s2) + 0 - 0, отсюда h (s2) =14. h1(s2(-4))=1; h0(s2(-4))=0;
30. п=8; спектр -3-2-100123; h0(s2)=0;
тогда 2-2- 8 =0 - h1(s2) + 1 - 0, отсюда h1 (s2) =15.
Результаты наших вычислений мы представляем в следующей табл.:
С2 Спектры h0(E;) h'W h2(£2) h3(£2>
1 0 0 0 0 0
2 00 0 2 0 0
3 000 0 4 0 0
-101 0 4 0 0
4 0000 0 6 0 0
-1001 0 6 0 0
00000 0 8 0 0
5 -10001 0 8 0 0
-1-1011 0 8 0 0
-2-1012 0 8 0 0
000000 0 10 0 0
6 -100001 0 10 0 0
-1-10011 0 10 0 0
-2-10012 0 10 0 0
0000000 0 12 0 0
-1000001 0 12 0 0
-1-100011 0 12 0 0
7 -1-1-10111 0 12 0 0
-2-100012 0 12 0 0
-2-1-10112 0 12 0 0
-2-2-10122 0 12 0 0
-3-2-10123 0 13 1 0
8 00000000 0 14 0 0
-10000001 0 14 0 0
-1-1000011 0 14 0 0
-1-1-100111 0 14 0 0
-2-1000012 0 14 0 0
-2-1-100112 0 14 0 0
-2-2-100122 0 14 0 0
-3-2-100123 0 15 1 0
Полученные экспериментальные данные имеют ценность, поскольку существенно помогают в изучении пространств модулей Мр3 (2;0,п) стабильных 2-расслоений на Р3 с с1=0 и с2=п для высоких значений с2. О данных пространствах модулей в настоящее время мало что известно.
Адаптация технологии Барта на случай обобщенных нуль-корреляционных расслоений
Данный раздел посвящен адаптации технологии Барта поиска соответствия расслоений спектрам посредством вычисления инвариантов - групп когомологий на случай обобщенных нуль-корреляционных расслоений.
Л. Эйн в работе [5] рассмотрел специальный класс стабильных векторных расслоений ранга 2 на
р - класс так называемых обобщенных нуль-корреляционных расслоений в2, являющихся когомологическими пучками монад типа
0 ^ Ор3 (-с) ^ Ор3 (—Ъ) 0 Ор3 (-а) 0 Ор# (а) 0 Ор# (Ъ) ^ ОрЪ (с) ^ 0, (1)
а Ъ
где и с - целые числа, удовлетворяющие условию
с>Ъ > а > 0. (2)
В этом случае, как нетрудно вычислить, с1 (в 2)=0, с2 (в 2)= с2 — а2 — Ь2. Более того, Л. Эйн показал, что такие расслоения стабильны тогда и только тогда, когда
с> а + Ъ, (3)
и из утверждения (а) теоремы 3.1 работы [5] следует, что пространство (многообразие) модулей
Мр 3 (2;0, с2 — а2 — Ъ2) имеет неприводимую компоненту ^Ъ с), общая точка которой соответствует классу расслоений, являющихся когомологическими пучками монад типа (1).
С другой стороны, В. Барт в статье [4] предложил технологию поиска соответствия расслоений спектрам посредством вычисления инвариантов - групп когомологий. А именно, как показал Барт,
Ь1В2(-1)=Ь0К, Ь1В2(-2)=Ь0К(-1), К= 0 Ор1 {к), (4)
где числа к пробегают спектр расслоения в2.
Если расслоение в2 удовлетворяет условиям (1), (2) и (3), то дисплей его монады имеет вид:
0 0 I I
0 ^ Ор3 (—с) ^ Ь ^ В2 ^ 0
|| ^ ^
0 ^ Ор3 (—с) ^ Ор3 (—Ъ) 0 Ор3 (—а) 0 Ор3 (а) 0 Ор3 (Ъ) ^ 0 ^ 0,
I I
Ор 3 (с) = Ор 3 (с)
I I
0 0 где Ь и 0 - некоторые пучки. Тем самым, для в2(-1) диаграмма имеет вид:
0 0
I I
0 ^ Ор3(-с -1) ^
L(-1)
i
i
Е2(-1) ^ 0
0 ^ Ор3(-с -1) ^ Op,(-b -1) 0 Орз(-а -1) 0 Орз(а -1) 0 Opi(b -1) ^ Q(-1) ^ 0
i
Орз(с -1)
i
0
i
Орз(с -1)
i 0
откуда с учетом стабильности е2 и (4) легко получаем равенство
h0(K)=
Аналогично, для 82(-2) имеем: 0 ^ ОрЗ (-с - 2) ^
j^.h0Орз(с-1) h0Орз(Ь-1) h°ОрЪ(а-1)
(5)
i
i
L(-2)
i
Е2(-2) ^ 0
i
0 ^ Орз(-с - 2) ^ Орз(-Ь - 2) 0 Орз(-а - 2) 0 Орз(а - 2) 0 ОрЪ(Ь - 2) ^ Q(-2) ^ 0
i
Орз(с - 2)
i
0
i
Орз(с - 2)
i 0
откуда с учетом стабильности е2 и (*) также легко получаем равенство h0K(-1)= h0Op3 (c - 2)- к°ОрЪ (b - 2)- h0Op3 (a - 2). (6) Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема. Обобщенные нуль-корреляционные расслоения е2, удовлетворяющие условиям (1), (2) и (3), соответствуют спектрам, для которых выполняются равенства (5) и (6).
Библиографический список
1. Тихомиров, С. А. О многообразиях модулей Mp 3(2;0,10) и Mp3 (2;0,11) стабильных 2-расслоений с
классами Черна C1 = 0, c2 = 10 и 11 на комплексном проективном пространстве [Текст] / С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, Е. А. Рузанов // Ярославский педагогический вестник. - 2012. - № 4. - Т. III (Естественные науки). - С. 13-18.
2. Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия [Текст] / Р. Хартсхорн. - М. : Мир, 1981. - 597 с.
Pn (C )
3. Barth W., Elencwajg G. Concernant la cohomologie des fibres algebriques stables sur v ' // Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.
4. Barth W. Some experimental data // Les equations de Yang-Mills. A.Douady, J.-L.Verdier, eds, seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.
5. Ein L. Generalized null correlation bundles // Nagoya Math. J., 111 (1988), 13-24.
6. Smirnov E. Hausdorff Spectra in Functional Analysis. - Springer, 2002, 209 p.
7. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254 (1980), 121-176.
Bibliograficheskij spisok
1. Tikhomirov, S. A. O mnogoobraziyakh moduley i stabil'nykh 2-rassloyeniy s klassami Cherna C1 = 0, c2 = 10 i 11 na kompleksnom proyektivnom prostranstve [Tekst] / S. A. Tikhomirov, A. P. Lyapin, Ye. A. Ruzanov // Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik. - 2012. - № 4. - T. III (Yestestvennyye nauki). - S. 13-18.
2. Khartskhorn, R. Algebraicheskaya geometriya [Tekst] / R. Khartskhorn. - M. : Mir, 1981. - 597 s.
3. Barth W., Elencwajg G. Concernant la cohomologie des fibres algebriques stables sur // Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.
0
0
4. Barth W. Some experimental data // Les equations de Yang-Mills. A.Douady, J.-L.Verdier, eds, seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.
5. Ein L. Generalized null correlation bundles // Nagoya Math. J., 111 (1988), 13-24. 6. Smirnov E. Hausdorff Spectra in Functional Analysis. - Springer, 2002, 209 p. 7. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254 (1980), 121-176.
