MS С 32С99
О СТАБИЛЬНЫХ 2-РАССЛОЕНИЯХ С КЛАССАМИ ЧЕРНА ci = 0, С2 = 12 И С2 = 13 НА КОМПЛЕКСНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
*С.А. Тихомиров, **А.П. Ляпин
*Ярославск1/1Й государственный педагогический университет им. К.Д.Ушинского, ул. Республиканская, 108, Ярославль, 150 000, Россия, e-mail: satikhomirov@mail.ru **Сибирский федеральный университет, пр. Свободный, 79/10, Красноярск, 660 041, Россия, e-mail: lyapiriap@yaridex.ru
Аннотация. Находится число компонент Эйна в мнох'ообразиях модулей стабильных 2-расслоений с классами Черна ci = 0 С2 = 12 и 13, вычисляются их размерности и устанавливается соответствие этих компонент спектрам стабильных 2-расслоений.
Ключевые слова: векторное расслоение, классы Черна, мжнхюбразие модулей.
1. Введение. В статье |1| Хартсхорпом был опубликован перечень приоритетных проблем, связанных с векторными расслоениями па комплексных проективных пространствах. В частности, проблема 7 из данного перечня — изучение многообразий модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 (называемых иногда для краткости «2-раселоепиями») па комплексном проективном пространстве, в паши дни остается далекой от полного решения.
Всевозможные вопросы, относящиеся к поиску компонент в таких многообразиях моду ней, а также установлению различных качественных и количественных характеристик этих компонент являются одними из самых главных в исследовании указанных многообразий.
Настоящая работа посвящена нахождению точного числа компонент Эйна в многообразиях модулей MPз(2; 0,12) и MPз(2; 0,13) стабильных 2-расслоений с классами Черна c1 = 0 c2 = 12 и c2 = 13 на P3 над полем комплексных чисел C, вычислению их размерностей и установлению соответствия этих компонент конкретным спектрам 2
например, |2|,
2. Компоненты Эйна в многообразиях MPз(2; 0,12) и MPз(2; 0,13)
и их характеристики.
Работа выполнена в рамках проекта Минобрнауки РФ на 2014-2016 гг. (госзадание научная лаборатория ЯГПУ «Векторные расслоения на алгебраических многообразиях» (первый автор) и поддержана грантом РФФИ №14-01-00283-а (второй автор)
Напомним некоторые основные определения. Пусть £2 — стабильное расслоение ранга 2 с классом Черна ci = 0 на P3, l - общая прямая в P3, а := : P3 ^ P3 - раздутие вдоль l и п : P3 ^ P1 - морфизм, определенный пучком плоскостей, проходящих через l. Тогда расслоение V := Л1п*а*£2(-1) есть расслоение ранга n на P1, По теореме Гротепдика (см., например, |3|) такое расслоение единственным образом расщепляется
n
в прямую сумму линейных: V = ф OPi (a¿), оде a1 < a2 < ... < an, Тогда спектр
i=1
Spec(£2) := {a1,... ,an}.
Понятие спектра в случае произвольной характеристики было введено Хартсхорпом
в 14
В реальности спектр такого расслоения представляет собой неубывающую последовательность п целых чисел, обладающую рядом важных свойств (|4|, |5|), А именно, пусть Spec(£2) := {a1; a2,..., an}, a¿ G Z, _ спектр E2, Тогда Spec(£2) удовлетворяет свойствам:
(1) симметричность {—a¿} = {a¿},
(2) связность: для любых двух чисел в Spec(£2), каждое число, лежащее между ними, также лежит в Spec(£2),
(3) если число lo, такое, что l < l0 < max{a¿} появляется только один раз в Spec(£2), то каждое число l, такое, что l < l0 < max{a¿} появляется только один раз в Spec(£2),
Согласно результату Хартсхорна и Рао [5] для 2-расслоений с 1 = 0 и 1 < c2 < 19 все спектры, удовлетворяющие свойствам (1)-(3) выше, являются реализуемыми, то есть в действительности существуют расслоения, имеющие такой спектр.
В свою очередь Л. Эйп |6| рассмотрел специальный класс стабильных векторных 2 P3
расслоений £2, являющихся когомологическими пучками монад вида
0 ^ OP3 (-c) ^ OP3 (-b) 0 OP3(-a) 0 OP3(a) 0 OP3(b) ^ OP3 (c) ^ 0, (1)
где c>b > a > 0. В этом случае, как нетрудно в ычислить, c1(£2) = 0, c2(£2) = c2-a2 — b2. Более того, Л. Эйп показал, что такие расслоения стабильны тогда и только тогда, когда c > a + b, и что пространство модулей MP3 (2; 0, c2 - a2 - b2) имеет неприводимую компоненту N(a,b, c), общая точка которой соответствует классу расслоений, являющихся когомологическими пучками монад из (1). Такие компоненты и будем называть компонентами Эйп,а. Всесостороннее изучение расслоений, составляющих компоненты Эйна, uo-прежпему сохраняет свою важность в связи с многочисленными применениями (данные расслоения иногда называются «обобщенными инстантонами» - см., например, |7|), Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема. 1. В пространстве MP3 (2; 0,12) имеется единственная компонента Эйна: компонента размерности 104, содержащая плотное открытое подмножество классов расслоений, имеющих спектр (-3, -2-2, -1, -1, 0, 0,1,1, 2, 2, 3) и задаваемых монадой типа 0 ^ OP3(-4) ^ OP3(-2) 0 2OP3 0 OP3(2) ^ OP3(4) ^ 0.
2. В пространстве MP3 (2; 0,13) имеется единственная компонента Эйна: компонента
размерности 176, содержащая классы расслоений, имеющих спектр
(-6, -5, -4,-3,-2, -1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6)
и задаваемых монадой типа 0 — 0Рз (-7) — 0Рз(-6) ф 20Рз ф 0Рз(6) — 0Рз(7) — 0.
□ Положим r = b - a, q = c - 2a - r - 1. Здесь r, q > 0 в силу неравенств из (1). Тогда С2(E2) = (2a + r + 1 + q)2 - (a + r)2 - a2 = (2a + r)2 + (1 + q)2 + 2(2a + r)(1 + q) -2a2 - 2ar - r2 = 4a2 + 4ar + r2 + 1 + 2q + q2 + 4a + 4aq + 2r + 2rq - 2a2 - 2ar - r2 = 2a2 + 2ar + 4a + 4aq + 2r + 2rq + 1 + 2q + q2.
Поскольку a, r и q - неотрицательные целые числа, a c2(E2) представляет собой сумму единицы и произведений этих трех переменных в неотрицательных степенях, то, фиксируя любые две из трех переменных a, r и q, легко проверяем, что c2(E2) становится тогда возрастающей функцией от оставшегося переменного. Анализируя данную функцию, мы элементарными вычислениями получаем, что равенство c2(E2) = 12 a = 0 r = 2 q = 1 b = 2 c = 4
равенство c2(E2) = 13 возможно лишь при a = 0 r = 6, q = 0. Тем самым, b = 6 и c =7. Разберем теперь подробно два этих случая.
c2 = 12 20
1) Spec E2
2) Spec E2
3) Spec E2
4) Spec E2
5) Spec E2
6) Spec E2
7) Spec E2
8) Spec E2
9) Spec E2 10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1);
Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2 Spec E2
-1,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, -2,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 0,1, -1, 0, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 0, 1 -1, 0, 0,1, -1, 0, 0,1, -1, 0, 0,1,
-1,-1,-1 -2,-1,-1 -3, -2, -1 -1,-1,-1 -2,-1,-1 -2, -2,-1, --3, -2,-1, --4, -3, -2, --1,-1,-1, --2,-1,-1, -
-2, -2,-1, --3, -2,-1, --3, -2, -2, --4, -3, -2, --5, -4, -3, -2 -2, -2, -2,-1
-1, 0, 0,1
-1, 0, 0,1
-1, 0, 0,1
-1, 0, 0,1
-1, 0, 0,1
1) 2) 1,1) 1, 2) 2, 3) 1,1,1); 1,1, 2); , 1, 2, 2) , 1, 2, 3) , 2, 3, 4) . 1,1,1,1 . 1,1,1, 2 . 1,1, 2, 2 , 1,1, 2, 3 1, 2, 2, 3
1, 2, 3, 4
2, 3, 4, 5 1, 2, 2, 2
В этом случае монада (1) имеет вид:
0 — 0Рз (-4) — 0Рз(-2) ф 20Рз ф 0Рз(2) — 0Рз(4) — 0 .
(2)
Согласно теореме статьи |8|
h1E2(-1) = 16 и h1E2(-2) = 9. (3)
Теперь рассмотрим спектр под номером 17 из указанного списка. Следуя технике Барта (см. работу |9|), имеем
h1E2(-1) = h°K,h1£2(-2) = h°K (-1),
где K = 0OPi (k), а числа k пробегают вышеуказанные спектры. Отсюда элементарным вычислением получаем, что равенства (3) верны для спектра Spec £2 = (—3,-2,-2, —1, —1, 0, 0,1,1, 2, 2, 3), входящего под номером 17 в наш список. Тем самым, в силу единственности спектра Spec £2 расслоения £2 получаем, что наша компонента Эйпа соответствует именно спектру с порядковым номером 17. Применяя формулу Барта (см. также формулу (4) статьи [2]) к монаде (2), находим размерность d этой компоненты Эйпа:
d = d1 — d2 — d3 — d4 ,
d1 = dim Hom(OP3(—2) 0 2OP3 ф OP3(2), OP3(4)) =
= h°OP3 (6) + h°2OP3 (6) + h°2OP3 (4) + h°OP3 (2) = 84 + 70 + 10 = 164; d2 = dim Hom(OP3(4), OP3(4)) = h°OF3 = 1; d3 = Л°(Л2(Ор3 (4))) = 0;
d4 = h°(S2(Op3(—2) ф 2OF3 ф OF3(2))) =
= h°(S2(Op3(—2) 0 2Op3)) + h°OF3(4) + h°OF3 + h°2Op3(2) = = h°OP3 (—4) + h°OP3 (—4) + h°3OP3 + h°2OP3 (—2) + 35 + 1 + 20 = = 0 + 3 + 0 +56 = 59.
Таким образом, d = 164 — 1 — 0 — 59 = 104.
2. В случае c2 = 13 имеется 33 реализуемых спектра. Перечислим эти спектры:
1) Spec £2 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0);
2) Spec £2 = (—1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1);
3) Spec £2 = (—1, —1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1,1);
4) Spec £2 = (—2, —1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 2);
5) Spec £2 = (—1, —1, —1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1,1,1);
6) Spec £2 = (—2, —1, —1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1,1, 2);
7) Spec £2 = (—3, —2, —1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 2, 3);
8) Spec £2 = (—1, —1, —1, —1, 0, 0, 0, 0, 0,1,1,1,1);
9) Spec £2 = (—2, —1, —1, —1, 0, 0, 0, 0, 0,1,1,1, 2);
10) Spec £2 = (—2, —2, —1, —1, 0, 0, 0, 0, 0,1,1, 2, 2);
11) Spec £2 = (—3, —2, —1, —1, 0, 0, 0, 0, 0,1,1, 2, 3);
12) Spec £2 = (—4, —3, —2, —1, 0, 0, 0, 0, 0,1, 2, 3, 4);
13) Spec £2 = -1, -1, -1, -1, 0, 0, 0,1,1,1,1,1);
14) Spec £2 = -2, -1, -1, -1, 0, 0, 0,1,1,1,1, 2);
15) Spec £2 = -2, -2, -1, -1, 0, 0, 0,1,1,1, 2, 2);
16) Spec £2 = -3, -2, -1, -1, 0, 0, 0,1,1,1, 2, 3);
17) Spec £2 = -2, -2, -2, -1, 0, 0, 0,1,1, 2, 2, 2);
18) Spec £2 = -3, -2, -2, -1, 0, 0, 0,1,1, 2, 2, 3);
19) Spec £2 = -4, -3, -2, -1, 0, 0, 0,1,1, 2, 3, 4);
20) Spec £2 = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5)
21) Spec £2 = -1, -1, -1, -1, -1, 0,1,1,1,1,1,1
22) Spec £2 = -2, -1, -1, -1, -1, 0,1,1,1,1,1, 2
23) Spec £2 = -2, -2, -1, -1, -1, 0,1,1,1,1, 2, 2
24) Spec £2 = -3, -2, -1, -1, -1, 0,1,1,1,1, 2, 3
25) Spec £2 = -2, -2, -2, -1, -1, 0,1,1,1, 2, 2, 2
26) Spec £2 = -3, -2, -2, -1, -1, 0,1,1,1, 2, 2, 3
27) Spec £2 = -4, -3, -2, -1, -1, 0,1,1,1, 2, 3, 4
28) Spec £2 = -2, -2, -2, -2, -1, -1, 0,1,1, 2, 2, 2, 2
29) Spec £2 = -3, -2, -2, -2, -1, -1, 0,1,1, 2, 2, 2, 3
30) Spec £2 = -3, -3, -2, -2, -1, -1, 0,1,1, 2, 2, 3, 3
31) Spec £2 = -4, -3, -2, -2, -1, -1, 0,1,1, 2, 2, 3, 4
32) Spec £2 = -5, -4, -3, -2, -1, -1, 0,1,1, 2, 3, 4, 5
33) Spec £2 = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
В данном случае монада (1) имеет вид:
0 ^ 0Рз (-7) ^ 0Рз(-6) 0 2OP3 ф OP3( 6) ^ OP3( 7) ^ 0 . (4)
Согласно теореме статьи |8|
h% (-1) = 28,h% (-2) = 21. (5)
Теперь рассмотрим спектр под номером 33 из вышеуказанного списка. Снова следуя технике Барта |9|, элементарным вычислением получаем, что равенства (5) верны дня спектра
Spec £2 = (-6, -5, -4, -3, -2,-1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6),
входящего под номером 33 в наш список. Тем самым, в силу единственности спектра Spec £2 расслоения £2 получаем, что наша компонента Эйна соответствует в точности спектру с порядковым номером 33 и, ввиду утверждения (а) теоремы 3.3 статьи |6|, содержит именно классы расслоений, имеющих такой спектр. Применяя упомянутую выше формулу Барта к монаде (4), находим размерность d этой компоненты Эйна:
110 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ d = ¿1 — ¿2 — ¿3 — ¿4, где
¿1 = а1шНош(0Рз(—6) 0 20Рз ф 0Рз(6), 0Рз(7)) =
= й°0Рз (13) + Л°20Рз (7) + й°0Рз (1) = 560 + 240 + 4 = 804; ¿2 = а1шНош(0Рз(7), 0Рз(7)) = й°0Рз = 1; ¿з = ^°(Л2( Орз (7))) = 0; ¿4 = Ь°(Б2(Орз(—6) 0 20рз ф Орз(6))) =
= Н0(Б2(0Рз(—6) 0 20Рз)) + й°0Рз(12) + й°0Рз(12) + й°0Рз + й°20Рз(6) =
= й°0Рз (—12) + й°30Рз + й°20Рз (—6) + 455 + 1 + 168 = = 0 + 3 + 0 + 624 = 627.
В итоге d = 804 — 1 — 0 — 627 = 176.
Литература
1. Hartshornc R. Algebraic vector bundles on projective spaces: a problem list /7 Topologv. 1979. № 18. C.117-128.
2. Тихомиров С.А., Ляпин А.П., Рузанов E.A. О многообразиях модулей Мрз(2;0,10) и Мрз (2; 0,11) стабильных 2-расслоений с классами Черна С\ =0 с2 = 10 и 11 на комплексном проективном пространстве /7 Ярославский педагогический вестник. Т. III (Естественные науки). Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2012. № 4. С.13 18.
3. Оконек К., Шнейдер, М., Шпиндлер, X. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / М: Мир, 1984. 308 с.
4. Hartshornc R. Stable reflexive sheaves /7 Math. Ann. 1980. 254. P.121 176.
5. Hartshornc R., Rao A.P. Spectra and monads of stable bundles /7 J. Math. Kvoto Univ.. 1991. 31, № 3. C.789 806.
6. Ein L. Generalized null correlation bundles /7 Nagova Math. J. 1988. 111. C.13 24.
7. Jardim M., Marchesi S. Instantons, generalized instantons and Buchbaum bundles /7 arXiv:1309.0447vl, [math.AG], 2 Sept. 2013, 11 p. (режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1309.0447.pdf).
8. Тихомиров С.А., Ляпин А.П., Войлокова О.А. Инварианты стабильных 2-расслоений на комплексном проективном пространстве и адаптация вычислительной технологии Барта /7 Ярославский педагогический вестник. T.III (Естественные науки). Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2013. №2. С.ЗЗ 38.
9. Barth W. Some experimental data /7 In: les equations de Yang-Mills. A. Douadv, J.-L. Vcrdier, eds, scminairc E.N.S. 1977 1978, Astcrisquc, 71 72 (1980), 205 218.
ON STABLE 2-BUNDLES WITH CHERN CLASSES ci = 0, ci = 12 AND С2 = 13
ON COMPLEX PROJECTIVE SPACE
*S.A. Tikhomirov, **A.P. Lyapin
*Yaroslavl State Pedagogical University named after Konstantin D.Ushinskiy, Respublikanskaya Str., 108, Yaroslavl, 150 000, Russia, e-mail: satikhomirov@mail.ru
**Siberian Federal University, Svobodny Av., 79/10, Krasnoyarsk, 660 041, Russia, e-mail: LyapinAP@yandex.ru
Abstract. The number of Ein's components in varieties of moduli of stable 2-bundles with Chcrn classes c1 = 0 c2 = 12 и c2 = 13 is found, their dimensions are calculated and it is established the correspondence of this components to spectra of stable 2-bundles.
Key words: vector bundle, Chcrn classes, variety of moduli.