О многообразии модулей m p 3 (2;0,15) стабильных 2-расслоений с классами Черна с ;=0 и с 2=15 на комплексном проективном пространстве

Тихомиров Сергей Александрович; Кытманов Алексей Александрович; Осипов Николай Николаевич; Трошина Татьяна Львовна; Ляпин Александр Петрович

УДК 512.7

С. А. Тихомиров, А. А. Кытманов, Н. Н. Осипов, Т. Л. Трошина, А. П. Ляпин

О многообразии модулей М^ (2; 0,15) стабильных 2-расслоений с классами Черна сх = 0 и с2 = 15

на комплексном проективном пространстве

В данной статье мы альтернативным (аналитическим) методом находим точное число компонент Эйна в многообразии модулей M 3 (2; 0,15), вычисляем их размерности и устанавливаем соответствия этих компонент спектрам стабильных расслоений.

Ключевые слова: векторное расслоение, стабильное расслоение, классы Черна, многообразие модулей.

S. A. Tikhomirov, A. A. Kytmanov, N. N. Osipov, T. L. Troshina, A. P. Lyapin

On variety of moduli M^ (2; 0,15) of stable 2-bundles with Chern classes cx =0 and c2 =15 on complex

projective space

In this article we find the exact number of Ein's components in varieties of moduli M3 (2; 0,15) by the alternative (analytical) method, calculate their dimensions and establish correspondences of this components to spectra of stable bundles.

Keywords: vector bundle, stable bundle, Chern classes, variety of moduli.

Программа исследований стабильных 2-расслоений с нулевым первым классом Черна на P3 стартовала в конце 70-х гг. прошлого столетия, благодаря усилиям классика алгебраической геометрии Р. Хартсхорна, его коллег, учеников и последователей [1, 14-18, 20-22]. В течение нескольких предыдущих лет удалось достаточно далеко продвинуться в решении ряда сложных задач, связанных с изучением пространств модулей таких расслоений (и их разновидностей), разработкой новых методов исследования, получением новых существенных результатов качественного и количественного характера [2-13, 19]). Однако, большая часть стоящих проблем, по-прежнему остается либо разработанной, но частично, либо полностью неразработанной. Среди первой категории таких проблем - вопросы, касающиеся «географии» и геометрии компонент упомянутых пространств модулей, в том числе - так называемых компонент Эйна. [8]. Благодаря новому программно-вычислительному методу, разработанному в [2], стало известно точное число компонент Эйна в пространствах модулей M^ (2;0, п) стабильных 2-расслоений с с1=0 и c2=n для n от 1 до 100 000 включительно.

В настоящей работе мы рассматриваем случай, где с2=15, на предмет компонент Эйна. Он уникален тем, что впервые в соответствующем пространстве модулей располагается сразу 3 компоненты Эйна. В настоящей статье мы приводим альтернативное (аналитическое) доказательство данного факта, а также находим размерности всех трех компонент и их соответствие конкретным спектрам расслоений.

В исследовании проблем, связанных с компонентами Эйна (а также другими видами и классами компонент) важную роль играет понятие спектра расслоения. Напомним определение и свойства спектра для стабильного 2-расслоения Е2 с Ci=0.

Определение. Пусть / - общая прямая в Р3, ст :=Ы, :Р3 —>Р3 - раздутие вдоль / и л\Ръ -»Р1 -морфизм, определенный пучком плоскостей, проходящих через /. Тогда расслоение V := R1 тг,а Е2(-1) - расслоение ранга n на P1. По известной теореме Гротендика данное расслоение единственным образом расщепляется в прямую сумму линейных: V = (J)J=iOpl (д.), где а^ <а2 <...<ап. Тогда спектр Spec(E2) ■={al,..., ап } .

В случае произвольной характеристики понятие спектра было введено Р. Хартсхорном [21]. В реальности спектр такого расслоения представляет собой неубывающую последовательность n целых

чисел, обладающую рядом важных свойств [21, 22]. А именно, пусть Брес(Е2) ={аь а2,...,ап}, а -спектр Е2. Тогда %ргс(Е2) удовлетворяет свойствам:

(1) симметричность {-а1}={а1};

(2) связность: для любых двух чисел в 8ргс{Е2) каждое число, лежащее между ними, также лежит

в Брвс( Е);

(3) если число 10, такое, что 1 <1о<тах{а!} появляется только один раз в Нрес(Е2). то каждое число 1, такое, что 1„ < 1 < тах {а,} появляется только один раз в Брес(Е2).

Основной результат настоящей работы - следующая теорема.

Теорема. В пространстве М3 (2; 0,15) имеются 3 компоненты Эйна: 1) компонента размерности 123, содержащая плотное открытое подмножество классов расслоений, имеющих спектр (-3,-2,-2,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2,2Д) и задаваемых монадой типа 0 ^ (-4) ^Ор3 (-1)®20^ ©0^(1)^-0^(4)^-0,

2) компонента размерности 225, содержащая классы расслоений, имеющих спектр (-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,1) и задаваемых монадой типа 0 Ор, (-8) О, (-7) © 20р, © О, (7) Ор3 (8) 0 и 3)

компонента размерности 152, содержащая плотное открытое подмножество классов расслоений, имеющих спектр (-4,-3,-3,'-2,-2,-1,-1,0,1,1,2,2,3,3,4) и задаваемых монадой типа 0^0р3(-5)^0^(-3)©0р3(-1)©0^(1)©0^(3) ->СГ,(5) —>0 .

Доказательство.

В случае с2=15 имеется 54 реализуемых спектра (то есть, спектра, удовлетворяющих свойствам (1)-(3)). Перечислим эти спектры:

1) 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) 9) 10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0);

-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1);

-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1);

-2,-1,0,0,0,0,0,0.0,0,0,0,0,1,2);

-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1);

-2,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,2);

-3,-2,-1,0,0,0,0,0.0,0,0,0,1,2,3);

-1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1);

(-2,-1,-1 -1 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,2);

(-2,-2, -1, -1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,2,2);

(-3,-2, -1, -1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,2,3);

(-4,-3, -2 -1,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4);

(-1,-1, -1, -1,-1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1);

(-2,-1, -1, -1,-1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2);

(-2,-2, -1, -1,-1,0,0,0,0,0,1,1,1,2,2);

(-3,-2, -1, -1,-1,0,0,0,0,0,1,1,1,2,3);

(-2,-2,-2,- 1,-1,0,0,0,0,0,1,1,2,2,2);

(-3,-2, -2 -1,-1,0,0,0,0,0,1,1,2,2,3);

(-4,-3, -2 -1,-1,0,0,0,0,0,1,1,2,3,4);

(-5,-4, -3 -2,-1,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5);

(-1,-1, -1, -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1,1,1);

(-2,-1, -1, -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1,1,2);

(-2,-2, -1, -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1,2,2);

(-3,-2, -1, -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1,2,3);

(-2,-2,-2 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2,2,2);

(-3,-2, -2 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2,2,3);

(-4,-3, -2 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2,3,4);

(-2,-2,-2,-2,-1,-1,0,0,0,1,1,2,2,2,2);

(-3,-2,- 2,- 2,-1,-1,0,0,0,1,1,2,2,2,3);

(-3,-3, -2, -2,-1,-1,0,0,0,1,1,2,2,3,3);

(-4,-3, -2, -2,-1,-1,0,0,0,1,1,2,2,3,4);

О многообразии модулей Мр3 (2; 0,15) стабильных 2-расслоений с классами Черна с1 =0 и с2 =15 на комплексном проективном пространстве

32) (-5,-4,-3,-2 ,-1 ,-1 ,0,0,0,1,1,2,3,4,5);

33) (-6,-5,-4,-3 -2 ,-1 ,0,0,0,1,2,3,4,5,6);

34) (-1,-1,-1,-1 ,-1 ,-1,0,1,1,1,1,1,1,1)

35) (-2,-1,-1,-1 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,1,1,1,2)

36 (-2,-2,-1,-1 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,1,1,2,2)

37 (-3,-2,-1,-1 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,1,1,2,3)

38 (-2,-2,-2,-1 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,1,2,2,2)

39 (-3,-2,-2,-1 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,1,2,2,3)

40) (-4,-3,-2,-1 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,1,2,3,4)

41) (-2,-2,-2,-2 ,-1 ,-1 -1,0,1,1,1,2,2,2,2)

42) (-3,-2,-2,-2,- 1,- 1,- 1,0,1,1,1,2,2,2,3);

43) (-3,-3,-2,-2,- 1,- 1,- 1,0,1,1,1,2,2,3,3);

44) (-4,-3,-2,-2,- 1,- 1,- 1,0,1,1,1,2,2,3,4);

45) (-5,-4,-3,-2,- 1,- 1,- 1,0,1,1,1,2,3,4,5);

46) (-2-2,-2,-2,-2,- 1,-1 1,0,1,1,2,2,2,2,2);

47) (-3,-2,-2,-2, -2, -1, -1,0,1,1,2,2,2,2,3);

48) (-3-3,-2,-2,- 2,- 1,- 1,0,1,1,2,2,2,3,3);

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

49) (-4-3,-2,-2,- 2,- 1,- 1,0,1,1,2,2,2,3,4);

50 (-3,-3,-3,-2, -2, -1, -1,0,1,1,2,2,3,3,3);

51 (-4,-3,-3,-2,- 2,- 1,- 1,0,1,1,2,2,3,3,4);

52) (-5,-4,-3,-2,- 2,- 1,- 1,0,1,1,2,2,3,4,5);

53) (-6,-5,-4,-3,- 2,- 1,- 1,0,1,1,2,3,4,5,6);

54) (-7,-6,-5,-4,- 3,- 2,- 1,0,1,2,3,4,5,6,7).

Далее, рассмотрим монаду

0 Ор3 (-с) -> Ор3 {-Ь) © Ор3 (-а) © Opt (а) © Ор» ф) ~^Ор3(с)^ 0 (1)

с когомологическим пучком Е2, где с>Ь>а> 0, с> а + Ъ [8, формулы (1)—(3)]. Положим r=b-a, q=c-2a-г-1. Здесь г, q>0 в силу предыдущих неравенств. Тогда C2(E2)=(2a+r+1+q)2-(a+r)2-a2=(2a+r)2+( 1 +q)2+2(2a+r)( 1 +q)-2a2-2ar-r2=4a2+4ar+r2+1 +2q+q2+4a+4aq+2r+2rq-2a2-2ar-r2=2a2+2ar+4a+4aq+2r+2rq+1+2q+q2.

Поскольку a, r и q - неотрицательные целые числа, а с2(Е2) представляет собой сумму единицы и произведений этих трех переменных в неотрицательных степенях, то с2(Е2) является возрастающей функцией от трех переменных a, r и q, принимающей натуральные значения. (Фиксируя любые две из трех переменных a, r и q, легко проверяем, что с2(Е2) — возрастающая функция от оставшегося переменного). Анализируя с2(Е2) как функцию от a, r и q, мы элементарными вычислениями получаем, что равенство с2(Е2)=15 возможно в трех случаях:

1) а=0, r=1, q=2 (тем самым, b=1, c=4);

2) а=0, r=7, q=0 (тем самым, b=7, c=8);

3) a=1, r=2, q=0 (тем самым, b=3, c=5).

Разберем теперь подробно каждый из этих трех случаев.

1) Согласно теореме [6] имеем:

h°E2 (-1) = h°V = h°Op, (3)-h°Op3 -кйОр, (-1) = 20 -1 -0 = 19 ,

h°E2{-2)=h°V{-l)=h°Op, (2)-h°Op3 (-1)-h°Op3 (-2) = 10-0-0 = 10.

Теперь рассмотрим спектр под номером 26) из вышеуказанного списка. Элементарным вычислением получаем, что последние два равенства верны для спектра Spec Е2= (-3,-2,-2,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2,2,3), входящего под номером 26) в наш список. Тем самым, в силу единственности спектра Spec Е2 расслоения Е2 получаем, что наша компонента Эйна соответствует именно спектру с порядковым номером 26).

В данном случае монада (1) имеет вид: 0 О ^ (-4) —» Ор3 (-1) © 2О ^ © О^ (1) О^ (4) ^ 0 .

Применяя формулу (4) [8] к этой монаде, находим размерность d этой компоненты Эйна:

d=di-d2-d3-d4, где d, = dim Нот (СГ, (-1)®2СГ, © Of (1), Ор3( 4)) = h°Op3(5) + h° 2Op3(4) + h0Op3(3) = 56+70+ 20=146;

d2=dim Нот (Ор3 (4),Ор3 (4)) = h°Op3 =1; d3= h° (Л2 (Ор3 (4) ))=0;

d4=h°(S2( Ор3 (-1)©2Of ®Of (1) )) = h°(S2( Ор3 (-1)®2Of )) + h°Op3 (2)+h°Op3 + h°20p3 (1) = h°Op3 (-2) + h° ЗОр3 + h02Op3 (-1) +10+1+8=0+3+0+19=22. Таким образом, d=146-1-0-22=123. 2) Согласно теореме [6] имеем:

h°E2(-1) = h°V = h°Op3 (7)-h°Op3 (6)-h°Op3 (-1) = 120-84-0 = 36 ,

h°E2 (-2) = h°V{—\) = h°Op3 (6) -h°Op3 (5)-h°Op3 (-2) = 84 -56 - 0 = 28.

Теперь рассмотрим спектр под номером 54) из вышеуказанного списка. Элементарным вычислением получаем, что последние два равенства верны для спектра Spec E2 = (-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7), входящего под номером 54) в наш список. Тем самым, в силу единственности спектра Spec E2 расслоения Е2 получаем, что наша компонента Эйна соответствует в точности спектру с порядковым номером 54) и, ввиду утверждения (a) теоремы 3.3 [17], содержит именно классы расслоений, имеющих такой спектр.

В данном случае монада (1) имеет вид:

0 -> СГ, (-8) -> Ор3 (-7) © 20р3 © Ор3 (7) -> О 3 (8) 0 .

Применяя формулу (4) [8] к этой монаде, находим размерность d этой компоненты Эйна: d=di-d2-d3-d4, где d,=dim Нот (СГ, (-7)©20, ©Ор3 (7), СГ, (8)) = h°Op3 (l5) + h02Op3 (8) + h°Op3 (1) = 816+330 + 4=1150;

d2=dim Нот (Op3 (8), Ор3 (8 ))=А0О^ =1; d3= h° (Л2 (Ор3 (8) ))=0;

d4= h° (,S2 ( Ор (-7) © 20^ © Ор (7) )) = h° (,S2 ( Ор (-7) © 20р3)) + h°Op3 (14) + h°Op3 + h° 2Ор3 (7) =

> 0/П , 1 , ; 0 О/П , 1 о '

JP>

h Ор3 (-14) + h°ЗОр3 + h 20р3 (-7) +680+1+240=0+3+0+921=924. Таким образом, d=1150-1 -0-924=225. 3) Согласно теореме [6] имеем:

h°E2(-1) = h°V = h°Op3 (4)-h°Op3 (2)-h°Op3 = 35-10-1 = 24 ,

h°E2 (-2) = h°V{-\) = h°Op3 (3) -h°Op3 (1) -h°Op3 (-1) = 20 - 4 - 0 = 16.

Теперь рассмотрим спектр под номером 51) из вышеуказанного списка. Элементарным вычислением получаем, что последние два равенства верны для спектра Spec E2= (-4,-3,-3,-2,-2,-1,-1,0,1,1,2,2,3,3,4), входящего под номером 51) в наш список. Тем самым, в силу единственности спектра Spec E2 расслоения Е2 получаем, что наша компонента Эйна соответствует именно спектру с порядковым номером 51).

В данном случае монада (1) имеет вид:

Применяя формулу (4) [8] к этой монаде, находим размерность d этой компоненты Эйна: d=di-d2-d3-d4, где d!=dim Нот (Ор3 (-3) © Ор3 (-1) © Ор3 (1) © Ор3 (3), Ор3 (5)) = h°Op3 (8) + h°Op3 (6) + h°Op3 (4) + (2) = 165+84+35+10=294; d2=dim Нот (Op3 (5), Op3 (5)) =h°Op3 =1;

d3= h° (Л2 (Op3 (5) ))=0;

d4= h° (,S2 ( Оp (-3) © Оp (-1) © Оp (1) © Оp (3) ))= h°Op3 (-6) +h° (S2 (op3 (-1) © О^ (1) © Opt (3))) + h°Op3 (-4)+h°Op3 (-2) +h°Op3 =0+h°Op3 (-2) + h°(S2(Op3 (1 )®h°Op3 (3))) +h°Op3 (2)+h°Op3 +0+0+1=0+0 +h°Op3 (2) + h°Op3 (6) + h°Op3 (4) +10+1+1=0+10+84+35+12=141.

Таким образом, d=294-1-0-141=152. О многообразии модулей Mр3 (2; 0,15) стабильных 2-расслоений с классами 53

Черна с1 =0 и с2 =15 на комплексном проективном пространстве

Библиографический список

1. Ведерников, В. К. Модули стабильных векторных расслоений ранга 2 на P3 c фиксированным спектром [Текст] / В. К. Ведерников // Известия АН СССР. Серия математическая. - 1984. - № 48:5. - С. 986-998.

2. Кытманов, А. А. Пространства модулей стабильных 2-расслоений с с1=0 на Р3: программа для нахождения новых компонент Эйна, экспериментальные данные, факты, гипотезы [Текст] / А. А. Кытманов, Н. Н. Осипов, С. А. Тихомиров, Т. Л. Трошина // Сибирский математический журнал. - 18 с. (в печати).

3. Тихомиров, А. С. Модули математических инстантонных векторных расслоений с нечетным c2 на проективном пространстве [Текст] / А. С. Тихомиров // Известия РАН. Серия математическая. -2012. - № 76:5. - С. 143-224.

4. Тихомиров, А. С. Модули математических инстантонных векторных расслоений с четным c2 на проективном пространстве [Текст] / А. С. Тихомиров // Известия РАН. Серия математическая. 2013. - № 77:5. - С. 139-168.

5. Тихомиров, С. А. Компоненты пространств модулей стабильных расслоений ранга 2 на P3 c общим спектром (-1,0,...,0,1) [Текст] / С. А. Тихомиров // Сб. трудов международной летней школы по алгебраической геометрии и комплексному анализу, МИАН-ЯГПУ. - Москва-Ярославль : Изд-во МИАН, 2013. - С. 68-69.

6. Тихомиров, С. А. Инварианты стабильных 2-расслоений на комплексном проективном пространстве и адаптация вычислительной технологии Барта [Текст] / С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, О. А. Войлокова // Ярославский педагогический вестник. Т. III (Естественные науки). - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2013. - № 2. - С. 33-38.

7. Тихомиров, С. А. Комбинированный вычислительный метод в сравнительном анализе компонент Харт-схорна и Ведерникова стабильных 2-расслоений на комплексном проективном пространстве [Текст] / С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, В. М. Ростов // Ярославский педагогический вестник. Т. III (Естественные науки). - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2013. - № 1. - С. 12-19.

8. Тихомиров, С. А. О многообразиях модулей M ^ (2; 0,10) и M ^ (2; 0,11) стабильных 2-расслоений с классами Черна С[ = 0, с2 =10 и 11 на комплексном проективном пространстве [Текст] / С.А.Тихомиров, А. П. Ляпин, Е. А. Рузанов // Ярославский педагогический вестник. Т. III (Естественные науки). - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2012. - № 4. - С. 13-18.

9. Тихомиров, С. А. Стабильные расслоения ранга 2 с классами Черна сх=0, с2=2 на P3 и гиперквадрики Понсе-ле [Текст] / С. А. Тихомиров // Журнал СФУ, серия «Математика и физика». - 2011. - № 4(4). - С. 551-555.

10. Тихомиров, С. А. Спектры стабильных расслоений ранга 2 на Р3 с классами Черна с1 = 0 и 1 < с2 < 19 [Текст] / С. А. Тихомиров, А. А. Смирнова // Ярославский педагогический вестник. Серия «Физико--математические науки и естественные науки». - 2010. - № 3. - С. 5-7.

11. Тихомиров, С. А. Метод двойных расширений в исследовании стабильных расслоений на P3 [Текст] / С. А. Тихомиров // Труды Шестых Колмогоровских чтений. - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2008. - С. 174-183.

12. Тихомиров, С. А. Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P3 [Текст] / С. А. Тихомиров // Ярославский педагогический вестник. - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2007. - № 1. - С. 35-39.

13. Тихомиров, С. А. Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P3 [Текст] / С. А. Тихомиров // Ярославский педагогический вестник. - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2007. - № 2. - С. 25-31.

14. Barth, W. Irreducibility of the space of mathematical instanton bundles with rank 2 and c 2=4 / W. Barth // Math. Ann., 258:1 (1981), 81-106.

15. Barth, W. Some experimental data / W. Barth // In: les equations de Yang-Mills. A. Douady, J.-L. Verdier, eds, seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.

16. Barth, W. Concernant la cohomologie des fibres algebriques sur P / W. Barth, G. Elenswajg // Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.

17. Ein, L. Generalized null correlation bundles / L. Ein // Nagoya Math. J. 111 (1988), 13-24.

18. Ellingsrud, G. Stable rank 2 vector bundles on P3 with c = 0 and c2 = 3 / G. Ellingsrud, S. Stramme // Math. Ann., 255 (1981), 129-138.

19. Jardim, М. Instantons, generalized instantons and Buchsbaum bundles / M. Jardim, S. Marchesi // arXiv:1309.0447v1, [math.AG], 2 Sept. 2013, 11 р. (режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1309.0447.pdf).

20. Hartshorne, R. Stable vector bundles of rank 2 on P3 / R. Hartshorne // Math. Ann., 238 (1978), 229-280.

21. Hartshorne, R. Stable reflexive sheaves / R.Hartshorne // Math. Ann., 254 (1980), 121-176.

22. Hartshorne, R. Spectra and monads of stable bundles / R.Hartshorne, A.P.Rao // J. Math. Kyoto Univ., 31, № 3 (1991), 789-806.

Bibliograficheskij spisok

1. Vedernikov, V. K. Moduli stabil'nyh vektornyh rassloenij ranga 2 na P3 c fiksirovannym spektrom [Tekst] / V. K. Vedernikov // Izvestija AN SSSR. Serija matematicheskaja. - 1984. - № 48:5. - S. 986-998.

2. Kytmanov, A. A. Prostranstva modulej stabil'nyh 2-rassloenij s c1=0 na P3: programma dlja nahozhdenija novyh komponent Jejna, jeksperimental'nye dannye, fakty, gipotezy [Tekst] / A. A. Kytmanov, N. N. Osipov, S. A. Tihomirov, T. L. Troshina // Sibirskij matematicheskij zhurnal. - 18 s. (v pechati).

3. Tihomirov, A. S. Moduli matematicheskih instantonnyh vektornyh rassloenij s nechetnym c2 na proektivnom prostranstve [Tekst] / A. S. Tihomirov // Izvestija RAN. Serija matematicheskaja. -2012. - № 76:5. - S. 143-224.

4. Tihomirov, A. S. Moduli matematicheskih instantonnyh vektornyh rassloenij s chetnym c2 na proektivnom prostranstve [Tekst] / A. S. Tihomirov // Izvestija RAN. Serija matematicheskaja. 2013. - № 77:5. - S. 139-168.

5. Tihomirov, S. A. Komponenty prostranstv modulej stabil'nyh rassloenij ranga 2 na P3 c obshhim spektrom (-1,0,.. .,0,1) [Tekst] / S. A. Tihomirov // Sb. trudov mezhdunarodnoj letnej shkoly po algebraicheskoj geo-metrii i kompleksnomu analizu, MIAN-JaGPU. - Moskva-Jaroslavl' : Izd-vo MIAN, 2013. - S. 68-69.

6. Tihomirov, S. A. Invarianty stabil'nyh 2-rassloenij na kompleksnom proektivnom prostranstve i adaptacija vychislitel'noj tehnologii Barta [Tekst] / S. A. Tihomirov, A. P. Ljapin, O. A. Vojlokova // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. T. III (Estestvennye nauki) - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU, 2013. - № 2. - S. 33-38.

7. Tihomirov, S. A. Kombinirovannyj vychislitel'nyj metod v sravnitel'nom analize komponent Hartshorna i Vedernikova stabil'nyh 2-rassloenij na kompleksnom proektivnom prostranstve [Tekst] / S. A. Tihomirov, A. P. Ljapin, V. M. Rostov // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. T. III (Estestvennye nauki) - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU, 2013. - № 1. - S. 12-19.

8. Tihomirov, S. A. O mnogoobrazijah modulej Mp3(2;0,10) i Mp3(2;0,11) stabil'nyh 2-rassloenij s klassami

Cherna cl = 0, c2 =10 i 11 na kompleksnom proektivnom prostranstve [Tekst] / S. A. Tihomirov, A. P. Ljapin, E. A. Ruzanov // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. T. III (Estestvennye nauki) - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU, 2012. -№ 4. - S. 13-18.

9. Tihomirov, S. A. Stabil'nye rassloenija ranga 2 s klassami Cherna ci=0, c2=2 na P3 i giperkvadriki Ponsele [Tekst] / S. A. Tihomirov // Zhurnal SFU, serija «Matematika i fizika». - 2011. - № 4 (4). - S. 551-555.

10. Tihomirov, S. A. Spektry stabil'nyh rassloenij ranga 2 na P3 s klassami Cherna cl = 0 i 1 < c2 < 19 [Tekst] / S. A. Tihomirov, A. A. Smirnova // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. Serija «Fiziko-matematicheskie nauki i estestvennye nauki». - 2010. - № 3. - S. 5-7.

11. Tihomirov, S. A. Metod dvojnyh rasshirenij v issledovanii stabil'nyh rassloenij na P3 [Tekst] / S. A. Tihomirov // Trudy Shestyh Kolmogorovskih chtenij. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU, 2008. - S. 174-183.

12. Tihomirov, S. A. Zamykanija Ponsele i mnogoobrazie M(0,2) modulej stabil'nyh vektornyh rassloenij ranga 2 na prostranstve P3 [Tekst] / S. A. Tihomirov // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU, 2007. -№ 1. - S. 35-39.

13. Tihomirov, S. A. Zamykanija Ponsele i mnogoobrazie M(0,2) modulej stabil'nyh vektornyh rassloenij ranga 2 na prostranstve P3 [Tekst] / S. A. Tihomirov // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU, 2007. - № 2. - S. 25-31.

14. Barth, W. Irreducibility of the space of mathematical instanton bundles with rank 2 and c 2=4 / W.Barth // Math. Ann., 258:1 (1981), 81-106.

15. Barth, W. Some experimental data / W. Barth // In: les equations de Yang-Mills. A. Douady, J.-L. Verdier, eds, seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.

16. Barth, W. Concernant la cohomologie des fibres algebriques sur P / W. Barth, G. Elenswajg // Springer Lecture Notes, 683 (1978), 1-24.

17. Ein, L. Generalized null correlation bundles / L. Ein // Nagoya Math. J, 111 (1988), 13-24.

18. Ellingsrud, G. Stable rank 2 vector bundles on P3 with c1 = 0 and c2 = 3 / G. Ellingsrud, S. Strömme // Math. Ann., 255 (1981), 129-138.

19. Jardim, M. Instantons, generalized instantons and Buchsbaum bundles / M. Jardim, S. Marchesi // arXiv:1309.0447v1, [math.AG], 2 Sept. 2013, 11 r. (rezhim dostupa: http://arxiv.org/pdf/1309.0447.pdf).

20. Hartshorne, R. Stable vector bundles of rank 2 on P3 / R. Hartshorne // Math. Ann., 238 (1978), 229-280.

21. Hartshorne, R. Stable reflexive sheaves / R.Hartshorne // Math. Ann., 254 (1980), 121-176.

22. Hartshorne, R. Spectra and monads of stable bundles / R. Hartshorne, A. P. Rao // J. Math. Kyoto Univ., 31, № 3 (1991), 789-806.

О многообразии модулей Мр3 (2; 0,15) стабильных 2-расслоений с классами 55

Черна с1 =0 и с2 =15 на комплексном проективном пространстве

On variety of moduli M p 3 (2;0,15 of stable 2bundles with Chern classes q=0 and с 2=15 on complex projective space

Текст научной работы на тему «О многообразии модулей m p 3 (2;0,15) стабильных 2-расслоений с классами Черна с ;=0 и с 2=15 на комплексном проективном пространстве»