CC BY
14УДК 512.7
С. А. Тихомиров
Серия потенциальных компонент в некоторых пространствах модулей стабильных расслоений
ранга 2 на Р3 с нулевым первым классом Черна
В данной статье мы строим новую серию потенциальных компонент в некоторых пространствах модулей стабильных расслоений ранга 2 на P3 .
Ключевые слова: векторное расслоение, стабильное расслоение, классы Черна, многообразие модулей.
S. A. Tikhomirov
Series of Potential Components in Some Varieties of Moduli of Stable Rank-2 Bundles on P3 with Zero First Chern Class
In this article we construct the new series of potential components in some varieties of moduli of stable rank-2 bundles on P3 . Keywords: vector bundle, stable bundle, Chern's classes, variety of moduli.
В работе предъявляется новая серия потенциальных компонент в пространствах модулей Mр3 (2;0, n) стабильных векторных расслоений ранга 2 на трехмерном проективном пространстве с
c1 = 0 и c2 = n = 1 + 5h, h > 1, а также выводится формула для вычисления размерности каждого такого множества.
Мы работаем над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики.
Компоненты пространств модулей Mр3 (2;0, n) для 1 < n < 4 известны: в случаях n = 1,2 имеется
единственная инстантонная компонента (см. [9]), в случаях n=3,4 к ней добавляется по одной компоненте (см. [9], [7] для n=3 и [6], [9] для n = 4. Кроме того, М. Ч. Чанг в работе [5] показала, что в случае c2 = 4 семейство классов расслоений, являющихся когомологическими пучками монады типа 0 — Орз (-2) Ф Орз (-1) — Орз (-1) Ф 4Ор3 Ф Орз (1) — Орз (1) Ф
Ф Ор3 (2) — 0, лежит в замыкании семейства классов расслоений, являющихся когомологическими пучками монады типа 0 — Ор3 (-2) — 4Ор3 — Ор3 (2) — 0 . Таким образом, нетривиальные случаи начинаются с n = 5 .
Векторное расслоение E = E2r ранга 2r на P3 называется симплектическим, если существует изоморфизм © : E —Ev такой, что ©' = -© , где 0' = ©v ° can, а can : E —Ev - канонический изоморфизм. Нетрудно видеть, что если Е-симплектическое расслоение, то ci(E) = c3(E) = 0. Симплектическое векторное расслоение E называется симплектическим инстантонным расслоением (или кратко симплектическим инстантоном), если h0(E(-1)) = 0 и h1(E(-i)) = 0 для i > 2 . Для фиксированного n > 0 через /(2r;n) обозначим пространство модулей (то есть классов изоморфизма) сим-плектических инстантонов ранга 2r на P3 c с2(Е) = n. Через ISk (2r;n) обозначим локально замкнутое подмножество в Is(2r;n) классов расслоений E, удовлетворяющих условиям: h 0(E) = 2k, отображение вычисления H °(E) ® Ор3 ——— E - мономорфизм, и индуцированное симплектической структурой © : E —-—> E v отображение © : H0E — (H0E)v является симплектическим изоморфизмом.
© Тихомиров С. А., 2012
Серия потенциальных компонент в некоторых пространствах 39
модулей стабильных расслоений ранга 2 на Р3 с нулевым первым классом Черна
Через 10 (2r;n) обозначим подмножество в /(2r;n) классов расслоений E, удовлетворяющих условию
h 0( E) = 0.
Рассмотрим множества
Mhr4h := {[E2] е Mp3(2;0, n)\h\E2(-2)) = h, рВг(-\) = n - 4h}, (1) где pE^ (-1) - один из основных инвариантов расслоения E2 (см., например, [4]) и S h,n-4 h: := {([ E 2 ], [ E 2+2h ] е Mhkn-4h x I ¡k (2 + 2h, n - 4h) \ c2 (E2+2h) = 1 + h}, где E2+2h - симплекти-ческое расслоение, получаемое из E2 методом двойных расширений, представленным автором в статье [2]. Также в теореме 2.1 работы [2] доказано, что c2 (E2+2h) = n - 4h, следовательно, с учетом определения (1) имеем:
n = 1 + 5h, (2)
а значит, при h > 1 наши множества S^n-4h лежат в почти неизученных пространствах модулей.
тт -^h,n-4h: _, „ . -^h,n-4h: v д ,r h,n-4h
Далее, у множеств Sk есть две естественные проекции: px : Sk A Mk и
p2 : Sh n-4h A Is2k (2 + 2h, n - 4h), слои которых p-1 ([E2 ]) = Ph-1 и p2-1 ([E2+2h ]) = P16(n-4h)h-1 соответственно. В работе [3] автором был доказан изоморфизм
10 (2r - 2k; n) Ar;k (2r; n). (3) Кроме того, из основных результатов работы [10] следует, что dim I "2к (2 + 2h, n - 4h) = 4(n - 4h)(h - k + 2) - (h - k + 1)(2h - 2k + 3), в частности, в силу (3) при
к = 0 имеем dim 10 (2 + 2h, n - 4h) = 4(n - 4h)(h + 2) - (h + 1)(2h + 3).
В итоге, с учетом (2) получаем: dim MkA n-4h = 16(n - 4h)h -1 - (h2 -1) + 4(n - 4h)(h + 2) - (h + 1)(2h + 3) = 16h2 + 16h - h2 +
+ 4h2 + 12h + 8 - 2h2 - 5h - 3 = 17h2 + 23h + 5. (4) Теорема. Множества (1) дают новую серию потенциальных компонент в пространствах модулей Mр3 (2;0,1 + 5h), h > 1.
Доказательство. Построенные множества (1) по конструкции и своим размерностям (4) отличны от известных серий компонент (или потенциальных компонент) стабильных 2-расслоений с c1 = 0 на
P3, представленных в статьях [1], [6] и [8]. Сопоставим размерности (4) с «правильными» размерностями. Ввиду (2) имеем: 8n - 3 = 40h + 5, тем самым, 17h2 + 23h + 5 - 40h - 5 = 17h2 - 17h =
= 17h(h -1). Таким образом, при h = 1 размерность совпадает с «правильной», а при h > 1 она будет выше «правильной».
Библиографический список
1. Ведерников, В. К. Модули стабильных расслоений ранга 2 на P3 с фиксированным спектром [Текст] /
B. К. Ведерников // Известия АН СССР. Серия математическая. - Т. 48, №5. - 1984. - С. 986-998.
2. Тихомиров, С. А. Метод двойных расширений в исследовании стабильных расслоений на P3 [Текст] /
C. А. Тихомиров // Труды Шестых Колмогоровских чтений. - Ярославль : ЯГПУ, 2008. - С. 174-183.
3. Тихомиров, С. А. Симплектические инстантонные расслоения на пространстве P3 : некоторые новые результаты [Текст] / С. А. Тихомиров // Материалы международной конференции «Чтения Ушинского» : Математика и физика, экономика и технология и совершенствование их преподавания. - Ярославль : ЯГПУ, 2009. - С. 13-15.
4. Barth W. Some experimental data//Les equations de Yang-Mills/A.Douady, J.-L.Verdier, eds/Seminaire E.N.S. 1977-1978, Asterisque, 71-72 (1980), 205-218.
5. Chang M.C. Stable rank 2 bundles on P3 with c1=0, c2=4 and a = 1 //Math. Z., 184 (1983), 407-415.
6. Ein L. Generalized null correlation bundles//Nagoya Math. J., 111 (1988), 13-24.
40
С. А. Тихомиров
7. Ellingsrud G., StrÖmme S.-A. Stable rank-2 bundles on P3 with c1 = 0 and c2 = 3 //Math. Ann. 255 (1981), 453-463.
8. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Mathematische Annalen, 254 (1980), 121-176.
9. Hartshorne R., Rao A.P. Spectra and monads of stable bundles//! Math. Kyoto Univ., 31, № 3 (1991), 789-806.
10. Tikhomirov A.S. Moduli of mathematical instanton vector bundles with odd c2 on projective space//Preprint MPIM, № 50 (2009).
Серия потенциальных компонент в некоторых пространствах
модулей стабильных расслоений ранга 2 на Р3 с нулевым первым классом Черна
