Спектры стабильных 2-расслоений с нечетным первым классом Черна на трехмерном проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

С. А. Тихомиров, А. П. Ляпин, Е. В. Казанцева

Спектры стабильных 2-расслоений с нечетным первым классом Черна на трехмерном проективном пространстве

В данной статье мы получаем новые важные результаты о спектрах стабильных 2-расслоений на P3, имеющих нечетный первый класс Черна.

Ключевые слова: векторное расслоение, стабильное расслоение, классы Черна, многообразие модулей. S. A. Tikhomirov, A. P. Lyapin, E. V. Kazantseva

Spectra of stable 2-bundles with odd first Chern's class on complex projective space

In this article we receive new important results about spectra of stable 2-bundles on P3, having an odd first Chern's class.

Keywords: vector bundle, stable bundle, Chern's classes, variety of moduli.

Спектры расслоений дают нам своего рода стратификацию (разбиение) соответствующих многообразий модулей, что в свою очередь помогает установлению точной геометрии данных многообразий, а это и есть один из самых важных вопросов всей теории векторных расслоений на многообразиях. В настоящей работе мы изучаем стабильные расслоения ранга 2 с c1=-1 на трехмерном проективном пространстве P3 над полем C.

Приведем определение и свойства спектра для 2-расслоения E с нечетным первым классом Черна на P3 [2].

Спектром расслоения E ранга 2 на P3 с с1=-1 и некоторым c2 называется определенная последовательность целых чисел в количестве c2 штук. Пусть %={kb k2,...,kC2} — спектр E, где k^Z. Тогда %

удовлетворяет условиям:

(51) симметричность: {-k1}={k1+1}.

(52) связность: для любых двух чисел в %, каждое число, лежащее между ними, также лежит в % .

Основной результат настоящей работы - следующая Теорема:

1) Для таких расслоений спектры существуют только при четных с2.

2) Общее число спектров P(n) для произвольного четного с2=п находится по формуле

n -1

P(n) = 22 .

Доказательство:

1) Согласно свойству симметричности спектра мы легко получаем, что два разных числа не могут при данной симметрии соответствовать одному числу, более того, у каждого числа свое единственное симметричное ему и ноль не симметричен самому себе (0 соответствует -1). Тем самым, весь спектр разбивается на некоторое количество «пар симметричных чисел», а значит в таком спектре может быть только четное количество чисел и по определению спектра это число и есть второй класс Черна.

2) Для начала, используя определение спектра, получим и приведем экспериментальные данные -таблицы спектров наших 2-расслоений до с2=16 включительно:

с2=2 - имеется 1 спектр: -10; с2=4 - имеется 2 спектра: -1-100, -2-101;

с2=6 - имеется 4 спектра: -1-1-1000, -2-1-1001, -2-2-1011, -3-2-1012;

с2 =8 - имеется 8 спектров: -1-1-1-10000, -2-1-1-10001, -2-2-1-10011, -2-2-2-10111, -3-2-1-10012,

-3-2-2-10112, -3-3-2-10122, -4-3-2-10123;

c2=10 - имеется 16 спектров: -1-1-1-1-100000, -2-1-1-1-100001, -2-2-1-1-100011, -2-2-2-1-100111, -2-2-2-2-101111, -3-2-1-1-100012, -3-2-2-1-100112, -3-2-2-2-101112, -3-3-2-1-100122, -3-3-2-2-101122,

© Тихомиров С. А., Ляпин А. П., Казанцева Е. В., 2013

Спектры стабильных 2-расслоений с нечетным первым классом Черна на трехмерном проективном пространстве

-3-3-3-2-101222, -4-3-2-1-100123, -4-3-2-2-101123, -4-3-3-2-101223, -4-4-3-2-101233, -5-4-3-2-101234;

С2=12 - имеется 32 спектра: -1-1-1-1-1-1000000, -2-1-1-1-1-1000001, -2-2-1-1-1-1000011, -2-2-2-1-1-1000111, -2-2-2-2-1-1001111, -2-2-2-2-2-1011111, -3-2-1-1-1-1000012, -3-2-2-1-1-1000112, -3-2-2-2-1-1001112, -3-2-2-2-2-1011112, -3-3-2-1-1-1000122, -3-3-2-2-1-1001122, -3-3-2-2-2-1011122, -3-3-3-2-1-1001222, -3-3-3-2-2-1011222, -3-3-3-3-2-1012222, -4-3-2-1-1-1000123, -4-3-2-2-1-1001123, -43-2-2-2-1011123, -4-3-3-2-1-1001223, -4-3-3-2-2-1011223, -4-3-3-3-2-1012223, -4-4-3-2-1-1001233,

-4-4-3-2-2-1011233, -4-4-3-3-2-1012233, -4-4-4-3-2-1012333, -5-4-3-2-1-1001234, -5-4-3-2-2-1011234, -5-4-3-3-2-1012234, -5-4-4-3-2-1012334, -5-5-4-3-2-1012344, -6-5-4-3-2-1012345;

с2=14 - имеется 64 спектра: -1-1-1-1-1-1-10000000, -2-1-1-1-1-1-10000001, -2-2-1-1-1-1-10000011, -2-2-2-1-1-1-10000111, -2-2-2-2-1-1-10001111, -2-2-2-2-2-1-10011111, -2-2-2-2-2-2-10111111,

-3-2-1-1-1-1-10000012 -3-2-2-2-2-2-10111112 -3-3-2-2-2-2-10111122 -3-3-3-3-2-1-10012222 -4-3-2-2-1-1-10001123 -4-3-3-2-2-1-10011223 -4-3-3-3-3-2-10122223 -4-4-3-3-2-1-10012233 -4-4-4-3-2-2-10112333 -5-4-3-2-2-1-10011234 -5-4-3-3-3-2-10122234 -5-4-4-4-3-2-10123334 -5-5-4-4-3-2-10123344 -6-5-4-3-3-2-10122345 -7-6-5-4-3-2-10123456 с2=16 - имеется 128 спектров: -1-1-1-1-1-1-1-100000000, -2-1-1-1-1-1-1-100000001 -2-2-1-1-1-1-1-100000011, -2-2-2-1-1-1-1-100000111, -2-2-2-2-1-1-1-100001111,

-3-2-2-1-1-1-10000112 -3-3-2-1-1-1-10000122 -3-3-3-2-1-1-10001222 -3-3-3-3-2-2-10112222 -4-3-2-2-2-1-10011123 -4-3-3-2-2-2-10111223 -4-4-3-2-1-1-10001233 -4-4-3-3-2-2-10112233 -4-4-4-3-3-2-10122333 -5-4-3-2-2-2-10111234 -5-4-4-3-2-1-10012334 -5-5-4-3-2-1-10012344 -5-5-5-4-3-2-10123444 -6-5-4-4-3-2-10123345

-3-2-2-2-1-1-10001112 -3-3-2-2-1-1-10001122 -3-3-3-2-2-1-10011222 -3-3-3-3-3-2-10122222 -4-3-2-2-2-2-10111123 -4-3-3-3-2-1-10012223 -4-4-3-2-2-1-10011233 -4-4-3-3-3-2-10122233 -4-4-4-4-3-2-10123333 -5-4-3-3-2-1-10012234 -5-4-4-3-2-2-10112334 -5-5-4-3-2-2-10112344 -6-5-4-3-2-1-10012345 -6-5-5-4-3-2-10123445

-3-2-2-2-2-1-10011112, -3-3-2-2-2-1-10011122, -3-3-3-2-2-2-10111222, -4-3-2-1-1-1-10000123, -4-3-3-2-1-1-10001223, -4-3-3-3-2-2-10112223, -4-4-3-2-2-2-10111233, -4-4-4-3-2-1-10012333, -5-4-3-2-1-1-10001234, -5-4-3-3-2-2-10112234, -5-4-4-3-3-2-10122334, -5-5-4-3-3-2-10122344, -6-5-4-3-2-2-10112345, -6-6-5-4-3-2-10123455,

-2-2-2-2-2-1-1-100011111 -3-2-1-1-1-1-1-100000012 -3-2-2-2-2-1-1-100011112 -3-3-2-1-1-1-1-100000122 -3-3-2-2-2-2-1-100111122 -3-3-3-2-2-1-1-100011222 -3-3-3-3-2-1-1-100012222 -3-3-3-3-3-2-1-100122222 -4-3-2-1-1-1-1-100000123 -4-3-2-2-2-2-1-100111123 -4-3-3-2-2-1-1-100011223 -4-3-3-3-2-1-1-100012223 -4-3-3-3-3-2-1-100122223 -4-4-3-2-1-1-1-100001233 -4-4-3-2-2-2-2-101111233 -4-4-3-3-2-2-2-101112233 -4-4-3-3-3-3-2-101222233 -4-4-4-3-2-2-2-101112333 -4-4-4-3-3-3-2-101222333 -4-4-4-4-3-3-2-101223333 -5-4-3-2-2-1-1-100011234 -5-4-3-3-2-1-1-100012234 -5-4-3-3-3-2-1-100122234 -5-4-4-3-2-1-1-100012334 -5-4-4-3-3-2-1-100122333

-2-2-2-2-2-2-1-100111111 -3-2-2-1-1-1-1-100000112 -3-2-2-2-2-2-1-100111112 -3-3-2-2-1-1-1-100001122 -3-3-2-2-2-2-2-101111122 -3-3-3-2-2-2-1-100111222 -3-3-3-3-2-2-1-100112222 -3-3-3-3-3-2-2-101122222 -4-3-2-2-1-1-1-100001123 -4-3-2-2-2-2-2-101111123 -4-3-3-2-2-2-1-100111223 -4-3-3-3-2-2-1-100112223 -4-3-3-3-3-2-2-101122223 -4-4-3-2-2-1-1-100011233 -4-4-3-3-2-1-1-100012233 -4-4-3-3-3-2-1-100122233 -4-4-4-3-2-1-1-100012333 -4-4-4-3-3-2-1-100122333 -4-4-4-4-3-2-1-100123333 -4-4-4-4-4-3-2-101233333 -5-4-3-2-2-2-1-100111234 -5-4-3-3-2-2-1-100112234 -5-4-3-3-3-2-2-101122234 -5-4-4-3-2-2-1-100112334 -5-4-4-3-3-2-2-101122334

-2-2-2-2-2-2-2-101111111, -3-2-2-2-1-1-1-100001112, -3-2-2-2-2-2-2-101111112, -3-3-2-2-2-1-1-100011122, -3-3-3-2-1-1-1-100001222, -3-3-3-2-2-2-2-101111222, -3-3-3-3-2-2-2-101112222, -3-3-3-3-3-3-2-101222222, -4-3-2-2-2-1-1-100011123, -4-3-3-2-1-1-1-100001223, -4-3-3-2-2-2-2-101111223, -4-3-3-3-2-2-2-101112223, -4-3-3-3-3-3-2-101222223, -4-4-3-2-2-2-1-100111233, -4-4-3-3-2-2-1-100112233, -4-4-3-3-3-2-2-101122233, -4-4-4-3-2-2-1-100112333, -4-4-4-3-3-2-2-101122333, -4-4-4-4-3-2-2-101123333, -5-4-3-2-1-1-1-100001234, -5-4-3-2-2-2-2-101111234, -5-4-3-3-2-2-2-101112234, -5-4-3-3-3-3-2-101222234, -5-4-4-3-2-2-2-101112334, -5-4-4-3-3-3-2-101222334,

22

Тихомиров С. А., Ляпин А. П., Казанцева Е. В.

-5-4-4-4-3-2-1-100123334 -5-4-4-4-4-3-2-101233334 -5-5-4-3-3-2-1-100122344 -5-5-4-3-3-3-2-101222344 -5-5-4-4-3-3-2-101223344 -5-5-5-4-3-2-2-101123444 -5-5-5-5-4-3-2-101234444 -6-5-4-3-2-2-2-101112345 -6-5-4-3-3-3-2-101222345 -6-5-4-4-3-3-2-101223345 -6-5-5-4-3-2-2-101123445 -6-5-5-5-4-3-2-101234445 -6-6-5-4-3-3-2-101223455 -6-6-6-5-4-3-2-101234555 -7-6-5-4-3-3-2-101223456 -7-6-6-5-4-3-2-101234556

-5-4-4-4-3-2-2-101123334 -5-5-4-3-2-1-1-100012344 -5-5-4-3-2-2-2-101112344 -5-5-4-4-3-2-1-100123344 -5-5-4-4-4-3-2-101233344 -5-5-5-4-3-3-2-101223444 -6-5-4-3-2-1-1-100012345 -6-5-4-3-3-2-1-100122345 -6-5-4-4-3-2-1-100123345 -6-5-4-4-4-3-2-101233345 -6-5-5-4-3-3-2-101223445 -6-6-5-4-3-2-1-100123455 -6-6-5-4-4-3-2-101233455 -7-6-5-4-3-2-1-100123456 -7-6-5-4-4-3-2-101233456 -7-7-6-5-4-3-2-101234566

-5-4-4-4-3-3-2-101223334, -5-5-4-3-2-2-1-100112344, -5-5-4-3-3-2-2-101122344, -5-5-4-4-3-2-2-101123344, -5-5-5-4-3-2-1-100123444, -5-5-5-4-4-3-2-101233444, -6-5-4-3-2-2-1-100112345, -6-5-4-3-3-2-2-101122345, -6-5-4-4-3-2-2-101123345, -6-5-5-4-3-2-1-100123445, -6-5-5-4-4-3-2-101233445, -6-6-5-4-3-2-2-101123455, -6-6-5-5-4-3-2-101234455, -7-6-5-4-3-2-2-101123456, -7-6-5-5-4-3-2-101234456, -8-7-6-5-4-3-2-101234567.

Анализ экспериментальных данных позволяет предположить, что Р(п) = 22 . С учетом существования спектров только для четных ^ докажем методом математической индукции, что данная формула для нахождения общего числа спектров действительно верна. Замечаем, что в силу связности спектра каждый спектр в предыдущем четном с2 дает два спектра в следующем четном с2. Далее,

проверяем соотношение при n=2: P(2) = 22 =20=1 - верно;

P(k)= 22 доказать.

Тогда при n=k+2 имеем: P(k + 2) = 2 х P(k) = 2 х 22 = 2

предполагаем, что при n=k у нас , что и требовалось

2—02 = 2 2

Замечания:

1) Тот факт, что спектры при Oi=-1 действительно имеют место только для четных c2, может быть доказан по-другому. А именно, в силу замечания 4.2.0 (b) статьи [2] справедливо соотношение для классов Чернас3 = сгс2(mod2). С другой стороны, согласно теореме 3.2 (а) книги [1] для расслоений ранга 2 имеем c3=0, следовательно, при с1=-1 получаем 0 = -с2 (mod 2), откуда с2=2к - всегда четное число, то есть, попросту говоря, сами 2-расслоения могут иметь в данном случае только четный второй класс Черна;

2) можно ставить вопросы о реализуемости спектров - существовании «в природе» расслоений с такими спектрами, об описании многообразий модулей таких расслоения, тем самым работа имеет серьезную перспективу.

Библиографический список

1. Фултон, У. Теория пересечений [Текст]. - М.: Мир, 1989. - 583 с.

2. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254, 1980, 121-176.

Bibliograficheskij spisok

1. Fulton, U. Teorija peresechenij [Tekst]. - M.: Mir, 1989. - 583 s.

2. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves // Math. Ann., 254, 1980, 121-176.

n

2

k

Спектры стабильных 2-расслоений с нечетным первым классом Черна на трехмерном проективном пространстве