CC BY
3ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.97
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 25
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С КОНТАКТНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
12Кулжанов Уткир Нематович, PhD, доцент,
uquljonov@,bk. ru 3Исмоилов Голибжон Исмоилович, докторанты golibjon. ismoilov. tdtu@,gmail. com 1,3Самаркандский государственный университет имена Шарофа Рашидова, 2Самаркандский филиал Ташкентского государственного экономического университета
Самарканд, Узбекистан
Аннотация: В работе рассмотрен оператор Шредингера, соответствующей системе одной частицы во внешнем силовом поле (с контактным потенциалом) на одномерной решетке. Найдено собственное значение и соответствующий собственный вектор этого оператора.
Ключевые слова: гамильтониан, собственное значение, собственная функция, унитарные эквивалентные операторы.
SPECTRAL PROPERTIES OF A ONE-PARTICLE SCHRODINGER OPERATOR
WITH CONTACT POTENTIAL
1,2Kuljanov Utkir Nematovich, PhD, docent,
uqujonovabk. ru 3Ismoilov Golibjon Ismoilovich, Doctorant golibjon. ismoilov. tdtuagmail. com 13Samarkand State University named after Sharof Rashidov, 2Samarkand Branch of Tashkent State University of Economics,
Samarkand, Uzbekistan
Abstract. The Schrodinger operator associated to a system of one particle in an external force field (with a contact potential) on a one-dimensional lattice is considered. The eigenvalue and the associated eigenfunction of this operator are found.
Keywords: hamiltonian, eigenvalues, eigenfuncion, unitary equivalence operators.
1 Введение. Важнейшей физической величиной в любой квантово-механической системе является энергия. Оператор, соответствующий этой наблюдаемой, обозначается через Н. Оператор энергии Н (оператор энергии Н часто называется гамильтонианом, в нерелятивистской квантовой механике он будет также называться оператором Шредингера) определяет закон эволюции системы. Уравнение Шредингера - это основное уравнение квантовой теории. Поэтому исследование оператора Шредингера играет важную роль в современной математике.
В течение последних восмидесяти лет наиболее популярным и традиционным обьектом для математической физики служит нерелятивистская квантовая механика, точнее - оператор Шредингера. Более того, сам облик современной математической физики в значительной мере сформировался при изучении этого оператора. По сути дела вся атомная и молекулярная, и значительная часть ядерной физики, физики плазмы и твердого тела состоит в изучении оператора Шредингера [1,2].
В моделях физики твердого тела [3,4], а также в решетчатой квантовой теории поля [3] рассматриваются дискретные операторы, являющиеся решетчатыми аналогами оператора Шредингера на евклидовом пространстве. Кинематика квантовых частиц на решетке довольно экзотическая [5].
Дискретные операторы Шредингера, соответствующие гамильтонианам систем одной и двух квантовых частиц на целочисленной решетке изучены в работах [6-9]. Изучению оператора Шредингера посвящено огромное число работ, наиболее полный обзор которых содержится в «энциклопедии» методов современной математической физики [10].
В настоящей работе рассмотрен оператор Шредингера Н соответствующей системе одной частицы во внешнем силовом поле (с контактным потенциалом) на одномерной решетке. Найдено собственное значение и соответствующий собственный вектор этого оператора.
2. Постановка задачи. Через Ъ обозначается одномерная решетка, - 2( Ъ) -гильбертово пространство квадратично - суммируемых функций, определённых на Ъ .
Оператор энергии Н0 одной частицы на решетке ассоциируется со следующим оператором в гильбертовом пространстве - 2( Ъ):
( Н 0 ?)(х) = 5 - х) К5), ? е - 2 ( Ъ)
эеЖ где
1
8(5) = <
2' 5 = 0 1
з = ±2
Л), 5 е Ъ\{ 0, ± 2+
Легко показать, что Н 0 - самосопряженный оператор и его спектр чисто абсолютно непрерывный, и ст( Н 0 ) = [ 0 ; 1 ]. Доказательство последнего факта вытекает из унитарной
эквивалентности Н к - оператору умножения на функцию
( )
в гильбертовом пространстве ( )
Здесь Т = (—тс ;тг] означает одномерной тор, в котором всюду операции сложения и умножения на действительное число элементов множества ( ] понимается как операции на по модулю и ( ) гильбертово пространство квадратично -
интегрируемых функций, определенных на
Эта унитарная эквивалентность осуществляется с помощью преобразования Фурье Т :Ь2(Т)->-2( Ъ):
тг
(Т 0(х) = ( 2 тс) | е-1хсадс1я, х е Ъ, Ч е Ь2(Т).
-тг
Заметим, что спектр оператора Н 0 совпадает с отрезком [ 0; 1 ], т.е. ст( Н 0) = [ 0; 1 ]. Полный гамильтониан Н ц е М \{ 0 + описывающий движение одной квантовой частицы на одномерной решетке во внешнем поле Н определяется как ограниченное возмущение свободного гамильтониана Н
Н Н Н
Здесь Н — оператор умножения на вещественную функцию V Д 5):
ю, в Ф 0'
Теперь переходим к импульсному представлению оператора уц . Импульсное представление оператора уц имеет вид:
(V)( р | f( q)d q. feL 2( T).
Отметим, что Уц оператор ранга один, следовательно оператор Уц есть компактный. Кроме того, Уц положительный оператор, если ц > 0 , и отрицательный, если ц < 0 .
Через Н ц обозначим импульсное представление оператора у ц :
Н ц = Н 0-Уц . ( 1 )
Поэтому согласно теореме Вейля (о существенном спектре) непрерывный спектр оператора Н ц совпадает со спектром сс( Н 0) = [ 0; 1 ] оператора Н 0, т.е.
Со П 1( Н ц) = сг( Н о) = [ 0; 1 ]. 3 Основной результат. Собственное значение и собственная функция оператора Н ^ .
Из выражения (1) и положительности оператор Н ц при ц > 0 , и отрицательности при следует существует собственного значение оператора если то это
собственное значение может принадлежат интервалу ( ) а если то оно может
принадлежат интервалу ( )
Теперь сформулируем основной результат этой работы.
Теорема. а) если ц > 0 , то число г " = 1 V 1+ 4 ц < 0 есть простое собственное значение оператора и соответствующая собственная функция с точностью до постоянного множителя имеет следующий вид:
ад = ц
cos2 р — z~ '
Ь) если ц < 0 , то число г + = 1+^ 1+ 4 ц ■ > 1 есть простое собственное значение оператора и соответствующая собственная функция с точностью до постоянного множителя имеет следующий вид:
ад = ц
cos2 р — Z+
Литература
1. Mogilner A.I. Hamiltonians of solid state physics at few-particle discrete Schrodinger operators: problems and results // Advances in Sov. Math. 1991. V. 5. P. 139-194.
2. A.I. Mogilner. The problem of few quasi-particles in solid state physics // In "Applications self-adjoint extensions in quantum physics"(eds. P. Exner, P. Seba ), Lecture Notes in Phys. Vol.324. Springer-Vilag, Berlin. 1988. 52-83.
3. Mattis D.C. The few-body problem on a lattice // Rev. Mod. Phys. 1986. V. 58, No. 2. P. 361-379.
4. Malishev V.A., Minlos R.A. Linear infinite-particle operators / trl. by A. Mason. Providence,RI: American Mathematical Society, 1995. VIII, 298 р. (Translations of Mathematical Monographs; v.143). Математика/Mathematics 36.
5. Minlos R.A., Mogilner A.I. Some problems concerning spectra of lattice models // Schrodinger Operators, Standard and Nonstandard: Proc. Conf. in Dubna, USSR, 6-10 September 1989/P. Exner, P. Seba (eds.). Singapore: World Scientific, 1989. P. 243-257.
6. S.Albeverio, S.N.Lakaev and Z.I.Muminov, On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schroedinger operators on lattices, Math. Nachr.No 7, 1-18 pp. 2007.
8. Р.Беллман, Введение в теорию матриц, Изд. "Наука". Москва, 376 ст. 1976.
9. Faria da Veiga P.A., Ioriatti L. and O'.Carroll, Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schroedinger Hamiltonians. Phys. Rev. E, 3 - 9 pp. 2002.
10. Reed M. and Simon B.: Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of Operators. Academic Press, New York. 458 pp.1979.
