CC BY
44
УДК 517.984
НЕКОТОРЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ФРИДРИХСА
Т. X. Расулов1,2, X. X. Турдиев1
1 Бухарский государственный университет, физико-математический факультет,
Узбекистан, 200100, Бухара, ул. Мухаммад Икбол, 11.
2 Университет Берна, философско-научный факультет,
Швейцария, СН-3012, Берн.
E-mail: [email protected], [email protected]
Рассматривается самосопряжённый оператор обобщённой модели Фридрихса h(p), р £ Т3 (Т3 —трёхмерный тор), в случае функций специального вида wi,
W2, являющихся параметрами этого оператора. Эти функции имеют невырожденный минимум в нескольких различных точках. Изучены пороговые явления для рассматриваемого оператора в зависимости от точки минимума функции W2-
Ключевые слова: обобщённая модель Фридрихса, резонанс с нулевой энергией, собственное значение, определитель Фредгольма.
Пороговые явления для двухчастичного дискретного оператора Шрёдин-гера изучены в работах [1-3], а для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решётке, изучены в работе [4]. Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики, сводятся к исследованию спектральных свойств обобщённой модели Фридрихса [5-7]. Поэтому изучение пороговых явлений для обобщённой модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.
В настоящей работе рассматривается обобщённая модель Фридрихса h(p) в случае функций специального вида W\ и W2, являющихся параметрами оператора h(p), р = (р^\р^2\р^) € Т3, где Т3 — трёхмерный тор, т. е. куб (—7г,7г]3 с соответствующим отождествлением противоположных граней. Показывается, что эти функции имеют невырожденный минимум в нескольких различных точках Т3 и (Т3)2 соответственно. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы либо число z = 0 являлось собственным значением оператора h(p\), либо оператор h(p\) имел резонанс с нулевой энергией (в зависимости от точки минимума функции W2) для некоторого р\ € Т3. При этом 0 = min<Tess(^(pi)), где cress{h{pi)) — существенный спектр оператора h(p\). Получено разложение определителя Фредгольма при малых значениях \р\, где \р\ = д/(pW)2 + (р(2))2 + (р(3))2. Результаты настоящей работы являются обобщениями соответствующих результатов работы [8]. Отметим, что в работе [9] получены аналогичные результаты (без доказательства) для модели Фридрихса.
Пусть Iv2(T3)—гильбертово пространство квадратично интегрируемых
Расулов Тулкин Хусенович (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. алгебры и анализа1; докторант, математический институт2. Турдиев Халим Хамраевич, студент.
(комплекснозначных) функций, определённых на Т3. Всюду Т3 рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в R3 по модулю (27rZ)3.
Обозначим через % прямую сумму пространств Но = С и Тії = Ьг(Т3), т. е. И = Тіо фНі.
Рассмотрим обобщённую модель Фридрихса h(p), действующую в гильбертовом пространстве % по правилу
= А)- ^
где матричные элементы определяются по формулам
(hoo(p)fo)o = wi(p)f0, (hoi f 1)0 = j v(s)fi(s)ds,
(hiofo)i(q) =v(q)f0, (hu(p)fi)i(q) = w2(p, q)fi(q).
Здесь fi Є Hi] v( • )—вещественнозначная аналитическая функция на Т3, являющаяся чётной по каждой переменной в отдельности на Т1; а функции ■Wi(-) и w2(- , •) определены по формулам
wi(p) = є(р) + Л, w2(p, q) = є(р) + є(р + q) + e(q), з
£(p) = ^(l — cos тр^), т Є N,
г=1
где Л — фиксированное положительное число. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.
Очевидно, что оператор h(p), р Є Т3, ограничен и самосопряжён в 'Н. Оператор Л-01 называется оператором уничтожения, а оператор hw — оператором рождения.
Известно, что в импульсном представлении двухчастичный дискретный оператор Шрёдингера h действует в гильбертовом пространстве Ьг((Т3)2). После выделения полного квазиимпульса системы к Є Т3 оператор h разлагается в прямой операторный интеграл (см. например [1-3]):
h = j фh(k)dk,
где ограниченный самосопряжённый оператор h(k), к Є Т3, действует в гильбертовом пространстве -^2(Г(Г*. С Т3 — некоторое многообразие).
Отметим, что обобщённая модель Фридрихса h(p) обладает основными спектральными свойствами двухчастичного дискретного оператора Шрёдингера h(k) (см. например [8]). По этой причине гильбертово пространство % называется двухчастичным обрезанным подпространством фоковского пространства, а обобщённая модель Фридрихса h(p) — гамильтонианом системы с не более чем двумя частицами на решётке.
Далее под сг( • ), <7ess( • ) и <7diSc( • ) будем понимать спектр, существенный спектр и дискретный спектр соответственно некоторого ограниченного самосопряжённого оператора.
Пусть оператор ho(p) действует в % как
= ( 0 hn(p) ) ’ Р € Т“'
Оператор возмущения h(p) — ho(p) оператора ho(p) является самосопряжённым оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [10] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора h(p) совпадает с существенным спектром оператора ho(p). Известно, что
<2"ess (ho(p)) = [ш2(р);М2(р)],
где
, . , . ( mpW \
m2(p) =£{р)+ 22Д1 - cos—J, k=1
М2(р) = є(р) + 2 ^(l +cos —I—), m Є N. k=і
Из последних фактов следует, что cress(h(p)) = [m2(p); М2(р)\.
Замечание. Отметим, что существенный спектр оператора где Т =
= (7г,7г,7г) Є Т3, превращается в точку {12} = [m2(^7f); M2(^7f)], и, следовательно для любого р Є Г3 нельзя сказать, что существенный спектр оператора h(p) является абсолютно непрерывным.
При каждом фиксированном р Є Т3 определим регулярную в C\aess(h(p)) функцию
л , . , . f v2(s)ds
А[р] z) = wi{p) - z - / —-------г---
J W2(p,s) - Z
— детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором h(p). Установим (см. [8]) связь между собственными значениями оператора h(p) и нулями функции А(р] •).
Лемма 1. При каждом фиксированном р Є Т3 оператор h(p) имеет собственное значение z Є C\aess(h(p)) тогда и только тогда, когда А(р] z) = 0. Из леммы 1 вытекает, что
a {hip)) = crdisc(h(p)) U [т2(р)] М2(р)\,
где adisc(h(p)) = {z Є С \ [т2(р); М2(р)} : А(р; z) = 0}, р Є Г3.
Обозначим через п = п(т) число точек (pi, qj) Є (Т3)2, р% = {р^\р^\р^),
! (1) (2) (3)ч
Qj = (Qj ,Q) ,Q) ), Для которых
причём рі ф pj и ді ф при г Ф у, здесь
т!
т
т, если т — четное т — 1, если т — нечётное.
Можно легко проверить, ЧТО функция и)2( ■ , • ) (соответственно, и)1( ■ )) имеет невырожденный минимум в точках (рг,^-) € (Г3)2 (соответственно, Pi € Т3) и п = (т' + I)6. Дополнительно будем предполагать, что т ^ 2 (если т = 1, то п = 1, а нам интересен случай п > 1).
Замечание. Имеет место равенство Ь(р\) = к(р^, г € {2, 3,... , у/п} (отметим, что у/п € N как корень из шестой степени некоторого натурального числа).
Пусть С(Т3) —банахово пространство непрерывных функций, определённых на Г3, а Ьг(Т3) — банахово пространство интегрируемых функций, также определённых на Т3.
Определение 1. Говорят, что оператор Н(р\) имеет резонанс с нулевой энергией, если число 1 является собственным значением оператора
и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция ф удовлетворяет условию ф 0 при некотором
Функция И)2(-, •) имеет невырожденный минимум В точках (Рг, € (7~3)2, г, ,7 € {1,2,..., \/п}, а функция • ) — аналитическая на Т3, поэтому существует конечный интеграл
Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега и равенства А{р^ 0) = А(^?1; 0) для г € {2, 3,... , л/п} вытекает, что
А(р1; 0) = Ит А(р; 0), г € {1, 2,... , л/п}.
Следующая теорема формулирует необходимые и достаточные условия для того, чтобы либо число г = 0 являлось собственным значением оператора Ь(р\), либо оператор Н(р\) имел резонанс с нулевой энергией.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
а) оператор к(р\) имеет нулевое собственное значение тогда и только
тогда, когда А(рі; 0) = 0 и = 0 для всех Є {1, 2,... л/п};
б) оператор к(р\) имеет резонанс с нулевой энергией тогда и только
тогда, когда А(рі; 0) = 0 и ф 0 при некотором Є {1, 2,... , лфп}.
І Є {1,2,..., лфп}.
р^-рі
Доказательство утверждения а). Необходимость. Пусть оператор h(p\) имеет нулевое собственное значение, а / = (/o,/i) € % — соответствующий собственный вектор. Тогда /о и /\ удовлетворяют системе уравнений
А/о + J v(t)fi(t)dt = 0, v(q)f0 + 2e(q)fi(q) = 0. (1)
Из (1) вытекает, что /о и /\ имеют вид
/о = const ф 0, fi{q) = (2)
и из первого уравнения системы (1) получим A(pi;0) = 0.
Теперь покажем, что /\ € L2(T3) тогда и только тогда, когда v(qj) = 0, j € {1, 2,..., л/n}. Действительно, если при некотором j € {1, 2 ... , фг} верно v(qj) = 0 (соответственно v(qj) ^ 0), то из чётности аналитической функции v{ • ) по каждой переменной в отдельности на Т1 следует, что существуют числа С\ > 0, С2 > 0, Сз > 0 и 5 > 0 такие, что
Ci\q~qj\2 ^\v(q)\^C2\q~qj\2, qGUs(qj), (3)
соответственно
\v(q)| ^ C3, qe Us(qj), (4)
где Us(po) = {p € T3 : \p-po\ < ^}, Po € T3.
Кроме этого, из определения функции е( ■) получим
Ci\q - qj\2 ^ e(q) ^ C2\q - qj\2, qeUs(qj), j € {1, 2,... y/n}] (5)
\/n
e(q)>C3, q GTs = T3 \ [J Us{Pi). (6)
i=1
Имеет место равенство
f if l/ol2 y' f v2{t)dt |/0|2 f v2{t)dt
J imi * = —%км(7)
Учитывая неравенства (3)—(6), имеем, что j-тое слагаемое в правой части
(7) конечно тогда и только тогда, когда v(qj) = 0. Если v(qj) = 0 для всех
j € {1,2, ..., \/п}, то имеем
[ \fi(t)\2dt < C\J2 [ It—^dt + C2< со.
Если при некотором j € {1,2,... , фг} верно v(qj) ф 0, то, используя неравенства (3)—(6), получим
Таким образом, /1 € Ь2(Т3) тогда и только тогда, когда у^) = 0 для всех у € {1,2,..., д/й}.
Достаточность. Пусть А(р\-, 0) = 0 и у(д^ = 0 для всех j € {1, 2,... , лфп}. Легко проверить, что элемент / = (/о, /1), где /о и /1 определены по формуле (2), удовлетворяет уравнению /2.(^1)/ = 0 и / € "Н □
Доказательство утверждения б). Необходимость. Пусть оператор к(р\) имеет резонанс с нулевой энергией. Тогда по определению 1 уравнение
I = ^ (8)
имеет нетривиальное решение ф € С(Т3), удовлетворяющее условию ф{сц) ф 0 при некотором ] € {1,2,..., л/п}. Видно, что это решение совпадает (с точностью до константы) с функцией у( ■) и, следовательно, А(р1; 0) = 0.
Достаточность. Пусть А(р1; 0) = 0 и у(д^ ф 0 при некотором j € {1, 2,... , л/п}. Тогда функция у € С(Т3) является решением уравнения (8) и, следовательно, по определению 1 оператор к(р\) имеет резонанс с нулевой энергией. □
В ходе доказательства утверждения а) теоремы 1 показано, что если оператор к(р\) имеет нулевое собственное значение, то элемент / = (/о, /1), определённый по формуле (2), удовлетворяет уравнению 1г(р\)/ = 0 и /1 € Ь2(Т3). Аналогично можно показать, что если оператор Н{р\) имеет резонанс с нулевой энергией, то элемент / = (/о, /1), определённый по формуле (2), удовлетворяет уравнению Ь{р\)1 = 0 и /1 € Ь\(Т3) \ Ь2(Т3). Это означает, что в определении 1 требование наличия собственного значения ц = 1 оператора С соответствует существованию решения уравнения ]г(р 1)/ = 0, а из условия ф 0 при некотором ] € {1,2,..., лфп} следует, что решение / этого
уравнения не принадлежит пространству %.
Из доказательства утверждения б) теоремы 1 видно, что если оператор Н{р\) имеет резонанс с нулевой энергией, то решение уравнения Сф = ф совпадает (с точностью до константы) с функцией ■ ). Поэтому далее для точности предположим, что если оператор Ь{р\) имеет резонанс с нулевой энергией, то функция у( ■ ) отлична от нуля только в щ точках множества
{д^^х, 1 < по ^ у/п. Не нарушая общности (в противном случае перенумеруем элементы) предположим, что у{д^ ф 0 при ] € 1,2,... ,по- Так как {Рз}^1 = 1) положим рз = ^ для всех 3 €1,2,...,щ.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
а) если оператор к(р\) имеет нулевое собственное значение, то существуют числа С > 0 и ё > 0 такие, что выполняются следующие неравенства:
|А(р; 0)| ^ С\р — Рг\2, р € и${трг), I € {1,2,..., л/й};
б) если оператор к(р\) имеет резонанс с нулевой энергией, то существуют числа С\ > 0, С2 > 0 и 8 > 0 такие, что выполняются следующие неравенства:
1) \А(р-, 0)| ^ Сг\р-рг\2, р € и6(рг), г € {п0 + 1,п0 + 2,..., у/п};
2) \А(р; 0)| >С2,р€Т&.
Сформулируем результат о разложении определителя Фредгольма.
Теорема 3. Если оператор h(p\) имеет резонанс с нулевой энергией, то справедливо разложение
2^-2 /"о
ACP^) = ~2^2у2^\1 ^\P~Pi\2 - Z + °{\р - Pi\2) +0(N)
3 = 1
при |р — Рг\ —> 0, i € {1, 2, . . . , По}, и z —У —0.
Теоремы 2 и 3 доказываются с использованием определения функции w2{ ■ , •) п схем доказательств соответствующих утверждений работы [8].
Отметим, что теоремы 1-3 играют важную роль при изучении конечности или бесконечности дискретного спектра соответствующего гамильтониана, действующего в трёхчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства в зависимости от точки минимума функции w2{-, •) (для случая т = 1 см. [8]).
Работа выполнена при поддержке Deutsche Forschungsgemeinschaft (проект № TR368/6-2). Первый автор благодарит Математический Институт Университета Берна (Берн, Швейцария) за гостеприимство и поддержку. Авторы также выражают благодарность за поддержку на конференции «Математическая физика и её приложения - 2010» лабораторией математической физики СамГУ, грантами АВЦП 3341 и 10854 и контрактом ФЦП 2173.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice // Commun. Math. Phys., 2006. Vol. 262, no. 1. Pp. 91-115, arXiv: math-ph/0501013.
2. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schrodinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics// Ann. Henri Poincare, 2004. Vol. 5, no. 4. Pp. 743-772.
3. Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н. Асимптотика дискретного спектра разностного трёхчастичного оператора Шрёдингера на решётке// ТМФ, 2003. Т. 136, №2. С. 231-245; англ. пер.: Abdullaev J. Lakaev S. N. Asymptotics of the discrete spectrum of the three-particle Schrodinger difference operator on a lattice // Theoret. and Math. Phys., 2003. Vol. 136, no. 2. Pp. 1096-1109.
4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations // J. Math. Anal. Appl., 2007. Vol. 330, no. 2. Pp. 1152-1168, arXiv:math/0604277 [math.SP].
5. Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра / В сб.: Краевые задачи математической физики. 2: Сборник работ. Посвящается памяти Владимира Андреевича Стеклова в связи со столетием со дня его рождения / Тр. МИАН СССР, Т. 73. М.-Л.: Наука, 1964. С. 292-313. [Faddeev L. D. On a model of Friedrichs in the theory of perturbations of the continuous spectrum / In: Boundary value problems of mathematical physics. Part 2\ Collection of articles. Dedicated to the memory of Vladimir Andreevich Steklov in connection with the centennial of his birth / Trudy Mat. Inst. Steklov., 73. Moscow-Leningrad: Nauka, 1964. Pp. 292-313].
6. Минлос P. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решётчатых моделях газа// ТМФ, 1970. Т. 2, №2. С. 230-243; англ. пер.: Minlos R. A., Sinai Ya. G. Spectra of stochastic operators arising in lattice models of a gas I I Theoret. and Math. Phys., 1970. Vol. 2, no. 2. Pp. 167-176.
7. Дынкин E. М., Набако С. H., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса// Алгебра и анализ, 1991. Т. 3, №2. С. 77-90;
англ. пер.: Dyn’kin Е. М., Naboko S. N., Yakovlev S. I. A finiteness bound for the singular spectrum in a selfadjoint Friedrichs model// St. Petersburg Math. J., 1992. Vol. 3, no. 2. Pp. 299-313.
8. Albeverio S., Lakaev S. N., Rasulov Т. H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics// J. Stat. Phys., 2007. Vol. 127, no. 2. Pp. 191-220.
9. Расулов Т. X. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ, 2010. Т. 163, № 1. С. 34-44; англ. пер.: Rasulov Т. Kh. Asymptotics of the discrete spectrum of a model operator associated with a system of three particles on a lattice// Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol. 163, no. 1. Pp. 429-437.
10. Reed М., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. IV: Analysis of operators. New York-London: Academic Press, 1978. 396 pp.; русск. пер.: Pud М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 430 с.
Поступила в редакцию 21 /XII/2010; в окончательном варианте — 04/IV/2011.
MSC: 81Q10; 35Р20, 47N50
SOME SPECTRAL PROPERTIES OF A GENERALIZED FRIEDRICHS MODEL
T.Kh. Rasulov1,2, Kh. Kh. Turdiev1
1 Bukhara State University, Physics and Mathematics Faculty,
11, Muhammad Ikbol, Bukhara, 200100, Uzbekistan.
2 University of Bern, Faculty of Science,
5, Sidlerstrasse, Bern, CH-3012, Switzerland.
E-mail: [email protected], [email protected]
We consider self-adjoint generalized Friedrichs model h{p), p Є T3 (T3 is the three-dimensional torus), in the case where the parameter functions wi and W2 of this operator has the special forms. These functions has non-degenerate minimum at the several different points. Threshold effects for the considering operator are studied depending on the minimum points of W2 ■
Key words: generalized Friedrichs model, zero energy resonance, eigenvalue, Fredholm determinant.
Original article submitted 21/XII/2010; revision submitted 04/IV/2011.
Tulkin Kh. Rasulov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Algebra and Analysis1; Doctoral Candidate, Mathematical Institute2. Khalim, Kh. Turdiev, Student.
