О существенном спектре одного модельного оператора, ассоциированного с системой трёх частиц на решётке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Функциональный анализ

УДК 517.984

0 СУЩЕСТВЕННОМ СПЕКТРЕ ОДНОГО МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА, АССОЦИИРОВАННОГО С СИСТЕМОЙ ТРЁХ ЧАСТИЦ НА РЕШЁТКЕ

Т. X. Расулов1,2

1 Бухарский государственный университет, физико-математический факультет,

Узбекистан, 200100, Бухара, ул. Мухаммад Икбол, 11.

2 Университет Берна, научно-философский факультет,

Швейцария, СН-3012, Берн.

E-mail: [email protected]

Рассматривается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх одинаковых частиц на трёхмерной решётке Z3. Описано местоположение существенного спектра оператора Н через спектр соответствующей модели Фри-дрихса, т. е. выделены двухчастичная и трёхчастичная ветви существенного спектра оператора Н. Доказано, что существенный спектр этого оператора состоит из объединения не более чем трёх отрезков. Показано появление двухчастичных ветвей по обе стороны трёхчастичной ветви существенного спектра

Н. Кроме того, получен аналог уравнения Фаддеева, а также его симметризо-ванный вариант, для. собственных функций оператора Н.

Ключевые слова: модельный оператор, модель Фридрихса, класс Гильберта-Шмидта, уравнения Фаддеева, существенный спектр.

Введение. Существенный спектр многочастичных операторов в евклидовом пространстве достаточно хорошо изучен во многих работах, см. например [1—3]. Системы трёх частиц на решётке были рассмотрены в работах [4-7] и исследован их существенный спектр. В частности, в работе [5] доказано, что существенный спектр трёхчастичного оператора Шрёдингера на решётке состоит из объединения не более чем конечного числа отрезков, даже в том случае, когда соответствующий двухчастичный оператор Шрёдингера на решётке имеет бесконечное число собственных значений.

В настоящей работе рассматривается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх одинаковых частиц на решётке. Выделены двухчастичная и трёхчастичная ветви существенного спектра оператора Н. Доказано, что существенный спектр этого оператора состоит из объединения не более чем трёх отрезков. Отметим, что появление двухчастичных ветвей по обе стороны трёхчастичной ветви существенного спектра Н, играет важную роль при изучении конечности или бесконечности частей дискретного спектра, расположенных там, а также на лакунах существенного спектра.

Расулов Тулкин Хусенович (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. алгебры и анализа1; докторант, математический институт2.

Следует отметить, что двухчастичная и трёхчастичная ветви существенного спектра трёхчастичного непрерывного оператора Шрёдингера [1-3] представляют собой полубесконечные прямые и пересекаются. В данном случае, в отличие от непрерывного случая, двухчастичная и трёхчастичная ветви существенного спектра модельного оператора Н заполняют отрезки конечной длины и они могут не пересекаться, т. е. возникает лакуна. Поэтому в решётчатом случае необходимо изучать ветви существенного спектра по обе стороны трёхчастичной ветви, от которого зависит существование двустороннего эффекта Ефимова. В работах [4-8] доказано, что решётчатые операторы не имеют частей существенного и дискретного спектра правее трёхчастичной ветви. В этих работах изучение расположения существенного спектра основано на монотонности определителя Фредгольма модели Фридрихса. В данном случае, в отличие от предыдущих работ, определитель Фредгольма не монотонен, метод исследования основан на числе собственных значений модели Фридрихса.

1. Модельный оператор. Пусть Т3 = (—7г;7г]3 — трёхмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней, L/2 (7~3) —гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определённых на Т3, и L|((T3)2) — гильбертово пространство квадра-тично-интегрируемых, симметричных (комплекснозначных) функций, определённых на (Т3)2.

Рассмотрим модельный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве Щ((Т3)2) по формуле

Н = Н0-К1- К2, где операторы Но и г = 1,2 определяются по формулам:

(Но f)(p,q) = w(p,q)f(p,q),

(Kif)(p, q) = J K(q, s)f(p, s)ds, (K2f)(p, q) = J K(p, s)f(s, q)ds.

Здесь

K(p,q) = <pi(p)<fii(q) ~<P2(j>)<P2(q),

(fi(-) (i = 1,2) — вещественнозначная непрерывная функция на Т3 и w(-, •) — вещественнозначная симметричная непрерывная функция на (Т3)2. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В этих предположениях оператор Н является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве Ь|((Т3)2).

2. Некоторые спектральные свойства модели Фридрихса. В этом пункте рассматривается модель Фридрихса h(p), р € Т3, действующая в ^(Т3) как

h{p) = h0{p) - k, (1) где операторы ho(p), р € Т3 и к определяются по правилам

(ho(p)f)(q) = w(p, q)f(q), (kf)(q) = j K(q, s)f(s)ds

и изучаются два свойства этого оператора, которые понадобятся при доказательстве основного результата работы.

Обозначим через сг(-), и сг^сО) соответственно спектр, существен-

ный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряжённого оператора.

Оператор возмущения к оператора Л-о (р), р Є Т3 является самосопряжённым двумерным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [1] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр ае88(к(р)) оператора 1г(р), р Є Т3 совпадает с существенным спектром оператора Л-о(р), р Є Т3. Известно, что (р)) = [т(р)',М(р)], где числа т(р) и М(р) определяются по равенствам

т(р) = тіп ъи(р,д), М(р) = тах«;(р, д). дєТ3 дєТ3

Из последних двух фактов следует, что аезз(к(р)) = [т(р); М(р)\.

При каждом фиксированном р Є Т3 определим функцию

ъи(р,з)—г/ ъи(р,з)—г )

(детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором /г(р), р Є Т3), регулярную в С \ [ш(р); М(р)].

Установим связь между собственными значениями оператора /г(р), р Є Т3 и нулями функции Д(р; •). Верна следующая

Лемма 2.1. При каждом фиксированном р Є Т3 число г Є С \ сге88(Н(р)) является собственным значением оператора Н(р) тогда и только тогда, когда А(р; г) = 0.

Доказательство. Пусть число геС\о'Є88(Іі(р)) — собственное значение оператора /г(р), р Є Т3 и пусть / Є £2(Т3) — соответствующая собственная функция, т. е., уравнение

™(Р, ?)/(<?) - J[<Р\(<?М(«) - ^2(9)^2(в)]/(в)йв = zf{q) (2)

имеет ненулевое решение / Є ІУ2(Т3).

Заметим, что для любых г Є С \ о'е88(к(р)) и д Є Т3 имеет место соотношение ъи(р, о) — г ф 0, р Є Т3. Тогда из уравнения (2) для / имеем

=

■ш(р, (?) — -г

С» = У <р*(в)/(в)^- (4)

Подставляя выражение (3) для / в равенство (4), получим, что уравнение (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда система уравнений

д_ Г УІМі*

.) и)(р,8) - г) .) и)(р,8) - г

где

имеет ненулевое решение (С*!, С2) € С2, т. е. когда А(р; г) = 0. □ Из леммы 2.1 вытекает, что

а(Ь(р)) = (тЛыс(Ь(р)) и 1т(р);М(р)\,

(5)

где

(ТйівсХНр)) = {г Є С \ [т(р); М(р)} : А(р; г) = 0}, р Є Г3.

Для любого ограниченного самосопряжённого оператора А, действующего в гильбертовом пространстве И, обозначим через %а{^) такое подпространство, что (А/, /) < Л||/|| для любого / € 'На(х), и положим

Число Л^А, А) равно бесконечности, если Л > тіп <те88(^4), и если число И{\,А) конечно, то оно равно числу собственных значений оператора А (с учётом кратности), меньших чем Л.

Лемма 2.2. Для любого р Є Т3 оператор Ь{р) имеет не более чем по одному простому собственному значению, лежащему левее т(р) и правее

Доказательство. Сперва вводим оператор кг, г = 1,2, действующий в 1^2 (Т3) как

Тогда оператор к можно записать в виде к = к\ — к2- Положим к\{р) = = Л-о(р) — к\. Так как оператор кг (г = 1,2) неотрицательный, легко можно показать, что іі(р) ^ к\{р) и, следовательно, 'Нь(Р)(х) С "Н/іф) (-г), z ^ т(р). Это означает, что

оператора Н\{р) монотонно убывает на полуоси (—оо,т(р)), имеем, что

следовательно, в силу неравенства (6) верно М{т{р),к{р)) ^ 1. По обозначению это означает, что для любого р Є Т3 оператор Н(р) имеет не более чем одно простое собственное значение, лежащее левее т(р).

Аналогично можно показать, что п(—М(р), —к(р)) ^ 1. □

3. Аналог уравнения Фадцеева для собственных функций оператора Н. В этом пункте получен аналог уравнения Фаддеева для собственных функций

М(Х,А) = вир ЛшхНа^).

ПА{г)

М(р).

(кгЛ(д) = <Рі(д) / ірі(з)/(з)(І8, г = 1,2.

М(г,к(р)) ^ М{г,Н\{р)), г ^ т(р). Так как определитель Фредгольма

(6)

оператора Н, который играет важную роль при исследовании спектра этого оператора. Часть построений и рассуждений в п. 3 и 4 аналогичны тем, что содержатся в работе [9], ив этом случае мы ограничились соответствующей ссылкой.

Положим

ш= пип ы(р,а), М = тах ь)(р,а),

Р,яеТ3 Р,яеТ3

аЫо(Н) = У <7сшс(/г(р)), ^Ьгее(Н) = [т;М].

РеТ3

Пусть (Г3) — гильбертово пространство двухкомпонентных вектор-функций / = (/ь/2), /а € Ь2{Т3), а = 1,2. При каждом г е С \ а^ее(Н) операторные матрицы А(г) и К (г) действуют в пространстве (^Т3) по формуле

где Ау(г) : Ь2(Т3) ->• Ь2(Т3), %, = 1, 2, г € С \ ощ-ее(Я) — оператор умножения на функцию ац(р]г):

«..(и*) = 1-1' ъЫ) = 1 + /

.) и)(р,8) - г .) и)(р,8) - г

[ <Р1 (8)<£2(8)(18

ап{Р]г) = -а21[р',г) = / —-----------г----,

} го{р, в) - г

а операторы К^(г) : Ь2(Т3) ->• Ь2(Т3), г,.] = 1,2, г е С \ аЬЬгее(Н) — интегральные операторы с ядрами К^(р, г):

-^11 (Р) / \ ) К\2 \PiSiZ) , , ,

ь)\Р) в) — г ъи(р1 з) — г

К21(р,з-,х) = -К12(8,р;х) К22(р,8-,г) =

ь)(р, 8) — г

Заметим, что при каждом 2 £ С \ а^тее(Н) операторы К^(г) (г,.] = 1,2) принадлежат классу Гильберта—Шмидта, следовательно, К (г) является компактным оператором.

Лемма 3.1. При каждом 2 € С \ {(т^о{Н) и ^Ьгее(^)) оператор А(г) является ограниченным, обратимым; обратный оператор А~1(г) определён по формуле

А-1(7\ _ ( Вц{х) В12(х)

А ^ ^ В21(г) В22(г)

где Вц(г) : Ь2(Т3) ->• Ь2(Т3), г,] = 1,2, 2 £ С \ (^о(Н) и аЬЬтее(Н)) -оператор умножения на функцию Ъ^(р-,г):

а22{р-,г) а12(р;г)

Ьп{р-, г) = —---------, Ь12(р; г) = —--------,

А(р; г) Д(р; г)

а2х{р;г) , . ац(р;г)

&21(р; г) = ——------, Ь22(р] г) = —---

А(р; г) Д(р; г)

Лемма 3.1 доказывается аналогично соответствующей лемме из работы [9].

Так как при каждом г еС\ (&\то{Н) и а^тее(Н)) оператор А(г) обратим, то для таких г мы определим оператор вида Т(г) = А~1(г)К(г).

Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями операторов Н и Т(г).

Лемма 3.2. Число г € С \ (сг^0(Н) и а^тее(Н)) является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда оператор Т(г) имеет собственное значение, равное единице, и их кратности совпадают.

Доказательство. Пусть г £ С \ (о'^о(Н) и ^Ьгее(^)) —собственное значение оператора Н и / € Щ{{'Т3)2) —соответствующая собственная функция, т. е. уравнение Н/ = г/ или уравнение

(Ь)(р, д) - г)/(р, 0)- !- Ыя)Ы*)\/(Р,

- J[<Р1(Р)<Р1(Э) - ¥>2(р)¥>2(в)]/(в, = О (7)

имеет нетривиальное решение / € Ь|((Т3)2).

Так как г ^ сг^гее^)) из уравнения (7) для / имеем:

ч = Ыя)91(р) ~ Мд)92(р) + <р!(р)д1(д) - <Р2(р)Ы?) ^

’ и](р, д) — г ’

где

9і(р) = У ^і(в)/(р,в)йв, г = 1,2. (9)

Подставляя выражение (8) для / в равенство (9), получим, что система уравнений

ац(р;г)д1(р) + аи(р] г)д2(р) = щ{р) [ - <р2{р) [ <Р1^92^ йз;

] и}(р, в) - г ] и}(р, в) - г

а21(р]г)дг(р) + а22(р-,г)д2(р) = (рг(р) I <Р2^91^ с1в - <р2(р) / <Р2^92^ йв

.) и}{р, в) - г .) тур, в) - г

или уравнение

А(г)д = К(г)д, д = (д!,д2) € Ь^\Т3) (10)

имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (10) имеет нетривиальное решение и линейные подпространства, порождённые решениями уравнений (7) и (10), имеют одинаковые размерности.

По лемме 3.1 при каждом г е С \ и о^гее(-/?)) оператор А(г)

обратим и, следовательно, уравнение д = А~1(г)К(г)д, т. е. уравнение д = = Т(г)д, имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (10) имеет нетривиальное решение. Здесь также линейные подпространства,

порождённые решениями уравнений (10) и д = Т(г)д, имеют одинаковые размерности. □

Замечание 3.1. Заметим, что уравнение Т(г)д = д обычно называется аналогом уравнения Фаддеева для собственных функций оператора Н.

Видно, что при каждом г < тіп(<т^0(ії) и ^ьгее(^)) оператор А(г) является положительным и, следовательно, существует его положительный квадратный корень А~2 (г). Для таких г определим оператор Т(г) = А~і(г)К(г)х х А~ ?(г), являющийся симметризованным вариантом уравнения Фаддеева для собственных функций оператора Н.

Следующая лемма доказывается аналогично лемме 3.2 и устанавливает связь между собственными значениями операторов Н и Т(г).

Лемма 3.3. Число г < тіп(<т^0(ії) и а^тее(Н)) является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда оператор Т(г) имеет собственное значение, равное единице, и их кратности совпадают.

4. Существенный спектр оператора Н. В этом пункте, пользуясь утверждениями п. 2 и 3, а также критерием Вейля и теоремой о спектре разложимых операторов, докажем теорему, которая описывает местоположение существенного спектра оператора Н.

Теорема 4.1. Для существенного спектра ае88(Н) оператора Н имеет место равенство

Более того, множество ае88(Н) состоит из объединения не более чем трёх отрезков.

Доказательство. Сначала докажем равенство (11). Включение сг^гееС-^О С ае88(Н) доказывается аналогично доказанному в работе [10].

Докажем, что а^0(Н) С ае88(Н). Пусть го € а^0(Н) — произвольная точка. Возможны два случая: 1) го € а^тее(Н), 2) го §£ а^тее(Н). Если го € ^Ьгее(^)) т0> как отмечено выше, го € ае88(Н). Пусть го € а^0(Н) \ ^Ьгее(-^) —произвольная точка. Тогда существует точка ро € Т3 такая, что А(ро] го) = 0. Отсюда следует, что система однородных линейных уравнений

имеет бесконечное число решений в С2. Легко можно проверить, что существует ненулевое решение I = (Ь,12) € С2 системы (12), удовлетворяющее следующему условию: А(ро~, ^о) = 0 и функция 1\(р1( •) — /2^2( •) отлична от нуля.

Систему уравнений (12) можно записать в виде

<те88(Я) = У оашсСМгО) и [т;М].

(П)

рєТ3

ап(р-,г)1і+аі2(р]г)12 = 0, а2і(р; г)Ь + а22(р; г)12 = 0 (12)

А(ро; zo)l — 0, І — (її, 12) є С2.

Пусть

Хуп(ро)(') — характеристическая функция множества Уп(ро) и ц(уп(ро)) — Лебегова мера множества Уп(ро).

Выбираем ортогональную систему {/га} следующим образом:

7 ( ч _ У1(р)^1П)(д) + У1(д)^1П)(р) - Ыр)Ф{^\я) - Ыя)Ф{^\р)

ш,9) и>(р,я)-г О

где

^■п)(р) = 1гСп(р)хУп(р)(р(Уп(ро)))~1/2, г = 1,2.

Здесь {с^} С ^(Т3) — ортонормальная система, которая находится из условия ортогональности {/га}, т. е.

^П’ ^ ^КУп(Ро))^КУш(Ро)) Хп(ро) Хт(ро)

х ^(р)^) - + *|Ыр)Ыя)т =0}П^т_ (14)

(ги(р,д) - г0)2

Существование сга(р) вытекает из следующего предложения.

Лемма 4.1. Существует ортонормальная система {сп} С Ь2(Т3), удовлетворяющая условиям вирр сп С Уп(ро) и (14).

Лемма 4.1 доказывается аналогично соответствующему предложению из работы [9].

Легко можно проверить, что

||/||2>____—_____ М= 4И^1~^2112 (15)

^ КУп(Ро)) ’ тах |ги(р, (?) - г0|2’

Р,«?еТ3

при всех п € N.

Положим /га = /п/1|/п||ь|((Т3)2)' Очевидно, что {/„} —ортонормальная система.

Рассмотрим (Н — ^о)/п и оценим его норму:

II (Я - г0)/га||ь|((Г3)2) < + ||^(го)^(га)

где

^(Г3) . 11^2)(Г3) ’

/ (п) / (п) ^(п) = I П

. 11/га||ь|((Г3)2) ’ 11/га||ь|((Г3)2) .

Из определения 1р(п^ и неравенства (15) вытекает, что

ІІЛ^, « ^ II* • (“)

Так как для любых п ф т носители функции гМ”) не пересекаются, из неравенства (16) следует, что {ф^} С Ь^\Т3) —ограниченная ортогональная система.

Из компактности оператора K(zq) вытекает, что

\\К(г0)ф{п)\\ L(2)(T3j —>■ 0 при п —> оо.

Далее оценим \\А(хо)'ф^п"> II (2),_3,. Используя неравенство Шварца, полу-

^2 U )

чим

\\A(z0)^{n)\\2(2) sup \\A(p-z0)l\\2C2.

[l > p€Vn(po)

Из непрерывности функции А( ■ ; zo) на Т3 и из равенства (13) следует,

что

sup \\А(р; гь)/||С2 —> 0 при п —> оо.

реУп(ро)

Таким образом, для ортонормальной последовательности {fn} верно

||(Я - 2оШк|((Т3)2) 0 при п~> оо

и, следовательно, в силу критерия Вейля справедливо Zq € aess(H). Из произвольности точки zo € atwo(H) следует, что atwo(H) С aess(H). Итак, мы доказали включение atwo(H) U <Tthree(^) С aess(H).

После того как мы получили компактное уравнение Фаддеева для собственной функции (см. П. 3), обратное включение aess(H) С <Ttwo(-ff)U<Tthree(-fO следует из общей теории Фредгольма [1] (см. также [6,7,9]).

В силу леммы 2.2 для любого р € Т3 оператор h(p) имеет не более чем одно простое собственное значение, лежащее левее m и правее М. Тогда в силу теоремы о спектре разложимых операторов из равенства (1) вытекает, ЧТО множество atwo(H) состоит из объединения не более чем двух отрезков, следовательно, множество aess(H) состоит из объединения не более чем трёх отрезков. □

Введём новые подмножества существенного спектра оператора Н.

Определение 4.1. Множества atwo(H) и сг^тее(Н) называются соответственно двухчастичной и трёхчастичной ветвями существенного спектра оператора Н.

Замечание 4.1. Отметим, что множество atwo(H) состоит из объединения не более чем двух отрезков, которые расположены в обеих частях множества Cthree(,H) (см. доказательство теоремы 4.1).

Работа поддержана Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), грант № TR368/6-1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 430 с. [Reed М., Simon В. Methods of modem mathematical physics. Vol. IV: Analysis of operators. Moscow: Mir, 1982. 430 pp.]

2. Жислин Г. M Исследование спектра оператора Шрёдингера для системы многих частиц// Труды Моск. матем. об-ва, 1960. Т. 9. С. 81-120. [Zhislin G. М. Discussion of the spectrum of the Schrodinger operator for systems of many particles // Trudy Moskov. Mai. Obshch., 1960. Vol. 9. Pp. 81-120].

3. Hunziker W. On the spectra of Schrodinger multi-particle Hamiltonians // Helu. Phys. Acta, 1966. Vol. 39. Pp. 451-462.

4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schrodinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics// Ann. Inst. Henri Poincare, 2004. Vol. 5, no. 4. Pp. 743-772.

5. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schrodinger operators on lattices// Math. Nachr., 2007. Vol. 280, no. 7. Pp. 699-716.

6. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices // Russ. J. Math. Phys., 2007. Vol. 1, no. 4. Pp. 377-387.

7. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles // Rep. Math. Phys., 2009. Vol. 63, no. 3. Pp. 359-380.

8. Расулов Т. X. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трёх частиц на решётке // ТМФ, 2010. Т. 163, № 1. С. 34-44; англ. пер.: Rasulov Т. Kh. Asymptotics of the discrete spectrum of a model operator associated with a system of three particles on a lattice// Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol. 163, no. 1. Pp. 429-437.

9. Расулов Т. X. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц// Изв. вузов. Матем., 2008. №12. С. 59-69; англ. пер.: Rasulov Т. Kh. The Faddeev equation and the location of the essential spectrum of a model multi-particle operator // Russian Math. (Iz. VUZ), 2008. Vol. 52, no. 12. Pp. 50-59.

10. Эшкабилов Ю. X. Об одном дискретном “трёхчастичном” операторе Шрёдингера в модели Хаббарда// ТМФ, 2006. Т. 149, №2. С. 228-243; англ. пер.: Eshkabilov Yu. Kh,. A discrete “three-particle” Schrodinger operator in the Hubbard model // Theoret. and Math. Phys., 2006. Vol. 149, no. 2. Pp. 1497-1511.

Поступила в редакцию 03/V/2010; в окончательном варианте — 07/VII/2011.

MSC: 81Q10; 35Р20, 47N50

ON THE ESSENTIAL SPECTRUM OF A MODEL OPERATOR ASSOCIATED WITH THE SYSTEM OF THREE PARTICLES ON A LATTICE

T. Kh. Rasulov1,2

1 Bukhara State University, Physics and Mathematics Faculty,

11, Muhammad Ikbol, Bukhara, 200100, Uzbekistan.

2 University of Bern, Faculty of Sciences,

5, Sidlerstrasse, Bern, CH-3012, Switzerland.

E-mail: [email protected]

A model operator H associated with the system of three-identical particles on a lattice Z3 is considered. The location of the essential spectrum, of H is described by the spectrum of the corresponding Friedrichs model, that is, the two-particle and three-particle branches of the essential spectrum of H are singled out. It is proved that the essential spectrum of H consists of no more than three bounded closed intervals. An appearance of two-particle branches on the both sides of the three-particle branch is shown. Moreover, we obtain, an analogue of the Faddeev equation and its symmetric version, for the eigenfunctions of H.

Key words: model operator, Friedrichs model, Hilbert-Schmidt class, Faddeev equation, essential spectrum.

Original article submitted 03/V/2010; revision submitted 07/VII/2011.

Tulkin, Kh. Rasulov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Algebra and

Analysis1; Doctoral Candidate, Mathematical Institute2.