Спектральные свойства двухчастичного гамильтониана на одномерный решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 102-110.

УДК 517.984

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДВУХЧАСТИЧНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА НА ОДНОМЕРНЫЙ РЕШЕТКЕ

М.Э. МУМИНОВ, А.М. ХУРРАМОВ

Аннотация. Рассматривается система двух произвольных квантовых частиц на одно-меpной pешетке со специальными дисперсионными функциями (описывающими перенос частицы с узла на узел), взаимодействующих с помощью выбранного потенциала притяжения. Изучена зависимость числа собственных значений семейства операторов h(k) от энергии взаимодействия частиц и полного квазиимпульса koT (T- одномерный тор). В зависимости от энергии взаимодействия частиц найдены условия, при которых левее существенного спектра существует многократное собственное значение оператора h(k).

Ключевые слова: двухчастичный гамильтониан на одномеpной решетке, собственное значение, многократное собственное значение.

Mathematics Subject Classification: 44A55, 81Q10

1. Введение

В непрерывном случае изучение спектральных свойств полного гамильтониана системы двух частиц сводится к изучению двухчастичного оператора Шредингера с помощью выделения энергии движения центра масс так, что одночастичные "связанные состоя-ния"суть собственные векторы оператора энергии с отделенным полным импульсом (при этом такой оператор фактически не зависит от значений полного импульса) [1]. На решетке "выделению центра масс"системы отвечает реализация гамильтониана как "расслоенного оператора т. е. "прямого интеграла"семейства операторов h(k) энергии двух частиц, зависящих от значений полного квазиимпульса koTd (Td— d-мерный тор) [2, 3]. Решетчатые двухчастичные гамильтонианы исследованы в работах [4, 5]. В работе [4] показано появление уровней связанных состояний, отстоящих от непрерывного спектра на определенном расстоянии, при некоторых значениях полного квазиимпульса системы. Спектральные свойства двухчастичного оператора, зависящие от полного квазиимпульса, изучены в [5].

В работе [3] доказано, что в случае, когда оператор h(0) имеет виртуальный уровень на левом крае существенного спектра, дискретный спектр оператора h(k), лежащий левее существенного спектра, всегда является не пустым при всех koTd \ {0}. В работе [6], предполагая дисперсионные соотношения частиц £i(-) и линейно зависимыми функциями, доказано, что из положительности h(0) следует положительность h(k) при всех коT3 \{0}.

В [7] исследована система двух частиц на трехмерной решетке с некоторой дисперсионной функцией, описывающей перенос частицы с узла на соседний узел, взаимодействующих с помощью потенциала притяжения только на ближайших соседних узлах. Изучены спектральные свойства семейства операторов h(k), в зависимости от энергии взаимодействия частиц и полного квазиимпульса коT3 (T3 — 3-мерной тор).

M.E. Muminov, A.M. Khurramov, Spectral properties of two particle Hamiltonian on one-dimensional lattice.

© Муминов М.Э., ХуррАмов А.М. 2014.

Поступила 30 января 2014 г.

В работе рассматривается двухчастичный оператор Шредингера к(к), к Е Т, соответствующий системе двух частиц на одномерной решетке, где в качестве потенциала берется некоторый 2Ы + 1 - мерный интегральный оператор, и в зависимости от N выбирается дисперсионная функция. Изучено существование собственных значений семейства операторов к(к), в зависимости от энергии взаимодействия частиц и полного квазиимпульса к.

2. Формулировка основных результатов

Пусть Z — одномерная целочисленная решетка, = Z х Z — декартова степень Z и — гильбертово пространство квадратично - суммируемых функций, определенных

на (^)2.

Рассмотрим координатное представление гамильтониана системы двух произвольных частиц, взаимодействующих с парным короткодействующим потенциалом $(•) на одномерной решетке, действующего в пространстве l2((Z)2) по формуле:

к = к0 — V,

где к0 и V действуют по правилам:

(коф)(п1,П2) = ^2 [£1(з)ф(п1 + в,П2) + ¿2(з)ф(п1,п2 + 5)],

(УФ)(П1,П2) = У(П1 — П2)Ф(П1,П2). Здесь £1(3) и е2(з)— вещественнозначные четные функции, описывающие перенос частицы с узла на соседний узел, определенные по формуле

{— при ^ = 0,

тг 1

— при 8 = ±2п,

0 в остальных случаях

и

(2ж^0 при 8 = 0,

при 8 = ±1, I = 1,М,

0 в остальных случаях, где т,г > 0 — масса г-ой частицы, г = 1, 2, щ > 0, п— натуральное число. Введем следующие многочлены

Ро(х) = 0, Р1(х) = х,

Рк (х) = Р1(Рк-1(х)) + 2Рк-1(х) — Рк-2(х) + 2Р1(х), к = 2, 3, 4,.... Пусть А — решетчатый лапласиан на одномерной решетке. Он действует в 12(£) по формуле

(А! )(з) = / (в + 1) + / (в — 1) — 2! (з). Предложение 1. Для любого f Е 12(^) имеет место равенство

/ (8 + к) + f (8 — к) — 2! (з) = (Рк (А)/)(8), к = 2, 3, 4,.... Доказательство. Предположим, что при к = 1,1 > 2 выполняется равенство

f (8 + 1) + / (8 — I) — 2! (з) = (Р1(А)! )(з).

Тогда имеем

(Р1 (Рг (А))/)(з) = V (з + I + 1) + f (з — (I — 1)) — 2/(5 + 1)] + + и (8 — (I + 1)) + f (8 + (1 — 1)) — 2/(в — 1)] — 2(Рг (А)! )(8) = = (П+1(А)/)(з) + (1^-1(А)/)(з) — 2(Р1(А)/)(з) — (ЩА)/)(з).

Отсюда вытекает, что

f (а + I + 1) + f (в - (I + 1)) - 2/(Я) = (Рг(А)/)(а) + 2(Рг(А)/)(а) - (Р-г(А)/)(з)+

+ 2(Рг(А)/)(8) = (Р1+1(А)/)(8).

Предложение доказано.

Заметим, что свободный гамильтониан к0 системы двух произвольных частиц на одномерной решетке действует в пространстве £2(Ж2) по формуле:

к = ^Р2п(А) х Е + -1-Е х Р2п(А), 2т\ 2т2

где Е — единичный оператор в 12(Ъ).

Отметим, что рассматриваемый оператор к является ограниченным, самосопряженным

в ¿2((г )2).

Пусть Т = (-ж,ж], Ь2(Т)- гильбертово пространство всех квадратично-интегрируемых функций, определенных на Т. С помощью преобразования Фурье [3], [6]

1

2п

9 : um ^ Ы(Т)2), (*f)(j>) =

se(z)2

получим импульсное представление h оператора h, т. е. h = 9h9-i. Далее оператор h разложим в прямой операторный интеграл

h = j ®h(k)dk,

T

где h(k), к E T, — самосопряженный оператор, действующий в L2(T) по формуле

h(k) = ho (к) — v, здесь h0(k)— оператор умножения на функцию

8к(р) = — с(р) + — е(р — к), е(р) = V^ e(s)etps = 1 — cos 2пр mi m2 ¿—i

sEZ

и v— интегральный оператор с ядром

1 _■ _ N

v(p — q) = — У^ v(s)e-l(p-q)s = У^ щ cos l(p — q).

sEZ 1=0

Отметим, что из теоремы Вейля о существенном спектре [8] следует, что существенный спектр aess(h(k)) оператора h(k) не меняется при компактном возмущении v и совпадает со спектром невозмущенного оператора h0(k). При этом aess(h(k)) состоит из области значения функции 8^(•), т. е.

aeSS(h(k)) = a(ho(k)) = [m(k),M (к)],

где m(k) = min 8к(р), М(к) = max 8к(р).

pET pET

Поскольку v > 0, то

sup(h(k)f, f) ^ sup(ho(k)f, f) = M(k)(f, f), f E L2(T).

Поэтому оператор h(k) не имеет собственного значения, лежащего правее существенного спектра, т.е.

a(h(k)) П (М(к), ж) = 0. В дальнейшем будем считать, что

НОК{2, 4,..., 2(N — 1)} при N> 1,

П Л 1, если N = 1,

где НОК — наименьшее общее кратное. Следует отметить, что если N представляется в виде степени некоторого простого числа, то число является дробным. В противном случае число является натуральным. Введем следующие обозначения:

но?- ?) — ! ds г (к- ?) — !c°s2 Nsds z) = -, cN(k, z) = -,

J Sk (s) - z J Sk (s) - z

T T (1)

f sin2 Nsds

sN(k- z) — -, z<m(k),

J £k(s) - z

T

~ . . 1 1 1 2 1

Ck (p) —--\---\ —2 +--c°s 2nk \--2 c°s 2np.

т1 m2 V m\ m1m2 m2

Из представления 8k (p) следует, что min 8k(p) достигается только в нуле. Поэтому

рЕ[—ж,ж]

/sin2 Nsds

-гг- сходится и принимает положительное значение.

Обозначим

= sN (к;т(к)). (2)

Предположение 1. Предположим, что т — т1 — т2 и к — ±.

Отметим, что если — натуральное (дробное) число, то Cn(к- z) — Sn(к- z) (cN (к- z) > sN(к- z)

Теорема 1. Пусть не выполняется предположение 1. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если — натуральное число, то для любого ц — (ц0,...,цм) G R++1 оператор h(k) имеет ровно

2N + 1

собственных значении, с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра.

2. Если — дробное число, то для любого ^ — (^0, ...,^nG R+ и ^n G Ма, оператор h(k) имеет ровно

2N + а

собственных значении, с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра, где М0 — (0- ^°(к)], Мх — (^°(к)-ж), a G {0,1}.

Теорема 2. Пусть выполняется предположение 1. Тогда £к(р) = ^ и для любого ^ — (^о, ...,^n) G R++1 оператор h(k) имеет ровно

2N + 1

собственных значений, которые имеют вид: г0 = — — 2^0-к, = — — щ-к, I = 1,М. При этом г0 — простое, а г1, I > 1 — двукратное собственное значение.

Замечание. Следует отметить, что если 1 — V* ¿(к ,г*) = 0, г* < т(к), ^* > 0 (см. лемма 2) и щ = ^* для всех I Е {1, 2, 3,..., N — 1}, то число г = г* является не менее

2Ы — 2

кратным собственным значением оператора к(к).

3. Собственные значения к(к) Введем оператор к(к), действующий в Ь2(Т) по формуле

к(к) = ко(к) - V, где к0(к)- оператор умножения на функцию

я / ч 1 1 1 2 ,1

tk (р) =--1---\ —2 +--cos 2пк +--2 cos 2пр.

m1 m2 у т\ т1т2 т2

Пусть унитарный оператор U : L2(T) ^ L2(T) определен по формуле

( U f )(p) = f(p — (к)),

где

rn + rn~ cos 2пк 6( к) = arccos mi т2

Л/Д - +--cos2nк + Д -

Д/ mf т\т^ т^

Тогда

( U-1 f)(jp) = i(p+2n-ne ( к)), f^L2(T).

Лемма 1. Оператор h(к) является унитарно эквивалентным оператору h(к), т.е.

h( к) = U-1h(k)U. Доказательство. Поскольку имеет место представление

то

8к(р) =--1---\ —2 +--cos 2пк +--2 cos(2 пр — в(к)),

mi т2 W mi т1т2 т2

(h0(k)Uf)(p) = (— + — — а -1 +--2—cos 2 пк + -X, cos(2пр — в(к))] х

\т1 т2 у т2 т1т2 т2 /

х f(p—-1е (к)).

Легко проверить, что

-i4k)Uf)(p)= + — — ,/ ^ + 2 \

т1 т2 у mi т1т2 т2

(U-i 1ю( k)U f)(p) = (— + — — J -1 + ^^cos2n к + ^ cos2np] f(p), \mi m2 у mi mim2 m2 /

т. е.

и-1ко(к)и = к о(к).

Ясно, что

( ии!)(р) = и-1 П у(8 -р)!(з - (к))<18

\Т

Г 1 1

= ]<8 - (р + -е(к)))/(8 - —6(к))<Ь.

Т

В последнем интеграле произведя замену в - ( к) = I, имеем

( ии/)(р) = ! ь(1 - р)

Т

т.е.

и-\и = V.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Число < т(к) является собственным значением оператора 1г(к) тогда и только тогда, когда А(к; г) = 0, где

N 2

Д( к; z) = (1 — ^оd(k; z)) Д — ^d(k; при натуральном -П,

i=i

А(к; г) = (1 — ^(к; г)) Д (1 — ^й(к; г)^ (1 — (к; г)) (1 — (к; г))

1=1

при дробном п/2Ы. При этом кратность нуля функции А(к; •) совпадает с кратностью собственного значения оператора к(к).

Доказательство. Пусть г < т(к)— собственное значение оператора к(к) и /— соответствующий собственный вектор, т.е. уравнение

к( к)! = z f

имеет нетривиальное решение . Тогда

1 = Г0^ /, (3)

где rо(z)— оператор умножения на функцию —. Введя обозначения

<Р1 = ! со8Ь/(з)с1з, (4)

Т

Ф1 = ! sinlsf(s)ds. (5)

Т

перепишем равенство (3) в виде

1 N Ek (Р) — Z =

Подставляя выражение (6) в (4) и (5), пользуясь четностью функции Ek('), получим систему линейных уравнений

Г N ,

/ V-^ cos Is cos Гs

T 7=1 Ek(S) — z Г N ■ J ■

ф>, = ффгI = 1,... ,N. (8)

T 7=1 Ek ( S) — ~

Из определения числа n следует, что число Щ является натуральным для всех I = 1,... , N — 1. Отсюда следует, что функция Ek(■) является периодической, с периодом для всех I = 1,... , N — 1. Покажем, что при всех I = 1,... , 2N — 1 имеет место равенство

f COSlS -ds = 0. (9)

J Ek ( s) — z

T

Действительно, если I— нечетное (четное) число, то, заменяя переменную s = t + n(s = t + у) в интеграле в левой части равенства (9), имеем

It(z) = — -dt= — h(z).

J Ek (t) — Z

T

Отсюда следует равенство (9). Из элементарных равенств

cos Is cos гs = ^ (cos(l + r)s + cos( I — r)s),

sin Is sin rs = ^ (cos(l — r)s — cos(l + r)s) и из равенства (9) получим, что

cos cos sin sin

/ -ds = 0, / -ds = 0, 1 = r, l,r =1,...,N. (10)

J Ek (s) — z J Ek (s) — z

TT

В силу (10) равенства (7) и (8) приобретают вид

/cos2Is

-ds, l = 0,...,N,

Etc (s) — z

T

фг = мФг ¡ lS ds, l = 1,...,N. J Ek (s) — z

T

Определитель системы линейних уравнений относительно неизвестных ipi,...,ipN, фх,..., фн имеет вид

4 /, ч N ( Í cos2 Isds \ -iN ( f sin2 Isds

Д(k;z) = \[ I 1 —in E ^ Щ I 1 — ц1

1=0 y T

При этом, если z < m(k)— собственное значение оператора h(k), то

. . , ,,, тN I [ cos2 Is ds \ í í' sin21 s ds \ A(k;z) = (1 — iod(k;z))H I 1 — щ - I I 1 — i - I =0.

T=i \ T Ek(s) — z) \ t Ek(s) — z)

Легко показать, что согласно (10) для всякого I ^ N при натуральном n/2N имеет место равенство

Г cos21 s d s Г sin2 Is ds 1 Г ds 1 ^

J Ek (s) — z J Ek (s) — z 2 J Ek (s) — z 2

T T T

Следовательно, имеет место равенство

N 2

Д(к; z) = (1 — iod(k; z)) Д (1 — jd(k; z)) .

1=1

Обратно, пусть Д( k; z) = 0. Тогда для некоторых I Е {0,..., N} иг < m(k), хотя бы один из множителей Д(k; z) обращается в нуль, т.е. либо 1 — l0 J = 0, либо (1 — уd(k; z)) .

Ek (s) — z j 7=\\ J^ Ek (s) —z

При этом легко проверить, что число z < m(k) - собственное значение оператора h(k) и

1 cos sin либо —-, либо —- и

Ek (р) — z Ek (р) — z Ek('p) — z

соответствующие собственные функции.

При дробном п/2Ы применимы точно такие же рассуждения.

Заметим также, что кратность нуля функции А(к; •) совпадает с кратностью собственного значения оператора к(к). Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть не выполняется предположение 1. Тогда для всякого к Е Т число р°(к), определенное по формуле (2), является конечным. Имеют место соотношения

1 при г ^ —ж, 1 — — ж при г^т(к),

монотонно убывает для всякого г Е (—ж,т(к)),

1 - ^d{k;z)

1 - JnCn(k; z)

1 при г ^ —ж, —ж при г^т(к),

монотонно убывает для всякого г Е (—ж,т(к)),

1 при г ^ —ж, —ж при г^т(к),

монотонно убывает для всякого Е (—ж, т( к)),

1 при г ^ —ж,

1 — (к^)={ > 0 при Е (0,р°(к)] для всякого гЕ (—ж,т(к)), < 0 при > (к), г = т(к).

Заметим, что функции й(к; •), см(к; •), в м(к; •), определенные по формуле (1), являются положительными, монотонно возрастающими на (—ж,т(к)). Поэтому из последних соотношений имеем

1 — р0й(к; •) имеет единственный нуль для любого > 0, 1 — к; •) имеет единственный нуль для любого щ > 0,

1 — (к; •) имеет единственный нуль для любого > 0,

не имеет нулей при Е (0; рР(к)\, имеет единственный нуль при Е (¡лР(к); ж).

Отсюда и согласно леммам 2 и 1 получим доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы 2. Пусть выполняется предположение 1. Тогда

(Р) = | и

1 - jnSn(k; •)

N

А( k; z) = (1 - jo d(k; z)) Д Í 1 - j f ^ ds | | 1 - ji

i=i

8k(s) - z

sin I s

8k(s) - z

-d s

Í1 - P) б 0 -

JiK ±-z

m

0.

Отсюда легко находим нули функции А(k; •) : z0 = m - 2j0k — однократный нуль, z¡ = m - JiK — двукратный нуль, I E {1,..., N}. Согласно леммам 2 и 1 эти числа являются собственными значениями h(k). Легко проверить, что этим собственным значениям соответствуют следующие собственные функции:

1 , cos l'p sin lp

'o

Теорема 2 доказана.

2 joK'

+ cos lp

=-,

Ji K

' i

JiK

I = 1, N.

Авторы выражают благодарность рецензенту за внимательное чтение работы и полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц. Труды матем. инс-та. АН СССР. 1963. 122 с.

2. D.C. Mattis The few-body problem on lattice // Rew. mod. Phys. 58. 1986. P. 361-379.

3. S. Albeverio, S.N. Lakaev, K.A. Makarov, Z.I. Muminov The threshold effects for the two-particle Hamiltonians // Commun. Math. Phys. 262. 2006. P. 91-115.

4. E.L. Lakshtanov, R.A. Minlos The spectrum of two-particle bound states of transfer matrices of Gibbs fields (fields on a two-dimensional lattice: adjacent levels) // Funct. Anal. Appl. Vol. 39, №. 1. 2005. P. 31-45.

5. P.A. Faria da Veiga, L. Ioriatti and M. O'Carroll Energy momentum spectrum of some two-particle lattice Schrodinger Hamiltonians // Physical review E, Vol. 66:1, 6130. 2002.

6. Муминов М.Э. О положительности двухчастичного гамильтониана на решетке // Теор. Мат. Физика. Т. 153, №. 3. 2007. С. 381-387.

7. Муминов М.Э., Хуррамов А.М. Спектральные свойства двухчастичного гамильтониана на решетке // Теор. Мат. Физика. Т. 177, №. 3. 2013. C. 480-493.

8. Рид М., Саймон Б. Методы совpеменной математической физики М.: Мир. Т. 4. Анализ операторов. 1982.

Мухиддин Эшкобилович Муминов,

Самаркандский государственный университет, Узбекистан

ул. Университетский бульвар 15,

140101, г. Самарканд, Узбекистан

Faculty of Sains, Universiti Teknologi Malaysia (UTM)

Skudai,

81310, s. Johor, Malaysia E-mail: mmuminov@mail.ru

Абдимажид Моликович Хуррамов, Самаркандский государственный университет, ул. Университетский бульвар 15, 140101, г. Самарканд, Узбекистан E-mail: xurramov@mail.ru