Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трёх частиц на решётке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 2(27). С. 34—43

Функциональный анализ

УДК 517.984

СТРУКТУРА СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА, АССОЦИИРОВАННОГО С СИСТЕМОЙ ТРЁХ ЧАСТИЦ НА РЕШЁТКЕ

Т. X. Расулов

Бухарский государственный университет, Узбекистан, 200100, Бухара, ул. Мухаммад Икбол, 11.

E-mails: rth@mail. ru

Рассматривается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на трёхмерной решётке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Найдены условия существования собственных значений соответствующей модели Фридрихса и изучена структура существенного спектра оператора Н.

Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, существенный спектр, модель Фридрихса, собственное значение, определитель Фредгольма.

Настоящая статья является продолжением работы [1], в которой рассмотрен модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на трёхмерной решётке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов, где роль двухчастичного дискретного оператора Шрёдингера играет модель Фридрихса (см. например [2-4]). В [1] выделены двухчастичная и трёхчастичная ветви существенного спектра оператора Н и доказано, что существенный спектр этого оператора состоит из объединения не более чем трёх отрезков. В настоящей работе найдены условия существования собственных значений, соответствующих модели Фридрихса, и описана структура существенного спектра оператора Н в терминах граничных значений определителя Фредгольма, при этом задача состоит в обосновании этих описаний.

Следует отметить, что двухчастичная и трёхчастичная ветви существенного спектра трёхчастичного непрерывного оператора Шрёдингера [5,6] представляют собой полубесконечные прямые и пересекаются. В данном случае, в отличие от непрерывного случая, такие ветви существенного спектра оператора Н заполняют отрезки конечной длины и они могут не пересекаться, т. е. возникает лакуна. Поэтому необходимо изучать ветви существенного спектра по обе стороны трёхчастичной ветви, поскольку от этого зависит конечность или бесконечность частей дискретного спектра.

В работах [2-4,7,8] доказано, что рассматриваемые решётчатые операторы не имеют частей существенного и дискретного спектра правее трёхчастичной

Тулкин Хусенович Расулов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. алгебры и анализа.

ветви. В этих работах изучение расположения существенного спектра основано на монотонности определителя Фредгольма модели Фридрихса. В данном случае, в отличие от предыдущих работ, определитель Фредгольма немонотонен, метод исследования основан на числе собственных значений модели Фридрихса.

Пусть Г3 = (—7г,7г]3—трёхмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней; ¿2(Т3) — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определённых на Т3, и ЩЦТ'"')2) — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определённых на (Т3)2.

Рассмотрим модельный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве Ь!((7~3)2) по формуле

(Hf)(p, q) = w(p, q)f(p, q) - J v(s, q)f(p, s)ds - j v(p, s)f(s, q)ds,

где функция v( ■ , •) определена по формуле

v(p, q) = vi(p)vi(q) - v2(p)v2(q),

va(-), a = 1,2, — вещественнозначная, непрерывная функция на Т3 и w(-, •) — вещественнозначная симметричная непрерывная функция на (Т3)2. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

Можно легко проверить, что в этих предположениях модельный оператор Н является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве

L!((T3)2).

Приведём некоторые сведения о системах частиц, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Обычно в физической литературе используются «локальные» потенциалы, т. е. операторы умножения на функцию. Однако потенциалы, которые строятся, например, в теории псевдопотенциала [9], оказываются нелокальными и представляют собой, в том числе — для периодического оператора, сумму локального и некоторого конечномерного потенциалов. Заметим, что в работах [10, 11] изучены нелокальные потенциалы с вырожденным ядром вида

п

V(p,q) = -^2fi(p)gi(q),

i= 1

при этом эти операторы рассматриваются как модели, ассоциированные с системой нескольких частиц, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Например, одним из нелокальных потенциалов является Гауссов потенциал, ядро которого для одночастичного случая имеет вид

V{p,q) = -ße-2{p2+q2\ ß,ß>0.

Так как двухчастичные уравнения Шрёдингера легко разрешимы для нелокальных взаимодействий, их часто используют в ядерной физике и в многочастичных проблемах. Они также используются систематически вместе

с уравнениями Фаддеева для систем трёх частиц. Их основная характеристика [11] состоит в том, что частично-волновая ¿-матрица имеет ту же простую форму и может быть продолжена простым способом, который наиболее важен и хорошо известен в ядерной физике и в уравнениях Фаддеева.

Известно, что в импульсном представлении трёхчастичный дискретный оператор Шрёдингера Н действует в гильбертовом пространстве ¿2((Т3)3). После выделения полного квазиимпульса системы К € Т3 оператор Н разлагается в прямой операторный интеграл (см. например [7,8])

Н = J фH(K)dK,

где ограниченный самосопряженный оператор Н(К), К € Т3 действует в гильбертовом пространстве ^(Г^) (Гк С (Т3)2 — некоторое многообразие). Отметим, что модельный оператор Н обладает основными спектральными свойствами трёхчастичного дискретного оператора Шрёдингера Н(0) (см. например [2-4]).

Учитывая вышеотмеченные факты оператора Н, его можно рассматривать как модельный оператор, ассоциированный системой трёх частиц на решётке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов.

Обозначим через сг(-), cress(-) и <7disc(-) соответственно спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряжённого оператора.

Наряду с Н рассмотрим ещё ограниченный и самосопряжённый оператор модели Фридрихса h(p), р € Т3, действующий в ^(Т3) по формуле

(h(p)f)(q) = w(p, q)f(q) - J v(q, s)f(s)ds.

Из определения функции v( ■ , •) вытекает, что оператор возмущения

(vf)(q) = J v(q,s)f(s)ds

является самосопряжённым оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Вейля [5] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора h(p) совпадает с существенным спектром оператора h(p) + v, где р € Т3. Известно, что Cess(h(p) +v) = [m(p),M(p)], где числа m(p) и М(р) определяются так:

m(p) = min w(p, q), М(р) = maxw(p, q). g&T3 g€T3

Поэтому (Tess(MP)) = [mi'P) > M{'P)\■

Пусть С — комплексная плоскость. При каждом фиксированном р € Т3 определим регулярную в С \ cress(h(p)) функцию

f vlWs \ Л Г v&s)ds \ | i i Vi{s)v2{s)ds\2 J w(p,s)-zj\ J w(p,s)-zj \J w(p,s)-zj

ACP ;z)=(

(определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором h(p), р € Т3).

Установим [1] связь между собственными значениями оператора h(p) и нулями функции А(р; •), р € Т3.

Лемма 1. При каждом фиксированным р € Т3 число z € С \ cress(h(p)) является собственным значением оператора h(p) тогда и только тогда, когда Д(р; г) = 0.

Из леммы 1 вытекает, что

<7disc(fc(p)) = е С \ aess(h(p)) : Д(р; z) = 0}, ре Г3.

Следующая лемма [1] играет ключевую роль при нахождении условия существования собственных значений оператора h(p), р € Т3.

Лемма 2. Для любого р € Т3 оператор h(p) имеет не более одного простого собственного значения, лежащего левее т(р) и правее М(р). Положим

т= min w(p,q), М= max w(p,q), а = (J adisc(h(p)).

pGt

Далее будет предполагаться, что функция w( ■, •) имеет невырожденный

минимум (соответственно максимум) в точках <?т!п)> ^ = 1,2,...,гг,

1 ^ п < ОО (соответственно (pm&x, 9max), j = 1,2,... ,к, 1 ^ к < оо) шестимерного тора. Тогда из непрерывности функции va( ■ ) на

Г3 вытекает, что

существуют конечные интегралы

Г vi(s)v2(s)ds Г vi(s)v2(s)ds . = ^ ^

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что при каждом р € Т3 существуют конечные пределы

lim A(p;z)=A(p;m) и lim А(р; z) = А(р; М),

следовательно, функции Д( • ; т) и Д( •; М) являются непрерывными на Т3.

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора h(p), р € Т3, и играет важную роль при изучении структуры существенного спектра оператора Н.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть min А(р; rri) ^ 0. Тогда для любого р € Т3 оператор h(p) не

реТ3

имеет собственных значений, лежащих на (—оо,т).

2) Пусть min А(р-,т) < 0 и тахА(р;ш) ^ 0. Тогда существует непу-

реТ3 реТ3

стое открытое множество G\ С Т3 такое, что G\ ф Т3 и при всех р € G\ оператор h(p) имеет единственное простое собственное значение Е\(р), лежащее левее т, а для любого р G Т3 \ G\ оператор h(p) не имеет собственных значений, лежащих левее т.

3) Пусть max А(р;т) < 0. Тогда для любого р € Т3 оператор h(p) име-

реТ3

em единственное простое собственное значение, лежащее на полуоси (—оо, т).

Доказательство. Докажем утверждения в порядке следования.

1) Пусть min А(р; rri) ^ 0. Тогда для любого р € Т3 имеет место неравен-

реГ3

ство А(р; т) ^ 0. Из непрерывности функции Д(р ; •) на (—оо, ш] и равенства

lim A(p;z) = l (1)

z—>■—оо

следует, что при каждом фиксированном р € Т3 функция Д(р; •) не имеет нулей на (—оо, т) или имеет по крайней мере два нуля (с учётом кратности) на (—оо, т). Во втором случае вместе с леммой 1 используем тот факт (см. [12]), что число Zo € C\aess(h(p)) является n-кратным собственным значением оператора h(p) тогда и только тогда, когда число Zq является n-кратным нулем функции А(р] ■ ). Получим, что оператор h(p) имеет по крайней мере два собственных значения (с учётом кратности) на (—оо,т). Это противоречит утверждению леммы 2. Таким образом, для любого р € Т3 оператор h(p) не имеет собственных значений на (—оо,т).

2) Пусть min А(р;т) < 0 и max А(р;т) ^ 0. Тогда существуют точки

per3 per3

Po, pi € T3 такие, что

min А(р ; т) = А(ро ; т) < 0, max А(р ; т) = А(р\; т) ^ 0. per3 per3

Положим G\ = {р € Т3 : А(р;т) < 0}. Из непрерывности функции Д( • ; т) на компактном множестве Т3 и неравенства А(ро ;т) <0, следует, что множество G\ — непустое открытое множество, а из условия А(р\; т) ^ 0 вытекает, что G\ ф Т3.

Так как для любого р € Т3 функция А(р; • ) непрерывна на полуоси (—оо, т), из равенства (1) следует, что функция Д(р~, ■) имеет один простой нуль на (—оо ,т) или имеет по крайней мере три нуля (с учётом кратности) на (—оо,т). Во втором случае, рассуждая так же как при доказательстве утверждения 1), получим, что оператор h(p) имеет по крайней мере три собственных значения (с учётом кратности) на (—оо,т), что противоречит утверждению леммы 2. Таким образом, для любого р € G\ существует единственное число Е\(р) € (—оо,т) такое, что А(р ] Е\(р)) = 0. В силу леммы 1 для любого р € G1 число Е\(р) является единственным простым собственным значением оператора h(p).

Из определения множества G\ видно, что для любых р € Т3 \ G\ выполняется неравенство Д (р; т) ^ 0. Рассуждая аналогично тому, как это сделано при доказательстве утверждения 1), можно показать, что для любого р € Т3 \ Gi оператор h(p) не имеет собственных значений на (—оо, т).

3) Пусть max А{р; т) < 0. Тогда для любого р € Т3 имеет место неравен-

реГ3

ство А(р; т) < 0. По определению множества G\ это означает, что G\ = Т3. Поэтому, как уже доказано, при всех р € G\ оператор h(p) имеет единственное простое собственное значение на (—оо ,т). □

Множество собственных значений оператора h(p), р € Т3, на интервале (М, +оо) описывается следующей теоремой, которая доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения.

1) Если min А(р; М) ^ 0, то для любого р € Т3 оператор h(p) не имеет

реГ3

собственных значений, лежащих на (М, оо).

2) Если min А(р-,М) < 0 и max А(р-,М) ^ 0, то существует непустое

per3 реТ3

открытое множество G2 С Т3 такое, что G2 ф Т3 и при всех р € G2 оператор h(p) имеет единственное простое собственное значение Е2(р), лежащее правее М, а для любого р € Т3 \ G2 оператор h(p) не имеет собственных значений, лежащих правее М.

3) Если max А(р-,М) < 0, то для любого р € Т3 оператор h(p) имеет

реТ3

единственное простое собственное значение, лежащее на (М, оо).

Известно [1], что для существенного спектра aess(H) оператора Н имеет место равенство aess(H) = <rU [т,М]. Более того, множество aess(H) состоит из объединения не более чем трёх отрезков. Теперь переходим к изучению расположения этих трёх отрезков.

Обозначим а\ = min{<r П (—оо, т]}, а2 = min{<r П [М, +оо)}, Ь\ = тах{<т П (—оо,т]}, Ъ2 = тах{(7 П [М, +оо)} и сформулируем основной результат настоящей работы, который описывает структуру существенного спектра оператора Н.

Теорема 3. Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть min А(р; М) ^ 0.

реГ3

1.1) Если min А(р;т) ^ 0, то а^Н) = [т,М].

реТ3

1.2) Если min А(р;т) < 0 и maxA(р;т) ^ 0, то а^Н) = [а\,М],

реТ3 реТ3

причём а\ < т.

1.3) Если max А (р;т) < 0, то aess(H) = [a\,bi] U [т,М], причём

реТ3 b\ < т.

2) Пусть min А(р; М) < 0 и max А(р ; М) ^ 0.

р&Т3 р&Т3

2.1) Если min A(p;m) ^ 0, то а^Н) = [т,Ъ2], причём b2 > М.

реТ3

2.2) Если min А(р;т) < 0 и max А(р;т) ^ 0, то aess(H) = [01,62],

per3 per3

причём (i\ < т и,Ъ2> М.

2.3) Если max А (р;т) < 0, то а^Н) = [a\,bi] U [т,Ъ2], причём

реТ3

b\ < m и b2 > М.

3) Пусть min А(р;М) < 0.

реГ3

3.1) Если min А(р;т) ^ 0, то aess(H) = [т,М] U [02,62], причём

реТ3 а2 > М.

3.2) Если min А (р;т) < 0 и max А (р;т) ^ 0, то <TeSs(-fO = [сц,М] U

per3 per3

[a2,62], причём a\ < m и a2 > M.

3.3) Если max А(р;т) < 0, то aess(H) = [a\,b\] U [т,М} U [02,62], реТ3

причём Ъ\ < m и (i2 > М.

Доказательство. Приведём доказательства утверждений группы 2).

Пусть min А(р;М) < 0 и max А(р;М) ^ 0. Тогда в силу теоремы 2 реТ3 реТ3

существует непустое открытое множество G2 С Т3 такое, что G2 ф Т3 и для любого р G G2 оператор h(p) имеет единственное простое собственное значение Eiip), лежащее правее М.

Так как функции va( ■) и w( ■ , •) —непрерывные в своих областях определения, функция Е2 '■ р € G2 —> Eiip) — также непрерывная в G2.

Так как для любого р € Т3 оператор h(p) ограничен и Т3 компактное множество, существует положительное число С такое, что sup ||/г(р)|| ^ С,

реТ3

следовательно, для любого р € Т3 имеем

<7(й(р))с[-С,С]. (2)

Для любого р € 9G2 = {р € Т3 : Д(р; М) = 0} существует последовательность {рп} С G2 такая, что рп —>■ р при п —>■ оо. Пусть N — множество

натуральных чисел и Е^ = ¿^(р™), п £ N. Тогда по теореме 2 для любого п € N выполняется неравенство Е^ > М и из включения (2) получим, что {Е^} С (М, С]. Не нарушая общности (в противном случае возьмем подпоследовательность), предположим, что существует точка Е^ € [М, С] такая, что Е2 —> Е2 при п —> оо.

Из непрерывности функции Д( •; •) на Т3 х [М, +оо), а также из соотно-

^(п) „(0)

шении Рп у р, Е^2 у 2 ПРИ п ■* 00 следует, что

0= lim А(рп]Е^п)) = А(Р]Е^).

n—teo

С другой стороны, по определению множества дС2 имеем, что при р € дС2 равенство А(р; Е^) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда Е^ = М. Для любого р € (Ю2 определим

Е2(р) = lim Е2(р') = М.

р! —Ур, р' 2

Так как функция Е2 (•) непрерывна на компактном множестве G2 U дС2 и имеет место равенство Е2(р) = М при всех р € dG2, множество значений Im Е2 функции ■) совпадает с отрезком [М, 62], причём 62 > М. Следовательно, множество {z € а : z ^ М} совпадает с множеством Iml?2-

Таким образом, если min А(р; М) ^ 0 и max Д2(р; М) > 0, то реТ3 реТ3

аева(Н)П[М,+оо) = [М,Ь2]. (3)

2.1) Пусть min A(p-,m) ^ 0. Тогда из теоремы 1 вытекает, что для лю-реТ3

бого р € Г3 оператор h(p) не имеет собственных значений, лежащих левее 40

т. Поэтому в силу определения множества a имеем, что a П (—оо,т) = 0. Теперь последний факт с равенством (3) завершает доказательство утверждения 2.1).

2.2) Если min А(р;т) < 0 и max А(р;т) ^ 0, то аналогично можно по-

реГ3 реТ3

лучить факт

(Tess(#) п (-оо,т] = [ai, т],

который с равенством (3) завершает доказательство утверждения 2.2).

2.3) Пусть max А(р ; т) < 0. В силу теоремы 1 для любого р € Т3 оператор

реГ3

h(p) имеет единственное простое собственное значение Е\(р) < т. Так как функции va( -). a = 1,2, и •, •) непрерывны в своих областях определения, функция Еi (•), ставящая в соответствие элементу р € Т3 собственное значение Е\ (р), также непрерывна на компактном множестве Т3. Отсюда вытекает, что множество значений ImEi функции Е\{ • ) есть замкнутое множество в (—оо, т), т. е. Im Ei = [ai,&i], где a\ < т. Следовательно,

a П (—оо, т) = [ai, b\], b\<m.

Теперь, учитывая равенство (3), получим доказательство утверждения 2.3).

Остальные утверждения теоремы 3 доказываются аналогично. □

В заключение докажем ещё одно утверждение, которое показывает, что класс функций va(-) и «;(•, •), удовлетворяющих условиям теорем 1-3, непуст.

Лемма 3. Пусть ¡ла > 0 —некоторые числа, va(p) = ^/~ß^smpa, а = 1,2; w(p,q) = е(р) + s(q), е(р) = ^Lií1 ~~ cosPí), Р = (.Р1,Р2,Рз) € Т3. Положим

~ ff sin2sids\ 1 ^ ff sin2sids\ 1 ~ ff sin2 S2(fe\ 1 ^ ff sin2 S2(IS \ 1

^ = )) ■ № = W H^wj •

Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Если ¡Ii € (0,/Ii] (соответственно ß2 € (0, Д2]), то minA(p;0) ^ 0

реГ3

(соответственно min Afp; 12) ^ 0). per3

2) Если ¡Ii € (fii, fii] (соответственно ß2 € (Д2, Д2]), то min A(p;0) < 0 и

per3

maxA(p;0) ^ 0 (соответственно min А(p; 12) < 0 и тахД(р; 12) ^ 0). per3 per3 per3

3) Если ¡Ii € (fii, 00) (соответственно ß2 € (/¿2,00)), то тахА(р;0) < 0

per3

(соответственно тахД(р; 12) < 0). per3

Доказательство. Отметим, что функция w(•, •) имеет единственный невырожденный минимум в точке (0, 0, 0) € Т3 и единственный невырожденный максимум в точке (-/г, тт, тт) € Т3, причём m = 0, М = 12, а также при всех

sin2 S2 ds

Ф)

sin2 S2 ds

p € T3 mzé (oo, 0] U [12, oo) имеет место равенство Л(р ;z) = Ai (р; z)A2(p ; z), где

... f sin2sids . , . f sin2 S2 ds

AliP]Z) = 1-^J e(p)+e(s)-z> A2ÍP]Z) = 1+^J e(p)+e(s)-z-

Докажем утверждение 2), а остальные утверждения доказываются аналогично. Из определения функции А( • ; •) следует, что

min А(р ; 0) ^ min Ai (р ; 0) max А2(р ; 0) = (1 — HißV1) ( 1 + Р2

per3 per3 реГ3 \ J

maxA(p;0) ^ maxAi(p;0) minl Д2(р;0) = (1 - ßißi1) ( 1 + ß2 / ,,

per3 per3 per3 \ J 6 + e{s)

Очевидно, что

1 — ßijli1 < 0, 1 — ßijli1 ^ 0 при pi € (Jli,]2i\;

f sin2 S2 ds f sin2 S2 ds 1 + ß2 / -7 Ñ- >0, 1+P2 77--ГГ > 0 при ß2 > 0,

J £{s) J 6 + Ф)

следовательно, если /j,iG(jli,fii] и р2 > 0, то min А(р; 0) < 0 и max А(р; 0) ^ 0.

per3 per3

Точно так же показывается, что при любых pi > 0 и ß2 € (ß2, Р2] имеет место

min А(р; 12) < 0 и max А(р; 12) ^ 0. □

per3 реГ3

Работа поддержана грантом Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), № TR368/6-2. Автор приносит благодарность Математическому Институту Университета Берна (Берн, Швейцария) за гостеприимство и поддержку.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Расулов Т. X. О существенном спектре одного модельного оператора, ассоциированного с системой трёх частиц на решётке// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №3(24). С. 42-51. [Rasulov Т. Kh. On the essential spectrum of a model operator associated with the system of three particles on a lattice // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 3(24). Pp. 42-51].

2. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices // Russ. J. Math. Phys., 2007. Vol. 14, no. 4. Pp. 377-387.

3. Расулов Т. X. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трёх частиц на решётке // ТМФ, 2010. Т. 163, № 1. С. 34-44; англ. пер.: Rasulov Т. Kh. Asymptotics of the discrete spectrum of a model operator associated with a system of three particles on a lattice// Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol.163, no. 1. Pp. 429-437.

4. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles // Rep. Math. Phys., 2009. Vol.63, no. 3. Pp. 359-380.

5. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Т. IV: Analysis of operators. New York-London: Academic Press, 1978. 396 е.; русск. пер.: Pud M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 430 с.

6. Жислин Г. М. Исследование спектра оператора Шрёдингера для системы многих частиц// Труды Моск. машем, об-ва, 1960. Т. 9. С. 81-120. [Zhislin G. М. Discussion of the spectrum of the Schrodinger operator for systems of many particles // Trudy Moskov. Mat. Obshch., 1960. Vol.9. Pp. 81-120].

7. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schrodinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics// Ann. Inst. Henri Poincare, 2004. Vol.5, no. 4. Pp. 743-772.

8. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schrodinger operators on lattices// Math. Nachr., 2007. Vol.280, no. 7. Pp. 699-716.

9. Хейне В., Коэн M., Уэйр Д. Теория псевдопотендиала. М.: Мир, 1973. 557 с. [Heine V., Cohen М., Weir D. Pseudopotential Theory. Moscow: Mir, 1973. 557 pp.]

10. Hall R. L. Exact solutions for semi-relativistic problems with non-local potentials // J. Phys. A: Math. Gen., 2006. Vol.39, no. 4. Pp. 903-912.

11. Chadan K., Kobayashi R. The absence of positive energy bound states for a class of nonlocal potentials// J. Phys. A: Math. Gen., 2005. Vol.38, no. 5. Pp. 1133-1145.

12. Абдуллаев Ж. И. О кратности собственных значений обобщенной модели Фридрих-са// Узбек, машем, ж., 1996. №1. С. 3-10. [Abdullaev Zh.I. On the multiplicity of the eigenvalues of the generalized Friedrichs model // Uzbek. Mai. Zh., 1996. no. 1. Pp. 3-10].

Поступила в редакцию 13/VII/2011; в окончательном варианте — 27/111/2012.

MSC: 81Q10; 35P20, 47N50

STRUCTURE OF THE ESSENTIAL SPECTRUM OF A MODEL OPERATOR ASSOCIATED TO A SYSTEM OF THREE PARTICLES ON A LATTICE

T. Kh. Rasulov

Bukhara State University,

11, Muhammad Ikbol, Bukhara, 200100, Uzbekistan. E-mails: rth@mail. ru

We consider a model operator H associated to a system of three particles interacting via nonlocal pair potentials on a three dimensional lattice. The existence conditions of the eigenvalues of a corresponding Friedrichs model are found and the structure of the essential spectrum of H is studied,.

Key words: model operator, nonlocal potential, essential spectrum, Friedrichs model, eigenvalue, Fredholm determinant.

Original article submitted 13/VII/2011; revision submitted 27/111/2012.

Tulkin Kh. Rasulov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Algebra and Analysis.