CC BY
52
УДК 517.984
УРАВНЕНИЕ ФАДДЕЕВА И МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА ОДНОГО ТРЁХЧАСТИЧНОГО МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
Т. X. Расулов1,2, А. А. Рахмонов1
1 Бухарский государственный университет, физико-математический факультет,
Узбекистан, 200100, Бухара, ул. Мухаммад Икбол, 11.
2 Университет Берна, философско-научный факультет,
Швейцария, СН-3012, Берн.
E-mail: [email protected], [email protected]
Рассматривается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на решётке. Описано местоположение существенного спектра оператора Н через спектры канальных операторов. Получено уравнение типа Фаддеева для. собственных векторов оператора Н.
Ключевые слова: модельный оператор, существенный спектр, оператор канала, уравнение Фаддеева.
Введение. Исследованию существенного спектра непрерывных и дискретных операторов Шрёдингера посвящены многие работы (см. например [1,2] и [3,4], соответственно). В настоящей работе рассматривается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на г/-мерной решётке. Выделены канальные операторы и через спектры канальных операторов описано местоположение существенного спектра оператора Н, т. е. выделены двухчастичные и трёхчастичные ветви существенного спектра оператора Н. Кроме этого, получен аналог уравнения Фаддеева и его симметризованный вариант для собственных векторов оператора Н.
Заметим, что существенный и дискретный спектры, а также уравнение Фаддеева симметричного и несимметричного вариантов модельного оператора Н изучены в работах [5-7] в случае, когда Va (определённый ниже) является частичным интегральным оператором с вырожденным ядром. В данной работе изучается случай, когда оператор Va является частичным интегральным оператором с невырожденным ядром. Следует отметить, что частично интегральные операторы вида
где / € Ьг([а, 6]2), кг € Ьг([а, 6]2), г = 1,2, часто встречаются в квантовой теории поля. Поэтому исследование спектральных свойств рассматриваемого модельного оператора играет важную роль в современной математической физике.
Здесь и далее в работе, где не оговорено противное, предполагается, что а принимает значения 1 и 2.
Расулов Тулкин Хусенович (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. алгебры и анализа1; докторант, математический институт2. Рахмонов Аскар Ахмадович, студент.
1. Модельный оператор. Пусть Tv — г/-мерный тор, т. е. куб (—7Г, ir]u с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе Т1' рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в по модулю (2тг7*)и.
Пусть L2('TU) и L2(('Tu)2)— гильбертово пространство квадратично-ин-тегрируемых (комплекснозначных) функций, определённых на Tv и (Т1')2, соответственно.
В гильбертовом пространстве L2((/Tu)2) рассмотрим линейный ограниченный самосопряжённый оператор
Н = Н0 — V\ — V2, (1)
где операторы Но и Va определяются по формулам
(Но f)(p,q) = u(p,q)f(p,q),
(Vif)(p,q) = j vi(s,q)f(p,s)ds, (V2f)(p,q) = J v2(p,s)f(s,q)ds.
Здесь u( -, •) и va(-, •) — вещественнозначные непрерывные функции на {'Т1')2-Здесь и далее в работе интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Будем дополнительно предполагать, что операторы V\ и V2 являются положительными и принадлежат пространству операторов со следом.
Известно, что гамильтониан Н системы трёх произвольных частиц на решётке, в импульсном представлении, действует в гильбертовом пространстве L2((TvY)- После выделения полного квазиимпульса системы К € Т1', используя разложение в прямой операторный интеграл (см. например [3,4]), изучение спектральных свойств оператора Н можно свести к исследованию спектральных свойств семейства самосопряжённых ограниченных операторов Н(К), К € Tv (трёхчастичных дискретных операторов Шрёдингера), которые действуют в гильбертовом пространстве L2((/Tu)2) как
(■H(K)f)(p,q) = (ei(p) +e2(q) + е3(К - р - q)) f(p, q)-
~ J M'P- S)f(s, q)ds - J v2(s - q)f(p, s)ds-
- J h(p + q~ s)f(s,p + q - s)ds.
Здесь £i{ ■), Vi( ■) (i = 1,2,3) — вещественно-аналитические функции на Tv■ Если г)з = 0, т. е. лишь две из трёх пар частиц имеют нетривиальное взаимодействие, то оператор Н(К) имеет вид (1). По этой причине оператор Н можно рассмотреть как модельный оператор, ассоциированный с системой трёх частиц на г/-мерной решётке.
2. Спектр модели Фридрихса. В этом пункте изучаются некоторые спектральные свойства модели Фридрихса ha(p), р € Tv, действующего в гильбертовом пространстве L2(TV) по формуле
К{р) = h°a(p) - va. (2)
Здесь операторы h^(p), р € Tv и va определяются по следующим правилам:
(К(р)Л(я) = Ua('P,q)f(q),
(vif)(q) = j vi(s,q)f(s)ds, (v2f)(q) = J v2(q,s)f(s)ds,
а функции ua ( • , •) определены так:
ui(p,q) =u(p,q), u2(p,q) =u(q,p).
Обозначим через сг(•), cress(') и <7disc(') соответственно спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряжённого оператора.
Так как va( • , • ) — непрерывная функция на ('Tv)2, то она квадратично-интегрируема на этом множестве. Это означает, что оператор возмущения va оператора h°a (р), р € Tv является самосопряжённым оператором Гильберта— Шмидта, т. е. компактным оператором. Из теоремы Вейля [1] о сохранении существенного спектра при компактных возмущениях вытекает, что существенный спектр cress(ha(p)) оператора ha(p), р € Tv совпадает с существенным спектром dess(h°a(p)) оператора h^(p), р € Ти. Известно, что aess(h°a(p)) = = [ma(p)', Ма(р)\, где числа та(р) и Ма(р) определяются равенствами
та (р) = min иа (p,q), Ма (р) = max иа (p,q). q&Tv q&Tv
Из последних двух фактов следует, что а^{К{р)) = [та(р)] Ма(р)\.
Замечание. Отметим, что для некоторого р € Tv существенный спектр оператора ha(p) может превратится в точку {ша(р)}, и, следовательно, для любого р € Т1' мы не можем сказать, что существенный спектр оператора ha(p) является абсолютно непрерывным. Например, если функция и( ■ , • ) имеет вид
и(р, q) = е(р) + ф + q) + e(q), где функция е( ■) определяется равенством
V
Ф) =^2(1-cos qi), q = (qi,...,qv) еТ" и р = (тг, . „ , тг) g Т", i=i v
то имеем aess(ha(p)) = {4z/}.
Лемма 1. Операторы ьа являются положительными, и положительные квадратные корни уЦ2 этих операторов задаются 'равенствами
К1/2/)(<?) = J v11/2(s,q)f(s)ds, = I у12/2^8)/(8^8, (3)
где функция Уа 2(■, •) есть квадратично-интегрируемое ядро оператора у]/2. 172
Доказательство. Из положительности операторов Уа следует, что операторы уа также являются положительными. Следовательно, каждое нетривиальное собственное значение Ат^ оператора уа положительно. В силу теоремы Гильберта—Шмидта имеем разложение
V» = '^2 Лт)((/7т), ■ )^(т> т
с условием < 00 5 здесь — собственный вектор оператора уа, соот-
ветствующий собственному значению А^• Пусть Уа"2 — положительный корень оператора уа- Тогда
т
/<2
В силу условии < сю оператор уа является оператором Гильбер-
та—Шмидта. Следовательно, ядро у1/2( • , • ) интегрального оператора Уа2 является квадратично-интегрируемым. □
Пусть /„ — единичный оператор в п = 1,2.
Лемма 2. Положительные корни операторов Уа определяются по формулам
(Уі1/2Л(Р,Я) = I г?і/2(5, <?)/(і9, (У21/2/)(р,9) = І г4/2(р,в)/(в,9)Ж*.
Доказательство. Операторы Уа представимы в виде = У\ ® 1\, У2 = 1\ <8> У2-
В силу леммы 1 операторы уа являются положительными, и положительные корни этих операторов определяются по формуле (3). Можно проверить,
что УІ/2 = у\/2 ® /ь у21/2 = Д ® у\/2. □
Пусть г Є С\<т(Л,° (р)), тогда г) := (ЬРа — х1\)~1 — резольвента оператора ЬРа(р). При каждом фиксированном р Є Т1' определим оператор г), г Є С \ стЄ88(Ііа(р)), действующий в Ь2(Ти) как
*а(р; г) := уЦ2г°а(р; г)уЦ2.
Можно проверить, что при каждом фиксированном р Є Т1' и г £ С\ о'еББ^аІр)) оператор Ьа(р] г) принадлежит пространству операторов со следом. Следовательно, <іеі[/і — -г)] —детерминант оператора І\ —іа(р] г).
Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора ііа(р), р Є Т1' и нулями функции <іеі[/і — •)], р Є Ти.
Лемма 3. При каждом фиксированном р Є Ти число г Є С \ сге88(На(р)) является собственным значением оператора Л.«(р), р Є Ту тогда и только тогда, когда <іеі[/і — іа(р] z)\ = 0.
Доказательство. Пусть число z € С \ cress(ha(p)) является собственным значением оператора ha(p), р € Tv и пусть / € -^(Т^) — соответствующая собственная функция. Тогда для / справедливо уравнение
(ha(p) — zl\)f — Vaf = 0. (4)
При любых z € С \ cress(ha(p)) из уравнения (4) для / имеем
/ = r°a(p] z)vaf. (5)
i/o 1/2
Умножая (5) слева на va и полагая ipa = va /, получим, что число z € С \ cress(ha(p)) является собственным значением оператора ha(p), Р € Tv тогда и только тогда, когда число Л = 1 является собственным значением оператора ta(p; z).
В силу теоремы Фредгольма число А = 1 является собственным значением оператора ta(p; z) тогда и только тогда, когда det[/i — ta(p; z)\ = 0. □
Из леммы 3 вытекает, что число z € C\aess(ha(p)) принадлежит дискретному спектру оператора ha(p) тогда и только тогда, когда det[/i — ta(p; z)\ = 0. Следовательно, верна следующая лемма.
Лемма 4. Для дискретного спектра cr(iisc(ha(p)) оператора ha(p), р € Tv имеет место представление
Odisc(К(р)) = {z € С \ cress(ha(p)) : det[h - ta(p] z)\ = 0}, p e T”.
3. Спектр канальных операторов. Наряду с оператором Н рассмотрим также оператор На = Но — Va, действующий в гильбертовом пространстве L2{{Tv)2)- Положим
т= min u(p,q), М = max u(p,q), p,q£Tv P,qdTv
&two(Ha) = <7disc(^a(p)), &tbree(Ha) =
p&Tv
Спектр оператора Ha описывается следующей теоремой.
Теорема 1. Для спектра (т(На) оператора На имеет место следующее представление:
& (На) — CTtwo (На) U CTthree(i^a) •
Доказательство. Можно проверить, что оператор Н\ (соответственно, Н2) коммутирует с любым оператором умножения на ограниченную функцию W\(p) (соответственно, W2 (<?)) в L2((TV)2).
Из разложения в прямой интеграл пространства /^((Т1')2):
L2((T')2) = J ®L2(Tv)dp (6)
следует, что оператор На разлагается в прямой интеграл
На = j ®ha(p)dp, (7)
где оператор (модель Фридрихса) ha(p), р Є Tv определён по формуле (2). Отметим, что в разложении (6) под знаком прямого интеграла стоят одинаковые слои.
Применяя теорему о спектре разложимых операторов и учитывая формулу (7) и
a(ha(p)) = adisc(ha(p)) U [ma(p); Ма(р)}, р Є 'Г',
(J [ma(p)] Ма(р)] = [m;M],
P&TV
приходим к утверждению теоремы. □
Замечание. Операторы Н\ и Н2 обладают характеристическими свойствами канальных операторов соответствующего трёхчастичного дискретного оператора Шрёдингера, см. например [3,4]. По этой причине будем называть их канальными операторами, соответствующими модельному оператору н.
4. Аналог уравнения Фаддеева для собственных векторов оператора Н.
В этом пункте получим аналог уравнения Фаддеева для собственных векторов оператора Н, который играет важную роль при изучении существенного и дискретного спектра рассматриваемого оператора.
Обозначим через Ro(z) и Ra(z) резольвенту оператора Но и На, соответственно.
Пусть z Є С \ а(На) и оператор Wa(z) = I2 + V^2 Ra(z)Va^2 действует в гильбертовом пространстве L2(('TU)2). Можно проверить, что
(12 - V^2Ro(z)V^2)~1 =h + V^2Ra(z)V^2, z Є С \ a(Ha). Обозначим
42)(СП2) := = (¥>1,Ы : <ра Є Ы(Т)2)}.
Пусть г єС \ (а (Н{) U а (#2)) и оператор T(z) действует в гильбертовом пространстве L^\(TU)2) как 2x2 блочно-операторная матрица с элементами
Taa(z) = 0; Taf}(z) = Wa(z)V^2R0(z)V^2, а^р.
1/2 1 /2 Отметим, что ядерная функция va ( • , • ) оператора Va принадлежит к Ь2((Т1')2). Тогда оператор Va2 Ro(z)V^2, а ф fi при каждом z Є С \ (a(Hi) U а(Н2)) принадлежит классу Гильберта—Шмидта. При любом z Є C\(a(Hi)Ua(H2)) оператор Wa(z) является ограниченным, следовательно, оператор Tap(z) также принадлежит классу Гильберта—Шмидта. Таким
образом, оператор Т(г), г £ С \ и а(#2)), является компактным опе-
ратором.
Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями операторов Н и Т(г).
Лемма 5. Число г € С\(а(Н\)иа(Н2)) является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда число А = 1 является собственным значением оператора Т(г) и их кратности совпадают.
Доказательство. Пусть г бС\ (а(Н\) и а(Н2)) — собственное значение оператора Н. Тогда уравнение Н/ = г/, или уравнение
(#0-^2)/-^/-^/ = 0, (8)
имеет нетривиальное решение / € /^((Т1')2).
Так как г ^ а^тее^Нх), то из уравнения (8) для / имеем
/ = Ко(г)Уг/ + Ко(г)У2/. (9)
1/0 1/2 Умножая (9) на Уа слева и полагая (ра = Уа /, получим, что система
уравнений
2
= Е V <Р<* е Ы(Т)2) (10)
/3=1
имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (8) имеет нетривиальное решение и линейные подпространства, порождённые решениями уравнений (8) и (10), имеют одинаковые размерности.
При каждом фиксированном г ^ (т{На) оператор 12 — Уи2 Ко(£)Уи2 является обратимым, поэтому уравнение (10) эквивалентно системе уравнений
= \Уа(г)У^2М2)Ур/2^13, е Ы('Г')2), (11)
т.е. (р = Т(г)(р, (р = (<Ръ<Р2) € 42)(СП2). п
Отметим [8], что уравнение ср = Т(г)(р является аналогом уравнения типа Фаддеева для собственных векторов оператора Н.
При каждом г < т\п а(На) оператор \¥а(г) является положительным, следовательно, существует его положительный квадратный корень Ш1^2(г), г < тта(На). Пусть г < тт(а(Н1)иа(Н2)) и Т(г) — оператор, действующий в Ь^\(Ти)2) как 2x2 блочно-операторная матрица с элементами
Таа{г) = 0; ТаР(г) = а фр.
Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями операторов Н и Т(г).
Лемма 6. Число г < тш^Я]) и а(Н2)) является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда оператор Т(г) имеет собственное значение, равное единице, и кратности операторов совпадают.
Доказательство. В силу леммы 5 число г < тт(<т(Д1) и а(Н2)) является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда система уравнений (11) имеет ненулевое решение и линейные подпространства, порожденные решениями уравнений Н/ = г/, г < 1шп(<т(-Н1) и а(Н2)), и (11) имеют одинаковые размерности.
Как отмечено выше, при каждом г < тта(На) оператор \¥а(г) является положительным, следовательно, существует г < тта(На).
Далее, умножая (11) на 1^2(г) слева и полагая фа = Ша 1//2(г)(ра, получим, что система уравнений (11) эквивалентно уравнению ф = Т(г)ф, где
ф = (фъф2) € Ь{2\(Т1')2). □
Заметим, что уравнение ф = Т(г)ф является симметризованным вариантом уравнения Фаддеева для собственных функций оператора Н.
5. Местоположение существенного спектра оператора Н. В этом пункте, пользуясь утверждениями пунктов 2-4, а также критерием Вейля, описывается местоположение существенного спектра оператора Н. Верна следующая теорема.
Теорема 2. Существенный спектр ае88(Н) оператора Н совпадает с объединением спектров операторов Н\ и Н2: ае88(Н) = (т(Н\) и а(Н2).
Доказательство. Сначала докажем, что а(Н\) и (т(Н2) С ае88(Н). С этой целью, используя теорему 1, множество и(Н\) и и(Н2) перепишем в виде
а(Нг) и а(Н2) = а^0(Н{) и сгЫо{Н2) и а^гее№).
Докажем, что выполняется включение ^ьГее(-^1) С иезз(Н). Полагая, что Zo € <71Ьгее(-^1) —произвольная точка, покажем, что го € ае88(Н). Для этого воспользуемся критерием Вейля, т.е. построим последовательность ортонор-мированных векторов {/га}, для которых ||(Н — го 12)/п\\ —•► 0 при п —> оо.
Так как и(-, •) — непрерывная функция на (Т1')2, для любого го € ^ьГее(-^1) существует точка (ро,Яо) € О'1')2 такая, что го = и(ро,Яо)-
Для любого п € N рассмотрим выколотую окрестность точки ро € Ти:
ип(ро) = {реТ" : —< \р-ро\ < -)•
I п +1 п J
Пусть /л(ип(ро) х 11п(до)) — Лебегова мера множества ип(ро) х ип(до). Последовательность {/„} построим следующим образом:
; (п а) = ! (р(ип(Ро) х ип(д0))У1/2, если (р,д) е ип(р0) х ип(до),
I 0, если {р,д) <£ ип{ро) х ип{д0).
По построению множества ип(ро), для всех п ф т
(ип(ро) х ип(до)) П (ит(ро) х ит(д0)) = 0,
поэтому последовательность {/га}—ортонормальная система в Ь2(('Ти)2).
Рассмотрим (Я — ZoI2)fn и оценим его норму. Очевидно, что
II(Я - Zoh)fn\\2 < 4 (||(Яо - Zoh)fnf + ||^l/ra||2 + ||V2/ra||2) .
Из непрерывности функции и( ■ , •) на (Tv)2 и равенства Zo = и(ро, qo) вытекает, что
sup |и(р, q) — zq\ —> 0 при п —> оо,
(.P,q)&U„(po)xU„(qo)
следовательно,
||(Я0 - z0I2)fn\\2 ^ sup |«(р, (?) - z0\2 ->• 0 при п ->• оо.
(p,q)€Un(po)xUn(qo)
Из неравенства Шварца и абсолютной непрерывности интеграла Лебега имеем
\(Vi fn)(р, q)\2dpdq ^ (2тг)~3 \vi(s,q)\2dsdq ^ 0 при п->• оо,
J JUn(po) J
\(V2fn)(p, q)\2dpdq ^ (2тг)~3 / |v2(p, s)|2dpds ->• 0 при п->• оо.
J J JlJn(qo)
Учитывая полученные выше оценки, имеем ||(Я — ZoI2)fn\\ —>■ 0 при п —> оо. Это означает, что Zq € aess(H). Так как zq € Othree(-Hi) взята произвольно, то
Vthree(Hi) С (Т ess
(Я).
Теперь докажем, что atWo(H{) С aesS(H). Пусть zi € — про-
извольная точка. Тогда по лемме 4 существует точка р\ € Т1' такая, что Z\ € crdisc(^i(Pi))- Следовательно, существует ненулевой элемент 1р € ЫТи) такой, что
(hi(pi) - zih)tp = 0. (12)
Положим
/.(*.«)= №-(рж,)
11^11УМШ)’
где Ху„(-) — характеристическая функция множества ип(р\).
Легко можно проверить, что {/п} является ортонормированной. Покажем, ЧТО ДЛЯ ортонормированной системы {/га} при г\ € СГ^о^Нх) верно
Ит 11 (Я — г\12)/п\\ = 0.
п—)> + С©
Заметим, что
2
\\(Н-г112)/п\\2^2[\(Н1-г112)/п(р^)\2 + ——^-—[ [ ь2(р,з№ dp.
.) ^{ип{рг)).) 7{/п(Р1)
Второе слагаемое оценим через С^ц(ип(р1)), которое по построению множества ип(р\) стремится к нулю при п —> +оо. А первое слагаемое оценим через
Г ХуЛ'Р) И и Г„\ „ г 1|2^ ^ ПЬ „ т 112
-\\hi(p) - zih\\2dp ^ max \\hi(p) - zih\\ .
J IJ>(Un(pi)) p&Jn(pi)
В силу равенства (12) оценочное выражение стремится к нулю при п —> +оо. Из произвольности точки z\ € crtWo(Hi) вытекает, что <7two(//i) С aess(H). Включение atwo(H2) С aess(H) доказывается аналогично.
Таким образом, доказано, что a(H{) U а(Н2) С а^Н).
Теперь докажем обратное включение: aess(H) С (т(Н{) U а(Н2). Отметим, что T(z)—компактная операторнозначная аналитическая функция в С \ (а(Н{) U а(Н2)) и операторнозначная функция I — T(z) обратима при
больших \z\, где гбС. Здесь / — единичный оператор в /^((Т1')2). Согласно аналитической теореме Фредгольма [1] существует дискретное множество S С С \ (а(Н{) U а(Н2)) такое, что операторнозначная функция (I — T(z))~l существует и аналитична в C\{a(Hi)Ua(H2)L)S}, а в точках S имеет вычеты конечного ранга. Следовательно, в силу леммы 5 для оператора Н — zl2 существует ограниченный обратный оператор. Это означает, что и(Н) \ (a(Hi) U &(Н2)) состоит только из изолированных точек, которые могут иметь предельные точки только в граничных точках множества a(Hi)Lia(H2). Отсюда а(Н) \ (a (Hi) U а(Н2)) С а(Н) \ aess(H), т.е. aess(H) С a (Hi) U а(Н2). □
Введём новые подмножества существенного спектра оператора Н. Определение. Множества atwo(H) = atwo(Hi) U atwo(H2), athree(H) = = o’thvee(Hi) = <Tthree(H2) называются двухчастичной и трёхчастичной ветвями существенного спектра оператора Н соответственно.
Замечание. Отметим, что канальные операторы Hi и Н2 имеют более простую структуру, чем //, и поэтому теорема 2 играет важную роль при дальнейших исследованиях спектра оператора Н.
Работа выполнена при поддержке Deutsche Forschungsgemeinschaft (проект № TR368/6-2). Первый автор благодарит Математический Институт Университета Берна (Берн, Швейцария) за гостеприимство и поддержку. Авторы также выражают благодарность за поддержку на конференции «Математическая физика и её приложения - 2010» лабораторией математической физики СамГУ, грантами АВЦП 3341 и 10854 и контрактом ФЦП 2173.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Reed, М., Simon В. Methods of modem mathematical physics. Vol. IV: Analysis of operators. New York-London: Academic Press, 1978. 396 pp.; русск. пер.: Pud М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 430 с.
2. Жислин Г. М. Исследование спектра оператора Шрёдингера для системы многих частиц // Труды Моск. мат. общ-ва, 1960. Т. 9. С. 81-120. [Zhislin G. М. Investigations of the spectrum of the Schrodinger operator for a many body system // Trudy Mosk. Mai. Obsh-va, 1960. Vol. 9. Pp. 81-120].
3. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schrodinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics// Ann. Henri Poincare, 2004. Vol. 5, no. 4. Pp. 743-772.
4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schrodinger operators on lattices// Math. Nachr., 2007. Vol. 280, no. 7. Pp. 699-716.
5. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices// Russ. J. Math. Phus., 2007. Vol. 14, no. 4. Pp. 377-387.
6. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles // Reports on Math. Phys., 2009. Vol. 63, no. 3. Pp. 359-380.
7. Расулов Т. X. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трёх частиц на решётке // ТМФ, 2010. Т. 163, № 1. С. 34-44; англ. пер.: Rasulov Т. Kh. Asymptotics of the discrete spectrum of a model operator associated with a system of three particles on a lattice // Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol. 163, no. 1. Pp. 429-437.
8. Фаддеев Л. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трёх частиц / Тр. МИАН СССР, Т. 69. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1963. С. 3-122. [Faddeev L. D. Mathematical questions in the quantum theory of scattering for a system of three particles / Trudy Mat. Inst. Steklov., 69. Moscow-Leningrad: Acad. Sci. USSR, 1963. Pp. 3-122].
Поступила в редакцию 21/XII/2010; в окончательном варианте — 21 /V/2011.
MSC: 81Q10; 35Р20, 47N50
THE FADDEEV EQUATION AND LOCATION OF THE ESSENTIAL SPECTRUM OF A THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR
T. Kh. Rasulov1,2, A. A. Rakhmonov1
1 Bukhara State University, Physics and Mathematics Faculty,
11, Muhammad Ikbol, Bukhara, 200100, Uzbekistan.
2 University of Bern, Faculty of Science,
5, Sidlerstrasse, Bern, CH-3012, Switzerland.
E-mail: [email protected], [email protected]
In this paper a model operator H associated to a system of three-particles on a lattice is considered. The location of the essential spectrum of H is described by the spectrum of channel operators. The Faddeev type equation for the eigenvectors of H is obtained.
Key words: model operator, essential spectrum, channel operator, Faddeev equation.
Original article submitted 21/XII/2010; revision submitted 21/V/2011.
Tulkin Kh. Rasulov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Algebra and Analysis1; Doctoral Candidate, Mathematical Institute2. Askar A. Rakhmonov, Student.
