CC BY
13
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
ON NEGATIVE EIGENVALUES OF THE DISCRETE SCHRODINGER
OPERATOR WITH NON-LOCAL POTENTIAL 1 2 Lakaev Sh.S.1 (Republic of Uzbekistan), Muminov Z.E.2 (Malaysia)
Email: [email protected]
1Lakaev Shukhrat Saidakhmatovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Аssociate Рго/essor,
DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS TASHKENT INSTITUTE OF IRRIGATION AND AGRICULTURAL MECHANIZATION ENGEENERS,
TASHKENT, REPUBLIC OF UZBEKISTAN 2Muminov Zahriddin Eshkobilovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer FACULTY OF ENGINEERING AND TECHNOLOGY, UNIVERSITY OF NILAI, NEGERISEMBILAN, MALAYSIA
Abstract: development of a research of the operators of Schrodinger H corresponding to
Hamiltonians of systems of two particles on a grid which meet in models of solid state physics and also the trellised field theory is one of the prioretnykh of the directions. On a d-dimensional lattice Zd, d = 1,2 the discrete operator of Schrodinger Hц with a nonlocal
potential constructed through Dirac's delta function and the operator of shift is considered. Existence of negative own value on statement parameters is explicit. Existence of own value of the operator in parameters X J is proved. Keywords: spectrum, eigenvalue, Fredholm determinant, Laplacian.
ОБ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ 1 2 Лакаев Ш.С. (Республика Узбекистан), Муминов З.Э. (Малайзия)
1Лакаев Шухрат Саидахматович - кандидат физико-математических наук, доцент,
кафедра высшей математики, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г. Ташкент, Республика Узбекистан; 2Муминов Захриддин Эшкобилович - кандидат физико-математических наук, доцент,
старший преподаватель, инженерно-технологический факультет, Университет Нилай, г. Негери Сембилан, Малайзия
Аннотация: развитие исследования операторов Шредингера, соответствующих гамильтонианам систем двух частиц на решетке, которые встречаются в моделях физики твердого тела, а также решетчатой теории поля, является одним из приоретных направлений. На ¡1-мерной решетке Zd, d = 1,2 рассматривается дискретный оператор Шредингера HJ с нелокальным потенциалом, построенный через дельта-функцию Дирака и оператор сдвига. Существование отрицательного собственного значения по параметрам оператора является явным. Доказывается существование собственного значения
оператора Hf по параметрам X и J ■
Ключевые слова: спектр, собственное значение, определитель Фредгольма, Лапласиан.
Гамильтониан с одной частицей Hf в импульсном представлении имеет следующий вид:
Hf = H 0 - V, где Hq представлен как H0 = F* (-A)F,
где F обозначает стандартное преобразование Фурье F : L(Td ) ^ £ 2(Zd ) и его инверсию F*: £2(Zd) ^ L(Td).
Невозмущенный оператор Hq действует в L (Td ) как оператор умножения функцией s(-) :
(HJ)(p) = s(p)f (p), f e L(Td),
d
s(p) = Z(1 - cos Pj), p e Td (1)
j=i
В физической литературе функция s(-) , являющаяся действительной функцией на Td ,
названа дисперсионным соотношением оператора Лапласа [1]. Возмущение V является двумерным интегральном оператором
(Vf)(p) = (V f){p) = -1d j(A + M(el(xQ,p) + e-^Wd,, f e L2(Td). (2) 0 (2л) ^dK J
Возмущение оператора fV является двумерным оператором и, согласно теореме Вейля
получим (Tqss (H) = &qss (Hq) , который содержит равенство, и кроме того существенный
спектр <Tess (Hf ) оператора Hf заполняет следующий интервал на вещественной оси:
^ ess (Hf ) [Smin , Smax ^
где
s =0, s = 2d.
min ? max
Обозначим
1 1 1 '(х0-') 1 с 1 1 се 0
а( г) =-т \-Ж, Ь(2) =-т|-Ж, 2 е Я \[8тп,8тях] (3)
'' (2ж) й\ е(г) - 2 ' У ; (2ж) й\ е(г) - 2 ' ()
Так как дисперсионное соотношение в(р) является четной функцией р е Тй и имеем равенства
Ь(2) = Ь(2) = —1—~г Г.^0^^^0!^^Л 2 е я\[етАа,етх] (4)
^ (2ж)й\ еЦ) - 2 ' У >
Для любого Я мы определяем определитель Фредгольма, ассоцированной
операторомНи как регулярная функция в2 е С \[8тп,8тах]. Изучение собственного значения оператора Н^ приводится к изучению нули определителя Фредгольма
А(1,и; 2) ,[3] где
А(Л,и; 2) = 1 - 2цЬ( 2) -¡и2 й (2) -Ла( 2) (5)
Лемма 1. Число z £ С \ , Smax ] является собственным значением оператора Hß если и только если А(Л, ß; z) = 0.
Место равенства А(Л, ß; z) = 0 мы можем рассмотреть параболу
Г(z): Ä = ±--Шß2 (6)
a(z) a(z) a(z)
Лемма 2. (a) Функция a(z), b(z) и d ( z) монотонно возрастает и положительная в (-да,0].
Кроме того, их пределы стремятся к — да если z стремится к нулю.
(b) Фтп):= lim a(z) = b(smn):= lim b(z) =
z^S ■ —0 z^S ■ —0
min min
d (smn):= lim d (z) =
z^s ■ —0 min
(c) Они удовлетворют следующие формулы: [2]
(c1) Пусть d = 1. a(z)= 1 , b(z) = 1 + o(-J-z), при z ^ 0 —. (7)
zv2—z V—zv2—z
(c2) Пусть d =2. a( z) = ——ln(—z) + (^ — —) + O(—z),
2n 2 n
42
b(z) =--ln(—z)+C + O(—z), при z ^ 0 —.
2n (8)
для некоторыхCq > 0 .
(d)a(z)= — + O(-U b(z) = 4 + 0(~1t), d(z) = \ + O(-^), as z ^—да. (9) — z z2 z2 | z |3 z2 | z |3
Доказательство может быть найдено, подобные вычисления в [4] .
Лемма 3. Для любого числа z £ R \ (—да, S^n )
ß2(z)= w , \ , U ßl(z)= , \ V (9)
b(z) + a(z) b(z) —a(z)
ß -прерывания, и
r b(z) a(z)^
(ßv (z), Jv (z)) =
(10)
й ( 2) й ( 2)
параболы Г(2). Лемма 2 обеспечивает нас для продолжения параболы в: Г(2) на 2 = 0 :
2 9
Г(0): Л = ~2/ + —- V2 (11)
VI
чьи нули V = // и V =0.
Парабола Г(0) делит плоскость (/, Л) на две части
2 2 2 2 0<0={(/,Л)Л < ~2/ + — V2}, 0>0={(/,Л) Л> ~2/ + — V2}.
V V
Теперь мы можем сформулировать нашу теорему
Теорема. (a) Для (f,f) e G<q О>Г(0), оператор Hf не имеет собственного значения в (—да,0].
(b) Для (f, Л) e G>q , оператор H f имеет собственное значение в (—да,0].
Список литературы /References
1. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. The Threshold Effects for the Two-particle Hamiltonians on Lattices, Comm.Math.Phys. 262, 2006. 91-115.
2. Lakaev S.N., Bozorov I.N. The number of bound states of one particle Hamilonian on a three-dimensional lattice. TheoreticalandMathematicalphysics. 158 (3): 360-376, 2009.
3. Лакаев С.Н., Тилавова Ш^М Слияние собственных значений и резонансов двухчастичного оператора Шредингера // ТМФ. 101:2, 1994. 235-252.
CALCULATION OF VISUAL REFLECTION COEFFICIENTS IN LOW
LIGHT CONDITIONS
12 3
Evstafieva A.D. , Belan A.R. , Lobanov A.D. (Russian Federation) Email: [email protected]
1Evstafieva Alena Dmitrievna - bachelor; 2Belan Andrey Romanovich - bachelor DEPARTMENT OF RADIO ELECTRONICS AND LASER TECHNOLOGY, FACULTY OF RADIO ELECTRONICS AND LASER TECHNOLOGY, BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY; 3Lobanov Anton Dmitrievich - bachelor, DEPARTMENT OF HIGH TECHNOLOGY IN THE FIELD OF LIFE SAFETY, OF MOSCOW INSTITUTE OF PHYSICS AND TECHNOLOGY (RESEARCH UNIVERSITY),
MOSCOW
Abstract: the article is devoted to the development of methods for calculating the level of visual perception of the brightness of colored objects in twilight conditions. Taking into account the specifics of the description of the luminous efficacy of radiation in mesopic conditions, the dependence of the integral visual reflection coefficient on the brightness in the space of objects in low light conditions was obtained for four standard color samples. These data could be used in the development of new types of canvases on the road or in the development of new road signs, which would make it possible to achieve a new level in lighting in terms of both improving quality and its efficiency. Keywords: colorimetry, reflection coefficients, low light, software.
РАСЧЕТ ВИЗУАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НИЗКОЙ ОСВЕЩЕННОСТИ
1 2 3
Евстафьева А.Д. , Белан А.Р. , Лобанов А.Д. (Российская Федерация)
1 Евстафьева Алена Дмитриевна - бакалавр;
2Белан Андрей Романович - бакалавр, кафедра лазерных и оптико-электронных систем, факультет радиоэлектроники и лазерной техники, Московский государственный технический университет им. Баумана;
3Лобанов Антон Дмитриевич - бакалавр, кафедра высоких технологий в обеспечении безопасности жизнедеятельности, Московский физико-технический институт (исследовательский университет),
г. Москва
