Асимптотика собственного значения дискретного оператора Шредингера на одномерной решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ Лакаев Ш.С. Email: [email protected]

Лакаев Шухрат Саидахматович - доцент, кафедра высшей математики, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г. Ташкент, Республика Узбекистан

Аннотация: развитие исследования операторов Шредингера, соответствующих гамильтонианам систем двух частиц на решетке, которые встречаются в моделях физики твердого тела, а также решетчатой теории поля, является одним из приоретных направлений. Рассматривается система двух одинаковых частиц

(бозонов), движущихся на одномерной решетке Z1, взаимодействующих с помощью

парного контактного потенциала отталкивания № > Доказывается, что для

любых № > 0, к G T1 оператор имеет единственное собственное значение

z (№, к).

Для собственного значения доказано разложение на достаточно малое /ц> 0. Ключевые слова: гилбертово пространство, оператор Шредингера, спектр, собственное значение.

ASYMTOTICS OF THE EIGENVALUE OF A DISCRETE SHRO'DINGER OPERATOR ON A ONE-DIMENSIONAL LATTICE

Lakaev Sh.S.

Lakaev Shukhrat Saidakhmatovich - Associate Professor, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, TASHKENT INSTITUTE OF IRRIGATION AND AGRICULTURAL MECHANIZATIONENGEENERS, TASHKENT, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: development of a research of the operators of Schrodinger H corresponding to

Hamiltonians of systems of two particles on a grid which meet in models of solid state physics and also the trellised field theory is one of the prioretnykh of the directions. A

system of two identical particles(bosons) moving on the one-dimensional lattice Z1, interacting via zero-range pair attractive potential №> 0 and к G T1 the existence of a unique eigenvalue z(p, к), lying above the essential spectrum, is proven. For the eigenvalue an expansion by sufficiently small № > 0 is proven. Keywords: hilbert space, Shro 'dinger operator, spectrum, eigenvalue.

УДК 517.984

Дискретный оператор Шредингера h (к). Пусть T1 — одномерный тор, т.е. отрезок \—я,я\ c отождествленными концами. Он рассматривается как абелева

группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число в R1 по

модулю 2nZ1, а dr — нормированная мера Хаара, введенная на торе T1.

Пусть L2 (Tг, dr) — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых

функций, определенных на T1 и L2 (T*) ^ L2 (T\ dr) — подпространство четных функций.

Семейство двухчастичных дискретных операторов Шредингера Л (k), k G T1, соответствующих системе двух частиц (бозонов) на решетке с контактным потенциалом отталкивания действует в пространстве Le2 (T1) по формуле:

h^(k) = ho(k) + ^ где невозмущенный оператор Л (k ) является оператором умножения на функцию

sk(q) = 2(1 — cos—cosq), k,q gT1, (1)

а возмущающий оператор v — интегральный оператор ранга один

(vf)(q) = J f (q)dl, f e L2(T1).

Здесь je R = (0, да) — энергия взаимодействия двух частиц.

По теореме Вейля [1] о существенном спектре, существенный спектр cess (h (к))

оператора hu(k), к eT\ совпадает со спектром c(h0(k)) оператора h0(k).

Следовательно,

c„ (hj(k)) = c(ho(k)) = [smin(k),smax(k)],

к k где s^ (k) = min Sk (q) = 2(1 — cos-) > 0 s^ (k) = max s- (q) = 2(1 + cos -) < 4.

qeT 2 qeT 2

Теорема. Пусть k e (—ж,ж~). Тогда существует ju0 > 0 и при je (0, j) имеет место следующее равенство:

Г « I2

(2)

Z(j k) =Snax(k) + j

X (k )un

n

n=0

где a (k),k = 1,2,... — некоторые действительные числа и

ж ;

a0 (k) = . - > 0

.cos —

V 2

Определитель Фредгольма, ассоциированный оператору hM (k), k G T .

Пусть C — комплексная плоскость. Для любого k G T1 определим определитель Фредгольма,[2] ассоциированный оператором hM(k), как аналитическая функция,

определенная в C \ [smin (k), smax (k)] по формуле

AM(k, z) = 1 — tiv(k, z), (3)

где

v(k, z) =t-rL (4)

Tiz — (q)

T

Следующая лемма выражает связь между собственными значениями оператора Л (к) и нулями определителя Фредгольма.

Лемма 1. Для любого к е Т1 точка г е С \ [втп (к), £тах (к)] является собственным значением оператора Л (к) тогда и только тогда, когда ДДк, г) = 0.

Лемма 2. Для каждого к е Т1 функция А^ (к,•) непрерывна, монотонно возрастает в (^тах (к),+ш) и Ац (к, г) ^ 0 при г ^ +ш.

Лемма 3. При каждом г > £тах (к), к еТ1 = [—ж, ж] и це Я+ определитель А (к, г) является четной функцией к е Т1 и монотонно возрастает (соотв. убывает) на отрезке [0, ж], (соотв. [—ж,0].)

Лемма 4. а) Для любых к е (—ж, ж) и г е (к), £тх (к) + 8), 8 > 0 — достаточно малое, имеет место следующее разложение Пъюзо

= У сп

п=—1

1 \ 2

ш п

2 •

у(к, г) = у Сп (к)(г — ^(к))2; (5)

где (г — £тах(к))2 > 0 при г > ^(к), С(к),п = 0,1,2...,—регулярные функции в (—ж, ж), и

С—1 (к) =

ж

к

008 —

2

Доказательство теоремы: По теореме для любых ц > 0 и к е (—ж, ж) существует число г := г(ц, к) > £тх (к), которое является собственным значением оператора Л (к). Кроме того, функция г(% к) является монотонно возрастающей на и г(ц, к) ^ (к) тогда и только тогда, когда ц ^ 0 +. Пользуясь равенствами Ац (к, г) = 0 и (5) при г е (^тах (к), £тях (к) + 8) получим

1 ш п

- = у Сп (к)(г — 8тх(к ))2.

Ц п=—1

Это уравнение равносильно уравнению

а

Ц =-ш-, (6)

С—1 (к) + У Сп (к)ап+1.

п=0

где

а = 4г — £«*х(к) >0. (7)

В уравнении (6), заменяя переменную

а = р(а + и), (8)

где а = с (к) = я ф о к е (-я, я), получим эквивалентное к (6)

-1 I к ,

-.\cos-V 2

уравнение относительно и

ад

¥(р, и; к) = X С (к)(а + и)п+1 рп+1 - и = 0. (9)

п=-1

Функция ¥(р, и; к) удовлетворяет следующим условиям:

1) Для любого к е (-я, я) функция ¥ принимает действительные

значения при действительных и и аналитична при малых |р|, |и|;

2) ¥(0,0; к) = 0;

3) — (0,0; к) = -1 Ф 0 ди

Поэтому по теореме о неявной функции при достаточно малых || уравнение (9) имеет единственное аналитическое решение и, которое выражается в виде сходящегося ряда

ад

и = Х К (к.

п=0

Подставляя это разложение в (9), имеем

a +

ад

X К (k )/

n

n=0

/n+1 =X bn (k)/n.

n

n=0

X cn (k)

n=0

Отсюда и из равенства F (0,0; k) = 0 находим, что b0(k) = 0.

Согласно (8) имеем

f \

а = /

a()(k) + X a„ (k)/

\

n>1

где приняты обозначения a0 (k) = (k) и aH (k) = К (k), n = 1,2,...

Следовательно, пользуясь (7), получим равенство (2). Теорема доказана.

Список литературы /References

1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. Мир. М.,1982.

2. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М., Лакаев Ш.С. Теоретическая и математическая физика. Том 171. № 3, 2012.