О ЧИСЛЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2022

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 78

Научная статья

УДК 517.984 MSC: 47A15, 47A75, 81Q10

doi: 10.17223/19988621/78/2

О числе собственных значений модельного оператора на одномерной решетке

Аъзам Абдурахимович Имомов1, Ислом Намозович Бозоров2, Абдимажид Моликович Хуррамов3

1 Каршинский государственный университет, Карши, Узбекистан 2■ 3 Самаркандский государственный университет, Самарканд, Узбекистан 1 [email protected] 2 islomnb@mail. ru 3 xurramov@mail. ru

Аннотация. Рассматривается модельный оператор hц (k), k е (-л, л], соответствующий гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке со специальными дисперсионными соотношениями, описывающими перенос частицы с узла на узлы, взаимодействующих с помощью некоторого

короткодействующего потенциала притяжения v^, ц = (цд^ьЦг^з)6 ■ Приводятся детальные описания изменений числа собственных значений оператора энергии относительно значений вектора ц = е и параметра

k е Т .

Ключевые слова: оператор Шредингера, гамильтониан системы двух частиц, дисперсионные соотношения, одномерная реШтка, инвариантные подпространства, собственное значение, существенный спектр, унитарно эквивалентный оператор, асимптотика определителя Фредгольма

Благодарности: Работа поддержана грантом Республики Узбекистан, проект № ФЗ-20200929224.

Для цитирования: Имомов А.А., Бозоров И.Н., Хуррамов А.М. О числе собственных значений модельного оператора на одномерной решетке // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 78. С. 22-37. doi: 10.17223/19988621/78/2

© А.А. Имомов, И.Н. Бозоров, А.М. Хуррамов, 2022

Имомов А.А., Бозоров И.Н., Хуррамов А.М. О числе собственных значений модельного оператора Original article

On the number of eigenvalues of a model operator on a one-dimensional lattice

Azam A. Imomov1, Islom N. Bozorov2, Abdimazhid M. Khurramov3

1 Karshi state University, Karshi, Uzbekistan 23 Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan 1 [email protected] 2 islomnb@mail. ru 3 xurramov@mail. ru

Abstract. A model operator hц (к) к e (-л, л], corresponding to the Hamiltonian of

a system of two arbitrary quantum particles on a one-dimensional lattice with a special dispersion function is considered. The function describes the transfer of a particle from site to sites interacting using a short-range attraction potential v^,

ц = (ц0,ц],ц2>из) e ■ The detailed descriptions of changes in the number of eigenvalues of the energy operator hц (к) к e (-л, л], relative to values of the particle

interaction vector ц e IR+ and the total quasi-momentum к e T of the system of two particles is presented.

Keywords: Schrodinger operator, Hamiltonian of a system of two particles, dispersion relations, one-dimensional lattice, invariant subspaces, eigenvalue, essential spectrum, unitarily equivalent operator, asymptotics for the Fredholm determinant

Acknowledgments: This work was supported by the Republic of Uzbekistan, project no. FZ-20200929224.

For citation: Imomov, A.A., Bozorov, I.N., Khurramov, A.M. (2022) On the number of eigenvalues of a model operator on a one-dimensional lattice. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 78. pp. 22-37. doi: 10.17223/19988621/78/2

Введение

В моделях физики твердого тела [1, 2], а также в решетчатой квантовой теории поля [3] рассматриваются дискретные операторы, являющиеся решетчатыми аналогами оператора Шредингера на евклидовом пространстве. Кинематика квантовых частиц на решетке довольно экзотическая [4].

В непрерывном случае изучение спектральных свойств полного гамильтониана системы двух частиц сводится к изучению двухчастичного оператора Шре-дингера с помощью выделения энергии движения центра масс так, что двухчастичные связанные состояния суть собственные векторы оператора энергии с отделенным полным импульсом (при этом такой оператор фактически не зависит от значений полного импульса) [5]. Дискретный лапласиан, в отличие от непрерывного случая, не является трансляционно-инвариантным, и поэтому гамильтониан системы не разделяется на две части. На решетке выделению центра масс

системы отвечает реализация гамильтониана как расслоенного оператора, т.е. прямого интеграла семейства операторов (операторов Шредингера) Н(к) энергии двух частиц, зависящих от значений полного квазиимпульса системы двух частиц к на ^-мерном торе Т [6].

В общем случае оператор Шредингера к(к), к е Т, определяется в Ь2(Та) с некоторым дисперсионным соотношением и короткодействующим потенциалом притяжения.

В работе [7] рассматривается двухчастичный оператор Шредингера Нр(к),

к е Т3, ассоциированный с гамильтонианом системы двух одинаковых частиц (бозонов), взаимодействующих с помощью парного контактного потенциала притяжения с энергией взаимодействия р. >0. Показано, что оператор либо имеет единственное собственное значение, либо не имеет собственных значений в зависимости от значений энергии взаимодействия р >0 и полного квазиимпульса

системы двух частиц к е Т3.

В случаях двух бозонов или двух фермионов, движущихся на решетке и взаимодействующих только на ближайших соседних узлах, найдено точное число собственных значений соответствующего двухчастичного оператора Шредингера

кр (к), р >0, к е ТЛ, а =1,2 ... [8, 9]. Кроме того, в работах [10, 11] были изучены спектральные свойства одночастичного гамильтониана, описывающего движение одной квантовой частицы на решетке во внешнем поле. Исследованы число собственных значений и их расположение в зависимости от значений энергии взаимодействия р > 0 и Х> 0 (р2 + X 2>0 ).

В работах [12, 13] рассматриваются системы двух произвольных квантовых частиц на трехмерной решетке, где свободный гамильтониан задается со специально выбранными дисперсионными соотношениями и частицы взаимодействуют с помощью некоторых (выбранных) парных потенциалов притяжения. Изучена зависимость числа собственных значений семейства операторов ^ (к), к е Т3,

р = (Р2,..., Рд,) е л Л', от энергии взаимодействия частиц р — е г4 и полного квазиимпульса к е Т3.

В работе [14] рассматривается система двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке со специально выбранными дисперсионными соотношениями, описывающими перенос частицы с узла 5 = 0 на узлы 5 = +2п, п е N, взаимодействующих с помощью парного потенциала притяжения. При этом в соответствии с дисперсионными соотношениями потенциал взаимодействия ,

р = (р0, р;,..., рд,) е л Л' 1 выбирается таким образом, что определитель Фред-гольма, соответствующий оператору Ьр (к), сводится к произведению определителей Фредгольма операторов Ь (к) и / е ¡0.1.....Д'|. Изучено число собственных значений оператора (к) в зависимости от энергии взаимодействия частиц и полного квазиимпульса к е Т , а также найдены условия существования много-

кратного собственного значения оператора кц (к), лежащего левее существенного спектра.

В настоящей работе рассмотрим модельный оператор (к), к е Т, соответствующий гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке со специальными четными дисперсионными соотношениями, описывающими перенос частицы с узла я = 0 на узлы 5 = ±2, взаимодействующих с помощью некоторого парного короткодействующего потенциала притяжения. При этом энергия парных взаимодействий частиц является четной функцией и принимает не более четырех значений: ц0, ц2 и ц3.

Целью настоящей работы является изучение числа собственных значений оператора энергии кц (к) в зависимости от вектора энергии парных взаимодействий частиц ц = (ц0,ц1,ц2 = М-з) е и полного квазиимпульса системы двух частиц к е Т .

Отметим, что данная работа в определенном смысле уточняет и обобщает результаты работ [10, 11], а также показывает сложную зависимость числа собственных значений от параметров операторов.

1. Формулировка основных результатов

Пусть Ъ - множество целых чисел, - гильбертово пространство

квадратично-суммируемых функций, определенных на 1 х 1.

В координатном представлении модельный оператор кц, соответствующий

гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке, определяется как ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве ^ (1 х 1), по формуле

кц = к0 - ^'

где

С^Ч/Х«!, «2) = ^(п1 -п2)Ц'(П1, «2). Здесь е1 (•), е2 (•) - некоторые дисперсионные функции, описывающие перенос частиц с узла на соседние узлы, и ^ (•) - парный потенциал взаимодействия частиц, определенные на 1 по формулам 1

е г (*) =

-, при 5 = 0,

2ш-

--, при 5 = ±2, и V (5) =

2лц0, 0,

при 5 = 0,

при 5 = ±1,1 = 1,2,3, иначе,

иначе,

где ш; > 0 - масса i-й частицы, / = 1,2, и цп > 0 , п = 0,1,2,3.

ш

Пусть Т = (-л; л] - одномерный тор, Ь2 (Т х Т) - гильбертово пространство всех квадратично-интегрируемых функций, определенных на Т х Т. Переход от координатного представления оператора йр к импульсному осуществляется с помощью преобразования Фурье (см. [6]):

Г:£2(Ях1.) -^(ТхТ), (Яр)(р) = ±

2л

Поэтому в импульсном представлении модельный оператор , соответствующий

гамильтониану системы двух произвольных квантовых частиц на одномерной решетке имеет вид:

Двухчастичная проблема на решетке с дисперсионными соотношениями % (к) и е2 (к2) и квазиимпульсами к и к2 в импульсном представлении с помощью отделения полного квазиимпульса системы двух частиц к = к + к2 и разложения фон Неймана сводится к изучению эффективной одночастичной проблемы: гильбертово пространство (Т х Т) разлагается в прямой (непрерывный) интеграл фон Неймана, ассоциированный представлением абелевой (дискретной) группы Ъ , образованной с помощью перестановочных операторов на решетке

¿2 (Т х Т) = | е ¿2 (Т)Л.

кеТ

Тогда для оператора ^, соответствующего гамильтониану системы двух частиц,

имеет место разложение фон Неймана [15]:

=

т

где квазиимпульс системы двух частиц к пробегает первую зону Бриллюэна Т = К / (2тЛ). Соответствующий слойный оператор /г(| (к) непрерывно зависит от квазиимпульса к е Т = М / (2л'Ж). В результате, благодаря потере сферической симметричности проблемы, спектр оператора /ги (к) оказывается довольно чувствительным к изменениям квазиимпульса к е Т .

Связанное состояние \\>ек оператора /?и (к) является решением уравнения Шредингера

К (к)\\1еЛ = е(к)\[1е к, \[1е к 6 Ь2 (Т), и оно непрерывно зависит от квазиимпульса к. Тогда спектр сг(/;и) оператора /ги вьфажается с помощью спектра слойных операторов Шредингера /?и (к) с фиксированным квазиимпульсом, т.е.

= = ^-=1 Чи {eJ(k)}^c;(h0(k)X

где е ■ (&), у = 1,2,... - собственные значения слойного оператора /?и (к).

Воспользовавшись унитарным оператором U: L2 (Т) ^ L2 (Т), определенным по формуле (см. [14])

1 1 --1--cos2k

(Uf)(p) = f (P-Щ), 0(k) = arccos m m2

2 ^ 11 2 „, 1

—— +--ео8 2к +—-

ОТ; /Я^

изучение спектральных свойств оператора /г(|(/г) сведем к изучению спектральных свойств семейства операторов к (к), к е Т, действующих в гильбертовом пространстве Ь2 (Т) по формуле

Ь11(к) = к0(к)-\11, где к0 (к) - оператор умножения на функцию £к (•):

£к (p) = — + —— a(k)cos2 p, a(k )= /-1- +--2—cos2k + -Д-

m1 m2 \ m2 m1m2 m2

3

и v^ - интегральный оператор с ядром vц (p - s) = cos n(p - s), т.е.

n=0

3

n( p - s

(У»Л(Р) = £ Jn„ cos n(p - s)f(s)ds, feL2 (T).

n=O^p

Заметим, что из теоремы Вейля о существенном спектре [17] следует, что существенный спектр aess (h^ (k)) оператора кц (k) не меняется при компактном

возмущении v^ и совпадает со спектром невозмущенного оператора h0 (к). Следовательно,

a ж h (к)) = ст(к,(к)) = [m(k), M (к)],

где

m(k) = min £ k (p) = — +--a(k), M (k) = max£ k (p) = — + — + a(k).

peT m m2 peT m m2

Поскольку v^ > 0, то

sup(h„ (k)f, f) < sup(ho (k)f, f) = M(k)(f, f), f e ¿2 (T). Поэтому оператор кц (k) не имеет собственных значений, лежащих правее существенного спектра, т.е.

а(кц (k)) n, (M (k), да) = 0. Замечание 1. Пусть Ь2 е (Т) с L2 (Т) - подпространство четных, а L2 0 (Т) с L (Т) - подпространство нечетных функций. Известно, что имеет место равенство L2(T) = L2e(T)®L2o(T) . Гильбертовы пространства L2e{Т) и L2o (Т) являются инвариантными относительно самосопряженного оператора h^ik). Обозначим через к^е(к) и к^а(к) сужения h^(k)\L (Т) и h^(k)\L (Т)

оператора кр(к) на Ь2е(Т) и Ь2о(Т) соответственно. Операторы кре(к) и к о (к) действуют в Ь2 е (Т) и Ь2 0 (Т) соответственно по формулам

К ,е (к) = К(к) - V^í ,е И ^ ,0 (к) = К(к) - V^í ,0 >

где V и V - интегральные операторы, действующие по формулам

v

3

/О) = Xj11» C0S Пр C0S nsf(s)ds' / 6 L2,e (TX

n=0 т 3

f(P) = Xj11» SÍn ПР SÍn nsf(s)ds> f 6 l2,o (t)-

n=0 TT

Заметим, что

o(hp (k)) = а(кр е (k)) и а(кр о (k)) и ad (hp (k)) = ad (h^ (k)) и a¿ o (k)) Положим

_ ecosnqcosmqdq

c

nm

(к;z) = j cOS;qC°Smqdq, ^ (к;z) = ^(к;z), nm = 0 ,1,2 , 3 (1)

T £ к (q) - Z

и

r sinIqsinrqdq ,, ,, , „„

slr (к;z) = J q q q , s,(к;z) = su(к;z), l,r = 1,2,3. (2)

T £ к (q) - Z

Из представления £k (p) следует, что min £к (p) достигается только в нуле.

psT

Поэтому интеграл

f sin2 lqdq , l = 1,2,3

T£ к (q) - т(к)

сходится и принимает положительное значение. Положим

щ (к ) = (s (к; т(к )))-1 = ^, l = 1,2,3.

In

Для того чтобы сформулировать точные результаты о числе собственных значений операторов h (к) и кщо (к), а также их расположении, введем

следующие разбиения: Е^ и IE®, a = 1,2, или же О^, a = 0,1 и О®,

ß = 0,1,2 (рис. 1, 2), плоскостей O|í0|í2 и О^ц3 параметров |i0,|i2eM+ и

|Í!,|Í3 el+:

м 2 = е u = о Ц u о ^ и м 2 = е i(2) u е (2) = о(2) u о(2) u °(г2),

где

E« = (ц^, цу+1) е М2 :цу+1 < ц2(к)+ ^ , Е™ = , цу+1) е М2 :цу+1 > ц2 (к) + ^ I

[ M7-i-M.2(k)J

<С ={(n0,n2)eli :й2 <й2(/с)}. О«1' = {(Й0,Й2)6М2

©<2) = (Ц1,Цз) е Ж2 . < Цз < мк)+ 1

0><2) = (щ, ц3) е Ж2 : щ < Зц2 (к), ц3 > ц2 (к) +

ц2(к)

Цх - 3^2 (к)

или Ц > 3Ц2 (к), Цз < Ц2 (к) +

ц2(к )

Цх - 3Ц2 (к) ,

2 = (ц1,ц3)еМ2:ц1>Зц2(А-), Ц3>Ц2(А-)+

Цх - 3Ц2(^) I

b

Рис. 1. Схема расположения множеств IE'1' и lEf1,= 1,2 Fig. 1. The layout of the sets JE|TI and Ef1 ,/'=1,2

Рис. 2. Схема расположения множеств Gj.r),= 0, 1 и О':' J = 0,1, 2 Rg. 2. The layout of the sets 0\Y>,; = 0, 1 axxd Of' ,j= 0,1, 2

Следующие теоремы описывают число и расположение собственных значений операторов ^е(к) и ^0(к).

%

Теорема 1. Пусть либо m Ф ш2 и к е Т, либо m = m = m2 и к Ф+ —. Тогда

для каждого к е Т справедливы следующие утверждения:

а

b

а

1.Если (ц0,ц2) e E^, (1^,113) e E®, a,P = l,2, то оператор hpe(k) имеет ровно a + p собственных значений с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра.

2. Если (|i0,|i2) 6 (ИтЦз) 6 О- = 0,1, |3 = 0,1,2, то оператор 0 (к) имеет ровно a + p собственных значений с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра.

к

Теорема 2. Пусть m = щ = щ и к = + —. Тогда оператор е(к) (соответственно 0(к) ) имеет ровно четыре (соответственно три) собственных значения с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра.

Следующая теорема устанавливает нижнюю и верхнюю границы для числа собственных значений оператора hp (к).

к

Теорема 3. 1. Пусть либо щ Ф щ и к е Т, либо m = щ = щ и к Ф • Тогда

для каждого к е Т оператор hp (к) имеет не менее двух и не более семи собственных значений с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра.

к

2. Пусть щ = щ = щ и к = +—. Тогда оператор hp(к) имеет ровно семь

собственных значений с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра.

Замечание 2. Пусть выполняется условие 1 теоремы 3. Если (|i0, |i2 ) е Ра, а = 1,3, (ц[,ц3) eQp, Р = 1,4, то для каждого ке Т оператор кр(к) имеет ровно a + p собственных значений с учетом кратности, лежащих левее существенного спектра, где

P = Е(1) n0(1), Р2 = Е(1) n0(1), Р3 = Е® nО®, ^ = Е(2) n 0(2), Q2 = Е(2) n 0(2), Q3 = Е(2) n 0(2), Q4 = Е((2) n 0(2).

2. Эскиз доказательства основных результатов

Введем функцию Д (к ;•):= Д(к ;•) определенную в С \[щ(к ), M (к )] :

Д(к; z) = Д. (к ; 2)Д а (к; z), (3)

где

Д, (к; z) = Д« (к; г)Д(е2) (к; z), Д 0 (к ; z) = Д« (к; z)Д(o2) (к; z), (4)

Д™ (к; z) = (1 - Pa Ca (к ; z))(1 - ЦрСр (к; z)) - PaPpC2p (к; z), (5)

Д0Т) (к; z) = (1 - apa ^ (к; z))(1 - Pp sp (к; z)) - apaPp s^p (к; z), (6)

a = y-1, p = y +1, y = 1,2.

Связь между нулями функции Д(к; z) и собственными значениями оператора hp (к) устанавливается следующей леммой:

Лемма 1. Для любого к е Т число г < т(к) является m-крaтным собственным значением оператора к (к) тогда и только тогда, когда оно является m-кратным нулем функции Д(к;-), т.е. Д(к;г) = 0.

Аналогичная лемма доказана в работе [14].

Следствие 1. Для любых (цу_1,|ду+1) е М+ , у = 1,2, и ке Т число г<т{к) является собственным значением оператора к^] (к) (соответственно (к)) тогда и только тогда, когда оно является нулем функции Д]у^(к; •) (соответственно ДОу'(к; •)), у = 1,2. Причем каждое собственное значение оператора к^1(к) (соответственно кЦуО(к)) является простым (см. ниже предложение 3), где операторы (к) и (к) зависят только от пар значений (|1у_!, |1у+1) £ М+, у = 1,2, т.е.

к«(к) = ко(к) - у«, к«(к ) = ко (к) - у« , у = 1,2,

(у) (у)

У^'е и Уц О есть интегральные операторы

(У^е/Хр) = |(Цу-1 СОв(у -1)/? С05(у - 1)5 + Цу+1 С05(у +1)/? С05(у +1

т

(^]оЛ(Р) = |(Цу-1 8Ш(у -1)р 5Ш(у -1)5 + |ау+1 5Ш(У +\)р 5Ш(у + ВД/Х^.

ivr.y-.-v- , ,' + 1)£>51П(у + ]

Т

Следующие предложения 1 и 2 доказываются аналогично предложениям 1 и 2 в работах [10, 11].

Предложение 1. I. Для любого к е Т функции спт (к;•), п + т = 0,2,4,6, п,т = 0,1,2,3 и ^(к;-), I + г = 2,4,6, I,г = 1,2,3, аналитичны в С\[т(к),М(к)], положительны и монотонно возрастают на (-да, т(к)).

ж

П. Пусть либо т Ф т и к е Т, либо т = щ = т2 и к . Тогда для любых

цу_[ > 0, цу+1 > 0, у = 1,2, и к е Т имеют место равенства (асимптотические разложения)

Ду-Чк; г) = Е( '/(к)(т(к) - г) 2 + Е(у)(к) + 0((т(к) - г)2), г ^ т(к) - 0, (7)

2

1

ДО7} (к; г) = 0(у) (к) + 0((т(к) - г)2 ), г ^ т(к) - 0, (8)

где

,(у) ,, У^[Цу-1Цу+1 - (М-у-1 +цу+1)ц2 (к)]

Е( у1(к ) = ■

>Й2(к)

2

(у^ _ 2Ц2 (к) + [(у - 1)Цу-1 + (у + 1)Цу+1 ]Ц2 (к) - (у + 1)Цу-1Цу+1

Е0 (к) 9

2ц2(к)

2

(у) = 2M2 (к) -[(у - 1)Цу-! + (у + 1)цт+1 ]M2 (к) + (у - 1)Цу-1Цу+1

O0 (к) о .

0 2ц2(к)

Предложение 2. I. Для любых Mn > 0, n = 0,1,2,3 и к е Т функция 1 -ц„си (к; •) имеет единственный нуль Qn (к) е (-да, m(k)), т.е.

1 - M-n^n (к; Qn (к)) = 0, n = 0,1,2,3. (9)

л

11. Пусть либо щ Ф тг и к е Т, либо m = щ = m2 и к Ф . Тогда для любых

Mi > 0, l = 1,2,3, и к е Т справедливы следующие утверждения:

11.1. Если Mi < Mi (к), то функция 1 - Mi^i (к; •), l = 1,2,3, не имеет нулей на интервале (-да, т(к)).

11.2. Если Mi > Mi (к), то функция 1 - Mi^i (к; •), i = 1,2,3, имеет единственный нуль ^ (к) < т(к).

Заметим, что в силу следствия 1 и представления (3) исследование нулей функции Л(к;-) сводится к изучению нулей функций Аly' (к; •) и А(у) (к; •), у = 1,2, определяемых через (5) и (6), соответственно.

Отметим, что гтк^уЬ^ (соответственно гтк(v^^) < 2), у = 1,2 . Поэтому имеет место следующая

Лемма 2. Оператор h^l (к) (соответственно h^l (к)), у = 1,2, имеет не

более двух собственных значений (с учетом кратности), которые лежат левее точки z = т(к) . Положим

лЩП (к) = ш1п(Пу-1 (к), (к)}, ^ (к) = шах(Пу-1 (к), Пу+! (к)}, у = 1,2,

и

5шп(к) = шт{^(к), 4э(к)}, ?шах(к) = шах{^(к), ^(к)}.

л

Предложение 3. Пусть либо щ Ф щ и к е Т, либо т = щ = щ и к .

Тогда для любых (ja.y_j, Цу+1) е , у = 1,2, и кеТ справедливы следующие утверждения:

I. Если (Му_!, Му+1) е В^, то функция A'f-1 (к;-) имеет единственный нуль z<eyl)(k)<m(k). При этом z{f\k) < Ц^п(к).

II. Если (My-i: M-y+i) 6 > то функция Ag7-1 (к; •) имеет только два нуля zly1^ (к) < т(к) и zl2)(к) < т(к). При этом выполняются соотношения

III Если (м0,м2) 6 ®о (соответственно (Mj,м3) е О®), то функция А„'(к;-) (соответственно Л^к;)) не имеет нулей на интервале (-да, т(к)).

IV. Если (ц0,|д2) 6 О)]1' (соответственно (1^,^,3)6 то функция А^'(к;•) (соответственно А«2 (к;•)) имеет единственный нуль z(1) (к) < m(k) (соответственно z(21) (к) < m(k). При этом zj21 (к) < (к)).

V. Если ц3) е

то функция А^к/) имеет только два нуля -z(21)(к) < т(к) и z(22)(к) < т(к). При этом выполняются соотношения

zf^)< ^min (к) <^тах(к)< zf2 (к).

Доказательство. I. В силу утверждения I предложения 2 функции 1 -цу-1су-1(к; •) и 1 цу+1су+1(к; •), у = 1,2, монотонно убывают и имеют единственные нули ^ х(к) и ^ х(к) на интервале (-да,т(к)), поэтому для любого

z < лтШ(к), имеем

1 - Цу-iCy-1 (к; z) > 1 - Цу-c- (к; Ну- (к)) = 0,

1 - Цу+1су+1(к;z) >1 - Цу+1су+1(к; Ну+1 О^)) = 0-Отсюда и из утверждения I предложения 1 следует, что неравенство

)(к; z) доа(к;z) „ ^ daß (к;z)

—dz—=-Ца —&— - црСр (к;z)) - —3z— - ЦаСа (к;z)) -3can(к;z)

-2^a^ßcaß(к;z)-—-<0, а = у-1, ß = у +1, у = 1,2 ,

выполняется при всех z < Hirnn^), т.е. функция Аe'(к;•) монотонно убывает на интервале (-да, 'ИтЛ^)). Из равенств (1), (5) и (9) следуют соотношения

lim А<у'(к;z) = 1,

z^-да

а?}(к;н^п (к)) = -^Сф (к;(к)) < 0, (10)

при а = у -1, ß = у +1, у = 1,2.

Поэтому существует единственное число z^1 (к) < (к) такое, что

А^ }(к; ^(к)) = 0.

Покажем, что функция А^) (к; •) не имеет нулей на интервале (н^п (к), т(к)), а именно

А(j\t,z) < 0 при z е (т,™ (к),т(к)У (11)

Если предположить противное, т.е. (|ay_j, цу+1) е Е,7'1. у = 1,2, и выполняется неравенство А^) (к; н) ^ 0 для некоторого н 6 (Hmm (к), т(к)), то в силу неравенств (10) и lim А^ )(к; z)<0, а также непрерывности функции А^ ^(к;) она

z^m(k )-0

имела бы не менее двух нулей (с учетом кратности) на интервале (Нтт(к), т(к)), а в силу (5) функция А^\к; •) имела бы не менее трех нулей на интервале (-да, т(к)), что противоречит утверждению леммы 2.

В силу леммы 2 из неравенства (11) вытекает, что функция Д^к;) не имеет нулей на интервале (лШШП (к), т(к)), что доказывает утверждение I предложения.

II. Выше мы уже доказали, что функция Д^ (к;) (см. доказательство пункта I) имеет единственный нуль на интервале (-да, л^ (к)). Из условия пункта II имеем

Нш Д!у)(к; 2) = +да.

г^т(к )-0

Отсюда и из (9), рассуждая как выше, приходим к заключению, что функция Д^к;-) на (лШ2х(к), т(к)) имеет единственный нуль г^2'(к) (если бы она имела больше одного нуля, это противоречило бы лемме 2).

Таким образом, г^^к) и г^2\к) являются нулями функции Д^Чк; •) на (-да, т(к)), что доказывает утверждение II.

III. Пусть г < т(к). В силу утверждения I предложения 1 функции 5И (к;•), п =1,2,3, и л13 (к;) монотонно возрастают на интервале (-да, т(к)) и в силу утверждения II. 1 предложения 2 при всех г < т(к) имеют место неравенства

^13 (к; г) < ^13 (к; т(к))

и

1 - Рп^п(к;г) >1 - Рп^п(к;т(к)) > 0 .

Отсюда, из (6) и в силу условия III предложения 3 имеем Д^к; г) > Д^к; т(к)) > 0, Д^2)(к;г) > (1 -р151(к;т(к)))(1 -р353(к;т(к)))-р1р35123(к;т(к)) >0.

Следовательно, функция Д^к;-) (соответственно Д<2'(к;-)) не имеет нулей на интервале (-да, т(к)).

Утверждения IV и V предложения 3 доказываются аналогично доказательству утверждений I и II.

Доказательство теоремы 1. 1. Пусть г < т(к) . Согласно утверждениям I, II предложения 3 имеем

А(~у\к ) | имеетеДинственныйнуль при (р0,р2) е Е^, I имеет только два нуля при (р0. р2) е В'2',

А1-2-1 (к ) | имеет единственный нуль при (р;, р3) е Е®, [имеет только два нуля при (р;, р3) е Е22\

В силу леммы 1, учитывая представления (3)-(6) и условие 1 теоремы 1, получим, что оператор Нре (к) имеет а + р, а, р = 1,2, собственных значений

при (р0,р2)е1Еа), (р1,р3)еЕ(р2).

2. Пусть г < т(к). В силу утверждений Ш-У предложения 3 имеем

д(1)(£. ) = {неимеетнУлей ПРИ (Ро'Рг)60?'1'

I имеет единственный нуль при (р0, р2)е ©^ -1,

Af>(k, •) = <

не имеет нулей при (ц1, ц3) е

имеет единственный нуль при (|j,j, |j,3) е Ор-1, имеет только два нуля при , |u3) е О®. С учетом леммы 1 получаем утверждение 2 теоремы 1.

к

Доказательство теоремы 2. Пусть т = т = т2 и к = +— . В этом случае

2

функция £к (•) не зависит от p е Т, т.е. £к (p) = т(к) = —. Отсюда следует

т

е02 (к; z) = c13 (к; z) = s13 (к; z) = 0, и после элементарных вычислений находим, что функции Ае (к;) и А о (к ;•), определяемые по формуле (4), имеют вид:

3 3

Ае (к; z) = Пфи (к; z), Ао (к; z) = (к; z),

n=0 1=1

где

2кт кт

ф0(к;z) = 1 -, фп(к;z) = ^п(к;z) = 1 -, n =1,2,3

2 -zm 2 -zm

В силу непрерывности и монотонности функции фп (к; •) (соответственно У/(к; •)), учитывая равенства

lim фп (к; z) = -да, lim фп (к; z) = 1

z^-0 ^-да

т

соответственно lim Vi (к; z) = -да, lim Vi (к; z) = 1

m ,

приходим к выводу, что функция фп (к;) (V/ (к;)) имеет единственный нуль на

интервале (-да, т(к)). Следовательно, функция Де (к; ) (соответственно Дo (к; ))

2 2

имеет четыре zeo:i^0) =--2лц0, z(f)^n ) =--%цп, п =1,2,3 (три

т т

(/) 2

zO) (Ц/) =--лц , I = 1,2,3) нуля на интервале (-да, т(к)).

т

Согласно лемме 1, получаем доказательство утверждения теоремы 2. Доказательство теоремы 3 следует из леммы 1, предложения 3 и теорем 1, 2.

Список источников

1. MattisD.C. The few-body problem on a lattice // Rev. Mod. Phys. 1986. V. 58, No. 2. P. 361-379.

2. Mogilner A.I. Hamiltonians of solid state physics at few-particle discrete Schrodinger

operators: problems and results // Advances in Sov. Math. 1991. V. 5. P. 139-194.

3. Malishev V.A., Minlos R.A. Linear infinite-particle operators / trl. by A. Mason. Providence,

RI : American Mathematical Society, 1995. VIII, 298 р. (Translations of Mathematical Monographs; v. 143).

4. Minlos R.A., Mogilner A.I. Some problems concerning spectra of lattice models // Schrodinger

Operators, Standard and Nonstandard : Proc. Conf. in Dubna, USSR, 6-10 September 1989 / P. Exner, P. Seba (eds.). Singapore : World Scientific, 1989. P. 243-257.

5. Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех

частиц. М. ; Л. : Изд-во Акад. наук СССР, Ленингр. отд-ние, 1963. 122 с. (Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР; 69).

6. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. The threshold effects for the two-

particle Hamiltonians // Commun. Math. Phys. 2006. V. 262. P. 91-115.

7. Лакаев С.Н. Об эффекте Ефимова в системе трех одинаковых квантовых частиц //

Функциональный анализ и его приложения. 1993. Т. 27, № 3. С. 15-28.

8. Халхужаев А.М. О числе собственных значений двухчастичного оператора Шредингера

на решетке с взаимодействием на соседних узлах // Узбекский математический журнал. 2000. № 3. С. 32-39.

9. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О числе собственных значений двухчастичного дискрет-

ного оператора Шредингера // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158, № 2. С. 263-276.

10. Лакаев С.Н., Бозоров И.Н. О числе и местонахождении собственных значений одноча-стичного гамильтониана на одномерной решетке // Узбекский математический журнал. 2007. № 2. С. 70-80.

11. Лакаев С.Н., Бозоров И.Н. Число связанных состояний одночастичного гамильтониана на трехмерной решетке // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158, № 3. С. 425-443.

12. Муминов М.Э., Хуррамов А.М. Спектральные свойства двухчастичного гамильтониана на решетке // Теоретическая и математическая физика. 2013. Т. 177, № 3. C. 480-493.

13. Муминов М.Э., Хуррамов А.М. О кратности виртуального уровня нижнего края непрерывного спектра одного двухчастичного гамильтониана на решетке // Теоретическая и математическая физика. 2014. Т. 180, № 3. C. 329-341.

14. Муминов М.Э., Хуррамов А.М. Спектральные свойства двухчастичного гамильтониана на одномерный решетке // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 177, № 4. C. 102-110.

15. Lakaev S.N., Lakaev Sh.S. The existence of bound states in a system of three particles in an optical lattice // J.Phys. A: Math.Theor. 2017. V. 50. Art. 335202. 17 p.

16. Муминов М.Э. О положительности двухчастичного гамильтониана на решетке // Теоретическая и математическая физика. 2007. Т. 153, № 3. С. 381-387.

17. Рид М., Саймон Б. Методы совpеменной математической физики. М. : М^, 1982. Т. 4. Анализ опеpатоpов. 428 с.

References

1. Mattis D.C. (1986) The few-body problem on a lattice. Reviews of Modern Physics. 58(2).

pp. 361-379.

2. Mogilner A.I. (1991) Hamiltonians of solid state physics at few-particle discrete Schrodinger

operators: problems and results. Advances in Soviet Mathematics. 5. pp. 139-194.

3. Malishev V.A., Minlos R.A. (1995) Linear Infinite-Particle Operators. Translations of

Mathematical Monographs 143. American Mathematical Society, Providence, RI.

4. Minlos R.A., Mogilner A.I. (1989) Some problems concerning spectra of lattice models.

Schrodinger Operators, Standard and Nonstandard. Proceedings of the Conference in Dubna, USSR, 6-10 September. Ed. by P. Exner and P. Seba. World Scientific, Singapore. pp. 243-257.

5. Faddeev L.D. (1963) Matematicheskiye voprosy kvantovoy teorii rasseyaniya dlya sistemy

trekh chastits [Mathematical problems in the quantum theory of scattering for a system of three particles]. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A. Steklova. 69. pp. 3-122.

6. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. (2006) Ibe threshold effects for the

two-particle Hamiltonians. Communications in Mathematical Physics. 262. pp. 91-115.

7. Lakaev S.N. (1993) On Efimov's effect in a system of three identical quantum particles.

Functional Analysis and Its Applications. 27(3). pp. 166-175.

8. Khalkhuzhaev A.M. (2000) O chisle sobstvennykh znacheniy dvukhchastichnogo operatora

Shredingera na reshetke s vzaimodeystviyem na sosednikh uzlakh [On the number of eigenvalues of the two-particle Schrodinger operator on a lattice with interaction at neighboring sites]. Uzbek Mathematical Journal. 3. pp. 32-39.

9. Lakaev S.N., Khalkhuzhaev A.M. (2009) The number of eigenvalues of the two-particle

discrete Schrodinger operator. Theoretical and Mathematical Physics. 158(2). pp. 221-232.

10. Lakaev S.N., Bozorov I.N. (2007) O chisle i mestonakhozhdenii sobstvennykh znacheniy odnochastichnogo gamil'toniana na odnomernoy reshetke [On the number and location of eigenvalues of the one-particle Hamiltonian on a one-dimensional lattice]. Uzbek Mathematical Journal. 2. pp.70-80.

11. Lakaev S.N., Bozorov I.N. (2009) The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a three-dimensional lattice. Theoretical and Mathematical Physics. 158(3). pp. 360-376.

12. Muminov M.I., Khurramov A.M. (2013) Spectral properties of a two-particle Hamiltonian on a lattice. Theoretical and Mathematical Physics. 177(3). pp. 1693-1705.

13. Muminov M.I., Khurramov A.M. (2014) Multiplicity of virtual levels at the lower edge of the continuous spectrum of a two-particle Hamiltonian on a lattice. Theoretical and Mathematical Physics. 180(3). pp. 1040-1050.

14. Muminov M.I., Khurramov A.M. (2014) Spektral'nyye svoystva dvukhchastichnogo gamil'toniana na odnomernyy reshetke [Spectral properties of two particle Hamiltonian on one-dimensional lattice]. Ufa Mathematical Journal. 6(4), pp. 99-107.

15. Lakaev S.N., Lakaev Sh.S. (2017) The existence of bound states in a system of three particles in an optical lattice. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50. 335202.

16. Muminov M.I. (2007) Positivity of the two-particle Hamiltonian on a lattice. Theoretical and Mathematical Physics. 153(3). pp. 1671-1676.

17. Reed M., Simon B. (1978) Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 4: Analysis of Operators. New York: Academic Press.

Сведения об авторах:

Имомов Аъзам Абдурахимович - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии физико-математического факультета Каршинского государственного университета, Карши, Узбекистан. E-mail: [email protected] Бозоров Ислом Намозович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и функционального анализа Самаркандского государственного университета, Самарканд, Узбекистан. E-mail: [email protected]

Хуррамов Абдимажид Моликович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и функционального анализа Самаркандского государственного университета, Самарканд, Узбекистан. E-mail: [email protected]

Information about the authors:

Imomov Azam A. (Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Karshi State University, Karshi, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Bozorov Islom N. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Khurramov Abdimazhid M. (Doctor of Philosophy on Mathematics, Docent of Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 24.06.2021; принята к публикации 12.07.2022

The article was submitted 24.06.2021; accepted for publication 12.07.2022