CC BY
532. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 23-26.
33. РасуловХ.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 27-30.
34. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020). С. 6-9.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА ОПЕРАТОРА БИЛАПЛАСИАН С ТРЕХМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ НА РЕШЕТКЕ Хайитова Х.Г.1, Рахматова Д.С.2
'Хайитова Хилола Гафуровна — преподаватель; 2Рахматова Дилдора Савриддин кизи - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей работе рассматривается оператор билапласиан с трехмерным возмущением в одномерной решетке (импульсном представлении). Этот оператор действует в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций, определенном на одномерном торе, как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор. Построен определитель Фредгольма и показано, что нули этого определителя Фредгольма совпадают с собственными значениями исследуемого оператора. Указан явный вид собственных функций, соответствующих собственным значениям данного оператора.
Ключевые слова: билапласиан, определитель Фредгольма, возмущения, собственное значение, импульсное представление.
УДК 517.984
Эллиптические операторы четвертого порядка в И", в частности бигармонический оператор, играют центральную роль в широком классе физических моделей [1,2]. Известно, бигармонический оператор, также известный как билапласиан, является дифференциальным
оператором, определяемым формулой V4 = (V2)2 , где v есть Лапласиан.
В работе [3] изучена спектральные свойства дискретного бигармонического оператора
^^ возмущенный одномерным потенциалом €, т.е. & = ^^ — ц€ в d -мерном
решетке ^ 3 , где Ц £ И . Эта модель включает также дискретный оператор Шредингера на , связанный с системой из одной частицы, у которой дисперсионное соотношение имеет
вырожденное дно. Более того, импульсного представления оператора & также можно
Ц
рассматривать как модель Фридрихса в Ь2(Та) с вырожденным дном, где Т - 3 -мерный
тор. Напомним, что спектр дискретных операторов Шредингера и модели Фридрихса с невырожденным дном, в частности, с дискретным лапласианом, широко изучаются в последние годы (см. например, [4-13]). В работах [14-24] исследованы спектральные свойства модельных
операторов, ассоциированный с системой трех частиц на 3 -мерной решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Пользуясь разложением в прямой операторный интеграл, изучение спектральных свойств соответствующих канальных операторов сводится к изучению спектральных свойств модели Фридрихса.
При каждом Ц, А £ И рассмотрим оператор Н ^ , действующий в ^ (Т) как
нмл := Hо -AV2,
где оператор H 0 есть оператор умножения
(Hof )(x) = (1 - cosx)2 f (x),
а операторы V и V2 интегральные операторы следующего вида
(Vif)(x) = Jf(t)dt, (Vf )(x) = Jcos(x -1)f(t)dt.
T T
Очевидно, что оператор H,, À является огранИЧенн^1М и самосопряженн^1м в
гильбертовом пространстве L (T) .
Можно показать, что существенный спектр Gess (H х ) оператора H,, à не зависят от параметры взаимодействии [Л, À g R и совпадает с отрезком [0;4], т.е. имеет место
равенство Gess (H[,Ù = [0;4] .
Теперь переходим к построению определителя Фредгольма, ассоциированный с оператором Hц х . Для этого рассмотрим уравнение на собственное значение H ^ f = Zf ,
Z GC \ Gess(HцЛ).
Пусть число Z g C \ Gess (H^ ^ ) есть собственное значение оператора H ^ , а
f G L2 (T) -соответствующая собственная функция. Тогда функция f удовлетворяет уравнению
(1 - cos x)2 f (x) - [J f (t )dt - àJ cos(x -1 ) f (t )dt = zf (x) . (i)
T T
Заметим, что для любых Z G C \ Gess (H^ ^ ) имеет место соотношение (1 - cos x) - Z ф 0 . Тогда из уравнения (1) для f имеем
ч ua + Àb cos x + Àc sin x f (x) = (1- cos x)2 -Z , ,2'
где
a :=J f (t )dt, b :=J cost f (t )dt, c :=J sin tf (t )dt. (3)
T T T
Подставляя выражение (2) для f в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
A^( Z) := (А[[( z)A(2)( z) - [А2( z))A?( z) = 0,
где
а* z)'=1 -uJ (î^z ' a'ài( z)= 1 -àj d-cgb=
costdt . A(3w x. ! nç (sint)2dt
A z) := J costdt ; а(3 (z) := 1 - à f
w ' J (1 - cost)2 - z J (1 - cost)2 - z
Заметим, что если Z g C \ <ess (H^ ^ ) является собственным значением оператора Hц х , то соответствующая собственная функция имеет вид (2).
Таким образом, мы установили связь между собственными значениями оператора X и нулями функции Д^ ^ (•) .
Теорема 1. При каждом фиксированном j, x g R оператор H ^ имеет собственное значение Z g C \ <ess (H Х ) тогда и только тогда, когда
Д*л( z) = 0.
Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение
(Hj,x) = {z g C \ (Hj,x): да(z) = 0}.
Из определения функции Д видно, что при всех j, Xg R имеет место
равенства д ^ х (Z) = 0 тогда и только тогда, когда
Д(? (Z) ДХ (z) - X2 (Z) = 0 или ДХ (Z) = 0.
Введем следующие операторы
(HjX f )(x) = (1 - cosx)2 f (x) - j f (t)dt - Xcosxjcost f (t)dt;
T
\2
(H(2)f )(x) = (1 - cosx)2 f (x) — Xsm x J sin t f(t)dt
Легко можно показать, что операторы и H^2) являются линейными
ограниченными и самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве L (T) .
Причем, при каждом фиксированном ¡Л, X £ R оператор H^^ имеет собственное
значение Z £ C \ 0'ess (H х ) тогда и только тогда, когда
Д(1 (z) Д(2) (z) — ¡ХД2 (z) = 0 ; аналогично при каждом фиксированном X £ R
оператор H( ) имеет собственное значение Z £ C \ (H^ ^ ) тогда и только тогда,
когда Д(3 (z) = 0 . Значить
^(HX) = {z £ C \ (H¡xX) : ДЛЧ^ДХЧ^ — ¡ХД2(z) = 0}; ^(HX2)) = {z £ C \ ^(Hmx) : Д(Х3)(z) = 0}; ^ (H¡X ) = ^ (HZ ) U ^ (HX2) ).
Заметим, что операторы и H^2) имеют более простую структуру, чем H ^ , и
поэтому последнее равенство играет важную роль при дальнейших исследованиях спектра
HлХ.
Список литературы
1. Mardanov R., Zaripov S. Solution of Stokes flow problem using bihaimonic equation formulation and multiquadratics method // Lobachevskii J. Math., 37 (2016). С. 268-273.
31
2. McKenna P., Walter W. Nonlinear oscillations in a suspension bridge // Arch. Rational Mech. Anal. 98 (1987), 167-177.
3. Khalkhuzhaev A., Kholmatov Sh., Pardabaev M. Expansion of eigenvalues of rank-one perturbations of the discrete bilaplacian // arXiv: 1910.01369. С. 1-22.
4. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 5 (2004). С. 743-772.
5. Albeverio S., Lakaev S., Makarov K., Muminov Z. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices // Comm. Math. Phys. 262 (2006). С. 91-115.
6. Лакаев С., Халхужаев А., Лакаев Ш. Асимптотика собственного значения двухчастичного оператора Шредингера // ТМФ. 171:3 (2012). С. 438-451.
7. Lakaev S., Kholmatov Sh. Asymptotics of eigenvalues of two-particle Schroedinger operators on lattices with zero range interaction // J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011).
8. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. The threshold effects for a family of
9. Friedrichs models under rank one perturbation // J. Math. Anal. Appl. 330:2 (2007). С. 1152-1168.
10. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке // ТМФ. 155:2 (2008), 287-300.
11. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О числе собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера // ТМФ. 158:2 (2009). С. 263-276.
12. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // ТМФ. 152:3 (2007). С. 502-517.
13. Абдуллаев Ж., Икромов И., Лакаев С. О вложенных собственных знач-ниях и резонансах обобщенной модели Фридрихса //ТМФ 103(1995). С.54-62.
14. MuminovM.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 6:2 (2015). С. 280-293.
15. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020), Part II. С. 19-22.
16. Умиркулова Г.Х. Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке // Вестник науки и образования. 16-2 (94), 2020. С. 14-17.
17. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 5:3 (2014). С. 327-342.
18. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. ^ектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибир. электронные матем. известия. 12 (2015). С. 168-184.
19. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2 (2012), C. 24-32.
20. Расулов Т. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ. 166:1 (2011). С. 95-109.
21. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form // Academy. 55:4 (2020). С. 8-13.
22. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ. 163:1 (2010). С. 34-44.
23. Умарова У. Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3 (2018). С. 14-15.
24. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Math. 2:2 (2014). С. 179-198.
25. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Phys. Chem. Math., 5:3 (2014). С. 327-342.
