CC BY
28Таким образом, при условии (14) уравнение (1 ) принимает следующую форму:
2 /(г) р(0
Аналогично, при подстановке (15) в последнее уравнение получаем, что У (О есть его решение.
Итак, общее уравнение Риккати имеет решение в квадратурах, если любой из его
коэффициентов выражается через другие два. В случае произвольных г J v ' решение
ж /(t) и q(t)
представимо в виде (12), если же произвольными являются функции v г, то
решение имеет форму (13). Когда коэффициент
зависит от произвольных p(fc) и /(£}, общее решение уравнения (1) записывается в виде (15). Во всех рассмотренных случаях
постоянная ; определяется начальными условиями, а так как в решения (12) и (13) входят константы С.L И то для различных значений Сt И С2 получим семейства решений уравнения Риккати.
Список литературы
1. Фихтенгольц И.Г. ТМФ. Т. 105. № 2, 2015.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 2006.
3. Kovalevskaya N.M. On some cases of integrability of a general Riccati equaton, ArXiv: math. CA/0 604243v1 11Apr. 2006.
4. Матвеев Н.М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. СПб. Изд. СпбГУ, 1995.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 2010.
РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ПОДСТАНОВКИ Тошева Н.А.1, Шодиев М.У.2
'Тошева Наргиза Ахмедовна — преподаватель;
2Шодиев Мирзобек Убайдулло угли — студент, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: функциональные уравнения - один из самых важных классов уравнений, используемых в математике средней школы, академической средней школы и высшего образования. В настоящей работе сначала дается краткое описание функциональных уравнений и методов их решения. Кроме этого, описан метод подстановки и приведены примеры для решения функциональных уравнений с помощью данного метода. В дополнение указаны задачи из современной математической физики, которые приводятся к решению функциональных уравнений и системы функциональных уравнений. Ключевые слова: функциональные уравнения, метод подстановки.
УДК 37.02
Пространство, элементами которого являются функции, назовем функциональными пространствами. Функциональное уравнение - уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Решить функциональное уравнение - значит найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям.
Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми. Всегда должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение может зависеть от этого множества. Важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений зависит от этого класса. Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Имеются основные методы решения функциональных уравнений: поиск подстановок, метод подстановок, замена переменной, использование значений функции в некоторых точках, использование сюръективности искомой функции, уравнения
относительно f (х) , симметрия и цикличность.
Для решения используются некоторые типичные приёмы. Часто бывает полезен метод подстановки. Он состоит в том, что переменные заменяются некоторыми новыми функциями, что позволяет привести уравнение к более удобному виду. В данной работе мы обсуждаем применение этого метода.
Метод подстановки. Общая суть метода такова: применяя различные
подстановки (т.е. заменяя некоторые переменные уравнения либо конкретными значениями, либо любыми другими выражениями), пытаемся либо упростить уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. В задачах, решаемых таким методом очень часто не указывается класс функций, в котором ищется решение. В таких случаях предполагается, что нужно найти все решения без всяких ограничений (непрерывные, разрывные и т.д.). Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.
Пример 1. Решите уравнения: f (х). f (х + y) + f (X - у) = 2f (х) COSy.
Ж
2
Решение: Положив y — — , получаем f х + — I + f
2
Ж
X__I — 0 для любого X .
2I
откуда f (x + —) — — f (x) . Заменив y на y +--, получаем
2
f ^x+y + — J + f ^x—у——J ——2f (x)sin У .
Заменив ( x — — J наXимеем fix + y + —) + f(x — y) — —2 fix Ж
f (x + y + —) + f (x — y) — —2f^ x + — J sin y
i Ж J
и с учётом предыдущего, имеем f (x + y ) — f (x — y) — 2 f x +--Sin y.
V 2 J
Положив x — 0, получаем f (y) — f (0) COS y + f — I sin y . Таким образом,
V 2 J
f(x) — a cos x + b sin x, a — f(0) , ь — f^—J.
—
искомая функция должна иметь вид a cosx + b sin x, где a, b - константы. Легко проверить,
что любая такая функция удовлетворяет исходному уравнению. Значит,
' — '
Пример 2. Найдите решения уравнения (x Ф 0'1) f (x) + f \ —1— | — x
V1 — x J
Рассмотрим уравнение как обычное уравнение с двумя числовыми неизвестными
1 J
1 — x J
Чтобы получить еще одно уравнение, заменим в x на_]_
f(x) — A и fi 1 в, переменная x в этом случае играет роль параметра: A + B — x.
1 — x
/Ш + /Г^ — ^ /Ш + / ^ - 11 1
1 - X) ^ X ) 1 - х - X) ^ X ) 1 - X
/—] = 5и/{—] = С«Д + С = - 1
1-х) ^ X ) 1-х
Поскольку наряду с переменными А и В появилась третья величина С, нужно иметь еще
Х-1 (х - 1 Л1 Х-1 одно уравнение. С этой целью заменим в (1) X на - Л - У(х) =- ^
х ^ X ) X
л-X-1
С + А —-. На этом шаге наш процесс замкнулся, и мы имеем систему трех уравнений
X
с тремя неизвестными
А + В — X В + С — 1
С + А —
1 - X X -1
X
Поскольку нас интересует только А — /(X), сложим все три уравнения, разделим
X3 + X - 1
2 х( X -1) X3 + X -1
сумму на 2 и вычтем из нее второе уравнение: А = / (X) — Ответ. /(X) —
2 х( X -1)
Приведем схему применения в одном примере. Пусть ^([а,Ь]2) гильбертово
пространство квадратично-интегрируемых функций определенных на [а; Ь] . Рассмотрим
решетчатый модельный оператор н действующий в Ь2([а, Ь] ) следующим образом:
ь ь
(Н/)^, у) — и(X, у)/(X, у) - V! (X)} V! ^)/у^ ^2 (у)| V2 ^)/(X, t)dt,
где V (•), X —1,2 и м(у) вещественнозначные непрерывные функции,
определенные на [а;Ь] и [а; Ь] , соответственно.
При таких предположениях модельный оператор н является ограниченным и самосопряженным в ^ ([а,Ь] ) .
С целью построения рассмотрим уравнение на собственное значение Н/ — 7/ . Это есть
функциональное уравнение вида
ь ь
и^,у)/(X,у) -Vl(t)/(t,у)Л ^(у)|v2(t)/(X,— /(X,у). (1)
а а
Если 7 ^ !ти(у) , то из функционального уравнения (1) для / имеем равенство
f (xy) = Vl(У) + v2(У)g2(x) , (2) ' u(x, y) - y
где
b
&1(У) = IУ1(')/О1, У)Ж , &2 (х) = IУ2(')/(X '. (3)
а а
Подставляя выражение (2) в равенство (3), получим, что система функциональных уравнений
'1 "2(' ^ 1 у) = у,( У)|"1(')«2(' У' ; ч а„(',у) - г 1 а «(>,у) - ^
1 -J_J-i«dL 1 g 2( x) = v,( X)JV2(' ) g.(' )dt
, u( X, t) - z
J
u( X, t)
относительно ^ и §^ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет нетривиальное решение. Заметим, что при
,у,2('уЛ ^0, 1 -| )Л ^0 Х'.У) - г а«(х,<) - г
последняя система функциональных уравнений эквивалентна следующему
Vi(t) g 2 (t )dt
u(t, У) - z J f u(t, y) - z
( ) ( )f1 f Vi2(t)dt Y4 gi(y) = v2(y) 1 -| —^-I I
L íu(t,y)-z) a
g 2( X) = Vi( X)il -f-V^ 1-1 fV2(t) gl(t )dt .
I J u(x,t) - zl J u(x,t) - z
Полученная система функциональных (интегральных) уравнений есть аналог уравнения
Фаддеева для собственных функций оператора н . Оно широко применяется при определении
местоположения существенного спектра оператора Н , а его симметризованный аналог играет важную роль при исследовании конечности и бесконечности числа собственных значений
оператора Н . Для подробной информации см. [1-20]. Такие свойства также изучены в работах [21 - 30] для операторных матриц.
Заметим, что аналогично методу подстановки, указанному выше, при качественном анализе системы нелинейных дифференциальных уравнений, система линеаризуются в окрестности неподвижной точки [31-33]. Далее, найдя решения линеаризованной системы, анализируется поведение решений основной системы. Помимо этого, численные решения находятся с помощью математического редактора МаШСАБ. Так же, в работе [34] исследуется решение основного уравнения математической физики, введя вспомогательные задачи.
Список литературы
b
1. Albeverio S., Lakaev S.N., Djumanova R.Kh. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles // Rep. Math. Phys. 63:3 (2009). С. 359-380.
2. Albeverio S., Lakaev S.N., Muminov Z.I. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices // Russian J. Math. Phys. 14:4 (2007). С. 377-387.
3. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). С. 37-41.
4. Эшкабилов Ю.Х. Об одном дискретном "трехчастичном" операторе Шредингера в модели Хаббарда // ТМФ, 149:2 (2006). С. 228-243.
5. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ. 166:1 (2011). С. 95-109.
6. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl., 25 (2014). С. 57-61.
7. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form // Academy. 55:4 (2020). С. 8-13.
8. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
9. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). pp. 327-342.
10. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ. 163:1 (2010). С. 34-44.
11. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1 (2014). С. 61-70.
12. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2 (2012). С. 24-32.
13. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020), Part II. С. 19-22.
14. Умарова У. Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5 (2018). С. 14-15.
15. MuminovM.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 6:2 (2015). С. 280-293.
16. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // ТМФ. 161:2 (2009). С. 164-175.
17. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contemporary Anal. Appl. Mathematics. 2:2 (2014). С. 179-198.
18. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12 (2008). С. 59-69.
19. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // ТМФ. 152:3 (2007). С. 502-517.
20. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // ТМФ. 103:1 (1995). С. 54-62.
21. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nano.: Phys. Chem. Math. 10:5 (2019). С. 511-519.
22. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.
23. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). С. 616-622.
24. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
25. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. и матем. физика, 161:3 (2009). Стр. 164-175.
26. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Мат. заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
27. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // ТМФ, 186:2 (2016). C. 293-310.
28. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
29. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // ТМФ. 161:2 (2009). С. 164-175.
30. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51 (2), 2020. С. 7-10.
31. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 19-22.
32. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 23-26.
33. РасуловХ.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 27-30.
34. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020). С. 6-9.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА ОПЕРАТОРА БИЛАПЛАСИАН С ТРЕХМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ НА РЕШЕТКЕ Хайитова Х.Г.1, Рахматова Д.С.2
'Хайитова Хилола Гафуровна — преподаватель; 2Рахматова Дилдора Савриддин кизи - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей работе рассматривается оператор билапласиан с трехмерным возмущением в одномерной решетке (импульсном представлении). Этот оператор действует в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций, определенном на одномерном торе, как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор. Построен определитель Фредгольма и показано, что нули этого определителя Фредгольма совпадают с собственными значениями исследуемого оператора. Указан явный вид собственных функций, соответствующих собственным значениям данного оператора.
Ключевые слова: билапласиан, определитель Фредгольма, возмущения, собственное значение, импульсное представление.
УДК 517.984
Эллиптические операторы четвертого порядка в R", в частности бигармонический оператор, играют центральную роль в широком классе физических моделей [1,2]. Известно, бигармонический оператор, также известный как билапласиан, является дифференциальным
оператором, определяемым формулой V4 = (V2)2 , где V есть Лапласиан.
В работе [3] изучена спектральные свойства дискретного бигармонического оператора
ii возмущенный одномерным потенциалом €, т.е. h = ii - в d -мерном
решетке Z d , где j £ R . Эта модель включает также дискретный оператор Шредингера на
Zd
, связанный с системой из одной частицы, у которой дисперсионное соотношение имеет
вырожденное дно. Более того, импульсного представления оператора & также можно
рассматривать как модель Фридрихса в Ь2(Та) с вырожденным дном, где Т - $ -мерный
тор. Напомним, что спектр дискретных операторов Шредингера и модели Фридрихса с невырожденным дном, в частности, с дискретным лапласианом, широко изучаются в последние годы (см. например, [4-13]). В работах [14-24] исследованы спектральные свойства модельных
операторов, ассоциированный с системой трех частиц на $ -мерной решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Пользуясь разложением в прямой операторный интеграл, изучение спектральных свойств соответствующих канальных операторов сводится к изучению спектральных свойств модели Фридрихса.
При каждом Г, ^ ^ R рассмотрим оператор Н ^ , действующий в ^ (Т) как
