CC BY
11УДК 512.543.7+512.546.1
СОВЕРШЕННАЯ НЕТОПОЛОГИЗИРУЕМАЯ ГРУППА
А. В. Трофимов
1. Введение. Определение 1. Если бесконечная группа О имеет тривиальный центр и любой автоморфизм группы О внутренний, тогда группа О называется совершенной.
Основная теорема. Существуют такая конечно-порожденная бесконечная совершенная группа Н и такое уравнение 'ш(х) = 1 (где 'ш(х) € Н * <х>(Х) над ней, что решениями этого уравнения являются все элементы группы Н, кроме одного:
[Ь € Н | w(h) = 1} = {1}.
Следствие 1. Существует счетная бесконечная совершенная нетопологизируемая группа.
Поскольку группа автоморфизмов Aut(H) совершенной группы изоморфна самой группе, мы получаем ответ на вопрос А. Д. Тайманова [1, вопрос 1.1], допускает ли недискретную групповую топологию бесконечная группа автоморфизмов произвольной группы.
Отметим, что, согласно теореме Маркова [2], дополнение до единицы во всякой счетной нетопологизи-руемой группе должно разлагаться в объединение множеств решений конечного числа систем уравнений. В известных примерах бесконечных счетных нетопологизируемых групп эти разложения выглядят так:
(a) О \ [д1,... ,дп} = У^п=\{д € О | дп = д.} (пример Ольшанского1 [4, 5] и его модификации [6]);
(b) О \{д1,... ,д2п} = [д € О I [а,д]п = 1} (примеры из [7]);
(c) О\{1} = [д € О 1[е1у([а,д])е-1,у([Ь,д])] = 1}, где у(х) = П= (с(х-1ахЬ)(-1Уп) (пример из [8]).
Здесь а, Ь, с. и д. — некоторые фиксированные элементы соответствующей группы О, число п в обоих случаях является большим и нечетным (по меньшей мере 665), а число Ь (зависящее от п) — четное, достаточно большое и много меньше, чем п. Разложение (а) представляется максимально простым. Однако уравнение в (с) является более замысловатым, чем уравнения хп = а и [х, а]п = 1 в примерах (а) и (Ь) счетных нетопологизируемых групп. Отметим еще, что пример Ольшанского и его модификации являются периодическими (при этом примеры Морриса и Образцова [6] являются квазициклическими); примеры из [7] имеют кручение, но периодическими не являются; более того, в [7] показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров. Также необходимо отметить, что пример из [8] не имеет кручения.
Пример, построенный ниже, основан на конструкции примера (с). Копредставление построенной здесь группы получается из копредставления бесконечной нетопологизируеммой группы без кручения добавлением в рангах 4 и 8 (см. определение ниже) периодических соотношений.
2. Подход Ольшанского к построению групп с заданными свойствами. Градуированным ко-представлением мы называем групповое копредставление О(ж) = <А\Я->, на множестве определяющих соотношений которого задана фильтрация
п=и0=п° ~п1 —....
г=0
Соотношения из \ "^-1 мы называем соотношениями ранга г, а копредставление <А\Я-> мы обозначаем О (г) и рассматриваем как градуированное копредставление (полагая = при ] > г).
Назовем слово А простым в ранге г, если слово А не сопряжено в О (г — 1) степени слова меньшей длины. Обозначим через X.. некоторое множество простых в ранге г — 1 слов длины г с тем условием, что если А, В € X. и А ф В, то слово А не сопряжено в ранге г — 1 с В или В-1. Все слова из X. назовем периодами ранга г.
В соответствии с [5] мы говорим, что градуированное копредставление О(ж) удовлетворяет условию И (с параметрами а, Ь, й и п), если для каждого г найдется такое множество X. — Е простых в ранге г слов, что любое из соотношений К €'Я-. \ имеет вид:
хПример Ольшанского является факторгруппой по центральной подгруппе группы, построенной Адяном [3].
либо К = АПА, где па > П и нечетно, А £ X, — определяющие слова первого типа,
либо К = Лк=\(ТкАПк), А , — определяющие слова второго типа, причем выполнены условия:
И1) Пи > п;
И2) \щ\/\щ\ < 1 +
ИЗ) никакое из слов Тк не равно в С(г — 1) слову меньшей длины и \Тк\ < (г;
И4) Тк / <А> в группе С(г — 1);
в+г
И5) слово К не является истинной степенью в свободной группе, и если V = АПа-1 П (ТкАПк) —
к=в
циклическое подслово в К, I > а-1 — 4 и VVl, VV2 — циклические сдвиги слова К, то VI = Р2;
И6) пусть V = Ат1 ТкАПк ... Тк+гАт2 — подслово циклического сдвига соотношения К, где I > а-1 — 2, а V' = Ат1 Тк,Апк ...Т'к!+1 Ат2 — подслово циклического сдвига соотношения (К')±1 с тем же периодом А, причем знаки показателей Ш1 и , Пк и Пк, ..., Ш2 и т2 совпадают. Пусть V и V' графически разлагаются в произведения ^ ...VI и V,' ...VI', где V, = Ат1 Тк АС1, У1 = Аь1 Тк+1АС2, ..., VI = Аь1 Тк+гАт2, V' = Ат1 Тк, АС1, Vl = Аь1 Т'к,+1АС'2, ..., Vг = Аь'гТк,+гАт2, причем в группе С(г — 1) имеют место равенства V] = V' при ^ = 0,...,1. Тогда К' = К, V' = V и V не является подсловом циклического слова К-1;
И7) если А — период определяющего слова первого типа (в дальнейшем период первого типа), то
н
\пк\ ^ па, где Пк — степени того же периода А в определяющих словах второго типа.
к=1
Из построения видно, что для каждого соотношения первого типа число па нечетное, больше п и зависит только от конкретного периода А.
В монографии [5] можно найти много полезных свойств копредставлений с условием И. Чтобы сформулировать эти свойства, введем определение.
Определение 2. Пусть А — приведенная диаграмма над копредставлением С = <Л\/Я->. Будем говорить, что некоторая клетка Р (или контур диаграммы А) непосредственно примыкает к контуру диаграммы А, если поддиаграмма примыкания содержит только О-клетки (т.е. клетки, на контурах которых написаны соотношения свободной группы Е с базисом Л).
Приведем некоторые из этих свойств.
Лемма 1. Пусть градуированное копредставление С (ж) удовлетворяет условию И для достаточно маленького числа а и достаточно больших чисел Н, ( и п, где 1 << а-1 << Н << ( << П. Тогда
1) абелевы подгруппы группы С(ж) являются циклическими;
2) в группе С(ж) каждый неединичный элемент конечного порядка сопряжен со степенью некоторого периода первого типа;
3) если элементы X и У сопряжены в С(ж), то найдется такой элемент 2 £ С(ж), что X =
гуг-1 и \г\ < + а)(|х| + |г|);
4) если А, В и С — неединичные элементы группы С(ж) и X — такой элемент,, что X-1АХВ и С сопряжены в С(ж), то в двойном смежном классе < А > X < В > найдется элемент X' длины меньшей + а)(|А| + \В\ + |С|) + + [^1-^1] (здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа);
5) если слово X равно единице в С(ж), то X = 1 в группе (Л | К £^\ \К\ < (1 — а)-1 IX\);
6) если элементы X и ZXZ-1 коммутируют, в С(ж), то X и 2 коммутируют в С(ж);
7) если А — приведенная дисковая (кольцевая или на сфере с тремя дырами) диаграмма ненулевого ранга над копредставлением группы С(ж) = <Л\\К->, то найдется К-клетка Р, непосредственно примыкающая более чем на 1/3 своей длины к некоторому участку контура диаграммы А;
8) если V и Ш — два непустых слова в алфавите Л, то эти слова сопряжены в группе С = <Л\\К = 1; К £ /Я.> в том и только в том случае, когда существует кольцевая диаграмма над копредставлением <Л\\~Я.> с контурами, на которых написаны слова V и Ш;
9) порядок периода А первого типа равен па-
Доказательство. Все эти свойства доказаны в [5]: первое утверждение является одним из утверждений теоремы 26.5; второе совпадает с утверждением леммы 25.2; третье представляет собой лемму 25.4; четвертое есть перевод на алгебраический язык несколько ослабленной формулировки леммы 22.2 о разрезах диаграмм на сфере с тремя дырами; пятое утверждение есть перевод на алгебраический язык леммы 23.16; шестое совпадает с леммой 25.14; седьмое совпадает с теоремой 22.2; восьмое есть не что иное, как лемма 11.2; девятое утверждение совпадает с п. 1 теоремы 26.4.
3. Конструкция группы Н. Зафиксируем достаточно большое четное число Ь и целое число п ^ Ь. В качестве алфавита А возьмем множество букв [а,Ь,С1 ,С2,...,сн}. Свободную группу с базисом А обозначим буквой Е. Введем на множестве А отношение порядка а > Ь > С1 > ■ ■ ■ > с^. На множестве коммутаторов К = {[х,у] | х,у €А, х > у} введем порядок, индуцированный порядком >: [р,д] > [у, и], когда либо р > у, либо р = у и д > и. Пронумеруем коммутаторы из множества К простыми числами, превосходящими п.
Положим По = П-1 = П-2 = 0. Далее при г > 2, предполагая, что копредставление О(г — 1) = <А I П-1> уже определено, определим копредставление О(г) = <А | П.>.
В качестве периодов ранга г = 4, 8 положим множество X. = X* и Ь., где Ь. = 0, а X* удовлетворяет условиям:
1) если А € X*, то А простое в ранге г — 1;
2) различные слова из X* не сопряжены между собой и не сопряжены к обратным друг к другу в группе О(г — 1);
3) каждое слово из X* равно аЬ в О(г — 1)/([О(г — 1),О(г — 1)]<с1с2 ...сн> );
4) множество X* максимально среди всех множеств, удовлетворяющих условиям 1-3.
При г = 4 множество X. = X* и Ь., где X* — множество слов, удовлетворяющих условиям 1-4, а Ь. = К — множество коммутаторов, определенное выше.
При г = 8 множество X. = X* и Ь., где X* — множество слов, удовлетворяющих условиям 1-4, а Ь. = {[а, Ь][х,у] | [х,у] € К \ [а,Ь]}, где [а,Ь] — наибольший коммутатор из К.
Определим множество У. — Е, где ] = 1,...,Ь, 2 € О (г — 1), как множество всех минимальных (т.е. не равных словам меньшей длины) в О(г — 1) слов длины меньше йг, которые представляют в О(г — 1)
1
элемент 2сз 2 1. Положим
П. = и 7.1 и X2.
Здесь Т.1 есть максимальное множество попарно не сопряженных в О(г — 1) слов вида
н
К = Кл,Е = П (ТА{-1Уп) , где А € X*, Т3 € У^, 2 € О(г — 1), з=1
а Т2 определяется по следующему правилу:
г
если г = 4, 8, то Т2 =
если г = 4, то Т2 — множество слов К = [х,у]Р[хУ, где [х,у] € Ь4 = К, а Р[ху] — простое число, которым пронумерован коммутатор [х, у] в множестве К;
если г = 8, то Т2 — множество слов К = ([а,Ь][х,у])Р[а^Р[ху, где [а,Ь][х,у] € Ь., а Р\_а,ъ]Р\х,у] — простые числа, которыми пронумерованы коммутаторы [а,Ь], [х,у] в множестве К.
Лемма 2. Градуированное копредставление Н = О(ж) = <А | П>, где П = У°=о П, удовлетворяет условию И.
Доказательство. Заметим, что по модулю коммутанта каждое соотношение первого типа тривиально, каждое соотношение второго типа нашего копредставления имеет вид с1 с2 ...сн, Т = с3, а каждый период такого соотношения имеет вид аЬ(с1 ... сн,)к; поэтому периоды второго типа не являются истинными степенями и условия И1, И2 и ИЗ выполнены по построению. Условие И4 очевидным образом выполнено даже по модулю коммутанта.
Поскольку, как известно, длинные общие подслова двух слов вида Ап обязаны быть согласованными, из невыполнения условия И5 следовало бы, что либо одно из слов Т лежит в <А>, либо два слова Т с разными номерами ] лежат в одном и том же двойном смежном классе по <А>; ни то, ни другое очевидным образом невозможно даже по модулю коммутанта.
Предположим, что условие И6 не выполнено. Мы имеем равенство вида Т±1АР = А3Т'Г в О(г — 1). Рассматривая это равенство по модулю коммутанта, мы приходим к выводу, что ] = ]', р = в и ±1 = 1. Вспоминая, что Т = 2с32-1 и Т' = 2'с3(2')-1 в группе О(г — 1), мы видим, что с3 коммутирует с 2-1АР2' в группе О(г — 1). Поскольку по индукции мы можем считать, что копредставление О(г — 1) удовлетворяет условию И, т.е., в частности, коммутировать в О(г — 1) могут только степени одного и того же элемента (по лемме 1), а с3 не являются истинными степенями (даже по модулю коммутанта), мы получаем равенство вида 2-1АР21 = . Но то, что условие И6 не выполнено для О(г), означает, что подобные равенства выполняются в О(г — 1) для многих номеров А рассматривая два таких равенства
2-1АР2' = с* и 2-1АР12' = с*1
при ] = ]1 по модулю коммутанта, мы приходим к выводу, что к = 0, т.е. 2' £ <А>2 и слова К и К' представляют сопряженные элементы группы С(г — 1), что по построению означает К = К'.
Условие И7 проверки не требует, поскольку периоды соотношений первого и второго типа не совпадают даже по модулю коммутанта.
4. Доказательство основной теоремы.
Лемма 3. Для каждого элемента д, коммутанта группы Н и слова А, сопряженного в Н элементу д~1адЬ, найдется такое слово 2 длины не больше что А2 = д~1адЬ в Н.
Доказательство. Согласно утверждению 4 леммы 1, \ардЬг\ < \А\ +2 для некоторых целых р и г (здесь и далее речь идет о длинах элементов в Н = С(ж)). Но рассмотрев элемент ардЬг по модулю коммутанта, мы видим, что \ардЬг\ > \р\ + \г\, и, следовательно,
\д\ < \р\ + \г\ + \ардЬг\ < 2\ардЬг\ < 2\А\ +4 и \д-1 адЬ\ < 4\А\ + 10.
Из последнего неравенства по утверждению 3 леммы 1 вытекает, что найдется такой элемент 2, что 2-1А2 = д-1адЬ и
\г\ ^ \А\ + \д-1адЬ\<5\А\ +10 <и\А\
(последнее неравенство обеспечивается тем, что ( ^ 1). Рассмотрим уравнение
н
г(х) = 1, где г(х) = ^в'(х-1ахЬ)(-1)£ Н * <х>(Х), (*)
]=1
над группой Н.
Лемма 4. В группе Н всякий неединичный элемент коммутанта является решением уравнения (*), а единица не является решением этого уравнения.
Доказательство. То что г(1) = 1, вытекает из утверждения 5 леммы 1, поскольку г(1) = 1 в свободной группе, а длина каждого определяющего соотношения К группы Н не меньше чем 3(п — ( — 2)Н и
\ г(1) \ 2п + 1 1
при«<-ип»й.
Покажем теперь, что всякий неединичный элемент д коммутанта группы Н является решением уравнения (*). Пусть и £ Е — слово минимальной длины, представляющее элемент, сопряженный к д-1 адЬ.
Если \ и\ < 2, то и = аЬ или и = Ьа (в чем легко убедиться, рассматривая и по модулю коммутанта). При этом в соответствии с утверждением 4 леммы 1 и сопряжено с элементом вида д-1 адЬ, где д £ <а>д<Ь> и \ д \ < 3. Рассматривая д по модулю коммутанта, мы видим, что
д есть либо 1, либо а^1, либо Ь±1, либо а±1Ь±1, либо Ь±1а±1.
Первые 4 случая невозможны, поскольку они означают, что д £ <а><Ь> П [Н, Н] = 1. А в том, что равенство д = Ь±1а±1 невозможно, можно убедиться, рассматривая соотношение д-1адЬ ~ и ~ аЬ по модулю нормальной подгруппы <<в1,..., вн>>, порожденной {в1,..., вн}. Факторгруппа С(ж)/<<{в1,..., вн}>> есть группа с одним соотношением < а,Ь\\ [а,Ь}П[аЬ >. Рассмотрим кольцевую диаграмму А сопряжения д-1 адЬ ~ аЬ над этим копредставлением (она существует по лемме ван Кампена). На контурах А написаны слова д-1адЬ и аЬ. По утверждению 7 леммы 1 в А должна существовать К-клетка Р, непосредственно примыкающая к одному из контуров не менее чем на 1/3 своей длины. Но это невозможно в силу того, что контуры диаграммы имеют длину не более чем 6, а периметр клетки Р велик (больше, чем 1010). Поэтому в А нет К-клеток, и соответствено сопряжение д-1 адЬ ~ аЬ должно иметь место в свободной группе с базисом {а,Ь}, что невозможно.
Мы показали, что \ и\ > 2. Но в таком случае и сопряжено с некоторым периодом А ранга \ и\ (по определению множества Х*и) По лемме 3 имеем 2-1А2 = д-1 адЬ для некоторого слова 2 длины не
более Следовательно, для каждого ] = 1,...,Л, некоторое минимальное слово Т.,-, представля-
ющее в С(\и\ — 1) элемент 2в]2-1, имеет длину, меньшую ( \ А\, и, стало быть, по построению слово
ПН=1 (ТА(-1)сопряжено к одному из определяющих соотношений группы С( \ и\), что и доказывает лемму.
Лемма 5. Множество решений уравнения
[с1 у([а,х])с--1 ,у([Ь,х])]=1 (**)
над Н есть Н \ {1}.
Доказательство. Поскольку а не является истинной степенью (по модулю коммутанта) то, согласно лемме 1, [а,д] = 1 при д € <а>. Следовательно, по лемме 4 все элементы группы Н, не лежащие в <а>, являются решениями уравнения (**). По тем же причинам все элементы группы Н, не лежащие в <Ь>, являются решениями уравнения (**). Но <а> П <Ь> = 1, в чем легко убедиться, опять рассмотрев факторгруппу по коммутанту.
Осталось доказать, что единица не является решением уравнения (**). Предположив противное, мы бы имели [с1 у(1)с-1 ,у(1)] = 1. По утверждению 6 леммы 1 это означает, что [с1 ,у(1)] = 1. Последнее равенство в свою очередь означает, что у(1) € <с1> (в силу леммы 1 и того, что с1 не является истинной степенью (по модулю коммутанта)). Рассматривая равенство у(1) = с* по модулю коммутанта, мы приходим к выводу, что к = 0 и у(1) = 1, что противоречит лемме 4. Лемма 5 доказана.
Теперь покажем, что любой автоморфизм построенной группы внутренний. Пусть ф — произвольный автоморфизм группы О. Покажем, что справедливо следующее утверждение.
Лемма 6. Пусть ф — некоторый автоморфизм группы О(ж). Существует такой элемент X € О(ж), что для любой пары эле.мент,ов д, Д алфавита А, д > Д либо ф([д, Д ]) = X-1[д, Д ]Х, либо ф([д, Д ]) = X-1 [g,f ]-1 X.
Доказательство. Пусть {д, f} — произвольная пара элементов алфавита А, где д > f, отличная от пары {а, Ь} (это наибольшая пара в смысле порядка >). Совершенно очевидно, что порядки образов и прообразов элементов произвольной группы при автоморфном отображении совпадают. Поэтому по построению (в О(ж) все периоды первого типа имеют различные порядки, см. утверждение 9 леммы 1) и по утверждению 2 леммы 1 найдутся элементы X, У, 2^,Б € О(ж) и целые числа т,к,1,г,в, такие, что ф([а,Ь]) = X-1 [а,Ь]тX, ф([д, Д]) = У-1[д,Д]кУ, ф([a,Ь][g,f]) = 2-1([а,Ь][д, Д])12, Ф([д,Л)= Я-1([а,Ь][д,ЛТР[аЬд, ф([а,Ь])= Б-1([а,Ь][д, ДГРШ]Б.
Невозможность двух последних равенств доказывается в лемме 8. Для остальных можно считать, что элементы X и У не начинаются соответственно с [а,Ь] и [д]. Также необходимо отметить, что, заменяя [а,Ь] на [а±1,Ь±1 ] ([д] на [д±,Д±1]), можно избежать вообще каких-либо сокращений между словами X и [а,Ь] (У и [д,Д]).
Поскольку ф([а,Ь][д, Д]) = ф([а,Ь])ф([д, Д]), в некотором ранге г имеем равенство
2-1([а,Ь][д,Д ])2 = X-1 [а,Ь]т XУ-1[д,Д ]к У.
В силу утверждения 8 леммы 1 существует кольцевая диаграмма сопряжения А, на внешнем контуре которой написано слово ([а,Ь][д, Д), а на внутреннем — слово X-1 [а,Ь]тXУ-1[д,Д]кУ. Склеим внутренний контур А по путям с метками X-1 и X, У-1 и У, а затем удалим ^-пары (определение ^-пары можно найти в книге [5]). Выполнив процедуру приведения диаграммы, получим, что путь с меткой X-1У, соединяющий дыры, гомотопно отобразится в путь с меткой [а,Ь]Я1 X-1 У[д,Д]Я2 без самопересечений (это вытекает из леммы 29.4 [5]). Можно считать, что путь X-1 У останется прежним, но изменятся степени т и к. Получим приведенную диаграмму Ао на сфере с тремя дырами, на внутренних контурах которой написаны степени коммутаторов [а,Ь]т и [д,Д]к, а на внешнем контуре — степень ([а,Ь][д,Д])1. По утверждению 7 леммы 1 в диаграмме Ао найдется клетка Р, которая непосредственно примыкает к одному из контуров, и степень этого примыкания более чем 1/3. Метка контура клетки Р — соотношение первого типа. Покажем это.
Положим, что Сп — степень некоторого периода С, написанного на контуре клетки Р. Тогда слово Шя, отмеченное на одном из контуров, и слово Сп (как циклическое слово) имеют общее подслово, длина которого т^С| > 20С^ Следовательно, С2 есть подслово циклического слова Шв котором минимальное расстояние между одинаковыми буквами равно | = 4. Из чего вытекает, что ^ | делится на | и С = (Ш')к для некоторого циклического сдвига Ш' слова Ш. Но слово С простое в ранге 0, а это означает, что С = (Ш')±1.
Такое равенство дает нам возможность вырезать найденную клетку Р из нашей диаграммы и получить диаграмму с меньшим числом клеток, при этом меняется одно из чисел к, I или т. Таким образом, применяя индукцию, можно считать, что в А нет К-клеток и сопряжение имеет место в ранге 0.
Очевидно, что внутренние контуры не могут непосредственно примыкать друг к другу, поскольку на них написаны степени различных слов, поэтому они обязаны непосредственно примыкать к внешнему контуру.
На внешнем контуре А нет участков с меткой [а, Ь]2 и [д, /]2, поэтому для непосредственного примыкания внешнего и внутренних контуров необходимо, чтобы к = т = ±1, иначе такое примыкание невозможно.
Учитывая это, получаем, что согласованное чтение внешнего и внутренних контуров возможно лишь в случае, когда т = к = I = ±1 и соответственно ХУ-1 = 1. Во всех остальных случаях согласованное чтение невозможно (проверяется непосредственно).
Заметим также, что сопрягающие элементы и знаки степеней одинаковы для всех образов коммутаторов, так как если, к примеру, образ коммутатора [а, Ь] сопрягается элементом X и имеет степень —1, то для всех образов элементов [а, Ь][д,/] и [д,/] (здесь [д,/] £ К \ {[а, Ь]}) сопрягающие элементы равны X, а степени будут равны —1. Это вытекает из согласованного чтения соответствующей диаграммы сопряжения
2-1([а,Ь][д,/ ]) 2 = X-1 [а,Ь]т ХУ-1[д,/ ]к У.
Мы показали, что все сопрягающие элементы коммутаторов из множества К совпадают с сопрягающим элементом X коммутатора [а, Ь]. Лемма 6 доказана.
Лемма 7. Любой автоморфизм ф группы С(ж) внутренний.
Доказательство. Рассмотрим произвольную пару элементов {/,д} алфавита А, где д > /, и их коммутатор [д,/].
Запишем образы ф(д),ф(/) элементов д,/ буквами алфавита А. Обозначим эти слова буквами Т и Б. Выберем среди всех таких записей самую короткую и рассмотрим равенство [Т, Б] = 2-1[д,/]±2 в группе С(ж), которое имеет место по лемме 6. Пусть А — приведенная диаграмма сопряженности [Т,Б] = 2-1[д,/]±12.
Склеим контуры диаграммы с метками Б и Б 1. Можно считать, что ^-пар при таком склеивании не возникнет (это достигается вставкой в слово ф(/) или удалением из него некоторых соотношений группы С(ж)). Таким образом получим приведенную диаграмму с тремя дырами. Длина внешнего контура диаграммы А не превосходит 4, а длина внутренних контуров минимальна, поэтому А не содержит К-клеток и равенство [Т, Б] = [д,/]±1 имеет место в свободной группе. Доказать это можно, предположив противное. Пусть в А есть К-клетки, тогда в А найдется К-клетка Р, примыкающая к некоторому контуру более чем на 0, 99 своей длины (по теореме 22.1 [5]). Но примыкание невозможно, поскольку контуры диаграммы либо короткие, либо имеют минимальную длину. Итак, мы имеем равенство [Т, Б] = [д,/]±1 в свободной группе Е.
Покажем, что в свободной группе возможен лишь случай [Т, Б] = [д,/]. Действительно, ф([д,/]) = [Т, Б] и по теореме Нильсена [9] <д,/> = <Т,Б>. Следовательно, Т £ <д,/>. Это действительно так, поскольку уравнение [Т, Б] = [д,/] с переменными Т и Б строго квадратично и по предложению 7.13 [10] множество его решений содержит свободную группу ранга не более чем 2. Элементы д и / являются решениями уравнения, и свободная подгруппа, содержащая их, имеет ранг не менее 2. Следовательно, Т не содержит никаких букв, кроме д и /. Но аналогично рассматривая другую пару элементов д, / алфавита А, д > /, можно заключить, что Т £ <д,/>. Следовательно, Т £ <д,/> П <д,/> и Т = дя, но по теореме Нильсена ф(д) — один из порождающих свободной группы < д, / >, а при \ в\ > 1 элемент дя не является примитивным. Таким образом, для произвольного автоморфизма ф существует элемент X £ О(ж), такой, что для произвольного элемента д алфавита А мы получили равенство Т = X-1g±1X. В итоге в свободной группе имеет место равенство [д±1 ,/±1] = [д,/]±1, которое возможно лишь тогда, когда все степени равны 1. Таким образом, мы имеем равенство Т = X-1gX для любого д £А в группе С(<х>), что доказывает лемму 7.
Центр группы С(ж) тривиален, поскольку если Ь из центра, то по утверждению 1 леммы 1 Ь принадлежит одновременно двум циклическим подгруппам, порожденным, к примеру, двумя различными периодами. Любые периоды не сопряжены между собой, поэтому если Ь принадлежит центру группы С, то принадлежит пересечению двух циклических подгрупп, порожденных различными периодами. Это возможно только, когда Ь = 1.
Лемма 8. Равенства ф([д,/]) = Я-1([а,Ь][д,/])гПаЬЯ и ф([а,Ь]) = Б-1([а,Ь][д,/]ГР[д-ЛБ, где [д,/] £ К \ [а,Ь], а ф — автоморфизм группы С(ж), невозможны.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму сопряжения ф([а, Ь]) = Б-1([а,Ь][д, /]У'Р[д'^ Б. Заклеим коммутатор [ф(а),ф(Ь)] и получим диаграмму на торе с дыркой А, на контуре которой написана степень слова [а, Ь][д, /]. Предположим, что ранг А больше нуля, тогда по теореме 22.2 [5] в А найдется клетка Р, непосредственно примыкающая к контуру дырки более чем на 1/3 своей длины. На контуре клетки Р написано слово [а, Ь][д, /] (это можно доказать, используя прием, указанный в лемме 6).
Такое равенство дает нам возможность вырезать найденную клетку Р из нашей диаграммы и полу-
чить диаграмму с меньшим числом клеток, при этом меняется степень s • V\g,f]• Таким образом, применяя индукцию, можно считать, что в А нет Д-клеток и сопряжение имеет место в ранге 0.
Это означает, что в свободной группе коммутатор равен достаточно большой степени слова [a, b][g, f], что в свободной группе невозможно. Невозможность остальных равенств доказывается аналогично. Лемма 8 доказана.
В итоге мы получили, что произвольный автоморфизм группы H = G(tx>) является внутренним (в силу леммы 7), центр тривиален, что доказывает основную теорему.
Автор выражает благодарность А.Ю. Ольшанскому и А. A. Клячко за ряд полезных советов и замечаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нерешенные задачи топологической алгебры/ Под ред. В.И. Арнаутова, А.В. Архангельского, П.И. Кирку и др. Кишинев: Штиинца, 1985.
2. Марков А.А. О безусловно замкнутых множествах // Матем. сб. 1946. 18, № 1. 3-28.
3. Адян С.И. О некоторых группах без кручения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. 35, № 3. 459-468.
4. Ольшанский А.Ю. Замечание о счетной нетопологизируемой группе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1980. № 3. 103.
5. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.
6. Morris S.A., Obraztsov V.N. Nondiscrete topological groups with many discrete subgroups // Topol. Appl. 1998. 84. 105-120.
7. Трофимов А.В. Теорема вложения в нетопологизируемую группу // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 60-62.
8. Klyachko A.A., Trofimov A. V. The number of non-solutions to an equation in a group //J. Group Theory. 2005. 8, N 6. 747-754.
9. Nielsen J. Die Isomorphismen der allgemeinen, unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden // Math. Ann. 1918. 78. 385-397.
10. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
Поступила в редакцию 01.02.2006
УДК 517.518
О ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИИ
А. Н. Бахвалов
Введем вначале необходимые обозначения и определения. Положим Т = [—п; п). Для промежутка I на прямой через 0(1) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {/„}, таких, что 1п С I, а через Х/(£) — индикатор I.
Пусть 1к = (ак, Ьк). Рассмотрим функцию /(х) на Мт. При т = 1 положим /(11) = /(Ь1) — /(а1); если для любой функции т — 1 переменной уже определено выражение /(11 х ■■■ х 1т-1), то для функции т переменных положим
/ (11 х---х 1т) = / (11 х---х 1т-1,Ьт) — / (11 х---х 1т-1 ,ат).
Гармонической вариацией функции / (х1,..., хт) относительно переменных х1,..., хт по параллелепипеду А = А1 х ••• х Ат называется величина
1 .. --............— \/(11 х-х т )\
Ун '-'жт(/;Д) = V£(/; Д) = sup £
{Ij}еп(Аз) къ..,кт kl ■■■km
