CC BY
31
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 1(9)
УДК 512.541
А.Р. Чехлов
Е-НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И Е-РАЗРЕШИМЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
КЛАССА 21
Изучаются Е-нильпотентные и Е-разрешимые абелевы группы. Описаны вышеназванные группы в ряде классов групп.
Ключевые слова: Е-нильпотентный элемент, Е-центральный ряд, Е-ком-мутант, Е-центр, Е-полупервичная подгруппа.
Все группы в статье предполагаются абелевыми, кольца - ассоциативными. Пусть А - группа. Тогда Е(А) обозначает кольцо ее эндоморфизмов, г(А) - ранг, если не оговорено противное, то Ар - ее р-компонента, а /(А) - периодическая часть. Если А - однородная группа без кручения, то /(А) - ее тип. Запись Н < А означает, что Н - подгруппа в А; Н < А А, что Н - вполне инвариантная подгруппа в
А, т.е. /Н с Н для каждого / е Е(А). Если/ А ^ В - гомоморфизм, то /1 Н - ограничение /на Н с А. Если В, О - группы и X - непустое подмножество В, то через Нот (В, О)Х обозначим подгруппу в О, порожденную всеми подмножествами /X, где / е Нот (В, О); Нот (В, О)В совпадает со следом группы В в О. Через 1А обозначим тождественный автоморфизм группы А, через о(а) - порядок элемента а е А. N - множество всех натуральных чисел, Z - аддитивная группа (или кольцо) целых чисел, О - аддитивная группа всех рациональных чисел. А1 = П п е N пА. 2^р„ - квазициклическая р-группа, 2 р - группа целых р-адических чисел, 2п -
циклическая группа порядка п. 2(К) - центр кольца Я. Подгруппа О группы А называется чистой (или сервантной), если ОПпА = пО для каждого п е N инвариантной, если /О с О для каждого автоморфизма / группы А.
§ 1. Определения и некоторые свойства
Изучаемые в статье классы групп можно рассматривать как обобщение класса групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов.
Напомним, что если Я - кольцо и а,Ь е Я, то элемент [а,Ь] = аЬ-Ьа называется коммутатором элементов а и Ь. Если а1,...,ап е Я, то положим по индукции
[аь...,ап] = [[аь...,ап-1],ап].
Подгруппу Н группы А назовем коммутаторно инвариантной (обозначение Н < Ы А), если [ф,у]Н с Н для всех ф,у е Е(А). Коммутаторно инвариантные подгруппы изучались в [1].
Приведем несколько свойств коммутаторов.
1) -[ф,¥] = [-ф,¥] = [ф,-¥] = [У,ф], [а,ф+у] = [а,ф] + [а,у], [а+р,ф] =[а,ф] + [Р,ф];
2) [[а,Р],у] + [[Р,у],а] + [[у,а],Р] = 0, [а,[Р,у]] + [Р,[у,а]] + [у,[а,Р]] = 0 (тождества Якоби);
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.
3) [[а,Р],у] = [сф,у] - [Ра,у], [а,[Р,у]] = [а,Ру] - [а,уР];
4) ф"[ф,у] = [ф,ф>], у"[ф,у] = [у"ф,у], [ф,у]фп = [ф,¥фп], [ф,у]уп = [ф¥>] для любого п e N;
5) [а,Р]ф = а[Р,ф] + [аф,Р], [а,Р]ф = [а,Рф] + Р[ф,а];
6) ф[а,Р] = [ф,а]Р + [а,фр], ф[а,Р] = [фа,р] + [Р,ф]а;
7) равенство [а,Р]2 = 0 равносильно как равенству а[Ра,Р] = Р[а,аР], так и равенству [а,Ра]Р = [ар,р]а;
8) если элемент а обратим в кольце, то а[Р,у] = [ара-1,ауа-1]а, [Р,у]а = = а[а-1ра,а-1уа];
9) [аР,у] = [а,Ру] + [Р,уа], [а,Ру] = [ар,у] + [уа,Р];
10) [а,Р,у,5] + [Р,а,5,у] + [у,5,а,Р] + [5,у,р,а] = 0.
Группу A назовем E-нильпотентной класса п, если [а1,^,ап+1] = 0, эквивалентно [аь...,ап] e Z(E(A)), для любых а, e E(A), i = 1,...,п+1, и [рь...,рп] Ф 0 для некоторых р,- e E(A), j = 1,...,п.
11) Для кольца R следующие условия эквивалентны:
а) [a,b] e Z(R) для любых a,b e R;
б) [[a,b],c] = [a,[b,c]] для любых a,b,c e R;
в) [a,b,c] = [a,c,b] для любых a,b,c e R;
г) [a,bc] = [a,cb] для любых a,b,c e R.
Доказательство. Импликации а) ^ б), в) очевидны. Эквивалентность а) и г) вытекает из свойства 3) коммутаторов.
б) ^ а). Имеем [[b,c],a] = bca - cba - abc + acb, [b,[c,a]] = bca - bac - cab + acb. Приравнивая правые части, получаем 0 = cba + abc - bac - cab = [[a,b],c]. Откуда [a,b] e Z(R) в силу произвольности элемента c.
в) ^ а). Как и выше, из равенства [c,a,b] = [c,b,a] получаем cab-cba+bac-abc = 0 или c[a,b] =[a,b]c, т.е. [a,b] e Z(R).
В свойстве 12) - 13) предполагается, что кольцо R удовлетворяет тождеству
[Х1,Х2,Хз] = 0.
12) Для любых a,b e R элементы ab, a2b2, a3b3, ... попарно перестановочны.
Доказательство. Если п > 1, то, учитывая свойство 1), п. г) и индуктивное
предположение, получаем [ab, a'b'5] = abd'b’1 - anbnab = a[ba, a',-1b',-1]b = a[ab, a',-1b',-1]b = 0. Если же п>т>1 и п = mq+r, где 0 < r < m, то [ambm, ab] = am[bmam, a^b^b =
=am[ambm, an-mbn-m]bm = a2m[ambm, an-2mbn-2m]b2m = ... = amq[ambm, arbr]bmq.
При r = 0 получаем равенство нулю, если же r Ф 0, то делим m на r. Согласно алгоритму Евклида, через конечное число шагов при (^m) > 1 придем к скобке вида [ab, 1] = 0 либо при (^m) = 1 к скобке вида [a^b* ab], которая также равна нулю согласно уже рассмотренному случаю.
13) [a,b]2 = 0 для любых a,b e R. В частности, если кольцо R не содержит ненулевых нильпотентных элементов, то оно коммутативно.
Доказательство. Действительно
[a,b]2 = a(bab-bba)-(abb-bab)a = a[ba,b]-[ab,b]a =
= a[ba,b]-[ba,b]a = [a,[ba,b]] = 0.
14) Кольцо R удовлетворяет тождествам [x1,x2][x3,x4] = 0 и [x1,x2,x3] = 0 тогда и только тогда, когда c[a,b] e Z(R) для любых a,b,c e R.
Доказательство. Необходимость. Имеем
0 = [c,d][a,b] = cd[a,b]-dc[a,b] = (c[a,b])d - d(c[a,b]), т.е. c[a,b] e Z(R).
Достаточность следует из равенств
-[c,d][a,b] = [d,c][a,b] = d(cab - cba) - (ab-ba)cd =
= d(cab-cba)-(cab-cba)d = [d,[a,b]c] = 0.
E-центром группы A назовем следующую ее подгруппу
Z(A) = {a е A | [9,^]a = 0 для всех ф,у е E(A)}.
Подгруппу A' = ([ф,у]4 | ф,у e E(A)) назовем E-коммутантом группы A. Ясно, что кольцо E(A) коммутативно в точности тогда, когда A' = 0. Если a е A, то через ^,y]a обозначим коммутатор элемента a.
Определим по индукции A(0) = A, A(1) = A',..., A(n+1) = (A(n))' и A(a) = np<„4(p) при предельном a.
Лемма 1.1 [2, лемма 2]. Если A = B®G, то
A' = (Hom (B,G)B, Hom (G,B)G, B', G').
Некоторые свойства и описание E-центра и E-коммутанта ряда классов групп получены в [1, 2]. Так, E-центр и E-коммутант - вполне инвариантные подгруппы (что следует соответственно из свойств 5) и 6) коммутаторов). Отметим еще, что если, например, A = B©C, где B = Zp, а C = Zp„ , то в силу леммы 1.1 A' = C[p].
Поэтому A/A' = A и, следовательно, (A/A')' Ф 0. Факторгруппа по E-центру может быть циклической. Например, если A = B©C, где B = Q, а C = Z, то Z(A) = B и
A/Z(A) = Z. Если же C = Zn, где n = pf1. „ pm , а B = Z „©. „ ® Z „ , то Z(A) = B и
p1 pm
A/Z(A) = Zn.
E-центр группы без кручения - чистая подгруппа, а E-коммутант может не быть чистой подгруппой.
Пример 1. Пусть n>1 - натуральное число и K - кольцо всех матриц вида
nb c \
A =
0 ad 0 0 a
где a,b,c,d е Z.
' х ny z ^ ' 0 0 n(bt - yd)^
B = 0 х t , то AB - BA = 0 0 0 е Z (K)
0 0 х J 10 0 0 у
Если
По теореме Корнера [3, теорема 110.1] существует группа без кручения, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно К; эта группа Е-нильпотентна класса 2, коммутант которой не является чистой подгруппой.
Легко привести примеры, когда подгруппы и факторгруппы Е-нильпотентной группы не являются Е-нильпотентными. Так, пусть А = Б®С, где В и С - вполне инвариантные подгруппы с коммутативными кольцами эндоморфизмов группы без кручения А и рВ Ф В, рС ф С. Кольцо Е(А) также коммутативно, поэтому А - Е-нильпотентная группа. Однако для любых 0 ф Ь е В и 0 ф с е С подгруппа (й)®(с) и факторгруппа А/рА = (В/рВ)®(С/рС), как это следует из предложения 1.2, не являются Е-нильпотентными.
Напомним, что кольцо называется нормальным [4], если все его идемпотенты центральны. Кольцо эндоморфизмов модуля нормально тогда и только тогда, когда все его прямые слагаемые вполне инвариантны [4, утверждение 3.28].
Группу назовем E-энгелевой класса < n, если [a,b,...,b] = 0 для любых ее эн-
n
доморфизмов a,b.
Предложение 1.2. В E-энгелевой группе A все ее прямые слагаемые вполне инвариантны. В частности, кольцо E(A) нормальное.
Доказательство. Если A = B©C, а a е E(A) - такой, что a|C = 1C и 0 Ф ab е C для некоторого b е B, то определим в е E(A) следующим образом: P|B = a и P|C = 0. Теперь если y = [P,a] и yn+1 = [yn,a] =[р,a,...,a], то по индукции прове-
n
ряется, что ynb = (-1)nab Ф 0. Это доказывает утверждение.
Группы с нормальным кольцом эндоморфизмов изучались в [5]; из этих результатов следует, что, например, периодические и сепарабельные группы без кручения являются E-нильпотентными тогда и только тогда, когда их кольца эндоморфизмов коммутативны.
Группу A назовем E-разрешимой, если A(n) = 0 для некоторого n е N. Наименьшее такое n назовем классом E-разрешимости группы A. Прямые слагаемые E-разрешимой группы являются E-разрешимыми группами.
Отметим, что для каждого n существуют E-разрешимые группы класса n, не являющиеся E-нильпотентными.
Пример 2. Пусть K = T2(Z) - кольцо целочисленных треугольных матриц порядка 2. Коммутатор любых двух матриц из K имеет вид a = f0 0 j для некоторого u е Z. Поэтому произведение любых двух коммутаторов есть 0 кольца K. Согласно теореме Корнера (см. пример 1), существуют группы A с кольцом эндоморфизмов K, эти группы будут E-разрешимыми группами класса 2. Если
f х у j f 0 u( z — х) j
b = 1 I е K , где х Ф z, то ab — ba = 1 I. Откуда [a,b,...,b] Ф 0 для
z у 0 у -—.—■
n
любого n, т.е. A не будут даже E-энгелевыми.
Пример 3. Пусть Z[i] = {m + ki | m,k е Z} - кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим кольцо ^[/])[х, ], состоящее из многочленов от х с коэффициентами из Z[i], для которых выполняется равенство хa = ах, где а - комплексное число из Z[i], сопряженное к a. Пусть теперь Kn = ^[/])[х, ]/(хп), где (хп) - идеал, порожденный хп. Тогда [f,g] = fg- gf е хKn для любых f g е Kn. Поэтому f^,fn]-[/1,f2] = 0 для всех f е Kn при i = 1,...,2n. Аддитивная группа кольца Kn является счетной редуцированной группой без кручения. Как и в примере 2, в качестве A можно взять группы, кольца эндоморфизмов которых изоморфны Kn. Поскольку, например, [х,i,...,i] = (—2i)nх ^ 0, то A не являются E-энгелевыми.
n
Пусть R - кольцо эндоморфизмов группы A и [х, у, у] = 0 для любых х, у е R. Тогда 0 = [х, у + z, у + z] = [х, у, z] + [х, z, у]. Согласно тождеству Якоби [х, z, у] = = [х, у, z] + [у, z, х]. Откуда 2[х, у, z] + [у, z, х] = 0. Из 0 = [у, z + х, z + х] = [у, z, х] + + [у, х, z] получаем [у, z, х] = -[у, х, z] = [х, у, z]. Поэтому 3[х, у, z] = 0. Аналогичным образом, используя свойство 10) и уже доказанное равенство 3[х, у, z] = 0, можно показать, что [х, у, z, t] = 0 для любых х, у, z, t е R. Следовательно, всякая E-энгелева группа класса < 2 является E-нильпотентной класса < 3, а если она не имеет элементов порядка 3, то и E-нильпотентной класса < 2.
Из определения вытекает справедливость следующей леммы.
Лемма 1.3. Для группы A следующие условия эквивалентны:
1) A - E-разрешимая группа класса < n;
2) [a2n_ba2n]---[aba2] = 0 для любых ai е E(A), i = 1,...,2n;
3) A(n-1) с Z(A).
Из определения также следует, что если A - E-разрешимая группа, то Z(A) Ф 0; кроме того, если 0 Ф H < ki A, то HflZ(A) Ф 0. Отметим для сравнения, что если G -
некоммутативная нильпотентная группа и 1<N<G, то [N,G]<N и NflZ(G)>1, где [N,G] = (fog] | х е N, g е G) - коммутант N и [х^] =х_^_^ - коммутатор х и g. Для E-разрешимой группы A класса n возможен случай, когда A(n-1) Ф Z(A). Например, если A = B®C®D, где кольца E(B), E(C), E(D) коммутативны, для каждого 0 Ф b е B существует f е Hom(B,C) со свойством fb Ф 0, Hom(B,D) = 0, и подгруппы C,D вполне инвариантны в A, то A'' = 0 и A' = Hom(B,C)B с C Ф Z(A) = C®D.
Если H < ki A и R = E(A), то положим ZR(A/H) = {а е A/H | [a,P]a = 0 для всех a,P е R}. Ясно, что если A' с B < A, то B < ki A.
Если H с A, то через NR(H) = {a е A | [a,P]a е H для всех a,P е R} обозначим E-нормализатор подмножества H в группе A. Индекс R иногда будем опускать. Из свойства 8) коммутаторов следует, что инвариантность подгруппы H влечет инвариантность N(H). Ясно, что H = N(H) для H < A в точности тогда, когда H < ki A и A /H - коммутаторно точная факторгруппа, т. е. для любого 0 Ф a = a + H е A/H найдутся ф,у е E(A) со свойством [ф,у] a Ф 0 (факт, отмеченный в [1]). Отсюда несложно вывести, что для прямого слагаемого H выполняется равенство H = N(H) тогда и только тогда, когда H вполне инвариантно и Z(C) = 0 для каждого (эквивалентно - для некоторого в силу их изоморфизма) дополнительного прямого слагаемого C.
Ряд Ai с A+ с ... с Ai+n с ... подгрупп Ai (i е I) группы A назовем E-центральным, если Ai < ki A и Ai+J/AI■ с ZR(A/A,) (эквивалентно, A+ с NR(A,)) для всех i е I. Если же Ai < ki A для всех i е I, то ряд назовем E-нормальным.
Если A - группа, R = E(A), то положим по индукции
Z0(A) = 0, Z1(A) = Z(A), ..., Zi(A)/Zi_1(A) = Zr(A/Zi4(A)) и Za (A) = U p<a Zp (A) при предельном a.
Обозначим для краткости Za = Za(A). Ряд 0 с Z1 с . с Za с . назовем верхним E-центральным рядом группы A. Подгруппы Za назовем E-гиперцентрами группы A. Из свойства 5) коммутаторов вытекает, что все E-гиперцентры являются вполне инвариантными подгруппами. В группе без кручения все E-гиперцентры являются чистыми подгруппами, поэтому все факторы верхнего E-центрального ряда также группы без кручения.
Если HсA, то подгруппу ([ф,у]й | Не H, ф,у е E(A)) назовем E-коммутантом подмножества H в A и обозначим через [HA]. Если H < ki A, то [H,A] < ki A, а если H < fi A, то из свойства 6) коммутаторов следует, что [H,A] < fi A. Всегда [B+CA] = [B,^]+[C,A] для B,C < A. Обозначим
[HA]1 = H + [HA] и [H,A]n+1 = [H,A]n + [[H,A]n, A] при n>1.
Тогда H = U"=1[H, A]n - наименьшая ki-подгруппа, содержащая H. Действительно, H < ki A и всякая ki-подгруппа, содержащая H, содержит и H . Из свойства 8) коммутаторов следует, что инвариантность H влечет инвариантность H .
Положим по индукции L1(A) = A, L+1(A) = [L,-(A)A] и La(A) = flp<aLp (A), если
a - предельное число. Отметим, что Ln(A) = A(n-1) для n е N и La(A) < fi A для каждого ординала a.
Заметим, что
Ln+1(A) = <[a2„-1,a2n]...[a1,a2]a | a е A, a, е E(A), i = 1,...,2n), а Zn(A) = {a е A | [a2n_ba2n]...[aba2]a = 0, a е E(A), i = 1,...,2n}.
E-разрешимые группы класса n являются подклассом класса BLn групп - групп A со свойством [ф,у]п = 0 для всех ф,у е E(A). Внимание автора на класс BL2 обратил профессор П. А. Крылов. Группы из класса BL2 изучались в [2, 5]. Отметим, что в [6 - 16] и в других работах автора рассматривались вопросы, связанные с возможностью продолжения гомоморфизмов абелевых групп.
Если 0 = A0 сA1 с ... сAn-1 сAn = A - E-центральный ряд, то получаем включения Ai с Zi и Li с An_i+1, где Li = Li(A). Ряд L1(A) з L2(A) з ... назовем нижним E-центральным рядом группы A. Из вышеприведенных включений следует, что в E-разрешимой группе верхний и нижний E-центральные ряды обрываются, причем их длины равны классу E-разрешимости группы. В частности, в E-разрешимой группе все ее E-центральные ряды обрываются, минимальная длина таких рядов совпадает с классом E-разрешимости группы.
Хотя верхний и нижний E-центральные ряды E-разрешимой группы имеют одинаковую длину, они сами не обязаны совпадать. Так, в вышеприведенном примере E-разрешимой группы A = B©C©D верхний E-центральный ряд имеет вид 0 с C©D с A, а нижний - 0 с Hom(B,C)B с A.
Некоторые свойства нильпотентных некоммутативных групп переносятся на E-разрешимые группы.
Теорема 1.4. Для группы A равносильны условия:
1) A - E-разрешимая группа класса n;
2) Zn(A) = A и Zn-1(A) Ф A;
3) Ln+1(A) = 0, но Ln(A) Ф 0.
Доказательство. 1) ^ 2) Так как Li с Zn-i+1, то L1 = A с Zn, т.е. Zn = A. Допустим, что Zn-1 = A. Тогда L2 = A' с Zn-2 и по индукции Li с Zn-i. Значит, Ln = A(n-1) с Z0 = 0. Противоречие с условием A(n-1) Ф 0.
2) ^ 3) Имеем Ln+1 с Z0 = 0. Если Ln = 0, то Ln-1 с Z1. По индукции Ln-k с Zk или Lk с Zn-k. Отсюда L1 = A с Zn-1. Противоречие. Импликация 3) ^ 1) очевидна.
Теорема 1.5. Если A - E-разрешимая группа класса n, то для любой ее подгруппы H ряд последовательных E-нормализаторов достигает A не позже чем через n шагов. В частности, всякая ki-подгруппа E-разрешимой группы входит в некоторый E-центральный ряд.
Доказательство. Обозначим H0 = H, H+ = N(Hi). Достаточно проверить, что Zi с H,-. Для i = 0 это очевидно, а далее имеем Zm = N(Z) с N(H) = Hi+1. Оставшееся утверждение для ki-подгрупп следует из того, что если H < ki A, то HHZ, < ki A, HC\Zm с N(H^Z) и H с N(H).
ki-подгруппу H группы A назовем E-малой, если из A = H+S, где S - некоторая ki-подгруппа, следует, что S = A.
Элемент х е A назовем E-необразующим группы A, если (х) - E-малая подгруппа. Очевидно, что любая ki-подгруппа, содержащаяся в E-малой подгруппе, является E-малой; сумма конечного числа E-малых подгрупп является E-малой
подгруппой. В силу сказанного сумма всех Е-малых подгрупп совпадает с множеством Е-необразующих элементов группы А.
Обозначим через С(А) пересечение всех максимальных кьподгрупп группы А, если они существуют, и С(А) = А в противном случае.
Лемма 1.6. Множество Б всех Е-необразующих элементов группы А совпадает с подгруппой С(А).
Доказательство. Б с С(А). Если А не содержит максимальных кьподгрупп, то утверждение очевидно. Пусть теперь х е Б и Н - максимальная кьподгруппа в А. Если х г Н, то (х) + Н = А и НФ А. Это противоречит включению х е Б.
С(А) с Б. Пусть, напротив, существует элемент х е С(А) и В < к1 А, такие, что В Ф А, но (х) + В = А . По лемме Цорна найдется кьподгруппа Н группы А, максимальная среди кьподгрупп, содержащих В и не содержащих х. Ясно, что Н - максимальная кьподгруппа. Но тогда х е С(А) с Н. Противоречие.
Теорема 1.7. Если А - Е-разрешимая группа и Н - ее к-подгруппа с условием Н+А' = А, то Н = А. В частности, А' с С(А).
Доказательство. Положим Н1 = Н+2,-, / = 0,1,2,___Пусть Нт с А и Нт+\ = А.
Тогда А' = [А А] = [Н,А]+[2т+1,А] с Н+2т = Нт. Откуда Н+А' с Нт с А. Противоречие. Включение А' с С(А) следует из леммы 1.6.
кьподгруппу Р группы А назовем Е-полупервичной, если для любой подгруппы В группы А из включения [ВА] с Р следует, что В с Р. Отметим, что включение [В,А] с Р эквивалентно включению [В, А] с Р .
Пересечение всех Е-полупервичных подгрупп группы А обозначим через Р(А ). Из определения следует, что 2(А) с Р(А), в частности, А = Р(А) для Е-разрешимой группы А .
Элемент а группы А назовем строго Е-нильпотентным, если любой последовательности {ап е Е(А) | п е N1 найдется такой номер т, что [а2т-1,а2т]_ [а1,а2]а = 0.
Следующий результат является аналогом характеризации Левицкого первичного радикала кольца [17, предложение 26.5].
Теорема 1.8. Р(А) состоит из строго Е-нильпотентных элементов. Доказательство. Пусть а г Р(А). Поэтому а г Р для некоторой Е-первичной
подгруппы Р. Тогда [(а)А] £ Р, т.е. существует такой элемент а! е [(а)А], что
а! г Р. Если ап г Р, то [<ап)А] £ Р. Значит, существует ап+1 е [<ап)А] со свойством ап+1 г Р. В частности, элемент а не является строго Е-нильпотентным.
Обратно, пусть элемент а не является строго Е-нильпотентным, и пусть Т = {ап | п = 0,1,_} - такая последовательность элементов группы А, что а0 = а и 0 Ф ап+1 е [<ап)А] для каждого п. Тогда 0 г Т и по лемме Цорна существует кьподгруппа Р, максимальная среди кьподгрупп, не пересекающихся с Т. Пусть
теперь В - такая подгруппа в А, что В £ Р. В силу выбора подгруппы Р имеем (В + Р) П Т ^0. Если теперь ап е В + Р , то ап+1 е [В + Р, А] = [В, А] + [Р, А]. Поскольку [Р,А] с Р, то [В, А] £ Р. Значит, и [ВА] £ Р. Таким образом, Р - Е-по-лупервичная подгруппа и а0 = а г Р. Следовательно, а г Р(А).
Поскольку 2(А) с Р(А), то условие Р(А) = 0 влечет 2(А) = 0. Верно и обратное утверждение. Действительно, пусть а0 = а Ф 0. По условию найдутся такие
on,Pn е E(A), что an+1 = [an,Pn]an Ф 0, n = 0,1,., т.е. элемент a не является строго E-нильпотентным. Из теоремы 1.8 следует также, что если P(A) = 0, то 0 - единственная среди подгрупп H группы A со свойством Ln(H) = 0 для некоторого n, где
Ln(H) = [Ln-1(H),A] при n>2, а L1(H) = H.
§ 2. E-разрешимые группы класса 2
Лемма 2.1. Пусть A = 0,- е IAj, | I | > 1. Тогда:
1) если A, < fi A для каждого j е I, то группа A E-разрешима класса < 2 в том и только в том случае, когда каждая Aj - E-разрешимая группа класса < 2, причем если кольцо E(Aj) некоммутативно хотя бы для одного j е I , то A - E-разрешимая группа класса 2;
2) если A - E-разрешимая группа класса 2, то a (Hom (A,, Ai) A,) = 0 для любого o, е Hom (Ai, Ak), где j, k е I \ {i};
3) в группе без кручения A любая ki-подгруппа ранга 1 лежит в E-центре.
Доказательство. 1) очевидно. 2) Пусть 0 - проекция A на 0 ке_ I\ и Ak и
ya = g е A, где a е Aj, у е Hom (Aj, A,). Пусть теперь f е E(A) - такой, что f | Aj = у, f| A,- = Oi и f| As = 0 при s Фj, i. Имеем [0,f]g = ag = a,ya, [0f]a = -ya = -g. Следовательно, [0f]2a = -a/ya = 0. Откуда a(Hom (Aj, A)Aj) = 0 в силу произвольности у и a.
3) Пусть B < ki A, r(B) = 1, a е B и G = (B)» - чистая подгруппа в A, порожденная B. Если G < fi A, то утверждение очевидно. Допустим, что х = oa <£ G для некоторого a е E(A). Если теперь в е E(A), то [a,P]a е G. Значит, n[a,P]a = ma для некоторых n,m е Z, причем n Ф 0. Допустим, что m Ф 0. Тогда тх = maa = na[a,P]a = n[o,aP]a е G. Противоречие. Если же [a,P]a = 0 для всех P е E(A), то и [a,P]G = 0, т.е. G с Z(A).
Если A не является группой без кручения, то утверждение п. 3) леммы 2.1 в общем случае не справедливо. Например, пусть o(a) = p, o(b) = p3, A = (a) 0 (b) и H = (a+pb). Можно непосредственно проверить, что H < ki A (см. пример 2 в [1]). Пусть y(a) = p2b и у | (b) = 0. Тогда если п - проекция группы A на (b), то [n,y](a+pb) = (ny-yn)(a+pb) = p2b Ф 0.
Лемма 2.2. Пусть A = B0G, где G < fi A. Тогда условие E-разрешимости группы A класса < 2 равносильно тому, что каждая группа B, G является E-разрешимой класса < 2, ^,y](Hom (B,G)B) = 0 для любых ф,у е E(G) и P(B') = 0 для любого P е Hom (B,G). Причем при одном из условий Hom (B,G) Ф 0, B ' Ф 0 или G' Ф 0 группа A - E-разрешима класса 2. В частности, если кольца E(B) и E(G) коммутативны и Hom (B,G) Ф 0, то A - E-разрешимая группа класса 2.
Доказательство. Пусть 0: A ^ G - проекция, а f е E(A) - такой, что f | B = р, f | G = 1G. Тогда если b е B, то [0f]b = pb е A', что ввиду B ' с A ' доказывает необходимость.
Достаточность. Пусть п: A ^ B, 0: A ^ G - проекции и a,P,y,5 е E(A). Имеем [у,5] = (п + 0)[у,5](п + 0) = п[у,5]п + 0[у,5]п + 0[у,5]0 (учтено, что п[у,5]0 = 0). Здесь можно считать, что 0[у,5]0 е E(G). Поэтому ввиду вполне инвариантности подгруппы G осталось проверить действие [a,P][y,5] на B. Если b е B, то [y,5]b = [ny,n5]b + 0y(n5b) - 05(nyb) + [0y,05]b. Последние три слагаемые принадлежат следу B в G, поэтому они аннулируются при действии [a,P].
Далее [na,np][ny,n5]b є B ' ' = 0. Следовательно,
[a,P][y,5]b = 0a(nP[ny,n5]b) - 0P(na[ny,n5]b) + [0a,0p]([ny,n5]b) = 0, поскольку, ввиду naIB,nPIB є E(B), все эти слагаемые принадлежат образу G-подгруппы [ny,n5]B.
Лемма 2.3. Пусть A = ©,■ є I A, и I I I > і. Тогда:
1) [2, лемма 4] A є BL2 в том и только в том случае, когда все A, є BL2,
a, (Hom (Aj, A,) Aj) = 0, ^„^(Hom (AjA)Aj) = 0 и pi(Ai' ) = 0 для любых
aі, Pi є Hom (A,, Ak) и ф,,у,- є E(A,), где j, k є I \ {i}.
2) Если A = є IA,, I I I > і, то A - E-разрешимая группа класса < 2 в том
и только в том случае, когда каждая A, - E-разрешимая группа класса < 2, a, (Hom (Aj, A,) Aj) = 0, ^„^(Hom (AjA)Aj) = 0 и pi(Ai' ) = 0 для любых
a,, в є Hom (A, Ak) и ф,,у,- є E(A), где j, k є I \ {i}, причем если Hom (AjA) Ф 0 хотя бы для одной пары (ij) или Ai Ф 0 хотя бы для одной группы A, то A - E-разрешимая группа класса 2.
3) Если A є BL2 и каждая A, является E-разрешимой группой класса < 2, то и сама группа A E-разрешима класса < 2.
Доказательство. 2) Необходимость вытекает из лемм 2.1, 2.2.
Достаточность. Пусть Bj = ©,■ є I \ j A,, п: A ^ Aj и 0: A ^ Bj - проекции, а
a,P,y,5 є E(A). Если a є Aj, то
[y,5]a = [(n + 0)y,(n + 0)5]a = [ny,n5]a + [ny,05]a + [0y,n5]a + [0y,05]a =
= [ny,n5]a + ny05a - 05nya + 0yn5a - n50ya+ 0y05a - 050ya .
Здесь 05a є Hom (Aj,Bj)Aj и пу I Bj є Hom (BjAj), поэтому ny05a = 0. Аналогично n50ya = 0. Далее
05nya, 0yn5a, 0y05a, 050ya є Hom (Aj,Bj)Aj, а поскольку в скобках [na,0p], [0a,nP] в качестве множителей входят гомоморфизмы из Hom (Bj,Aj), то перечисленные элементы аннулируются при действии этих скобок. С учетом того, что [na,nP][ny,n5]a = 0 и [0a,0p](Hom (Aj,Bj)Aj) = 0, окончательно получаем [a,P][y,5]a = 0.
Из лемм 2.1, 2.3 следует, что всякая E-разрешимая группа не содержит прямые слагаемые, разложимые в прямые суммы изоморфных групп. Поэтому делимая группа D является E-разрешимой тогда и только тогда, когда все ее ненулевые p-компоненты имеют ранг 1, а часть без кручения либо нулевая, либо также имеет ранг 1 (такая группа D є BL2).
З) вытекает из 1) и 2).
Теорема 2.4. Если A - E-разрешимая группа класса < 2, то каждая ее ненулевая p-компонента Ap есть либо циклическая группа, либо прямая сумма циклической группы Bp и группы Zp„ , причем в последнем случае, если Bp Ф 0, то
A/Ap = p(A/Ap).
Доказательство. Вытекает из лемм 2.1 и 2.З.
Следствие 2.5. Если A - периодическая группа, то следующие условия эквивалентны:
1) A - E-разрешимая группа класса < 2;
2) A є BL2;
3) каждая ненулевая p-компонента группы A есть либо циклическая группа, либо прямая сумма некоторой (возможно, нулевой) циклической группы и группы
2 ^„ . В частности, если А редуцированна, то ее кольцо эндоморфизмов коммутативно.
Теорема 2.6. Если 0 Ф Б - делимая часть группы А, А = В©Б, то А - Е-разрешимая группа класса < 2 тогда и только тогда, когда
1) каждая группа В,Б является Е-разрешимой класса < 2;
2) Е-коммутант В' группы В периодичен;
3) если обе подгруппы Бр, Вр Ф 0, то В/Вр = р(В/Вр);
4) 0 Ф /(Б) Ф Б влечет периодичность В, в этом случае А имеет строение
А = (© р е пАр)©Б0, где П - некоторое множество простых чисел, каждая Ар есть или циклическая группа, или прямая сумма некоторой (возможно, нулевой) циклической р-группы и группы 2р„ , а Б0 = О.
Доказательство. Необходимость. Если 0 Ф Ь е В - элемент бесконечного порядка, то ввиду инъективности группы Б найдется гомоморфизм а: В ^ Б со свойством аЬ Ф 0, причем если часть без кручения Б0 группы Б отлична от нуля, то а можно выбрать так, чтобы аЬ е Б0 и уаЬ Ф 0 для некоторого у е Нот (Б0,2р„ ). Поэтому в силу леммы 2.1 условие 0 Ф /(Б) Ф Б влечет периодичность В. Наконец, если Вр Ф 0, то по теореме 2.4 Вр - циклическая группа, поэтому В = Вр©Е(р) для некоторой подгруппы Ер £ В. Если теперь рЕ(р) Ф Е(р), то при условии Бр Ф 0 найдется ненулевая композиция гомоморфизмов Е(р) ^ Вр ^ Бр, что противоречит лемме 2.1.
Достаточность. Пусть 0 Ф /(Б) Ф Б. Имеем А = В©/(Б)©Б0, где В©/(Б) < А А, Е(В) и Е(/(Б)) - коммутативные кольца. Согласно лемме 2.2, В©/(Б) - Е-разре-шимая группа класса 2. Поскольку след группы Б0 в В©/(Б) содержится в подгруппе /(Б), а Е(/(Б)) и Е(Б0) - коммутативные кольца, то из леммы 2.2 следует, что А - Е-разрешимая группа класса 2. Если же Б0 = 0, то Е(Б) - коммутативное кольцо и Б < А А. Далее, если В = Вр©Е(р), то по условию рЕ(р) = Е(р) при Бр Ф 0.
В силу леммы 1.1 В’ = (Е(р)) ' и, значит, (В')р = 0. Откуда ввиду периодичности В' вытекает, что Р(В') = 0 для каждого в е Нот (В,Б). Поэтому по лемме 2.2 А -Е-разрешимая группа класса < 2. Пусть, наконец, Б - группа без кручения. Тогда г(Б) = 1, Б < А А, Е(Б) - коммутативное кольцо и, так как В’ - периодическая группа, в(В’) = 0 для каждого в е Нот (В,Б), следовательно, по лемме 2.2 вновь А
Е-разрешима класса < 2. Заметим, что если Б = О, а В - периодическая группа с коммутативным кольцом эндоморфизмов, то и кольцо Е(А ) также коммутативно, т.е. в теореме возможен случай, когда А - разрешимая группа класса 1.
Следствие 2.7. Если 0 ф Б - делимая часть группы А, А = В©Б и 0 ф В - группа без кручения, то А - Е-разрешимая группа класса 2 в том и только в том случае, когда Е(В), Е(Б) - коммутативные кольца.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.6, а достаточность из леммы 2.2. Поскольку Нот(В,Б) Ф 0, то А - Е-разрешимая группа класса 2.
Отметим, что делимая группа Б = /(Б)©Б0 имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов Е(Б) тогда и только тогда, когда либо /(Б) = 0, а Б0 = О, либо Б0 = 0, а Бр = 2р„ для каждого р с условием Бр ^ 0.
Следствие 2.8. Пусть А = /(А)©К - расщепляющаяся смешанная группа с ненулевой делимой частью Б = /(Б)©Б0. Запишем А в виде А = Т©В©/(Б)©Б0, где
/(А) = Т©/(Б). Группа А Е-разрешима класса < 2 в том и только в том случае, когда выполняются следующие условия:
1) /(Б) = ©р е п 2 „ , а г(Б0) < 1;
р
2) Т = © р ей, Тр, где каждая Тр - ненулевая циклическая р-группа;
3) кольцо Е(В) коммутативно и рВ = В прир е П ' = ППП^
4) если В, Б0 Ф 0, то /(Б) = 0.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.6. Достаточность. Имеем /(А) = Т©/(Б) < А А. Если Б0 = 0, то обозначим через О - след группы В в /(А). О можно записать в виде О = О1©О2, где О\ = ©р еП1\П Ор £ Т,
О2 = ©р е П Ор £ /(Б) (рО = О при р е П', поэтому ОрПТр = 0 для таких р). Поскольку ©реП1\ПТр < А /(А) и кольца Е(Т), Е(/(Б)) коммутативны, то [ф,у]О = 0
для любых ф, у е Е(/(А)). Поэтому А - Е-разрешимая группа класса < 2 по лемме 2.2. Если же В Ф 0 и Б0 = О, то А = В©Т©Б0, где Т©Б0 < 11А и Е(В), Е(Т©Б0) -коммутативные кольца. Вновь по лемме 2.2 А - Е-разрешима класса 2. Наконец, при В = 0 имеем А = Т©Б, где Е(Т), Е(/(Б)) - коммутативные кольца и Б -Е-разрешимая группа класса < 2. Поэтому и в этом случае А - Е-разрешимая группа класса < 2.
Теорема 2.9. 1) Пусть А - вполне разложимая группа без кручения, А = В©Б, где Б - делимая часть группы А. Тогда А - Е-разрешимая группа класса < 2 в том и только в том случае, когда:
а) если Б Ф 0, то г(Б) = 1, а В - прямая сумма групп ранга 1 несравнимых между собой типов;
б) если Б = 0, то А = ©,■ е /А,-, где типы прямых слагаемых ранга 1 групп А, и А^ не сравнимы при различных , и ], причем либо г(А) = 1, либо А, = В,ФС,, г(В) = 1, С, - прямая сумма групп ранга 1 несравнимых между собой типов больших /(В,).
2) Пусть А - сепарабельная (векторная группа) без кручения, А = В©Б, где Б - делимая часть группы А. Тогда А - Е-разрешимая группа класса < 2 в том и только в том случае, когда:
а) если Б Ф 0, то г(Б) = 1, а В - прямая сумма (прямое произведение) групп ранга 1 несравнимых между собой типов;
б) если Б = 0, то А = ©,■ е ! А, (А = П, е А), типы прямых слагаемых ранга 1 групп А, и А^ не сравнимы при различных , и ], причем либо г(А) = 1, либо А, = В,ФС,, г(В) = 1, С, - сепарабельная (векторная) группа, типы прямых слагаемых ранга 1 которой несравнимы между собой и больше /(В,).
Доказательство. 1) Необходимость следует из леммы 2.2, поскольку для прямого слагаемого М©Ж2©Ж3 группы А, где г(Ы) = 1, невозможны следующие соотношения для типов: /(N1) = /(Ж2) или /(N1) < /(Ж2) < /(Ж3). Достаточность в случае а) вытекает из леммы 2.2, поскольку Б < А А и Е(В), Е(Б) - коммутативные кольца. В случае б) достаточность следует из того, что А, < А А, где согласно лемме 2.2 А, - Е-разрешимые группы класса < 2.
2) Прямые слагаемые сепарабельных групп являются сепарабельными группами [3, теорема 87.5]. Далее, если О(А) - множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 группы А, то 0.(А) можно разбить на классы эквивалентности
О(А) = и , е 1 О,, где типы s, / е О(А) считаются эквивалентными, если существуют /ъ...,4 е О(А), такие, что типы и и + 1 сравнимы для всех ,' = 1,...,п (здесь
/0 = 5, /п + 1 = /). В этом случае А = ©,■ е I А, О(А,) = О,- и А,- < А А, т.е. типы из О(А,) и О(А/) не сравнимы при ,' Ф/. Для векторных групп можно использовать лемму: если п - ненулевой гомоморфизм векторной группы V = П, е 1Я, в векторную группу
Ж = П/ е 3Б, (Я, и Б/ - группы ранга 1), то /(Я,) < /(/ для некоторых ,' е I и / е 3 [3, лемма 96.1]. С учетом этих фактов оставшиеся утверждения доказываются аналогично 1).
Теорема 2.10. Пусть А - копериодическая группа, Б - ее делимая часть, А = В©Б, Б = /(Б)©Б0. Тогда А - Е-разрешимая группа класса < 2 в том и только в том случае, когда А алгебраически компактна, Б = (©„ е П 2 )©Б0, где П - не-
р”
которое множество простых чисел, г(Б0) < 1 и, кроме того:
1) если 0 Ф /(Б) Ф Б, то В = ©реп Вр, каждая Вр - циклическая р-группа и П! -
некоторое конечное множество простых чисел;
2) если /(Б) = 0 или Б0 = 0, то В = О©С, О = Преп Вр, каждая Вр является
(при П1 Ф 0) ненулевой циклической р-группой, С = ПреП2 2р , П1 и П2 - такие
множества простых чисел, что ППП^П2 = 0, причем если Б Ф 0, то множество П! ПП2 конечно.
Доказательство. Необходимость. Имеем А1 = Б©В1. Если Вр Ф 0, В = Вр©Е(р), то В1 = Е^). Отсюда следует, что В1 - делимая подгруппа без кручения в В и, значит, В1 = 0, А1 = Б. Поэтому группа А алгебраически компактна [3, предложение 54.2]. Если 0 Ф /(Б) Ф Б, то по теореме 2.6 В - периодическая группа. Всякая периодическая алгебраически компактная группа ограниченная [3, следствие 40.3], это доказывает 1).
2) Замыкание О = (/(В))- в Z-адической топологии периодической части /(В) выделяется в В прямым слагаемым, В = О©С, (П1 = {р е Р | Вр Ф 0}). Если Бр, Вр Ф 0, то рС = С, поэтому ППП1ПП2 = 0. Если множество П^П2 бесконечно, то след группы С в О является смешанной группой, а это при условии Б Ф 0 в силу леммы 1.1 противоречит теореме 2.6.
Достаточность. В случае 1) А - Е-разрешимая группа класса < 2 по теореме 2.6. Если выполнены условия 2), то О < А (О©С) и Е(О), Е(С) - коммутативные кольца. Поэтому по лемме 2.2 О©С - Е-разрешимая группа класса < 2. Пусть Б Ф 0. По лемме 1.1 (О©С) ' = Нот(С,О)С. Так как множество П^П2 конечно, то (О©С) ' -периодическая группа и в(О©С) ' = 0 для каждого в е Нот(О©С,Б) в силу условия ППП1ПП2 = 0. Следовательно, по лемме 2.2 А - Е-разрешимая группа класса <2.
В утверждениях 2.7 - 2.10 условие А - Е-разрешимая группа класса < 2 равносильно условию А е БЬ2, это можно вывести из их доказательств или сравнивая с соответствующими результатами из [2, 5].
В заключение отметим, что помимо коммутаторно инвариантных подгрупп в [18 - 21] автор изучал проективно инвариантные подгруппы, т.е. подгруппы, инвариантные относительно проекций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чехлов А.Р. О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 85 - 99.
2. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78 - 84.
3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.
4. Пунинский Г.Е., Туганбаев А.А. Кольца и модули. М.: Союз, 1998.
5. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520 - 539.
6. Чехлов А.Р. О некоторых классах абелевых групп // Абелевы группы и модули. Томск, 1984. С. 137 - 152.
7. Чехлов А.Р. Квазисервантно инъективные абелевы группы без кручения // Матем. заметки. 1989. Т. 46. № 3. С. 93 - 99.
8. 8.Чехлов А.Р. Связные квазисервантно инъективные абелевы группы // Изв. вузов. Математика. 1989. № 10. С. 84 - 87.
9. Чехлов А.Р. Вполне транзитивные группы конечного p-ранга // Алгебра и логика. 2001. Т. 40. № 6. С. 698 - 715.
10. Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с большим числом эндоморфизмов // Труды Института математики и механики. 2001. Т. 7. № 2. С. 194 - 207.
11. Чехлов А.Р. О прямых произведениях и прямых суммах абелевых QCPI-групп без кручения // Изв. вузов. Математика. 1990. № 4. С. 58 - 67.
12. Чехлов А.Р. Об абелевых CS-группах без кручения // Изв. вузов. Математика. 1990. № 3. С. 84 - 87.
13. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. С. 944 - 949.
14. Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714 - 719.
15. Чехлов А.Р. О квазиполных смешанных группах // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. № 4. С. 1215 - 1224.
16. Чехлов А.Р. О слабо квазисервантно инъективных группах // Матем. заметки. 2007. Т. 81. № 3. С. 434 - 447.
17. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1979. Т. 2.
18. Чехлов А.Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76 - 82.
19. Чехлов А.Р. О подгруппах абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Фундамент. и прикл. матем. 2008. Т. 14. № 6. С. 211 - 218.
20. Чехлов А.Р. О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 31 - 36.
21. Чехлов А.Р. Сепарабельные и векторные группы, проективно инвариантные подгруппы которых вполне инвариантны // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50. № 4. С. 942 - 953.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 22.12.2009 г.
