CC BY
31
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика и механика № 1(17)
УДК 512.541+512.552
А.Р. Чехлов
Е-ЭНГЕЛЕВЫ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ СТУПЕНИ < 2
Доказано, что периодичность группы автоморфизмов или слабая транзитивность E-энгелевой группы без кручения ступени < 2 влечет коммутативность ее кольца эндоморфизмов. Установлены некоторые свойства энгелева кольца ступени 2. Показано также, что кольцо эндоморфизмов слабо транзитивной группы без кручения является полупервичным.
Ключевые слова: коммутатор эндоморфизмов, первичный радикал, нильрадикал, E-разрешимая группа, слабо транзитивная группа без кручения.
Все группы в статье - абелевы. Через E(A) обозначается кольцо эндоморфизмов группы A, а через 1А - ее тождественный автоморфизм, Ap - p-компонента, T(A) - периодическая часть. Если А - группа без кручения, то Ха(°) - характеристика ее элемента а, индекс A иногда убирается. Z „ - квазициклическая р-
группа, Q - аддитивная группа рациональных чисел. Напомним, что если R -кольцо и a,b е R, то элемент [a,b] = ab - ba называется коммутатором элементов а и b.
Если a1,.,an е R, то положим по индукции [ab...,an] = [[ab...,an _ 1],a„]. Кольцо называется нормальным, если все его идемпотенты центральны. Через Z(R) обозначается центр кольца R.
Подгруппу H группы A назовем коммутаторно инвариантной (обозначение H < ci A), если [cp,y]H с H для всех ф,у е E(A). Через H < fi A будем обозначать вполне инвариантную подгруппу H группы A, т.е. фH с H для всех ф е E(A).
Группу A назовем E-нильпотентной ступени < n, если [ab...,an + 1] = 0 для любых a¿ е E(A), i = 1,...,n + 1; а если [a2n - 1,a2n].[a1,a2] = 0 для любых ai е E(A),
i =1,.,2п, то - E-разрешимой ступени < п.
Группу A будем называть E-нильпотентной, если для любой последовательности ai е E(A), i = 1,2,., найдется такое п, что [a1,.,an] = 0.
Кольцо R называется энгелевым ступени < n, если [b,a...,a] = 0 для любых
n
b,a е R. Группу A с энгелевым кольцом E(A) ступени < n, назовем E-энгелевой ступени < n. Если равенство [b,а,a] = 0 выполняется для любых b,a е R, где n
n
зависит от a и b, то кольцо R будем называть энгелевым, а группу с таким кольцом эндоморфизмов E-энгелевой.
E-нильпотентные и близкие к ним группы изучались в [1 - 4]. Так, в [2, предложение 1.2] показано, что E-энгелевы группы имеют нормальное кольцо эндоморфизмов. В таких группах все прямые слагаемые вполне инвариантны. Поэтому несложно показать, что делимая группа D = T(D)®D0 имеет нормальное кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда, когда либо T(D) = 0, а D0 = Q, либо D0 = 0, а Dp = Z „ для каждого p с условием Dp Ф 0. Нередуцированная группа A = D®B с
делимой частью D имеет нормальное кольцо эндоморфизмов тогда и только то-
гда, когда В - периодическая группа, каждая /»-компонента которой является циклической группой, а D = Q, либо D - периодическая группа, каждая ненулевая р-компонента которой изоморфна квазициклической р-группе, причем Вр = 0 при Dp Ф 0 ([1, абзац после предложения 2]). Кольца эндоморфизмов таких групп D и A будут коммутативными. Поэтому в дальнейшем можно считать, что все группы редуцированные. В [4, 1-й и 2-й абзацы после примера 4] показано также, что всякая E-энгелева группа ступени < 2 является E-нильпотентной класса < 2. Однако существуют E-энгелевы группы, не являющиеся E-нильпотентными. Приведем соответствующий пример.
Пример. Пусть S - счетное коммутативное кольцо с 1, аддитивная группа которого является редуцированной группой без кручения, содержащее ниль-идеал I, не являющийся нильпотентным. В качестве S можно взять, например, фактор-кольцо Z[xb...,xm,...]/,/ кольца многочленов над Z от переменных xb...,xm,... по идеалу J, порожденному элементами ,x2;n,...,x™,..., где n - фиксированное натуральное число. Поскольку xx1 - zz1 е I при x - z, x1 - z1 e I, то множество матриц
K = {0 { I x, У, z е S, x - z е I}
образует счетное кольцо с 1. Коммутатор любых двух элементов из K имеет вид a = ^ 0 0j для некоторого и е S. Если теперь b = ^0 е K, то
[a,b] = ^Ц 0(Z0 x)j. Поэтому [a,b,...,b] Ф 0, где m - индекс нильпотентности
m
элемента z - x. Поскольку идеал I не является нильпотентным, то при и Ф 0 для каждого t е N найдутся такие bb...,bt е K, что [a,b1,.,bt] Ф 0. Согласно теореме Корнера [5, теорема 110.1], существует группа A с кольцом эндоморфизмов, изоморфным K; A является E-разрешимой (класса 2) и E-энгелевой группой, но не является E-нильпотентной.
Определим по индукции A(0) = A и A(n + :) = ([ф,у]А(п) | ф,у е E(A)). Как отмечалось в [2], все A(n) вполне инвариантны в A. Ясно, что группа A E-разрешима ступени < n тогда и только тогда, когда A(n) = 0. Если A(n) = 0, но A(n - 1 Ф 0, то группу A будем называть E-разрешимой ступени п.
Пусть A - E-разрешимая группа без кручения ступени п > 2 и А - стабилизатор цепочки
A зA(1) з ... з A(n- ^ з 0, т.е. А = {а е Aut A | aa - a е A(l) для всех a е A(l - 1 и i = 1,...,п}. Поскольку A(i) < fi A, то А - нормальная подгруппа в Aut A [5, § 114]. Об автоморфизмах абелевых групп см. [5, глава XVI; 6 - 8] и др.
1. А является нильпотентной группой без кручения ступени < п. Причем если а е А, то а = 1 - п, где пп = 0.
Допустим, что ß е А - элемент конечного порядка к > 1 и пусть r < п - 1 - такое максимальное натуральное число, что а индуцирует на A(n - i) тождественный автоморфизм при i = 1,...,r. Тогда ßa = a + b для некоторых a е A(n - r - :) \A(n - r) и 0 Ф b е A(n - r). Откуда a = ßka = a + kb и, значит, kb = 0, что противоречит бесконечному порядку элемента b.
Для каждого m = 0,1,.,п пусть Ат = {а е А | а индуцирует тождественное отображение на A/A(m)}. Тогда А0 = А, Ап =1 и Ат является собственной нормальной
подгруппой в АШ А для остальных т. Пусть а,в е Дт. Тогда для а е А имеем аа = а + и и ва = а + V для некоторых иу е А(т). Если теперь ви = и + и' и аv = V + V1, где и'у' е А(т + :), то ава = а + и + V + V1, ваа = а + V + и + и'. Следовательно, (ав - ва)а е А(т + ^ т.е. Дт / Дт + 1 - коммутативная группа.
Пусть п = 1 - а. Тогда п(А(п - 1)) = • •• = П(А(п - г)) = 0 для некоторого максимального г, где 1 < г < п - 1. Имеем п(А(и - г - 1)) с А(п “ г). Откуда п2(А(п - г - 1)) = 0. По индукции п” - г + 1 = 0.
2. Если А - Е-нильпотентная группа ступени < 2, то кег а и т а < С А для любого а е Е(А).
Действительно, из [5,у,а] = [5,у]а - а[5,у] = 0 следует, что а[5,у]кег а = 0 и [5,у]1ш а с т а.
Следующее свойство проверяется непосредственно.
чт- 2 , ! гго п т |2п [Р, а] при п = 2т,
3. Если а = ± 1А, то [[Р,а],а,...,а] = <! .
'—”—* 12” [Р, а]а при п = 2т +1.
Следовательно, если А - такая Е-энгелева группа, что А2 = 0, то а е 2(Е(А)) для каждого а со свойством а2 = ± 1А.
4. Пусть А - такая Е-энгелева группа ступени < 2, что А2 = 0 и а2 = 0 для некоторого а е Е(А). Тогда ава = 0 для любого в е Е(А), в частности, кег а < А А.
Вытекает из равенства [в,а,а] = ва2 + а2в - 2ава = 0.
5. [Р,а,...,а] = Ра”-^1 ^арап-1 +... + (1)п-1 ^ П1^ап-1ра + (-1)”апр для лю-
п
бых а,ве Е(А), где Г” 1 = С"! =------—-----.
Vт) т!(п - т)!
Доказывается индукцией по п.
6. Для элементов а,Ь кольца Я равносильны условия:
а) [Ь,а,а] = 0;
б) [Ь,ат,ап] = 0 для любых т,п е К;
в) 2апЬап = а2пЬ + Ьа2п для любого п е N.
а) == б). Если [Ь,а,а] = 0, то [Ь,а,ат] = 0 для любого т е N. Поэтому из 0 = [Ь,а,ат] = [Ь,ат,а] следует, что [Ь,ат,ап] = 0. в) получается из б) при т = п, а б) вытекает из в) при п = 1.
Отметим также следующие простые свойства. Если [Ь,а,а] = 0 для элементов а,Ь кольца Я с 1, то равенство аЬ = 1 влечет Ьа = 1. Действительно, [Ь,а,а] = = Ьа2 - 2аЬа + а2Ь = 0 влечет а = Ьа2, откуда (1 - Ьа)а = 0 и, значит, Ьа = 1. Аналогично показывается, что равенства [Ь,а,а] = 0 и Ьа = 1 влекут аЬ = 1. Пусть а и Ь -такие элементы кольца, что аЬ = 0. Тогда равенство [Ь,а,а] = 0 эквивалентно равенству Ьа2 = 0, а равенство [а,Ь,Ь] = 0 эквивалентно равенству Ь2 а = 0.
7. Пусть Я - такое энгелево кольцо с 1 ступени < 2, что его аддитивная группа не имеет элементов порядка 2. Тогда [а,Ь]2 = 0 для любых а,Ь е Я.
Имеем [а,аЬ,аЬ] = а((аЬ)2 - 2Ьа2Ь + (Ьа)2) = 0. Далее ((а - 1)Ь)2 - 2Ь(а - 1)2Ь + (Ь(а - 1))2 = ((аЬ)2 - 2Ьа2Ь + (Ьа)2) - (аЬ2 - 2ЬаЬ + Ь2а).
Здесь аЬ2 - 2ЬаЬ + Ь2а = [а,Ь,Ь] = 0. Поэтому из
[а - 1,(а - 1)Ь,(а - 1)Ь] = (а - 1)(((а - 1)Ь)2 - 2Ь(а - 1)2Ь + (Ь(а - 1))2) =
= а((аЬ)2 - 2Ьа2Ь + (Ьа)2) - ((аЬ)2 - 2Ьа2Ь + (Ьа)2) =
= [а,аЬ,аЬ] - ((аЬ)2 - 2Ьа2Ь + (Ьа)2) = 0
ООО ООО
следует, что (ab) - 2ba b + (ba) = 0. Аналогично (ba) - 2ab a + (ab) = 0. Из последних двух равенств получаем ba2b = ab2a и, значит,
[a,b]2 = (ab)2 - 2ba2b + (ba)2 = 0.
8. Если A - E-энгелева группа без кручения ступени < 2, то Ра2™ + 1 - a2m + ^ = = (2m + 1)am(Pa - ав)а™ для каждого m е N и любых а,Р е E(A).
Индукцией по m. Если m = 1, то из свойства 5 при n = 3 получаем Ра3 - а3р = = 3а(Ра - Ра)а. Далее, учитывая равенство 2аРа = Ра2 + а2р и перестановочность [Р,а] с а, имеем
Pa2m+3 - a2m+3р = (2m + 1)am(Pa - aP)am + 2 + a2m + 1ра2 - a2m + 3р =
= (2m + 1)am+1(Ра - aP)am + 1 + a2m+1(Ра2 - а2р) =
= (2m + 1)am+1(Ра - aP)am + 1 + a2m+1(2apa - 2a2p) =
= (2m + 3)am + 1 (Pa - aP)am + 1.
9. Пусть A - E-энгелева группа без кручения ступени < 2 и а е Aut A. Тогда если an е Z(E(A)) для некоторого n е N, то а е Z(E(A)). В частности, периодическая часть группы Aut A не только является подгруппой в Aut A, но и содержится в Z(E(A)).
Пусть n = 2m. Имеем [P,am,am] = Pa2m + a2mp - 2ampam = 0. Следовательно, 2am(amp - Pam) = 0. Откуда amp - Pam = 0 и, значит, am е Z(E(A)). Для завершения доказательства можно воспользоваться свойством 8. Приведем также следующее доказательство. С учетом вышеприведенного замечания с четным показателем, доказываемое свойство достаточно проверить для всех простых чисел р, где p > 2. Из
[P,a,ap - 1] = Рар - арар - 1 - ар - 1ра + арр = 0 и ар е Z(E(A))
получаем
2рар = арар - 1 + ар - 1ра или 2рар - 1 = арар - 2 + ар - 1р.
Покажем, что для каждого к = 2,...,р справедлива формула
квар - 1 = ак - 1рар - к + (к - 1)ар - 1р (2)
индукцией по к. Пусть 2 < к < р. Имеем
2крар - 1 = ак - 2(2ара)ар - (к + 1) + 2(к - 1)ар - 1р =
= ак - 2(а2р + ра2)ар - (к+1) + 2(к - 1)ар - 1р = акрар - (к+1) + ак - 2рар - (к-1) + 2(к - 1)ар - 1р = = акрар - (к+1) + ((к - 1)Рар - 1 - (к - 2)ар - 1р) + 2(к - 1)ар - 1р.
Сравнивая левую и правую части, получаем требуемое равенство (к + 1)Рар - 1 = = акрар - (к + 1) + кар - 1р. При к = р из (2) имеем Рар - 1 = ар - 1р. Таким образом, ар е Z(E(A)) и ар - 1 е Z(E(A)). Из взаимной простоты чисел р и р - 1 следует, что a е Z(E(A)).
10. Пусть R - энгелево кольцо ступени < 2, его аддитивная группа R+ является группой без кручения и an = 0 для некоторых a е R и n > 2. Тогда asban-s = 0 для любого b е R и каждого s = 1,.,n - 1.
При n = 2 справедливость утверждения следует из равенства 2aba = ba2 + a2b. Если n = 3, то из того же равенства получаем 2a2ba = aba2 и 2aba2 = a2ba. Значит, aba2 = a2ba = 0. Пусть n > 3. Имеем
[ba,a,an - s] = ban - 1 - aban - 2 - an - 3ba2 + an - 2ba =
=ban - 1 - aban - 2 - an - 3(2aba - a2b) + an - 2ba = 0.
Следовательно, ban - 1 - aba” - 2 - an - 2ba + an - 1b = 0.
Умножая справа обе части на a, получаем - aban 1 - an 2ba2 + an lba = 0. Отсюда aban - 1 - an - 2(2aba - a2b) + an - 1ba = - aban - 1 - an - 1ba = 0 или aba” - 1 = - an - 1ba. (3)
Из 2aba = ba2 + a2b получаем 2an - 1ba = an - 2ba2. Покажем, что для любого k = 1,... ,n - 1 справедлива формула
kan - 1 ba = an - kbak. (4)
При к = 2 справедливость ее уже установлена. А далее имеем
2kan - 1ba = an - k - 1(2aba)bak - 1 = an - k - 1(ba2 + a2b)bak - 1 =
= an - k - 1bak + 1 + an - (k - 1)bak - 1 = an - k - 1bak + 1 + (k - 1)an - 1ba.
Откуда следует справедливость искомой формулы (k + 1)an - 1ba = an - (k + 1)bak + 1. В частности, при k = n - 1 имеем (n - 1)an - 1ba = aban 1 . Теперь из (3) следует (n - 1)an - 1ba = - an - 1ba, т.е. nan - 1ba = 0. Истинность доказываемого утверждения вытекает из (4).
Напомним, что группа без кручения A называется слабо транзитивной, если для любых ее элементов a,b со свойством x(a) = x(b) существует такой a е E(A), что aa = b. Слабо транзитивные группы изучались в [9, 10].
11. а) [10, лемма 1]. Пусть A - редуцированная группа без кручения, a е E(A) и
0 Ф b е ker a. Тогда, если hp(b) > hp(aa), то hp(b + a) = hp(a).
б) Если A - редуцированная слабо транзитивная группа без кручения, то для каждого 0 Ф a е E(A) найдется в е E(A) со свойством apa Ф 0. В частности, кольцо E(A) полупервично.
в) Пусть R - энгелево кольцо. Тогда периодическая часть T(M) всякого левого модуля M над R является подмодулем в M, причем M / T(M) - модуль без кручения, т.е. T(M/ T(M)) = 0. Кроме того, T(M) - сингулярный подмодуль вM.
Доказательство. б) Допустим, что aE(A)a = 0. В частности, a2 = 0. Если aa Ф 0 для некоторого a е A, то в силу редуцированности группы A найдется такое простое число р, что aa имеет конечную p-высоту n = hp(aa); причем можно считать, что hp(a) = 0. Так как aa е ker a, то по свойству а) %(p2n + 1a + aa) = x(pna). Если теперь P(p2n + 1a + aa) = pna для p е E(A), то p2n + 1apa = pnaa, что противоречит равенству hp(pnaa) = 2n.
в) Из [г, /,..., t ] = 0 имеем
n
^-»n-1
tnr = (-1)n - 1(rtn - cntrtn - 1 + _ + (-1)n - 1 Cn tn - 1rt), (5)
n!
где, как и ранее, Ст =-------:----.
m!(n - да)!
Пусть t е R - неделитель нуля, ty = 0 для y е M и 0 Ф гу для некоторого г е R. Тогда из (5) имеем fry = 0, т.е. гу е T(M). Если же г е R - неделитель нуля и гх = 0, то tVx = 0, а из (5) tVy = 0, т.е. x - у е T(M). Если же г - произвольный ненулевой элемент из R, то (5) влечет, что 0 Ф Гг е R^Annу, этого достаточно для сингулярности T(M).
12. Пусть R - энгелево кольцо ступени < 2 и группа R+ не имеет элементов порядка 2. Тогда каждый нильпотентный элемент кольца R является строго ниль-потентным. В частности, первичный радикал кольца R совпадает с нильрадикалом.
Пусть an = 0 и {ak | k = 0,1,...} - такая последовательность элементов кольца R, что a0 = a и ak + 1 e akRak . Ввиду равенства 2xyx = yx2 + x2y элемент 2kak предста-
2k
вим в виде конечной суммы, каждое слагаемое которой содержит множитель a . Поэтому as = 0 для всех s, где 2s > n. Это и означает строгую нильпотентность элемента a. Первичный радикал содержится в ниль-радикале, а поскольку каждый нильпотентный элемент является строго нильпотентным, то отсюда следует обратное включение (так как первичный радикал совпадает с множеством всех строго нильпотентных элементов).
Отметим также следующие простые свойства.
13. Энгелево кольцо удовлетворяет как правому, так и левому условию Оре.
Действительно, если a - регулярный его элемент (т.е. неделитель нуля), b e R
и [b, a,. ,.,a] = 0, то b(an) = a(C1nban-1 -... - (-1)nan-1b). Аналогично
n
((-1)n-1 an )b = (ban-1 - Clnaban-2 + ... + (-1)n-1 an-1b)a .
14. В энгелевом кольце R каждый регулярный справа его элемент a является регулярным. В частности, если 1 e R, то R - конечное по Дедекинду кольцо, т.е. равенство xy = 1 влечет yx = 1 (см. замечание после свойства 6). Аналогично, каждый регулярный слева элемент кольца R является регулярным.
Доказательство. Допустим, что ca = 0 для c e R. Тогда для некоторого n имеем [c,a,.,.,a] = (-1)nanc = 0 . Откуда c = 0. Если xy = 1, то по доказанному правая
n
регулярность элемента y влечет его регулярность. А так как (1 - yx)y = 0, то
1 - yx = 0, т.е. yx = 1.
15. Если a - нильпотентный элемент энгелева кольца R с 1 ступени < 2, аддитивная группа R+ не имеет элементов порядка 2, то Ra, aR и RaR - нильпотент-ные идеалы, причем при n = 2m или n = 2m + 1 эти идеалы имеют индекс нильпотентности n.
Теорема. Пусть A - редуцированная E-энгелева группа без кручения ступени < 2. Тогда слабая транзитивность группы A или периодичность группы AutA влечет коммутативность кольца E(A).
Доказательство. Группа без кручения с периодической группой автоморфизмов AutA не имеет ненулевых нильпотентных эндоморфизмов [5, § 116, свойство а)], поэтому в этом случае теорема вытекает из свойства 7. Оставшееся утверждение следует из свойств 4, 7 и 11.
Некоторые полученные результаты можно перенести на модули, так в [11] изучались E-разрешимые модули, а в [12] исследовались нильгруппы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и
логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520-539.
2. Чехлов А.Р. E-нильпотентные и E-разрешимые абелевы группы класса 2 // Вестник
Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1(9).
С. 59-71.
3. Чехлов А.Р. О коммутаторно инвариантных подгруппах абелевых групп // Сиб. матем.
журн. 2010. Т. 51. № 5. С. 1163-1174.
4. Чехлов А.Р. Некоторые примеры E-разрешимых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 69-76.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974; Т. 2. М.: Мир, 1977.
6. Беккер И.Х., Кожухов С.Ф. Автоморфизмы абелевых групп без кручения. Томск, 1988.
7. Хухро Е.И. О р-группах автоморфизмов абелевых р-групп // Алгебра и логика. 2000. Т. 39. № 3. С. 359-371.
8. Журтов А.Х. О квадратичных автоморфизмах абелевых групп // Алгебра и логика. 2000. Т. 39. № 3. С. 320-328.
9. Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения. 2 // Абелевы группы и модули. 1985. № 5. С. 31-41.
10. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. С. 944-949.
11. Чехлов А.Р. E-разрешимые модули // Фундамент. и прикл. матем. 2010. Т. 16. № 7. С. 221-236.
12. Чехлов А.Р. О некоторых классах нильгрупп // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 2. С. 297-304.
Статья принята в печать 03.11.2011 г.
Chekhlov A.R. E-ENGELIAN ABELIAN GROUPS OF STEP < 2. It is proved that periodicity of the automorphism group or weak transitivity of an E-engelian torsion free group of step < 2 implies commutativity of its endomorphism ring. Some properties of the engelian ring of step 2 are established. It is also shown that the endomorphism ring of a weakly transitive torsion free group is semiprime.
Keywords: commutator of endomorphisms, prime radical, nil radical, E-solvable group, weakly transitive torsion free group.
CHEKHLOV Andrey Rostislavovich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
