CC BY
38
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 3(11)
УДК 512.541+512.553
А.Р. Чехлов
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ Е-РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП1
Приведены различные примеры Е-нильпотентных и Е-разрешимых абелевых групп.
Ключевые слова: кольцо эндоморфизмов, полугрупповое кольцо, комму-таторно инвариантная подгруппа, Е-нильпотентная группа, Е-энгелева группа.
Все группы в статье предполагаются абелевыми, кольца - ассоциативными. Пусть А - группа. Тогда Е(А) обозначает кольцо ее эндоморфизмов. N - множество всех натуральных чисел, Z - аддитивная группа (или кольцо) целых чисел. 1(Я) - центр кольца Я. Подгруппа О группы А называется чистой (или сервант-
ной), если ОПиА = пО для каждого и є N инвариантной, если /О є О для каждого автоморфизма/группы А.
Напомним, что если Я - кольцо и а,Ь є Я, то элемент [а,Ь] = аЬ - Ьа называется коммутатором элементов а и Ь. Если аь...,аи є Я, то положим по индукции [аь...,аи] = [[аь...,аи-і],аи].
Подгруппу Н группы А назовем коммутаторно инвариантной (обозначение Н < кі А), если [ф,у]Н с Н для всех ф,у є Е(А). Коммутаторно инвариантные подгруппы изучались в [1 - 4].
Группу А назовем Е-нильпотентной класса п, если [а1,.,ап+1] = 0, эквивалентно [аь...,аи] є 2(Е(А)), для любых а,- є Е(А), і = 1,...,и+1, и [рь...,ри] Ф 0 для некоторых р, є Е(А), у = 1,...,и.
Группу назовем Е-энгелевой, класса < и, если [а,р, . ..,Р] = 0 для любых ее эни
доморфизмов а,р.
Напомним, что кольцо называется нормальным, если все его идемпотенты центральны.
Предложение 1 [4, предложение 1.2]. В Е-энгелевой группе А все ее прямые слагаемые вполне инвариантны. В частности, кольцо Е(А) нормальное.
Группы с нормальным кольцом эндоморфизмов изучались в [4].
Свойства аддитивной группы Я+ кольца Я приписываются самому кольцу. Так, кольцо Я называется редуцированным, если редуцирована группа Я+.
Для удобства ссылок приведем следующий результат.
Теорема 2 (теорема Корнера [5, теорема 110.1]). Всякое счетное редуцированное кольцо без кручения с единицей изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторой счетной редуцированной группы без кручения.
Как хорошо известно, коммутатор [х,у] является билинейной знакопеременной функцией от х,у; справедливы тождества Якоби [[х,у],г] + [[у,г],х] + [[г,х],у] = 0 и [х,^]] + [у,[г,х]] + [г,[х,у]] = 0, а также
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.
1. [a,b,c,d] + [b,a,d,c] + [c,d,a,b] + [d,c,b,a] = 0.
Ряд других свойств приведены в [1 - 4]. Отметим еще
2. [хь... ,хи-1 ,xn] = [[xi,_,x„-2]x„-i ,xj - [хи-1 [xi,_,x„-2],x„]; 3. [xi,...,- x„.. ,,xj = -[xb...,x,-,...,xn];
4. [[a,b],[c,d]] = [a,b,c,d] + [b,a,d,c].
В частности, [[c,d],[a,b]] = [c,d,a,b] + [d,c,b,a]. Из последних двух равенств получается свойство 1. Кроме того, из 4 следует, что у E-нильпотентной группы класса < 3 перестановочны любые два коммутатора ее эндоморфизмов.
5. [[a,b,c,d]] = [[a,b]c,d] - [c[a,b],d].
В 6 предполагается, что xt - любые элементы кольца R.
6. Для кольца R с единицей следующие условия эквивалентны:
а) [xb...,x„_i] е Z(R);
б) [xb...,x„-2,x„_i,x„] = [x„,x„-b[xb...,x„-2]];
в) [[xi,.,x„-2]x„-i,x„] = [x„-i[xb...,x„-2],x„];
г) [[xi,.,x„_i ]x„,x„+i ] = [xi,.,x„-i ][x„,x„+i ].
Доказательство. а) ^ б). Обозначим a = [xb...,xn-2], тогда в силу тождества Якоби
[a,x„_i,x„] + [x„_i,x„,a] + [x„,a,x„_i] = 0.
Здесь [a,xn-1,xn] = 0 и [xn,a,xn-1] = - [a,xn,xn-1] = 0. Значит, [xn-1,xn,a] = 0, т.е. выполнено б). Эквивалентность а) и в) вытекает из свойства 2 коммутаторов.
а) ^ г). Если a = [xb...,x„_i], то [ax„,x„+i] = ax„x„+i - x„+iax„ = a[x„,x„+i].
При xn = 1 в г) получаем [x1,.,xn-1,xn+1] = 0, т.е. г) ^ а).
б) ^ а). Обозначим a = [x1,.,xn-2]. Из [a,xn-1,xn] = [xn,xn_1,a] после сокращения получаем
xn-ixna + axx-i - xn-iaxn - xnaxn-i = 0 или [xn-i,[x№a]] = 0, что в силу произвольности элементов влечет а).
Из п. г) свойства 6 следует, что кольцо R с единицей удовлетворяет тождествам [x1,x2][x3,x4] = 0 и [x1,x2,x3] = 0 тогда и только тогда, когда c[a,b] е Z(R) для любых a,b,c е R.
7. Если кольцо R с единицей удовлетворяет тождеству [x1,x2,x3] = 0, то [a,b][c,d] = [a,d][b,c] = [a,c][d,b] для любых a,b,c,d е R. В частности, если b перестановочен с a или c, то [a,c][b,d] = 0. Поэтому если кольцо R не содержит ненулевых нильпотентных элементов, то оно коммутативно.
Доказательство. Действительно из 6, п. г) имеем [a,b][c,d] = [[a,b]c,d] = = [a[b,c] + [ac,b],d] = [[b,c]a,d] = [b,c][a,d]. Оставшиеся утверждения доказываются аналогично.
8. Пусть R - кольцо и [a,b] е Z(R) для некоторых a,b е R. Тогда множество Na,b = {c е R | c[a,b] е Z(R)} является подкольцом в R, содержащим Z(R). Кроме того, если x,_y е Na,b, то R[x,y]R с Na,b.
Доказательство. Пусть c,d е Na,b. Допустим, что cd[a,b] g Z(R). Тогда [cd[a,b],x] Ф 0 для некоторого x е R. Так как [a,b] е Z(R), то [cd[a,b],x] = [a,b][cd,x]. Имеем
xcd[a,b] = x(d[a,b])c = ([a,b]c)xd = cxd[a,b].
Откуда [cd,x][a,b] = (cdx- cxd)[a,b] = c[d,x][a,b].
Но [a,b][d,x] = [[a,b]d,x] = 0 в силу условия [a,b]d е Z(R). Противоречие. Аналогично показывается, что [x,s] е Na,b для любых s е R и x е Na,b, т.е. Na,b является идеалом Z-алгебры Ли, ассоциированной с R. Пусть теперь x,y е Na,b.
Если г,' е R, то
[х,у]' = (ху - ух)' = x(ys) - (у')х - у(х' - sx) = [x,ys] - у[х,'], т.е. [x,y]R с Откуда следует, что
г[х,у]' = [х,у]'г + г[х,у]' - [х,у]'г = [х,у]'г + [г,[х,у]'] е [х,у^ + [R,Na,b] с ^,Ь.
Е-центром группы А назовем следующую ее подгруппу:
К(А) = {а е А | [ф,у]а = 0 для всех ф,у е ДА)}.
Подгруппу А' = ([ф,у]А | ф,у е Е(А)) назовем Е-коммутантом группы А. Ясно, что коммутативность Е(А) эквивалентна любому из равенств К(А) = А, А' = 0. Если а е А, то через [ф,у]а обозначим коммутатор элемента а.
Очевидно, что если Н < к А и НПА = 0, то Н с К(А). Поэтому если Н - минимальная кьподгруппа, то Н с А' или Н с К(А). В частности, если А порождается минимальными кьподгруппами, то А = А' + К(А).
Определим по индукции А(0) = А, А(1) = А',..., А(п+1) = (А(п))' и А(а) = Пр<„А(р) при предельном ординале а.
Группу А назовем Е-разрешимой, если А(п) = 0 для некоторого п е N. Такое наименьшее п назовем классом Е-разрешимости группы А. Прямые слагаемые Е-разрешимой группы являются Е-разрешимыми группами.
Различные свойства и описание Е-центров и Е-коммутантов групп из ряда классов получены в [1 - 4].
Пример 1. Пусть X = {а,Ь} - полугруппа левых нулей, т.е. ху = х для всех
х,у е X. Присоединим к X единицу 1 и нуль 0, £ = Хи{0,1} и рассмотрим на £ целочисленное полугрупповое кольцо К. Элементами К служат всевозможные конечные суммы вида а = п-1 + ш-а + '•Ь + м-0, где п,т,',и е Z. Если в = к-1 + ¡-а + гЬ + у0, то [а,в] = (тг - ¡')(а - Ь). Поэтому [а,в] ф 0 при тг ф ¡'. Если [у,5] = /(а - Ь), то [у,5][а,Р] = /(тг - ¡')(а - Ь)2 = 0. По теореме Корнера (теорема 2) существует группа без кручения А, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно К, А является Е-разрешимой группой класса 2. Далее, [аД...,р]= (тг - ¡')(г + ¡)(а - Ь) ф 0 при
г ф - ¡, тг ф ¡', поэтому А не является Е-энгелевой.
Е-центр группы без кручения - чистая подгруппа, а Е-коммутант может не быть чистой подгруппой.
Пример 2. Пусть п > 1 - натуральное число и К - кольцо всех матриц вида
С а 0 0
пЬ
а
0
, где а,Ь,с,ё е Z.
* 2 ^ С 0 0 п(Ь/ - уё) ^
Если р = 0 х , то ар-ра = 0 0 0 е К (К). По теореме
0 0 Х V 10 0 0 V
Корнера существует группа без кручения, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно К; эта группа Е-нильпотентна класса 2, коммутант которой не является чистой подгруппой.
Легко привести примеры, когда подгруппы и факторгруппы Е-нильпотентной группы не являются Е-нильпотентными. Так, пусть А = В®С, где В и С - вполне инвариантные подгруппы с коммутативными кольцами эндоморфизмов группы без кручения А и рВ ф В, рС ф С. Кольцо Е(А) также коммутативно, поэтому А - Е-
п
нильпотентная группа. Однако для любых 0 ф b e B и 0 ф c e C подгруппа (Ь)®(е) и фактор-группа A/pA = (B/pB)®(C/pC), как это следует из предложения 1, не являются E-нильпотентными.
Пример 3. Пусть K = T2(Z) - кольцо целочисленных треугольных матриц порядка 2. Коммутатор любых двух матриц из K имеет вид a = f0 0 j для некоторого и e Z. Поэтому произведение любых двух коммутаторов есть 0 кольца K. Согласно теореме Корнера, существуют группы A с кольцом эндоморфизмов K,
эти группы будут E-разрешимыми группами класса 2. Если b = I x У le K, где
^0 z )
f 0 и( z — x) j
x ф z, то ab — ba = 1 о о I. Откуда [a,Ь,...,Ь] Ф 0 для любого n, т.е. A не бу-
п
дут E-энгелевыми.
Отметим, что для каждого п существуют E-разрешимые группы класса п, не являющиеся E-нильпотентными.
Пример 4. Пусть Z[i] = {m + ki | m,k e Z} - кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим кольцо (Z[i])[x, ], состоящее из многочленов от x с коэффициентами из Z[i], для которых выполняется равенство xa = ax, где а - комплексное число из Z[i], сопряженное к a. Пусть теперь Kn = (Z[i])[x, ]/(xn), где (xn) - идеал, порожденный xn. Тогда [f,g] = fg-gf e xKn для любых f,g e Kn. Поэтому [/2n-i, fn]...
— [/1,/2] = 0 для всех f e Kn при i = 1,.. ,,2n. Аддитивная группа кольца Kn является счетной редуцированной группой без кручения. Как и в примере 2 в качестве A можно взять группу, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно Kn. Поскольку, например, [ x, i,..., i] = (—2i)n x Ф 0, то A не является E-энгелевой. Если рассмотреть
n
подкольцо в Kn, состоящее из многочленов f (x) = a0xm + ... + am со свободным коэффициентом am e Z, то группа с соответствующим кольцом эндоморфизмов будет E-нильпотентной.
Пусть R - кольцо со свойством [x,y,y] = 0 для любых x,y e R. Тогда
0 = [x,y+z,y+z] = [x,y,z] + [x,z,y]. Согласно тождеству Якоби, [x,z,y] = [x,y,z] + [y,z,x]. Откуда 2[x,y,z] + [y,z,x] = 0. Из 0 = [y,z+x,z+x] = [y,z,x]+[y,x,z] получаем [y,z,x] = = - [y,x,z] = [x,y,z]. Поэтому 3[x,y,z] = 0. Аналогичным образом, используя свойство 1 и уже доказанное равенство 3[x,y,z] = 0, можно показать, что [x,y,z,/] = 0 для любых x,y,z,t e R.
Как и для абелевых групп, можно определить E-разрешимые, E-нильпо-тентные и E-энгелевы модули. Из вышеприведенных рассуждений следует, что всякий E-энгелев модуль M класса < 2 является E-нильпотентным класса < 3, а если для каждого m e M из 3m = 0 следует m = 0, то и E-нильпотентным класса < 2. Если же M - абелева группа и M имеет ненулевую 3-компоненту, то M = B®C, где B - неразложимая 3-группа и E(B) - коммутативное кольцо. Из предложения 1 следует, что C не имеет элементов порядка 3. Поэтому в силу вышесказанного всякая E-энгелева группа класса < 2 является E-нильпотентной класса < 2.
Если H < ki A и R = E(A), то положим ZR(A/H) = {a e A/H | [a,P]a = 0 для всех a,P e R}. Ясно, что если A' ç B < A, то B < ki A.
Если H ç A, то через NR(H) = {a e A | [a,P]a e H для всех a,P e R} обозначим E-нормализатор подмножества H в группе A. Индекс R иногда будем опускать.
Инвариантность подгруппы Н влечет инвариантность ЩИ). Ясно, что Н = Щ(Н) для Н < А в точности тогда, когда Н < к, А и А/Н - коммутаторно точная факторгруппа, т.е. для любого 0 Ф а = а + Н е А/Н найдутся ф,у е Е(А) со свойством [ф,у] а Ф 0 (факт, отмеченный в [1]). Отсюда несложно вывести, что для прямого слагаемого Н выполняется равенство Н = Щ(Н) тогда и только тогда, когда Н вполне инвариантно и Z(C) = 0 для каждого (эквивалентно - для некоторого в силу их изоморфизма) дополнительного прямого слагаемого С.
Ряд А, сА,+1 с ... сА+п с ... подгрупп А, (/ е I) группы А назовем Е-цен-тральным, если А, < к, А и А,+1/А,- с ZR(AA) (эквивалентно, А,+1 с ЩР;(А1)) для всех
I е I. Если же А,■ < к1 А для всех / е I, то ряд назовем Е-нормальным.
Если А - группа, Р = Е(А), то положим по индукции Z0(A) = 0, Z1(A) = Z(A), ..., ZI■(A)/ZI-1(A) = ZR(A/ZІ_1(A)) и Za(А) = ир<аZp (А) при предельном ординале а.
Обозначим для краткости Zа = Zа(A). Ряд 0 с Z1 с ... с Zа с ... назовем верхним Е-центральным рядом группы А. Подгруппы Za назовем Е-гиперцентрами группы А. Все Е-гиперцентры являются вполне инвариантными подгруппами. В группе без кручения все Е-гиперцентры являются чистыми подгруппами, поэтому все факторы верхнего Е-центрального ряда также группы без кручения.
Если Н с А, то подгруппу ([ф,у]Н | Не Н, ф,у е Е(А)) назовем Е-коммутантом подмножества Н в А и обозначим через [НА]. Если Н < к, А, то [НА] < к, А, а если Н < А А, то [НА] < £1 А. Всегда [В+СА] = [ВА] + [СА] для В,С < А. Обозначим [Н,А]1 = Н + [НА] и [НА]п+1 = [НА]п + [[Н,А]п, А] при п > 1.
Тогда Н = и*=1[Н, А]п - наименьшая к1-подгруппа, содержащая Н. Действительно, Н < к, А и всякая к1-подгруппа, содержащая Н, содержит и Н . Инвариантность Н влечет инвариантность Н . Заметим, что если Н с А', то Н с А'.
Положим по индукции Ь1(А) = А, Ьт(А) = [Ь,(А)А] и Ьа(А) = Пр<аЬр (А), если
а - предельное порядковое число. Отметим, что Ьп(А) = А(п-1) для п е N и Ьа(А) < А А для каждого ординала а.
Заметим, что
Ьп+1(А) = <[а2п-1,а2п].[а1,а2]а | а е А, а, е Е(А), I = 1,...,2п), а Zn(A) = {а е А | [а2п-1,а2п].[а1,а2]а = 0, а1 е Е(А), / = 1,...,2п}.
Е-разрешимые группы класса п являются подклассом класса БЬп-групп -групп А со свойством [ф,у]п = 0 для всех ф,у е Е(А). Группы из класса БЬ2 изучались в [2 - 4].
Если 0 = А0 с А1 с ... с Ап-1 с Ап = А - Е-центральный ряд, то получаем включения А, с Zi и Ь, с Ап-т, где Ь, = Ь,(А). Ряд Ь1(А) з Ь2(А) з ... назовем нижним Е-центральным рядом группы А. Из вышеприведенных включений следует, что в Е-разрешимой группе верхний и нижний Е-центральные ряды обрываются, причем их длины равны классу Е-разрешимости группы. В частности, в Е-разрешимой группе все ее Е-центральные ряды обрываются, минимальная длина таких рядов совпадает с классом Е-разрешимости группы.
Хотя верхний и нижний Е-центральные ряды Е-разрешимой группы имеют одинаковую длину, они сами не обязаны совпадать. Так, в вышеприведенном примере Е-разрешимой группы А = ®ѮБ верхний Е-центральный ряд имеет вид 0 с С®^ с А, а нижний 0 с Иош(В,С)В с А.
I. Пусть Р - такое кольцо, что соотношение 2а = 0 влечет за собой а = 0, и -
коммутативное подкольцо в Р, являющееся идеалом Z-алгебры Ли, ассоциированной с Р. Тогда если х е и, s е Р то ([х,5]/)3 = 0 и (/[х,5])3 = 0 для любого / е Р.
Доказательство. Имеем у = [х,5] е и. Поэтому [х,^]2 = xs(xs - sx) - s(xs - sx)x = = х - 5х)х5 - (х^ - sx)sx. Откуда 2[х,5]2 = х2^2 - xs2x - х^х + 52х2 = х(х^2 - ^2х) -
- (х^2 - s2x)x = 0, так как х перестановочен с х^2 - s2x. Значит, у2 = [х,^]2 = 0. Аналогично [у,/]2 = 0. Далее [у,/]2 = (у/ - /у)(у/ - /у) = (у/)2 - у^у + (/у)2. Поэтому (у/)3 = 0 и
(/у)3 = 0.
Будем говорить, что кольцо Р удовлетворяет условию (*), если для любого 0 Ф а е Р найдется такой в е Р, что ав или ва не является нильпотентным элементом.
II. Пусть А - Е-нильпотентная группа класса < 3. Тогда если кольцо Е(А) удовлетворяет условию (*), то оно является коммутативным.
Доказательство. Согласно предложению 1, прямые слагаемые группы А вполне инвариантны. Поэтому если А имеет ненулевую 2-компоненту, то А = В®С, где В - неразложимая 2-группа, а 2-компонента группы С нулевая. Следовательно, можно предполагать, что 2-компонента группы А является нулевой, т.е. кольцо Е(А) удовлетворяет условию (*). Согласно замечанию после свойства 4, коммутаторы эндоморфизмов группы А перестановочны, поэтому они порождают коммутативное подкольцо в Е(А). Из I следует, что если х е и, s е Е(А) то [х,5] = 0, т.е. А - Е-нильпотентная группа класса < 2. Если [а,в] Ф 0 для некоторых
а,в е Е(А), то [а,в] е Z(E(A)). Поэтому ввиду свойства 7 ([а,Р]у)2 = 0 для любого у е Е(А), что противоречит условию на Е(А). Это доказывает утверждение.
Пример 5. Пусть М - множество всех натуральных чисел, не делящихся на квадраты. Каждому т е М сопоставим циклическую группу (ат) порядка 2 и обозначим через В прямое произведение всех (ат), т.е. В состоит из функций / М^ и (ат) с условием /(т) е (ат) и конечным носителем {т е М |/(т) Ф е},
теМ
где е - единица соответствующей группы.
Каждому простому числу р сопоставим эндоморфизм фр группы В, задаваемый на порождающих следующим образом:
Фр = \ат / р при Р | т
ат |
[ат в противном случае.
Очевидно, что фр =фр и фрф9 = ф^фр, так что полугруппа Ф, порожденная всеми фр, коммутативна. Пусть О - полугруппа, состоящая из элементов {фа | ф е Ф, а е В} с умножением фа • фЬ = фуа¥Ь. Под носителем элемента g = фа е О будем понимать носитель элемента а в В. Пусть, далее, К - целочисленное полугруппо-вое кольцо, заданное на О, т.е. элементами К служат всевозможные конечные суммы вида х = п^ + ... + п^к, где п е Z, gi е О. Некоммутативность полугруппы О влечет некоммутативность кольца К. Всякий коммутатор элементов из К имеет вид [х,у] = 5:[ ] + ... + &т[ ]т, где е ^ [ ] = [gl¡,gt¡ ] для некоторых
gl¡, gt¡ е О. Заметим, что = 0 для любых g,g1,g2 е О. Действительно,
если g = /а, g1 = фа, g2 = уЬ, то [фа,уЬ] = фуа¥Ь - фуЬфа. Откуда
[Я^МЯ^ = (ф^а¥Ь - фуЬфа)/а)(фуа¥Ь - фуЬфа) =
= (фуа¥Ь - фуЬфа)(/фуаф¥а¥Ь - /фуафуЬфа) =
=/фуа^ОТЬ -/фуа^ОТЬ -/фуа/ф¥Ьмаф¥аЬф + /фуа/фчЬ/фчафчаЬф = 0.
Значит, [х,у]т+1 = (^ ]1 + . + Sm[ ]т)т+1 = 0.
Пусть теперь и = [ ]1.[ ]к Ф 0 и N с М - такое конечное подмножество, что носитель каждого элемента g е О, входящего в произведение и, содержится в N. Если р,д - такие простые числа, что р,д \ т для каждого т е Щ, [фра,ф9сГ] Ф 0, и носители элементов а,ё содержатся в М \ Щ, то и[фра,ф^ Ф 0.
Пусть теперь а = ар, у = фр, а Ьф = Ь, Ьу = Ь. Тогда ау = е и
„г , , т (фша - фше при п = 2т,
0 Ф [фа,шЬ,...,шЬ] = { , , ’ ,
'----,----' (фшЬ -фшЬа при п = 2т +1.
п
Если А - группа, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно К, то А е БЬ, но не является ни Е-разрешимой, ни Е-энгелевой. Отметим, что в [6 - 9] автор изучал проективно инвариантные подгруппы. Близкие вопросы исследовались в [10 - 46].
ЛИТЕРАТУРА
1. Чехлов А.Р. О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 85 - 99.
2. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник Томского госуни-верситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78 - 84.
3. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520 - 539.
4. Чехлов А.Р. Е-нильпотентные и Е-разрешимые абелевы группы класса 2 // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 59 - 71.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.
6. Чехлов А.Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76 - 82.
7. Чехлов А.Р. О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 31 - 36.
8. Чехлов А.Р. О подгруппах абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Фундамент. и прикл. матем. 2008. Т. 14. № 6. С. 211 - 218.
9. Чехлов А.Р. Сепарабельные и векторные группы, проективно инвариантные подгруппы которых вполне инвариантны // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50. № 4. С. 942 - 953.
10. Чехлов А.Р. Пересечение прямых слагаемых абелевых р-групп // Абелевы группы и модули. Томск, 1981. С. 240 - 244.
11. Чехлов А.Р. О некоторых классах абелевых групп // Абелевы группы и модули. Томск, 1984. С. 137 - 152.
12. Чехлов А.Р. Об абелевых группах без кручения, близких к квазисервантно инъективным // Абелевы группы и модули. Томск, 1985. С. 117 - 127.
13. Чехлов А.Р. О некоторых классах абелевых групп без кручения, близких к квазисер-вантно инъективным // Изв. вузов. Матем. 1985. № 8. С. 82 - 83.
14. Чехлов А.Р. Абелевы СБ-группы без кручения // Абелевы группы и модули. Томск,
1988. С. 131 - 147.
15. Чехлов А.Р. О квазисервантно инъективных абелевых группах без кручения // Изв. вузов. Матем. 1988. № 6. С. 80 - 83.
16. Чехлов А.Р. О квазисервантно инъективных абелевых группах без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1989. С. 139 - 153.
17. Чехлов А.Р. Квазисервантно инъективные абелевы группы без кручения // Матем. заметки. 1989. Т. 46. № 3. С. 93 - 99.
18. Чехлов А.Р. Связные квазисервантно инъективные абелевы группы // Изв. вузов. Матем.
1989. № 10. С. 84 - 87.
19. Чехлов А.Р. Об абелевых СБ-группах без кручения // Изв. вузов. Матем. 1990. № 3. С. 84 - 87.
20. Чехлов А.Р. О прямых произведениях и прямых суммах абелевых QCPI-групп без кручения // Изв. вузов. Матем. 1990. № 4. С. 58 - 67.
21. Чехлов А.Р. Об абелевых разложимых QCPI-группах без кручения р-ранга > 2К° // Абелевы группы и модули. Томск, 1990. С. 125 - 130.
22. Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения конечного р-ранга с дополняемыми замкнутыми сервантными подгруппами // Абелевы группы и модули. Томск, 1991. С. 157 - 178.
23. Чехлов А.Р. Об абелевых QCS-группах без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1994. С. 240 - 245.
24. Беккер И.Х., Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения, близкие к алгебраически компактным // Абелевы группы и модули. Томск, 1994. С. 3 - 52.
25. Чехлов А.Р. Квазисервантно инъективные группы без кручения конечного р-ранга // Изб. докл. Межд. конф. «Всесиб. чтения по матем. и механ.» Томск, 1998. С. 240 - 245.
26. Чехлов А.Р. О вполне транзитивных системах групп без кручения // Исслед. по матем. анализу и алгебре. Томск, 1998. С. 240 - 245.
27. Чехлов А.Р. О вполне транзитивных системах групп без кручения, 2 // Исслед. по матем. анализу и алгебре. Томск, 2000. С. 181 - 190.
28. Чехлов А.Р. Квазисервантно инъективные группы без кручения с неразложимыми сер-вантными подгруппами // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 4. С. 587 - 592.
29. Чехлов А.Р. Пересечения прямых слагаемых абелевых групп // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. С. 117 - 118.
30. Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714 - 719.
31. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. С. 944 - 949.
32. Чехлов А.Р. Вполне транзитивные группы конечного р-ранга // Алгебра и логика. 2001. Т. 40. № 6. С. 698 - 715.
33. Крылов ПА., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с большим числом эндоморфизмов // Труды Института математики и механики. 2001. Т. 7. № 2. С. 194 - 207.
34. Чехлов А.Р. О квазиполных смешанных группах // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. № 4. С. 1215 - 1224.
35. Chekhlov A.R. On Mixed cs-Groups // Acta Appl. Math. 2005. V. 85. P. 75 - 85.
36. Чехлов А.Р. О слабо квазисервантно инъективных группах // Матем. заметки. 2007. Т. 81. № 3. С. 434 - 447.
37. Chekhlov A.R., Krylov P.A. On L. Fuchs' problems 17 and 43 // J. of Math. Sci. 2007. V. 143. No 5. P. 3517 - 3602.
38. Чехлов А.Р. Упражнения по основам теории групп. Томск, 2004.
39. Крылов П.А., Туганбаев А.А., Чехлов А.Р. Задачи по теории колец, модулей и полей. М.: Факториал Пресс, 2007.
40. Крылов П.А., Туганбаев А.А., Чехлов А.Р. Упражнения по группам, кольцам и полям. Томск, 2008.
41. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78 - 84.
42. Чехлов А.Р. О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 85 - 99.
43. Чехлов А.Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 3(7). С. 64 - 67.
44. Чехлов А.Р. О нильгруппах р-ранга 1 // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 53 - 58.
45. Chekhlov A.R On Projective Invariant Subgroups of Abelian Groups // Journal of Math. Sci. 2010. V. 164. No 1. P. 143 - 147.
46. Чехлов А. Р. О коммутаторно инвариантных подгруппах абелевых групп // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. № 5. С. 1163 - 1174.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 25.05.2010 г.
