Научная статья на тему 'О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2'

О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

49
20
Поделиться
Ключевые слова
ВПОЛНЕ ИНВАРИАНТНАЯ ПОДГРУППА / КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ / СТЕПЕННОЙ E-КОММУТАНТ / СТЕПЕННОЙ E-КОММУТАТОР / FULLY INVARIANT SUBGROUP / ENDOMORPHISM RING / POWER E-COMMUTANT / POWER E-COMMUTATOR

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чехлов Андрей Ростиславович

Рассматриваются абелевы группы, в которых фиксированная степень всякого коммутатора эндоморфизмов равна нулю. Описаны группы с указанным выше свойством в ряде классов групп.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Чехлов Андрей Ростиславович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

We consider Abelian groups in which a fixed degree of any commutator of endomorphisms is zero. Groups with this property are described in some classes of groups.

Текст научной работы на тему «О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 1(13)

УДК 512.541

А.Р. Чехлов

О СКОБКЕ ЛИ ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП, 2*

Рассматриваются абелевы группы, в которых фиксированная степень всякого коммутатора эндоморфизмов равна нулю. Описаны группы с указанным выше свойством в ряде классов групп.

Ключевые слова: вполне инвариантная подгруппа, кольцо эндоморфизмов, степенной Е-коммутант, степенной Е-коммутатор.

Все группы в статье предполагаются абелевыми. Напомним, что если Я -кольцо и а,Ь є Я, то элемент [а,Ь] = аЬ - Ьа называется коммутатором (или скобкой Ли) элементов а и Ь. Если аь...,аЯ є Я, то [аь...,аЯ] = [[аь...,ая-1],ая].

Продолжается исследование, начатое в [1]. Класс абелевых групп А со свойством [ф,у]Я = 0 для любых ф, у из кольца эндоморфизмов Е(А) обозначим через БЬЯ, а БЬ*Я = БЬЯ \БЬЯ-1. В [1] изучались группы из класса БЬ2. Ясно, что прямое слагаемое группы из класса БЬЯ также принадлежит БЬЯ. Отметим, что близкие классы групп изучались в [2 - 6].

Пусть А - абелева группа. Тогда г(А) обозначает ее ранг, если не оговорено противное, то Ар - ее р-компонента, а /(А) - периодическая часть. Если А - однородная группа без кручения, то /(А) - ее тип. Запись Н < А означает, что Н - подгруппа в А; Н < А А, что Н - вполне инвариантная подгруппа в А, т.е. /Н є Н для

каждого/є Е(А). Если/ А ^ В - гомоморфизм, то/ | Н - ограничение/ на Н є А. Если В, О - группы и 0 Ф X с В, то через Нот (В, О)Х обозначим подгруппу в О, порожденную всеми подмножествами /X, где /є Нот (В, О); Нот (В, О)В совпадает со следом группы В в О. Через 1А обозначим тождественный автоморфизм группы А, через о(а) - порядок элемента а є А. N - множество всех натуральных чисел, О - аддитивная группа всех рациональных чисел. А1 = П Я є N яА. 2 ^ -

квазициклическая р-группа, 2 - группа целых р-адических чисел, 2Я - циклическая группа порядка я. Если 0 Ф А - ограниченная р-группа, то наименьшее натуральное т со свойством ртА = 0 называется экспонентой группы А и обозначается через е(А). Подгруппа О группы А называется чистой, если яО = ОПяА для каждого я є N.

Подгруппу А' = ([ф,у]А | ф,у є Е(А)) назовем Е-коммутантом группы А. Определим по индукции А(0) = А, А(1) = А',..., А(я+1) = (А(я))' = ([ф,у]4(я) | ф,у є Е(А)) и А(а) = Пр<0А(р) при предельном ординале а. Как отмечалось в [2], все А(р) вполне инвариантны в А .

Подгруппу Н < А назовем коммутаторно инвариантной (кратко сі-подгруп-пой), если [|,п]Н с Н для любых |,п є Е(А) [2, 6]. Отметим, что в [7 - 10] автор изучал проективно инвариантные подгруппы.

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.

Если все эндоморфизмы подгруппы О группы А продолжаются до эндоморфизмов самой группы А, то считаем, что О(п) с А(п).

Лемма 1. Пусть А = ®i е ¡А» где | I | > 1, и О, = 0, е щ,} А,.

1. А(п) = 0, е 1 (А(п)ПА,) для каждого п е N.

2. А(п) = Г, где Г = <Исш (А,, О,)(А(п-1)ПА,), Нот (О,, А,)(А(п-1)ПО,), А/п), О/п)>.

3. ф(А(п)^,) с 0, е ¡\{,} (А^-'ПА,) для любого ф е Нот (А,, 0, е Л{,} А,).

4. Следующие условия эквивалентны:

а) А(п) = 0, е I А(п);

б) Нот (А,, А,)(А(п-1)ПА,) с А/п) для каждого , е I и всякого] е I \{,}.

Доказательство. П. 1 вытекает из вполне инвариантности

А (п). 2.

Пусть

п: А^А, 0: А^-О, - проекции, /е Нош (А,, О,) и а е А(п-1)ПА,. Тогда если

ф е Е(А) - такой, что ф\Ai = / ф|О, = 1О , то [9,ф]а = /а. Это доказывает, что

Нош (А,, О,)(А(п-1) ПА,) с А(п). Аналогично Нош (О,, А,)(А(п-1)ПО1) с А(п). Поэтому Г с А(п). В частности, из проведенных рассуждений следует справедливость п. 3.

Осталось показать обратное включение. Пусть £, п е Е(А) и г е А(п-1). Имеем г = х + у, где х е А(п-1)ПА,, у е А(п-1)ПО,-. Далее

К,п]х = [(п + 0)4,(п + 0)п]х =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= [п^,пп]х + (п^0п - пп0^)х + (0^пп + 0^0п - 0пп^ - 0п0£)х.

Здесь [п^,пп]х е А,(п), второе слагаемое принадлежит Нош (О, А,)(А(п-1)ПО,), а третье - Нош (А,, О,-)(А(я-1)ПА,-). Поэтому х е Г и, аналогично, у е Г, значит, А(п) с Г. П. 4 вытекает из пп. 1 - 3.

Отметим, что возможен случай, когда А' = 0А,', но А'' Ф 0А/'. Действительно, пусть о(а) = р, о(Ь) = р2, о(с) = о(С) = р и А = ((а>0(Ь>)0((с>0(С>). Тогда А ' = А[р] = (<а>0<рЬ>)0«С>0<С>) = (<а>0<Ь>) '0«с>0<С>) '.

Однако А'' = А[р] Ф ((а>0(Ь>) ''0((с>0(С>) ' ' = (рЬ>0((с>0(С>).

Обозначим через А(п) следующую подгруппу ([ф,у]пА | ф,у е Е(А)> (п-й степенной Е-коммутант). Ясно, что А(п) с А(п) (А(0) = А(0) = А). Элемент [ф,у]па будем называть п-м степенным Е-коммутатором (соответствующий эндоморфизмам ф и у). Если Н с А, то подгруппу ([ф,у]пН | ф,у е Е(А)> обозначим через [А,И](п).

Группа А называется Е-разрешимой класса < п, если А(п) = 0. Как показывает следующий пример классы БЬп и Е-разрешимых групп класса < п различны.

Пример. Пусть Z[i] = {ш + Ш | т,к е Z} - кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим кольцо К = ^[/'])[хь...,хш,...; - ] комлексно-косых многочленов от переменных хь...,хш,... с коэффициентами из Z[i], для которых выполняются равенства х,а = ах, где а - комплексное число, сопряженное с а.

Пусть теперь Кп = Ки, где J - идеал, порожденный элементами х1,..., хШ, • • •, а п - фиксированное натуральное число. Тогда /д]п = 0 для любых/.£ е Кп. Аддитивная группа К+ кольца Кп является счетной редуцированной группой без кручения, поэтому по теореме Корнера [11, теорема 110.1] существует группа А, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно Кп. Тогда А е БЬп, но А не является Е-разрешимой группой, поскольку для каждого ненулевого коммутатора [/$] е Кп найдутся коммутаторы []ь...,[]т со свойством /£|[]1...[]т Ф 0 (т е №). В частности, 0 = А(п) ФА(п). Так как [хк,/',...,/'] = (-2/')шхк Ф0, то А не является и Е-

Ш

энгелевой группой.

Лемма 2. Пусть В - прямое слагаемое группы А с дополнительным прямым слагаемым О.

1. Нот ((В,О)В(т)), [О, Нот (В,О)В](т) с А(%т+1) для каждого т е N.

И-1 I п-г-1

2. Если А е БЬп, то Xг=0[ф,У] р[%, П] = 0 для любых ф,у е Е(О),

%,п е Е(В) и р е Нот (В,О).

3. Если О < fi А, В,О е БЬп и для А выполняется свойство, указанное в п. 2, то А е БЬп.

4. Если В е БЬЛ О е ВЦ и О < й А, то А = В®О е БЬ^.

5. Если существуют эпиморфизмы ф: В^-О, ф: О^В, то для каждого п е N любой элемент группы А является п-м степенным Е-коммутатором. В частности, А(п) = А.

Доказательство. 1. Пусть %,п е Е(В), а,Р е Е(О) и р е Нот (В,О); продолжим их до эндоморфизмов группы А, полагая %,п,р|О = 0 и а,Р|В = 0. Тогда если % = % + р, п = П + Р, то [%,п]Ь = [%,п]Ь + р(п - %)Ь. Откуда [%,п]т+1Ь = = [|,П]т+1Ь + Р(П - %)[%,п]тЬ. Значит, р(п - %)[%,п]тЬ е А(т+1). Если вместо п взять П ' = п + 1В (п 1о = 0), то ввиду равенства [%,п'] = [%,п] получаем р[%,п]тЬ + р(п - %)[%,п]тЬ е А(т+1). Откуда р[%,п]тЬ е_А_(т+1). Следовательно, Нот (В,О)В](т) сА(т+1). Если а = а + р, р = р + р, то [а,Р]Ь = (а - Р)рЬ. Откуда

[а, р]т+' Ь = [а,Р]т(а - Р)рЬ. Взяв а' = а + 1О, как и выше, получим [а,Р]трЬ е А(т+1), что доказывает включение [О, Нот (В,О)В](т) с А(т+1).

2. Возьмем эндоморфизм а группы А вида а = (% 0 ], где % е Е(В),

Ф

р е Нот (В,О), ф е Е(О). Тогда если Р = | П 0 |, то

Откуда

[а, Р]

[а, в] = 1 + ^ П]% [ 0 ]

'чрп + фст-ст%-ур [ф, у]

(1)

X,”=0^ у]г (рп + ф^^-^^ п]п 1 г [ф, у] У

Так как А е БЬп, то при с = 0 имеем Xг”=0[ф, У] (РП-УР)[%, П]п-1-г = 0. Взяв

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

П ' = п + 1В (п '|О = 0), окончательно получаем X ”_0 [ф, У] Р[%, П]п-1-г = 0 .

3. Если О < й А, то все эндоморфизмы а группы А имеют вид, указанный в доказательстве п. 2. Тогда согласно (1) [а,Р]п = 0; значит, А е БЬп. Если к тому же В е БЬ,, О е БЦ, то [а,Р]^ = 0 поскольку в (1) [%,п]^ = 0, [ф,у]^ = 0, а в

X ;=0 1 [ф, у]г (рп + фст - ст% - ур)[%, пГ+-1-г каждое слагаемое равно нулю из-за

обращения в ноль соответствующей степени [ф,у]‘ или [%,п]^+(-11, что доказывает 4.

5. Как и в п. 1 считаем, что ф,у е Е(А). Для любых Ь е В, g е О и каждого фиксированного п найдутся такие хп е В, уп е О, что (уф)пхп = Ь, (фу)п(-1)пуп = g.

Имеем

[у,ф]п(Хп + (-1)пуп) = ((Уф)п + (- фуГ)(Хп + (-1)пУп) =

= (уф)пХп + (- 1)2п(фу)пуп = Ь + g.

Пусть дано семейство {А,},- е1, | I | > 1, групп с коммутативными кольцами Е(А,). Будем говорить, что упорядоченный набор {А,...,А, 1} групп А, е{А,}

удовлетворяет условию (*), если

Нот (А, Ап1)(. (Нот (А, А )(Нот (А, А) А))...) Ф 0.

Число п будем называть длиной набора {А, ,..., А, ^}. Если п - максимальная длина любого конечного набора с условием (*), состоящего из групп семейства {А,},- е1, то будем говорить, что данное семейство удовлетворяет условию п-максимальности.

Предложение 3. Пусть каждый элемент группы А содержится в некотором ее прямом слагаемом, являющемся прямой суммой таких групп {А,}, что все кольца Е(А,) коммутативны и если Нот (А¿А) Ф 0, то Нот (А/А) = 0 (,' Ф/). Группа А е БЬп+1 тогда и только тогда, когда каждое указанное выше семейство {А,} удовлетворяет условию п-максимальности.

Доказательство. Пусть а е А,(Г), где А,т принадлежит некоторому семейству

{А,}, А = А,(1) ® О , О - дополнительное к А,(1) прямое слагаемое, п : А ^ А,(1) и

9: А^О - проекции. Если %,п е Е(А), то [%,п]а = [(п + 0)%,(п + 0)п]а = = (0%пп + 0%0п - 0пп% - 0п0%)а; учтено, что [п%,пп]а = 0 и п%0п = 0, пп0% = 0. Поэтому [%,п]а еНот(А,(1),О) = Х^^-«Нот^.^,А,(2))А,(1) с А(1), где суммирование ведется по такому набору указанных в условии прямых слагаемых А (2), что

А,(2) с О и Нот(А,(1), А,(2)) Ф 0 . Откуда

[%,п]п а е X Нот(Ап), А„+„)(. (НотЦ(2), А) )(Нот(А^, А^)А^))...) = ..

,(п+1) £{,( т )|1< т< п}

По условию р^ = 0 для любого р е Нот(А.(п), А,(п+1)). Поэтому [%,п]п+1а = 0. Значит, [%,п]п+1 = 0.

Из лемм 1, 2 и предложения 3 вытекает справедливость следующих утверждений:

I. Если А = ®i е 1А,, где А, < íi А, то А е БЬп тогда и только тогда, когда А, е БЬп для каждого , е I.

II. Для делимой группы Б = /(Б)®Б0 следующие условия эквивалентны:

а) Б е БЬп для некоторого п > 2;

б) Б е БЬ2;

в) если Бр Ф 0, то Бр = 2 „ , а если Б0 Ф 0, то Б0 = О, причем если /(Б) = 0 или

Б0 = 0, то кольцо Е(Б) коммутативно (т.е. Б е БЬ1).

Делимая группа Б е БЬп принадлежит БЬ*2 тогда и только тогда, когда 0 ф /(Б) Ф Б.

III. Если 0 Ф Б - делимая часть группы А, А = Б©В, то А е БЬп тогда и только тогда, когда Б е БЬ2, В е БЬп и выполнены следующие условия:

а) подгруппа В(п-1) периодична, причем (В(п-1))р = 0 при Бр Ф 0;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

б) если 0 Ф /(Б) Ф Б, то и > 2 и подгруппа В(п-2) периодична.

Свойство вытекает из инъективности группы Б: для всякого элемента Ь е В \ /(В) найдется гомоморфизм а: В—Б со свойством аЬ Ф 0, причем если Б0 Ф 0, то а можно выбрать так, чтобы аЬ е Б0 и уаЬ Ф 0 для некоторого у е Нот(Б0,2р„), где р может быть любым простым.

IV. Если А е БЬп для некоторого п, то каждая ее ненулевая р-компонента Ар является коциклической группой либо (при п > 2) изоморфна группе вида В1®.®Вт®В0, где В, = 2 к. , к1 <.. .< кт (при т > 2), а В0 = 0 или В0 = 2 „ . Таким

образом, А = Ар®Е(р) для некоторой подгруппы Ер с А, причем (Е(р))(п-1) с ртЕ(р), где т = е(В1®.®Вт). Нередуцированность Ар влечет периодичность (Е(р))(п-1).

V. Периодическая группа А е БЬп тогда и только тогда, когда каждая ее р-компонента Ар е БЬп.

Пусть 0 Ф Б - делимая часть р-группы О, О = С®Б. Группа О е БЬп тогда и только тогда, когда Б = 2 „ , а С е БЬп-1.

р п 1

VI. Пусть А = В®С, где В = 2рк, С = 2р5 (5 > к). Тогда А е БЬ2п+1, где и -

наименьшее натуральное со свойством т > (и+1)к, т.е. п = к/(5 - к), если это число целое и п совпадает с целой частью [5/(5 - к)] в противном случае.

Действительно, пусть В = (Ь), С = (с), п: А—В, 0: А—-С - проекции, ф: С—В, р: В—С - такие гомоморфизмы, что фс = Ь, рЬ = р5- кс. Тогда Кегф = (ркЬ). Пусть а = 1в + р, в = 1с + ф (1в,р|с = 0 и 1с,ф|в = 0). Тогда ав = ф + рф, ва = р + фр, [а, в] = ф - р + рф - фр. Поэтому [а, в] с = фс + рфс, [а,в]2с = - рфс + (рф)2с,

[а,в]3с = -фрфс + ф(рф)2с - (рф)2с + (рф)3с,.... Имеем 0[а,в]2пс = (- 1)п(рф)пс + и, где и е р(п+1)(5-к)С, поэтому если (рф)пс Ф 0, то [а,в]2п Ф 0. Далее, п[а,в]2п+1с = = (- 1)п(фр)пфс + V, где V е р(п+1)(5-к)В, поэтому [а,в]2п+1 Ф 0 при (фр)пфс Ф 0 и [а,в]2п+1с = 0, если т > (и+1)к. Так как всякая композиция гомоморфизмов В——С——В есть кратное фр, а С—В—С - кратное рф и [а,в]тс = 0 влечет [а,в]тЬ = 0, то указанное число п есть наибольшее среди индексов нильпотентности коммутаторов эндоморфизмов группы А.

В ряде работ изучались такие редуцированные смешанные группы А, что естественное вложение ®р Ар^А продолжается до чистого вложения ®р Ар^-Пр Ар. Такие группы называются Бр-группами. Таким образом, для Бр-группы А можно считать, что ®р Ар с А с Пр Ар, причем А чиста в Пр Ар (это равносильно делимости фактор-группы А/(®рАр)). Бр-группы являются частным случаем групп, рассматриваемых в следующем свойстве.

VII. Пусть А - такая группа, что А1 = 0 и А содержит плотную подгруппу

®i е 1 А, где А, < й А для каждого, е I. Группа А е БЬп тогда и только тогда, когда каждая А, е БЬп.

Действительно, если %,п е Е(А), то [%,п]пА,- с А, для каждой группы А, поэтому [%,п]п(®А,) = 0. Но тогда [%,п]пА с А1 = 0.

VIII. Пусть А - сепарабельная (векторная) группа без кручения, О(А) - множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1. Группа А е БЬп тогда и только тогда, когда в А нет однородных прямых слагаемых ранга 2 и в О(А) все цепи линейно упорядоченных элементов имеют длину < п-1.

Для сепарабельной группы это утверждение вытекает из предложения 3, а для векторной группы нужно воспользоваться следующими утверждениями: если V = П ,е1 Я, и Ж = П8/ - векторные группы (Я, и 8/ - группы ранга 1) и п: V—W-нетривиальный гомоморфизм, то /(Я,) < /(8/) для некоторых ,е1, jеJ [11, лемма

96.1]; произвольное прямое слагаемое ранга 1 векторной группы V = П ш Ri изоморфно одной из групп Ri [11, предложение 96.2].

IX. Для алгебраически компактной группы без кручения A следующие условия эквивалентны:

а) A е BLn для некоторого n > 2;

б) A е BL2;

в) A = D®B, где D = 0 или D = Q, а B = П реП Zр для некоторого множества

П простых чисел, причем если D = 0, то A е BLj.

X. Если A е BLn - редуцированная копериодическая группа, то A алгебраически компактна, A = ПреП^ где П - некоторое множество простых чисел, Ap -р-адическая компонента группы A, Ap = Bp©Cp, Ap е BLn, причем Cp = 0 или Cp = Z , Bp - конечная р-группа из BLn-1 при Cp Ф 0.

XI. Если A - редуцированная неограниченная р-группа, то A(n) = A для каждого n е N. Если A - ограниченная р-группа экспоненты т, то A(n) = A для каждого n е N тогда и только тогда, когда подгруппа рт-1A разложима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78-84.

2. Чехлов А.Р. О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 85-99.

3. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520-539.

4. Чехлов А.Р. E-нильпотентные и E-разрешимые абелевы группы класса 2 // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 59-71.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Чехлов А.Р. Некоторые примеры E-разрешимых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 69-76.

6. Чехлов А.Р. О коммутаторно инвариантных подгруппах абелевых групп // Сиб. матем. журн. 2010. Т.51. № 5. С. 1163-1174.

7. Чехлов А. Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76-82.

8. Чехлов А.Р. О подгруппах абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Фундамент. и прикл. матем. 2008. Т. 14. № 6. С. 211-218.

9. Чехлов А.Р. О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 31-36.

10. Чехлов А.Р. Сепарабельные и векторные группы, проективно инвариантные подгруппы которых вполне инвариантны // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50. № 4. С. 942-953.

11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.

Статья принята в печать 17.12.2010г.

Chekhlov A.R. ON THE LIE BRACKET OF ENDOMORPHISMS OF ABELIAN GROUPS, 2. We consider Abelian groups in which a fixed degree of any commutator of endomorphisms is zero. Groups with this property are described in some classes of groups.

Keywords: fully invariant subgroup, endomorphism ring, power E-commutant, power E-commutator.

CHEKHLOVAndrei Rostislavovich (Tomsk State University)

E-mail: cheklov@math.tsu.ru