CC BY
29
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 Математика и механика № 2(6)
УДК 512.541
А.Р. Чехлов
О СВОЙСТВАХ ЦЕНТРАЛЬНО И КОММУТАТОРНО ИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Получено описание вышеназванных подгрупп в ряде классов абелевых групп.
Ключевые слова: центрально инвариантная подгруппа, коммутаторно инвариантная подгруппа, кольцо эндоморфизмов, скобка Ли эндоморфизмов.
Пусть Л - абелева группа. Тогда Е(Л) обозначает кольцо ее эндоморфизмов, С = 2(£(Л)) - центр кольца Е(Л), г(Л) - ранг, если не оговорено противное, то Л^ -
ее компонента, а ¿(Л) - периодическая часть, Л1 = П „ 6 м пЛ. Если а - элемент порядка ^к, то через е(а) = к обозначим его экспоненту. Положим
Л[рк] = {а £ Л | ра = 0}, причем если Л - ^-группа, то Л[р“] = Л. Запись Н < Л означает, что Н - подгруппа в Л; Н < й Л, что Н - вполне инвариантная подгруппа в
Л, т.е. /Н с Н для каждого f £ Е(Л); Н < С Л, что Н - центрально инвариантная
подгруппа в Л, т.е. /Н с Н для каждого f £ С. Если f Л ^ В - гомоморфизм, то
f | Н - ограничение f на Н с Л. Если В, G - группы и X - непустое подмножество В, то через Нот (В, G)X обозначим подгруппу в G, порожденную всеми подмножествами /У, где f £ Нот (В, G)X. Через 1А обозначим тождественный эндоморфизм группы Л, через о(а) - порядок элемента а е Л. Если Л - группа без кручения и а е Л, то ?(а) - тип элемента а; а если Л - однородная группа без кручения, то г(Л) - ее тип. N - множество всех натуральных чисел, Z - аддитивная группа (или кольцо) целых чисел, О - аддитивная группа (или поле) всех рациональных чисел, 2р - группа (или кольцо) целых _р-адических чисел, Р - множество всех простых чисел.
Если ф £ Е(Л) и Н < и Л, то фН < и Л и ф-1Н = {а £ Л | фа £ Н} < С Л. В частности, все эндоморфные образы группы Л, а также ядра ее эндоморфизмов являются и-подгруппами в Л. Нетрудно проверить, что если Н < й В и В < С Л, то Н < С Л; если Н < С Л, Н < В и В/Н < й Л/Н, то В < и Л.
Следующий пример показывает, что необязательно из Н < и В и В < й Л следует Н < и Л.
Пример 1. Пусть 5 = Z [>/-5], Л - редуцированная группа без кручения с условием Е(Л) = 5 (такая группа найдется согласно известному результату Корнера
о счетных кольцах [1, теорема 29.2]). Пусть далее 0 Ф а £ Л и В = Е(Л)а. Тогда В < й Л. Так как элементы кольца 5 - целые алгебраические числа и Л - группа без кручения, то все ее ненулевые эндоморфизмы являются мономорфизмами. Поэтому В = 5+. Поскольку 5 + = Z®Z, то С(Е(В)) = Z. Следовательно, (а) < и В. Однако (а) не является и-подгруппой в Л.
Отметим также следующие свойства.
1) Пусть Л = ®у 6 J Лу (Л = П, е J Лу), е,: Л ^ Лу - соответствующие проекции. Тогда если а £ С, то а' = еуаеу £ 2(£(Лу)).
Действительно, из е, = е^ следует, что ае, = а е? = еуае,. Если теперь ф £ Д(Лу), то продолжим ф до эндоморфизма ф группы Л (полагая ф = 0 на дополнительном к Л, прямом слагаемом). Тогда ф = (е,ф е,) | Л/. По условию ф а = а ф . Откуда (е, ф еу)(еуае/') = (еуае/)(еу ф еу). Рассматривая это равенство на Лу, получаем фа' = а'ф,
т.е. а' £ 2(£(Лу)).
Напомним, что если Л = B®G, то Е(Л) можно рассматривать как кольцо мат-
( а у ^
риц вида г = ^^ в^, где а £ Д(В) и в £ £(С), а у £ Нот (С,В) и 5 £ Нот (В, б)
Ясно, что если г £ С, то у = 0 и 5 = 0. Несложно проверяется следующее свойство.
(а 0 ^
2) Если Л = В®б, то г = I о р \ £ С тогда и только тогда, когда а £ 2(£(В)),
в £ 2(£(б)) и фа = вф, ув = ау для любых ф £ Нот (В,б), у £ Нот (б,В).
3) Если В = фЛ для некоторого ф £ Д(Л) и Н < и В, то Н < и Л.
Пусть Ь = фа £ В, а £ С и f £ Д(В). Тогда аДЬ) = а(7ф)а = (7ф)аа = Хфаа) = =уа(фа) = уаЬ, т.е. (а | В)/=Да | В). Значит, аН С Н.
4) Пусть Л = ®у е J Лу и Н, < с Лу для каждого у £ /. Тогда Н = ®у е J Н, < с1 Л. Вытекает из 2).
5) Пусть Л = ®у е JЛу, е,: Л ^ Лу - соответствующие проекции и Н < и Л. Тогда
®у е J еуН < С Л.
6) Пусть Л = ®у е JЛу и Лу < Л для каждого у £ /. Подгруппа Н является и-подгруппой в Л тогда и только тогда, когда Н = ®у е J Н,, где Н, < С Лу для каждого у £ /.
Необходимость. Если е,: Л ^ Лу - соответствующие проекции, то в данном
случае еу £ С для каждого у £ /. Откуда Н, = еуН = НПЛу. Условие Н, < с Лу вытекает из 2). Достаточность следует из 4).
Поскольку в _р-группе центр ее кольца эндоморфизмов изоморфен либо кольцу 2рк (если группа ограничена и р служит верхней точной гранью порядков ее
элементов), либо 2р (в противном случае) [1, теорема 19.7], то в периодической
группе любая ее подгруппа является с1-подгруппой. Согласно [2, предложение 2], центр кольца эндоморфизмов нередуцированной группы без кручения Л изоморфен подкольцу поля О, порожденному всеми такими числами 1/р, что _рЛ = Л. Поэтому всякая подгруппа такой группы является с1-подгруппой.
Если Л - сепарабельная группа без кручения, то обозначим через О(Л) множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 группы Л. Типы я,? £ О(Л) будем считать эквивалентными, если существуют такие гь...,ги £ О(Л), что типы г, гг+1 сравнимы для всех г = 0,.,п, где г0 = я, ги+1 = ?. Если теперь О(Л) = ик е к Ок - раз-
биение множества Q(A) на классы эквивалентности, то A = ®k g K Ak, где Ak - сепарабельные группы, Q(Ak) = Qk, слагаемые Ak вполне инвариантны в A, причем центр Z(E(Ak)) изоморфен некоторому подкольцу поля Q [1; § 19, упр. 7]. Легко видеть, что pZ(E(Ak)) = Z(E(Ak)) в точности тогда, когда p>Ak = Ak.
Теорема 1. Если A = ® k g KAk - сепарабельная группа без кручения, где
Q(A) = U k g K Qk - разбиение множества Q(A) на классы эквивалентности, то подгруппа H группы A является ее ci-подгруппой в точности тогда, когда
H = ® k g K Hk, где Hk = AkRH и _pHk = Hk для каждого простого числа _p со свойством p>Ak = Ak.
Доказательство. Вытекает из свойства 6).
Из теоремы 1 в частности следует, что у делимой группы без кручения каждая ее ci-подгруппа является прямым слагаемым.
Теорема 2. Если все ci-подгруппы группы A являются ее fi-подгруппами, то кольцо E(A) коммутативно.
Доказательство. Пусть 0 Ф a G A и ф G E(A). Поскольку Ca < fi A, то фа = аа для некоторого а G C. Имеем (ф-а)а = 0. Поэтому Ca Ç Ker (ф-а). Следовательно, ф | Ca = а | Ca. Если теперь у G E(A) и в G C - такой, что у | Ca = в | Ca, то (фу-уф) | Ca = (ав-ва) | Ca = 0. Откуда фу = уф в силу произвольности a.
Если R - кольцо, то операция a°b = ab - ba (где a,b G R) называется коммутированием, а элемент [a,b] = ab - ba - коммутаторам a и b. Приведем простую лемму
Лемма 1. В кольце R операция коммутирования ассоциативна тогда и только тогда, когда любой коммутатор кольца R лежит в его центре.
Доказательство. Необходимость. Имеем
[[a,b],c] = abc - bac - cab + cba, [a,[b,c]] = abc - acb - bca + cba.
Приравнивая правые части, получаем 0 = bac + cab - acb - bca = [[c,a],b]. Откуда
[c,a] G Z(R) в силу произвольности элемента b. Достаточность очевидна.
Подгруппу H < A назовем коммутаторно инвариантной, кратко £/подгруппой, если [ф,у]й G H для любых h G H и ф,у G E(A). Ясно, что если H < ki A, то aH < ki A для любого a e Z(E(A)).
Лемма 2. Пусть A = ® g / A,, я,: A ^ A, - соответствующие проекции и H < A. Тогда:
1) H < ki A в том и только в том случае, когда Hom (A,-, Ay)nH Ç HRAj и [^),,^уÇ HHA; для любых ф;,у; G E(A,), где г,/ G I и j Ф г;
2) если B, < ki A,, то B = ® г- g / B, < ki A в том и только в том случае, когда Hom (A,, Ay)B; Ç By для всех г,/ G I, где j Ф г;
3) если A,- < fi A и B, < A,-, то B = ® , g / B, < ki A в том и только в том случае,
когда B, < ki A, для всех г G I;
4) ki-подгруппа H группы A являются ее fi-подгруппой в том и только в том
случае, когда n,H = HHA,- и HHA,- < fi A, для каждого г G I.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть f £ Нот (Л,, Лу), б, = ® у е / \ и Лу и 0г: Л ^ Gi - проекция. Продолжимf до / £ Д(Л), полагая / | Л, = f / | б, = 0. Тогда если а, + £ Н (а, £Л,, £ б,), то [ / , п](а, + £,) = fai £ НПЛу. Необходи-
мость включения [ф,,у,]пН С НПЛ, очевидна.
Достаточность. Пусть б, = ®у е / \ {,}Лу, 0: Л ^ б, - проекция, 1 - 0 = п, где п = п,, а,в £ Д(Л) и а = пИ для некоторого А £ Н. Тогда
[а,в]а = [(л + 0)а, (п + 0)в]а = [па, пв]а + [па, 0в]а + [0а, пв]а + [0а, 0в]а =
= [па, пв]а + (па0в - пв0а)а + (0апв + 0а0в - 0впа - 0в0а)а.
Учитывая свойства подгруппы Н, получаем
[па,пв]а £ [па,пв]пН С НПЛу,
(па0в - пв0а)а £ Нот (б,, Л,)0Н = X у е / \ и Нот (Лу, Л,)пуН С НПЛ,, и (0апв + 0а0в - 0впа - 0в0а)а £ Нот (Л,, б,)пН =
= Xу е / \ {/} Нот (Лг, Лу)пН С Xу е / \ {/} (НПЛу).
Поскольку И = п1А +...+ п„ И для некоторого п £ N (п, = лг-,, г, £ I,у = 1,...,п), то
[а,в]И £ Н.
2) - 4) вытекают из 1).
Из леммы 2, п. 1) непосредственно вытекает, что кьпрямые слагаемые вполне инвариантны.
С помощью леммы 2 легко строятся примеры кьподгрупп, не являющиеся й-подгруппами.
Пример 2. Пусть о(а) = р, о(Ь) = р3, Л = (а) ® (Ь) и Н = (а+рЬ). Для подгруппы
Н выполнены условия п. 1) леммы 2, поэтому Н < к1 Л. Однако Н ^ й Л. Доказательство следующей леммы проверяется непосредственно.
Лемма 3. Пусть Н < к1 Л. Тогда:
1) если В - прямое слагаемое группы Лип- проекция Л на В, то НПВ, пН < к1 В;
2) если Л = ® Л,-, п;: Л ^ Л, - соответствующие проекции и Н = ® (НПЛ,), Н = ® (п;Н), то Н, Н < к1 Л, Н < Н < Н и Н = Н , если и только если Н = ® (НПЛ,);
3) если Л = В®б, где б < Й Л и Н < к В, то Н ® Нот (В,б)Н < к Л.
Несложно проверяется, что если Н < й б и б < к1 Л, то Н < к1 Л; если Н < к1 б
и б < й Л, то Н < к1 Л. Как показывает следующий пример, может случиться так,
что Н < к1 б, б < к1 Л, но Н ^ к1 Л.
Пример 3. Пусть о(а) = р, о(Ь) = р3, о(с) = р8, Л = (а) ® (Ь) ® (с), х = а+рЬ, у = р2с и б = (х) ® (у). Если па: Л ^ (а), пь: Л ^ (Ь), пс: Л ^ (с) - проекции, то па(б) = (а), пй(б) = (рЬ), пс(б) = (р2с). Поэтому
Нот ((а), (Ь))(п*(б)) = (р2Ь) С бП(Ь) = (р2Ь),
Нот ((а), (с))(па(б)) = (р7с) С бП(с) = (р2с), Нот ((Ь), (а))(пь(б)) = 0 С бП(а),
Нот ((Ь), (с))(пь(б)) = (р6с) С бП(с) = (р2с),
Нот ((с), (а))(пс(б)) = 0 С бП(а), Нот ((с), (Ь))(пс(б)) = (р2Ь) С бП(Ь) = (р2Ь).
Следовательно, по лемме 2 б < к1 Л. Если теперь пх: б ^ (х), пу б ^ (у) - проекции, а Н = (х+р2у), то
Нот ((х), (у))(пх(Н)) = (р4у С НП(у) = (р4у
и Нот ((у), (х))(пу(Н)) = 0 С НП(х) = 0.
Следовательно, Н < к1 б. Однако Н = (а+рЬ+р4с ) ^ к1 Л, поскольку
Нот ((а), (Ь))(па(Н)) = (р2Ь) £ Н.
Приведем несколько простых и легко проверяемых свойств коммутаторов.
1) - [ф,у] = [ - ф,у] = [ф, - у] = [у,ф];
2) [а,ф + у] = [а,ф] + [а,у], [а + в,ф] = [а,ф] + [в,ф];
3) ф"[ф,у] = [ф,ф"у], у"[ф,у] = [у"ф,у], [ф,у]ф" = [ф,уфп], [ф,у]у" = [фу",у] для любого п е N;
4) [[а,в],у] + [[в,у],а] + [[у,а],в] = 0, [а,[в,у]] + [в,[у,а]] + [у,[а,в]] = 0;
5) [[а,в],у] = [ав,у] - [ва,у], [а,[в,у]] = [а,ву] - [а,ув];
6) [а,в]ф = а[в,ф] + [аф,в], [а,в]ф = [а,вф] + в[ф,а];
7) ф[а,в] = [ф,а]в + [а,фв], ф[а,в] = [фа,в] + [в,ф]а.
Свойства 2), 5) отражают тот факт, что если в кольце (Л, +, •) операцию умножения заменить операцией коммутирования, то получится лиево кольцо (Л, +, ◦) [3; глава II, § 2.3].
Теорема 2. В группе Л каждая ее подгруппа является кьподгруппой тогда и только тогда, когда Е(Л) - коммутативное кольцо.
Доказательство. Необходимость. Из леммы 2 следует, что прямые слагаемые группы Л вполне инвариантны, поэтому ее р-компоненты Л^ являются коцикличе-
скими. Значит, для каждого т £ N имеет место разложение Л = Ар ф...ф АРт ф Ви, где Ви[ру] = 0 при у = 1,...,т и (р1...ри)Ви = Ви. Отсюда
следует, что периодичность Л влечет коммутативность кольца Е(Л). Если а - элемент конечного порядка, то а £ Ад ©... © Ар для некоторого т, а поскольку
кольцо Е (Ар ©... © Ар ) коммутативно, то [ф,у]а = 0 для любых ф,у £ Е(Л).
Пусть теперь а - элемент бесконечного порядка. Имеем [ф,у]а £ (а). Поэтому
[ф,у]а = па для некоторого п £ 7, ф[ф,у]а = пфа. А так как ф[ф,у] = [ф,фу], то
пфа £ (а), т.е. пфа = яа для некоторого я £ 7. Аналогично пуа = ка, где к £ 7.
Можно считать, что а £ Вт, где т - такое натуральное, что Вт не содержит элементов, порядки которых делятся на простые делители числа п. Поэтому равенство п2[ф,у]а = 0 влечет [ф,у]а = 0, это доказывает коммутативность Е(Л). Достаточность очевидна.
Лемма 4. Если Л = ® , е / Л,, где | I | > 1, и для каждого Л, найдется Лу (у ^ г) со
свойством Л, = Лу, то все кьподгруппы группы Л являются вполне инвариантными.
Доказательство. Если Н < к1 Л, то в данном случае Н = ®(НПЛ,). Действительно, если п - проекция Л на Л, и пИ = а Ф 0 для некоторого И £ Н, то при условии, что ф: Л, ^ Лу и у: Лу ^ Л, - взаимно обратные изоморфизмы, в силу леммы 2
имеем Ь = фа £ НПЛу и а = уЬ £ НПЛ,. Аналогично показывается, что /я £ НПЛ,
для любого f £ Е(Л,). Этого в силу леммы 2, п. 4) достаточно для вполне инвариантности Н.
Из леммы 4 вытекает, что в делимой группе D = t(D) ® D0 каждая ki-подгруппа H либо является периодической вполне инвариантной подгруппой в D, либо имеет вид H = t(D) ® Hi для некоторой подгруппы 0 Ф H < D0, причем Hi = D0, если группа D0 разложима.
Если D - делимая часть р-группы A = B ® D, H < ki A, 0: A D - проекция и r(D) > 1, то из доказательства леммы 4 следует, что HHD = 0H. Если же r(D) = 1, то возможен случай, когда HHD Ф 0H. Например, если B = (b) - циклическая группа, e(b) = k > 1, d е D и e(d) = n > 2k, то H = (b+d) < ki A. Однако 0H = (dv Ф HHD = (pkd). Подобная ситуация рассматривается в следующей лемме.
Лемма 5. Пусть A = B ® D, где B - редуцированная, а D - делимая группа, л: A ^ B - проекция и H < A. Тогда:
1) если nH - периодическая группа и D = Q, то H < ki A если и только если
[9,y]H с HHB для любых ф,у G E(A);
2) если D = ® ^ g П D^ - такая периодическая группа, что r(Dp) = 1 для каждого р G П (П - некоторое множество простых чисел), то H < ki A если и только если
[9,y]H С (HHB) ® (HHD) для любых ф,у G E(A);
3) если A - р-группа и H - ее неограниченная ki-подгруппа, то D с H. Доказательство. 1) Необходимость. Поскольку D < fi A и E(D) - коммутативное кольцо, то [9,y]H = [ф,у](пП). Следовательно, [9,y]H - периодическая группа и, значит, она содержится в HHB. В частности, в такой группе A все подгруппы H с D являются ki-подгруппами в A. Достаточность очевидна.
2) Необходимость. Поскольку D < fi A и E(D) - коммутативное кольцо, то
[9,y]H = [ф,у](пП). Пусть h = b+d G H, где b G B, d G D и 0 = 1 - п. Имеем [?,V](b+d) = [ф,^]Ь = [(л+0)ф,(л+0)^]Ь =
= [лф,л^]Ь + [лф,0^]Ь + [0ф,л^]Ь + [0ф,0^]Ь.
Здесь, согласно лемме 2, п. 1), каждое из 4 слагаемых принадлежит подгруппе H. Первое содержится в HHB, а остальные в HHD (учесть, что лф0^Ь = 0 и лф0фЬ = 0). Достаточность очевидна.
3) Если nH - неограниченная подгруппа в B, то Hom(B,D)nH = D и, значит, D с H по лемме 2, п. 1). Если же ри(лП) = 0 для некоторого n е N, то p"H - неограниченная подгруппа в D. Поскольку всякая собственная подгруппа в Z^„ ограниченная, то условие D = Z^„ сразу влечет, что D с H. Если же r(D0) > 1, то D является прямой сумой групп, изоморфных Z^„ . Поэтому D с H по доказательству леммы 4.
Легко проверить, что если H - периодическая подгруппа группы A, D - делимая группа, то Hom (A, D)H = ® D^ [pm p ], где w = sup {e(h) | h G H?}. Здесь w = 0,
если H? = 0 и, значит, D^ [pmp ] = 0. Если же 0 Ф H - непериодическая подгруппа группы A, то Hom (A, D)H = D.
Теорема 3. Пусть A = B ® D, где D = t(D) ® D0 - делимая часть группы A и H < A. Тогда H < ki A в том и только в том случае, когда H совпадает с одной из следующих подгрупп:
1) H = F ® (®р D^[pkp]), где F — периодическая ki-подгруппа группы B и
kp > sup {e(b) | b Є F^};
2) H = G ® (®p єПі Д^[ркр]), где G - периодическая ki-подгруппа в группе
B ® (®р є П Dp) такая, как в лемме 5, п. 2), kp > sup {e(g) | g Є G^} и Пі ПП = 0;
3) H = C ® D, где C < ki B;
4) H = E ® t(D), r(D0) = 1 и E — ki-подгруппа в группе B ® D0 такая, как в лемме 5, п. 1).
Доказательство. Необходимость. Если п: A ^ B, 0p A ^ Dp 0О: A ^ D0 — проекции, то
(HnB) ® (®p (HnD^)) ® (HnD0) < H < nH ® (®p (0^) ® (0OH).
Так как Hom (B,D)nHc HnD (лемма 2), то непериодичность подгруппы nH влечет равенство HnD = D (см. абзац перед теоремой 3), т.е. D с H. Аналогично, если 00H ф 0, то из Hom (D0,t(D))(00H) = t(D) = Hnt(D) следует, что t(D) С H. А из леммы 4 при условии 00H ф 0 и r(D0) > 1 вытекает включение D0 С H. Для доказательства 3) осталось заметить, что если D С H, то H = C ® D, где C = HnB < ki B по лемме 3. Если же ¿(D) С H и 00H ф 0, но D0 £ H, то r(D0) = 1 и H = E ® ¿(D), где E = Hn(B ® D0) < ki (B ® D0), что доказывает 4).
Ввиду включения Hom (B,D)nH С HnD условие 0oH = 0 влечет периодичность группы nH. Поскольку Hom (B,D^)nH С HnDp то D^[pMp] С HnDp где W = sup {e(b) | b Є (nH)^}. Заметим, что если Dp — разложимая группа, то из леммы 4 следует, что 0^H = D^[pkp] = HnD^ для некоторого kp Є Nu{0,<»} (kp > wp). Если 0^H = HnD^ для каждого простого p, то H = F ® (®p D^[pkp]), где F = BnH = nH < ki B, это доказывает 1). В противном случае, пусть П1 — множество всех простых р с условием 0^ = HnDp а П = {р Є P \ П1 | Dp ф 0}. Тогда H = G ® (®p єПі D^[pkp]), где G = Hn(B ® (®p є n D^)) < ki (B ® (®p є n D^)), это доказывает 2).
Достаточность. Вытекает из леммы 3, п. 3).
Отметим, что соответствующая теорема для вполне инвариантных подгрупп доказана в [4, теорема 1.4].
Напомним, что группа без кручения A называется вполне транзитивном, если для любых ее элементов a,b ф 0 условие на их характеристики x^(a) < x^(b) влечет
существование f Є E(A) со свойством fa = b. Для группы без кручения A обозначим через т(А) — множество типов ¿(a) всех ее ненулевых элементов a; если t — некоторый тип, то множество всех элементов группы A типа > t образует чистую подгруппу A(t). Если A — однородная группа без кручения, то t(A) — ее тип, равный
типу любого 0 ф a Є A.
Теорема 4. Пусть для вполне транзитивном группы без кручения A существует такое разложение A = ® г- є / A,, что для каждого г є I найдется j Є I\ {г} со свойством x(A;) = x(Ay). Тогда каждая ki-подгруппа H группы A является fi-подгруппом.
Доказательство. Пусть а1+.+а„ £ Н, где ак £ Ак (к = 1,...,п). По условию
?(а1) £ т(Лу) для некоторого у £ I \ {г^}. Следовательно, в Лу найдется элемент Ь со
свойством хА(а1) = Хл(Ь). Так как ф(а1) = Ь и у(Ь) = а1 для некоторых ф,у £ Е(Л), то
по лемме 2, п. 1) Ь £ Н и, значит, а1 £ Н. Итак, Н = ® (НПЛ,). Если теперь
f £ Е(Лг) и а £ Л,, то по условию найдется Ь £ Лу (;' £ I \ {г}) со свойством Х(Ь) = х(/Я). Опять в силу вполне транзитивности из леммы 2, п. 1) следует, что
Ь £ Н и /я £ Н. Этого в силу леммы 2, п. 4) достаточно для вполне инвариантности подгруппы Н в Л.
В частности, из теоремы 4 следует, что всякая чистая кьподгруппа однородной вполне транзитивной разложимой группы совпадает с самой группой.
Теорема 5. В разложимом редуцированном сепарабельном группе без кручения Л все кьподгруппы являются вполне инвариантными тогда и только тогда, когда для каждого прямого слагаемого В ранга 1 группы Л в дополнительном прямом слагаемом намдется прямое слагаемое б ранга 1, изоморфное В.
Доказательство. Необходимость. Допустим, что в О(Л) (см. теорему 1) все
типы несравнимы. Тогда Л = ® , 6 П(А) Л,, где г(Л,) = 1 и типы групп Л, несравнимы. В этом случае кольцо Е(Л) коммутативно и каждая подгруппа группы Л будет кь подгруппой, однако Л имеет не вполне инвариантные подгруппы. Допустим теперь, что В ® б - прямое слагаемое в Л, г(В) = г(б) = 1 и г(В) < ?(б). Поскольку Л
редуцированная, то рВ Ф В и рб Ф б для некоторого простого р. Если Ь £ В, £ £ б \ рб и Л = В ® С (б С С), то пусть Н = (рЬ+£)+Е, где Е = Нот (В,С)(рЬ). Тогда Е = С(х(рЬ)) < й С. Если 9 - проекция Л на С, то так как в С нет прямых слагаемых, изоморфных В, Нот (С,В)9Н = 0. Следовательно, по лемме 2 Н < Ы Л.
Однако £ ^ Н и, значит, 9Н £ Н, т.е. Н ^ й Л.
Достаточность. Пусть И £ Н < Ы Л. Тогда И = а1+.+а„, где а, £ Л,, г(Л,) = 1 и Л, - прямые слагаемые в Л. Поскольку для каждого Л, в дополнительном прямом
слагаемом найдется прямое слагаемое Лу = Л,, то так же, как в теореме 4, следует, что а, £ Н и, кроме того, _Да,) £ Н для каждого f £ Е(Л), т.е. _ДИ) £ Н и, значит, Н < й Л.
Теорема 6. В редуцированном алгебраически компактном группе без кручения Л каждая ее кьподгруппа является вполне инвариантном тогда и только тогда, когда все р-адические компоненты группы Л разложимы.
Доказательство. Необходимость. Группа Л представима в виде Л = П Лр где каждая р-адическая компонента Лр является р-адической алгебраически компактной группой. Можно считать, что Лр < Л. Пусть В = П реП1 Лр - прямое произведение всех неразложимых групп Лр Тогда кольцо Е(В) коммутативно, а так как В < 11 Л, то каждая подгруппа группы В будет кьподгруппой в Л. Поскольку В содержит не вполне инвариантные подгруппы, то это доказывает необходимость.
Достаточность. Пусть И £ Н < к1 Л, f £ Е(Л), И = (...,а^,...), где ар £ Лр Запишем Лр в виде Лр = Вр ® бр, где ар £ Вр Ф 0. Тогда Л = В ® б, где В = П Вр Имеем /(я) = Ь+£, где Ь = (,..,Ьр,...) £ В, £ = (,..,§р,...) £ б. По лемме 2 £ £ НПб. Осталось показать, что Ь £ Н. Так как каждая Лр - однородная вполне транзитив-
ная группа, то найдутся ф?, у G E(A^) со свойствами фДЬр) G HHG^ и
уДфД^)) = bp. Если теперь ф = (..,,фр,...), у = (.. ,,ур,...), то ф G Hom (B,G),
у G Hom (G,B). По лемме 2 фЬ G HHG и b = у(фЬ) G HHB.
Приведем следующий полезный результат
Лемма 6 [5, лемма 9.5]. Пусть A = B ® C - прямое разложение с проекциями л, 0. Если разложению A = B ® C1 соответствуют проекции л1, 01, то л1 = л+лф9, 91 = л-лф9 для некоторого эндоморфизма ф группы A. Обратно, для всяких эндоморфизмов л1, 01 приведенного выше вида имеет место разложение A = B ® 9^A.
Если A = B ® C, то в [5, теорема 9.6] доказано, что пересечение всех дополнительных прямых слагаемых к B в группе A есть максимальная вполне инвариантная подгруппа группы A, не пересекающаяся с B.
Теорема 7. Пусть A = B ® C.
1) Наименьшая ki-подгруппа группы A, содержащая C, является fi-подгруппой и совпадает с:
а) Hom (C,B)C ® C;
б) суммой G всех дополнительных прямых слагаемых к B в группе A.
2) Наибольшая ki-подгруппа группы A, содержащаяся в C, является fi-подгруппой и совпадает с:
а) K = П Hom (C,B) Ker ф;
б) пересечением N всех дополнительных прямых слагаемых к B в группе A. Доказательство. 1) п. а) вытекает из леммы 2, п. 1). Поскольку C С G, то
G = (BHG) ® C. Если C1 - дополнительное прямое слагаемое к B, то из леммы 6 следует, что C+C1 = ф(б') ® C для некоторого гомоморфизма ф: С ^ B. Откуда
G = (X ф g Hom (c,b) Ф(О) ® C = Hom (C,B)C ® С, что ввиду а) доказывает б).
2) Вполне инвариантность подгруппы K следует из ее определения. Если теперь X < ki A и X с C, то ввиду леммы 2, п. 1) X с Ker ф для каждого
Ф G Hom (C,B). Поэтому X С K, что доказывает а).
Согласно замечанию перед теоремой N является fi-подгруппой в A, поэтому
N С K. Если A = B ® C1, то K = (KHB) ® (KHC1), где KHB = 0, поэтому K С C1 и,
значит, K С N.
Лемма 7. Пусть A - неограниченная р-группа. Тогда если 0 Ф H < ki A, то
HHp"A Ф 0 для каждого n G N.
Доказательство. Пусть D - делимая часть группы A. Тогда если A = C ® D и h = c + d G H[p], где c G C, d G D, то в силу инъективности группы D отображение c d продолжается до гомоморфизма C D. Согласно лемме 2, п. 1) d G HHD. Осталось заметить, что D С p"A для каждого n G N. Предположим теперь, что группа A редуцированная. Допустим, что nH Ф 0, где л - проекция на некоторое циклическое прямое слагаемое (а). Тогда для всякого элемента с экспоненты e(c) = n + 1 > k = e(a), принадлежащего дополнительному прямому слагаемому C, отображение а р" + 1 - kc продолжается до гомоморфизма (a) C. Согласно той же лемме 2, п. 1), отсюда следует, что Hn(p"C) Ф 0. Допустим те-
перь, что пН = 0 для каждого циклического прямого слагаемого группы Л и соответствующей проекции п. Тогда если В - базисная подгруппа группы Л, то для каждого п имеет место разложение Л = В1 ®...® Вп ® Лп, где Вп = 0 или является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка р , а
Лп = ( ©;=„+! В ) + РЛ. В силу предположения Н С Ли. Хорошо известно, что рЛ -
существенная подгруппа в Ли [5; § 32, упр. 9]. Откуда НПрЛ Ф 0.
Из леммы 7 следует, что в неограниченной сепарабельной _р-группе нет минимальных кьподгрупп. Действительно, если Н - минимальная кьподгруппа, то
Н = НПрЛ для каждого п £ N. Откуда Н = НП(П ирЛ) = 0. Если рдлина редуцированной _р-группы равна о + 1 и _раЛ - неразложимая группа, то рЛ - минимальная кьподгруппа. Если же _р-группа нередуцированная и Б - ее делимая часть, то Б[р] - минимальная кьподгруппа.
Если Л - ограниченная _р-группа, Л = Л1 ® .® Лт, где Л, - прямые суммы некоторого числа циклических групп порядка рк‘, к1 <.< кт, то Лт[р] - минимальная
кьподгруппа. Если Н < к1 Л, то пН < к1 Л для каждого п е N. Отсюда следует, что редуцированные группы без кручения, а также группы без кручения с неразложимой делимой частью (см. лемму 5, п. 1)) не имеют минимальных кьподгрупп. У нередуцированной группы без кручения с разложимой делимой частью Б подгруппа Б будет минимальной кьподгруппой.
Покажем, что если Л - неограниченная редуцированная р-группа, то у нее нет максимальных кьподгрупп (воспользуемся идеей доказательства А.П. Дика соответствующего утверждения для й-подгрупп). Действительно, если Н - максимальная кьподгруппа, у е Л \ Н, е(у) = к, то Н + Лр] = Л. Пусть теперь (х) - такое прямое слагаемое группы Л, что е(у) = т > к. Тогда х = И + а для некоторых И е Н, а е Лр]. Так как рх = рИ Ф 0, то (И) - прямое слагаемое группы Л, Л = (И)®С. Если у = £ + с для некоторых £ е (И) и с е С, то ру = р£ + рс = 0. Поэтому е(с) < к, значит, (с) является гомоморфным образом группы (И). По лемме 2, п. 1) (с) с НП С и, следовательно, у е Н. Противоречие.
Если Л - ограниченная р-группа и рЛ = 0, где к > 2 и р - ХЛ Ф 0, то Л[рк - 1] - наибольшая кьподгруппа. Действительно, если Л = Л1 ® .® Лт, где Л, -прямые суммы некоторого числа циклических групп порядка рк‘, к1 <.< кт = к, то Лр - 1] = (Л1 ®...® Лт _ 1)®рЛт. Поэтому из леммы 2, п. 1) следует, что всякая кьподгруппа, строго содержащая Лр - 1], совпадает с Л. Пусть теперь Н < к1 Л и И е Н \ Лр - 1]. Тогда е(И) = к и, значит, (И) - прямое слагаемое в Л, Л = (И)®В. Имеем Нот ((И),В)(И) = В. Откуда ввиду леммы 2, п. 1) получаем, что Н = Л. Это доказывает, что Л[рк - 1] - наибольшая кьподгруппа в Л. Если же Л - нередуцированная р-группа с неограниченной редуцированной частью, то максимальных кьподгрупп опять нет, если же редуцированная часть - ограниченная группа, то наибольшая кьподгруппа совпадает с суммой делимой части и наибольшей кьподгруппой ее ограниченной части. В делимой р-группе максимальных к1-подгрупп нет.
Е-центром группы Л назовем следующую ее подгруппу:
2(Л) = {а £ Л | [ф,у]а = 0 для всех ф,у £ Е(Л)}.
Ясно, что кольцо E(A) коммутативно в точности тогда, когда Z(A) = A. Если
G < fi A, то Z(G) Є Z(A); в частности, если кольцо E(G) коммутативно, то
G Є Z(A). Если A - такая группа, что все ее ненулевые эндоморфизмы являются мономорфизмами и E(A) - некоммутативное кольцо, то Z(A) = 0. Если A - группа без кручения, то Z(A) - чистая подгруппа в A, в общем случае это не так, примеры см. в 2) (в конце статьи). Любая подгруппа в Z(A) будет ki-подгруппой в A.
Обозначим через A' подгруппу группы A, порожденную всеми ее подгруппами вида [Ç,n]A, т.е.
A' = <K,n]A | Ç, n Є E(A)>
(E-коммутант группы A). Ясно, что кольцо E(A) коммутативно в точности тогда,
когда A' = 0. Если а Є A, то через [ф,у]а обозначим коммутатор элемента а. Всякая подгруппа, содержащая A', будет ki-подгруппой в A.
Из свойства 6) коммутаторов следует, что E-центр, а из свойства 7), что E-коммутант группы A являются ее вполне инвариантными подгруппами. Возможен случай, когда Z(A) = A'. Например, если B,C - группы с коммутативными кольцами эндоморфизмов и C < fi A = B ® C, причем Hom (B,C)B = C, то A' = C = Z(A) (см. леммы 9, 10).
Если ф,у є E(A), то их централизатором назовем следующую подгруппу CM = {а є A | [ф,у]а = 0}. Ясно, что Z(A) = П w є Cw. Если H ç A, то N(H) = {а є A | [ф,у]а є H, ф,у є E(A)} назовем нормализатором подмножества H в A. Если 0 є H, то Z(A) = N(0) ç N(H), а если 0 г H, то N(H) = 0. Если H - подгруппа в A, то N(H) также является подгруппой в A, содержащей Z(A). Очевидно, что если H < A, то H ç N(H) в точности тогда, когда H < ki A, и в этом случае N(H) также является ki-подгруппой в A. Из свойства 6) коммутаторов следует, что если H < fi A, то N(H) < fi A.
Если H < ki A, то любые ф,у є E(A) индуцируют действие на A/H. Возможен случай, когда H с N(H). Например, если H - вполне инвариантное прямое слагаемое в A и дополнение разложимо в прямую сумму вполне инвариантных прямых слагаемых с коммутативными кольцами эндоморфизмов, то N(H) = A. Ясно, что если H < ki A, то H = N(H) в точности тогда, когда для любого 0 Ф a = а + H є A/H найдутся ф,у є E(A) со свойством [ф,у] a Ф 0 (т.е. A/H - коммутаторно точная факторгруппа). Легко проверить, что если H, G - подмножества в группе A и H ç G, то N(H) ç N(G) и N(F\E) ç N(F)\N(E), N(FnE) ç N(F)nN(E),
N(F)UN(E) ç N(FUE) для любых подмножеств F,E ç A. Легко привести примеры F,E, когда вышеприведенные включения строгие.
Лемма 8. Пусть A = ® , є I A,, где | I | > 1, и G; = ®у є і\ и Ay.
1) Если для всякого г Є I и любого 0 Ф а Є A,- существует ф Є Hom (A,, G,) со свойством фа Ф 0, то Z(A) = 0.
2) Z(A) = ® , є і (Z(A)nA,).
3) ф(Z(A)ПA;) = 0 для любого ф Є Hom (A,, G,).
4) Z(A)nA, Є Z(A;). Равенство Z(A)nA, = Z(A;) имеет место тогда и только тогда, когда ф^^,)) = 0 для любого ф Є Hom (A,, G,).
Доказательство. 1) Пусть ai+...+a„ £ A, где 0 Ф а,- G Aj (j = 1,.,n, ij G I),
0: A ^ G^ - проекция и ф G Hom (Aii, G^) - такой, что фа Ф 0. Считаем, что
ф G E(A), полагая ф | А^ = ф, ф | G^ = 0. Тогда [0,ф]а = фа Ф 0. Следовательно,
a i Z(A). Поэтому Z(A) = 0 в силу произвольности элемента а.
2) Следует из вполне инвариантности E-центра. 3) Вытекает из доказательства 1).
4) Включение Z(A)HA;' £ Z(A;) очевидно. Если Z(A,) £ Z(A), то из 2) следует равенство ф^^/)) = 0 для любого ф G Hom (A/,G,). Пусть теперь п: A ^ A,-, 0: A ^ G, - проекции, a,ß G E(A) и a G Z(A,). Имеем
[a,ß]a = [(п+0)а, (n+0)ß]a = [na,nß]a + [na,0ß]a + [0a,nß]a + [0a,0ß]a .
Здесь (па) | A,, (nß) | A, G E(A,), поэтому [na,nß]a = 0, а оставшиеся три слагаемые равны 0, поскольку в [na,0ß], [0a,nß], [0a,0ß] входят эндоморфизмы 0а, 0ß, действующие на элементах из A, как гомоморфизмы из Hom (A;,G;). Итак, Z(A;) £ Z(A).
Из леммы 8, в частности, следует, что для гомоморфизма f: A ^ B не обязательно fZ(A)) £ Z(B). Кроме того, если A = 0A, (A = ПA,), где A, < fi A, то Z(A) = 0 Z(A,) (Z(A) = П Z(A,)). А если A = 0 A, (A = П A,), где | I | > 1 и A, = Aj при
у G I, то Z(A) = 0. Следовательно, если D = t(D) 0 D0 - делимая группа, где 0 Ф t(D) - ее периодическая часть, а D0 - часть без кручения, то Z(D) = 0 pDp
Здесь П1 = {p G P | r(D^) = 1}. А если t(D) = 0, то Z(D) = 0 при r(D) > 1 и Z(D) = D при r(D) = 1.
Лемма 9. Если A = B 0 C, где C < fi A, то Z(A) = G 0 Z(C), где
G = Z(B)H(n ф g Hom (B,C) Ker ф)-
Доказательство. Согласно лемме 8, п. 2) и п. 4), Z(A) = (Z(A)nB) 0 (Z(A)nC), где Z(A)nC = Z(C). В силу леммы 8, п. 3), Z(A)nB с G, а из п. 4) следует обратное включение G с Z(A)nB.
Следствие 1. 1) Если A = B 0 D - нередуцированная группа без кручения, где
D - ее делимая часть, wo Z(A) = D при условии r(D) = 1, в противном случае Z(A) = 0.
2) Если T = t(A) и A = T0R - расщепляющаяся группа, то Z(A) = Z(T) при условии, что T - нередуцированная группа, в противном случае
Z(A) = Z(T)0(Z(R)n(np Е п рmpR)) , где П = {p е P | Tp Ф 0}, m = sup {e(a) | а е Tp}. Доказательство. 2) Имеем Z(A) = (Z(A)nT) 0 (Z(A)nR). Согласно лемме 9, Z(A)nT = Z(T), Z(A)nR = Z(R)n(n ф g Hom (ад Ker ф).
Обозначим для краткости E = Z(A)nR, F = Z(R)n(np E п R). Если T - нере-
дуцированная группа, то для любого 0 Ф х е R найдется ф G Hom (R,T) со свойством фх Ф 0. Поэтому по лемме 8 Z(A)nR = 0. Если же T - редуцированная группа,
то ф(Е) = 0 для любого ф G Hom (R,T), поэтому F с E. Если х е Z(A)nR, йДх) < тр, то фх Ф 0 для некоторого ф G Hom (R,T). Следовательно, E с F.
Теорема 8. Пусть Л = В ® Б, где Б = ¿(Б) ® Б0 - ненулевая делимая часть группы Л, и пусть б = 2(В)П(П ф 6 Нош (дд) Кег ф). Тогда б является периодическом
подгруппом, б = ® ^ еП а 2(Л) совпадает с одном из следующих подгрупп:
1) если ¿(Б) Ф 0, то 2(Л) = б ® (® реП1 БД где П1 = {р е Р | г(Б^) = 1} и
ППП1 = 0;
2) если ¿(Б) = 0, то либо 2(Л) = б, либо, если г(Б0) = 1, 2(Л) = б ® Б0. Доказательство. Имеем 2(Л) = (2(Л)ПВ) ® (2(Л)Пг(Б)) ® (2(Л)ПБ0). Так
как ¿(Б) < 11 Л, то согласно лемме 8 2(Л)Пг(Б) = 2(г(Б)) = ® рещ Бр, где
П1 = {р е Р | г(Бр) = 1}. По той же лемме 8, 2(Л)ПБ0 = 0, если ¿(Б) Ф 0 или г(Бо) > 1. Всякая подгруппа X < В со свойством Нот (В,Б)Х = 0 является периодической, причем Хр = 0 при Бр Ф 0. Оставшиеся утверждения есть следствие леммы 8.
Если Л = ® 16 / Л,, то, как следует из следующей леммы, может случится так, что Л/ = 0, но Л' Ф 0.
Лемма 10. Пусть Л = ® , 6 1 Л,, где | I | > 1, и б, = ® у 6 1 \ {,} Лу. Тогда
1) Л' = (Нот (Лг,^)Лг, Нот (^уЛ)бг, Л/,б/);
2) Л' = ® , 6 1 Л,' в точности тогда, когда Нот (Лг,Лу)Л,- с Лу' для любых гу е I, у Ф г.
Доказательство. 1) Пусть п: Л Лг, 0: Л б, - проекции, f е Нот (Лг,б,) и а е ЛЛ Тогда если ф е Е(Л) - такой, что ф | Л, = / ф | б, = 1в, , то [0,ф]а = та. Это доказывает, что Нот (Л,,бг)Л/ с Л'. Если теперь ^,п е Е(Л), то
К,П]а = [(п + 0)£, (п + 0)п]а =
= [п^,п^]а + (п^0п - п^0^)а + (0^пп + 0^0П - 0"Пп^ - 0л0£)а.
Здесь [п^,п^]а е Л,', второе слагаемое принадлежит Нот (б,,Л,)б,, а третье -Нот (Лг,б,)Лг. Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для элементов подгруппы б,, то Л' совпадает с указанной подгруппой. Отметим, что Нот (бг,Л,)бг = X у е I \ {/} Нот (Лу,Лг)Лу;
2) вытекает из 1).
Лемма 11. Если Л = В®б и для любых Ь е В, £ е б намдутся такие х е б, у е В и ф е Нот (В, б), у е Нот (б,В), что фу = £, ух = Ь, то каждым элемент группы Л является коммутатором.
Доказательство. Продолжим ф, у до эндоморфизмов группы Л, полагая их действия, равными нулевому эндоморфизму на соответствующих дополнительных прямых слагаемых. Тогда если п - проекция Л на В, то [п,ф+у](х-у) = Ь+£. Пусть Б = ¿(Б) ® Б0 - делимая группа, где ¿(Б) = ®Бр - ее периодическая
часть. Тогда из леммы 10 следует, что если Б0 = 0, то Б' = ®р 6 п Бр где П = {р е Р | г(Б^) > 1}, если г(Б0) = 1, то Б' = ¿(Б), а если г(Б0) > 1, то Б' = Б. Кроме того, если Л = В ® С, где С < Л, то Л' =В' ® (Нот (В,С)В, С''). В частности, если Л =В®Б - р-группа или группа без кручения, где Б - ее делимая часть, то Л' = В' ® Б. Более общим является
Следствие 2. Пусть Л = В®Б, где Б = ¿(Б) ® Б0 - ненулевая делимая часть группы Л и В Ф 0. Тогда Л' совпадает с одном из следующих подгрупп:
1) если В - непериодическая группа, то Л' = В' ® Б;
2) если B - периодическая группа, то A' = B' ® (®? g П D?) ® (®p g KDp[pMp]) ® D0', где П = {p e P | r(Dp) > 1}, K = {p e P | r(Dp = 1 и Bp ф 0}, m = sup {e(b) | b e Bp}, а D0' = 0 при r(D0) = 1 и D0' = D0 при r(D0) > 1.
Группу A назовем ki-простой, если у нее нет нетривиальных (ф 0 и A) ki-подгрупп. Ясно, что группа A с коммутативным кольцом E(A) является ki-простой в точности тогда, когда она имеет простой порядок. Несложно установить, что ki-простая группа является либо элементарной р-группой для некоторого простого числа p, либо разложимой делимой группой без кручения.
Если A = ZP®Z, то Z(A) = Zp®pZ. В данном случае Z(A) - максимальная подгруппа в A. Покажем, что если в A нет прямых слагаемых, изоморфных Zp для каждого простого числа р, то Z(A) не может быть максимальной подгруппой. Действительно, в противном случае A / Z(A) - группа простого порядка р, и так как pA с Z(A), то Ap ф 0. Из леммы 8 следует, что Ap - неразложимая группа. Поэтому
A = Ap®B для некоторой подгруппы B. Так как A? с Z(A), то Z(A) = A^®(Z(A)HB). Здесь |B / (Z(A)HB)| = р, следовательно, |A? = р, что противоречит условию. Отметим, что A' = Zp для вышеприведенной группы A = Zp®Z.
Перейдем к редуцированным группам и приведем описание E-центров и E-коммутантов некоторых групп.
1) Если A - неограниченная сепарабельная р-группа, то Z(A) = 0 и A' = A.
Допустим, что 0 Ф a G Z(A). Тогда а можно вложить в прямое слагаемое B группы A, являющееся ограниченной группой, A = B ® G. Поскольку G - неограниченная группа, то существует гомоморфизм f: B G со свойством f(a) Ф 0, что противоречит лемме 8, п. 3).
Если a e A, то a содержится в прямом слагаемом B группы A, являющемся ограниченной группой, A = B®G. Поскольку G - неограниченная группа, то Hom (G,B)G = B. Согласно лемме 10, B с A'.
Отметим, что если A - редуцированная р-группа и A1 Ф 0, то возможен случай,
когда Z(A) Ф 0. Действительно, если A - редуцированная р-группа и подгруппа A1 циклическая, то Z(A) = A1.
2) Пусть A - ограниченная р-группа, A = B1 ®...® Bm, где B, - прямые суммы некоторого числа копий группы Z k., k1 <...< km и i = 1,...,m. Тогда
Z(A) = pkm-1 Bm и A' = A [pkm-1 ], если Bm - циклическая группа и Z(A) = 0, A' = A в противном случае.
3) Пусть A - сепарабельная группа без кручения, Q(A) - множество типов всех
ее прямых слагаемых ранга 1. Тогда Z(A) = X t g C(A) A(t), где C(A) - множество всех
таких типов t G O(A), что r(A(t)) = 1, т.е. Z(A) совпадает с суммой всех вполне инвариантных прямых слагаемых ранга 1 группы A. А A' совпадает с суммой тех прямых слагаемых A, ранга 1, для которых в дополнительном прямом слагаемом есть прямое слагаемое ранга 1 типа < t(A,).
4) Пусть A = П ;• g j A,- - векторная группа, где A, - группы без кручения ранга 1. Тогда Z(A) = П j g jAy, где J - множество всех таких j G I, что r(A(t(Aj))) = 1 при j G J, т.е. Z(A) совпадает с прямым произведением всех вполне инвариантных
подгрупп Aj. А A' = П k е KAk, где K - множество всех таких k G I, что в I\ {k} найдется подгруппа As со свойством t(As) < t(Ak).
5) Пусть A = П Ар - алгебраически компактная группа без кручения, где Ap - _p-
адические компоненты группы А. Тогда Z(A) = Пp е п Ap где П = {p G P | Ар - неразложимая группа}. А A' = Пp еKAp где K = {p G P | Ap - разложимая группа}.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2007.
2. Крылов П.А., Классен Е.Д. Центр кольца эндоморфизмов расщепляющейся смешанной абелевой группы // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 5. С. 1074 - 1085.
3. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.
4. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1981. С. 56 - 92.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: cheklov@math.tsu.ru
Статья принята в печать 19.03.2009 г.
