CC BY
10
УДК 512.54
DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(1).9-16
О ВЕРБАЛЬНО ЗАМКНУТЫХ ПОДГРУППАХ СВОБОДНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП В. А. Романьков12, Е. И. Тимошенко3
1Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия 2Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия 3Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, Россия
Аннотация. Установлено, что в свободной разрешимой группе произвольного конечного ранга любая вербально замкнутая подгруппа, порожденная не более чем двумя элементами, является ретрактом всей группы. В частности, она алгебраически замкнута. Тем самым частично подтверждена гипотеза о совпадении классов вербально и алгебраически замкнутых подгрупп, а также класса ретрактов в любой свободной разрешимой группе конечного ранга.
Ключевые слова
Вербально замкнутая подгруппа, алгебраически замкнутая подгруппа, ретракт, свободная метабелева группа, свободная разрешимая группа
Финансирование
Работа первого автора выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.1.4 в рамках научного проекта № 0314-2019-0004. Работа второго автора выполнена при поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00100
ON VERBALLY CLOSED SUBGROUPS OF FREE SOLVABLE GROUPS V. A. Roman'kov1, E. I. Timoshenko2
1Sobolev Institute of Mathematics of Siberian Branch of RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia 2Dostoevsky Omsk State University, г. Омск, Россия 3Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia
Abstract. We show that any verbally closed two-generated subgroup of a finite rank free solvable group is a retract of the full group. It follows that this subgroup is algebraically closed. In particular, we confirm the conjecture that the three classes of the verbally closed subgroups, algebraically closed subgroups and retracts of any finite rank free solvable group coincide.
Available online 26.04.2019
Keywords
Verbally closed subgroup, algebraically closed subgroup,
- 9
Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 1, pp. 9-16
Информация о статье
Дата поступления 10.12.2018
Дата принятия в печать 27.12.2018
Дата онлайн-размещения
Article info
Received 10.12.2018
Accepted 27.12.2018
Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 1. С. 9-16
-ISSN 1812-3996
retract, free metabelian group, free solvable group.
Acknowledgements
The reported of the first author was fanded by the of Fundamental Research Program of SB RAS № I.1.1.4 according to the research project № 0314-2019-0004. The reported of the second author was fanded by RFBR according to the research project № 18-01-00100
1.Введение
Пусть К - класс алгебраических структур языка и Структура А е К называется алгебраически замкнутой в К тогда и только тогда, когда для любого позитивного экзистенциального предложения Эх1, ...,хпФ(хх, ...,хп,А) языка и с константами из А, если Зх1,.,хпФ(хх, ...,хп,А) истинно в некоторой структуре В е К, содержащей А в качестве подструктуры, то Зх1, ...,хпФ(х1, ...,хп,А) истинно в A. Относительно общих свойств алгебраически замкнутых структур см., например, [1].
Интересный частный случай понятия алгебраической замкнутости возникает, когда в качестве класса К берется класс sub(B) всех подструктур данной структуры В. Можно говорить об алгебраической замкнутости подструктуры А в В.
Более общим понятием, чем алгебраическая замкнутость, является естественное понятие Ф-алгебраической замкнутости структуры A в классе К, где Ф - некоторый класс позитивных предложений языка Ь
Пусть теперь и - язык теоретико-групповой сигнатуры, К - некоторый класс групп. В этом случае приведенные выше понятия могут быть представлены в чисто алгебраических терминах. Для групп Н и в пишем Н < в, если Н - подгруппа группы в, и называем в расширением Н. Под уравнением w(x1, ...,хп,Н) = 1 от переменных (неизвестных) х1,..., хп с константами из Н подразумеваем указанное выражение, в котором w(x1, ...,хп,Н) - групповое слово от х1,.,хп и элементов из Н. Говорим, что уравнение w(x1,... ,хп,Н) = 1 имеет решение (разрешимо) в группе Н (или в расширении в > Н), если существует такой набор элементов д1, — ,дп группы Н (или группы в), что при подстановке их вместо соответствующих переменных х1,.,хп получается верное равенство w(g1, ...,дп) = 1. Естественным обра-
зом вводятся также понятия системы уравнений и решения системы уравнений.
Понятие алгебраической замкнутости для групп формулируется следующим более простым образом. Подгруппа Н группы в алгебраически замкнута, если любая конечная система уравнений с константами из Н разрешима в в тогда и только тогда, когда она разрешима в Н.
Группы, алгебраически замкнутые в классе всех групп, введены в рассмотрение Скоттом [2]. Этот класс групп интенсивно изучался в 1970-80-е годы, см., например, статьи Макинтайра [3], Эклофа и Саб-баха [4], Белеградека [5; 6], Зиглера [7], монографию Ходжеса [1], обзор Ремесленникова и автора [8]. В настоящее время известен ряд результатов об алгебраической замкнутости в различных классах групп. См. по этому поводу статью Баумслага и Левина [9], а также обзорную статью Лейнена [10]. С другой стороны, не так много известно об алгебраической замкнутости подгрупп в конкретных группах. Относительно разрешимости уравнений в группах и над группами см. обзорную статью В.А. Ромашькова [11] и его монографию [12].
В работе Мясникова и первого автора [13] введено понятие вербальной замкнутости, определение которой дается в следующем параграфе. Это свойство формально является существенно более слабым, чем свойство алгебраической замкнутости. Тем не менее, в [13] доказано, что подгруппа Н свободной группы Рг конечного ранга г будет вербально замкнутой в том и только том случае, если Н - ретракт группы Рг. Отсюда следует, что свойства вербальной замкнутости, алгебраической замкнутости и свойство «быть ретрактом» для подгрупп свободной группы конечного ранга равносильны. Напомним, что ретрактом группы G называется такая подгруппа Н < в, для которой существует тождественный на подгруппе Н эндоморфизм (ретракция) ф : в ^ Н.
Свойство вербальной замкнутости также изучалось для свободных нильпотентных групп. В [14] Хи-самиевым и первым автором доказано следующее утверждение. Пусть Nc - многообразие всех нильпотентных групп ступени не выше, чем с, Nrc - свободная нильпотентная группа конечного ранга r ступени нильпотентности с. Подгруппа H группы Nrc (r, с > 1) вербально замкнута тогда и только тогда, когда она является свободным множителем (равносильно алгебраически замкнутой подгруппой, ретрактом) группы Nrc относительно многообразия Nc. Заметим, что методы доказательств близких по формулировке результатов из [13] и [14] принципиально отличаются друг от друга.
Приведем необходимые обозначения. Пусть hf = fhf-1 означает сопряжение. Простой (синоним - лево нормированный) коммутатор веса k > 2 определяется индуктивно. Для веса 2 - это обычный коммутатор (х1, х2) = х1 х2 х-1 х-1 ; для большего веса, если коммутатор (х1, ... , хк ) веса k уже определен, то коммутатор веса k+1 имеет вид (х1, ... , хк, хк+1) = = ((х1, ... , хк), xfc+1). Простой коммутатор от x и y веса m +1, в котором на первом месте стоит x, а на остальных местах, начиная со второго, подряд стоят m одинаковых элементов y, обозначается (x, y; m). Понятный смысл имеют обозначения вида (x, y; m, z; p) и т. п. Через yt(G) обозначается член нижнего центрального ряда группы G с номером i. Напомним, что y1(G) = G, y2(G) = (G, G) (коммутант); если i > 3, то Yi(G) = (Kî_1(G), G) (взаимный коммутант - подгруппа, порожденная всеми коммутаторами вида (h, f), где h е Yi-1(G), f е G). Очевидно, что образ коммутаторного отображения определенного простым коммутатором веса i принадлежит yt(G). Также мы используем обозначение G' для коммутанта и G" - для второго коммутанта группы G. Коммутант с номером k обозначается через G(k). В частности, G' = С(1) и G" = С(2).
Свободная абелева группа ранга r обозначается через Аг, метабелева группа ранга r - через Мг. Как уже отмечалось выше, свободная нильпотентная группа ранга r ступени c обозначается через Nrc, свободная разрешимая группа ранга r ступени d - через Srd. В частности, Mr = Sr2. Также через Мгк обозначим свободную группу ранга r многообразия всех метабелевых нильпотентных групп ступени нильпотентности k > 1. Через Srdk соответственно обозначим свободную группу ранга r многообразия всех групп разрешимых ступени не больше чем d и нильпотентных ступени не больше чем k (то есть свободную группу ранга r пересечения многообразия всех
разрешимых групп ступени не больше чем d и всех нильпотентных групп ступени не больше чем k). Относительно понятий и результатов, связанных с многообразиями см. [15].
2. Предварительные сведения
Пусть F - свободная группа бесконечного счетного ранга с множеством свободных порождающих элементов (базисом) X = {хг, х2, ...,х„,...}. Подгруппа H группы G называется вербально замкнутой (в G), если любое уравнение (расщепленного) вида Цхх, ...,х„) = h, где ...,хи) £ F и h £ H, имеющее решение в G, имеет решение в Н; подгруппа H группы G называется алгебраически замкнутой (в G), если любая конечная система уравнений вида Цхх, ...,хп,Н) = 1, где w(xt, ...,хп,Н) - групповое слово, зависящее от указанных переменных и элементов подгруппы H, имеющая решение в G, имеет решение в Н.
Пусть Fr - свободная группа ранга r с базисом {/i, — •fr}, тогда Мг - фактор-группа Fr / F" с индуцированным базисом {z1,... ,zr}.
Следующее утверждение впервые было доказано в [11, лемма 1] (см. также [12]).
Лемма 1. Пусть в группе М2 набор элементов (д1, д2) является решением уравнения
(Х2, Xi, Xi, Х2) — (Z2, Zi, Zi,Z2). (1)
Тогда gt = z(mod M2), i = 1, 2. Аналогичное утверждение верно также для группы М2к при k > 4.
Утверждение для М2к в [11] явно не сформулировано, но поскольку доказательство проводилось по модулю у5М2, то оно подходит и для этого случая.
Лемма 2. [14]. Пусть G - группа, N - ее вербальная подгруппа, Gn = G/N. Если H - вербально замкнутая подгруппа группы G, то ее образ HN - вербально замкнутая подгруппа в GN.
Доказательство. Пусть уравнение ^(х1, ...,хи) = = h (h е HN) имеет решение (g1t..., дп) в GN. Возьмем какой-нибудь набор (д^, ...,д'п) прообразов элементов этого решения относительно стандартного гомоморфизма G ^ Gn в G. Тогда (д'^,.,д'-п) - решение уравнения w(x1,.,xn) = /' в G. Здесь /' = = w(g'i,..., д'п) - прообраз элемента h в G. Также существует прообраз h' этого элемента в H. Тогда /'= h'v, v е N. Пусть v - значение слова v(xn+i, ...,xn+m), соответствующего вербальной подгруппе N (тождественно равного 1 в GN). Рассмотрим уравнение ^(xi, ...,xn)v(xn+1, ...,xn+m)-i = h', имеющее решение в G. Тогда оно разрешимо в H. Образ первых n элементов этого решения в GN будет решением уравнения ^(х1, ...,хи) = h в GN. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть Н = gp(h,/) - 2-порожденная нециклическая подгруппа свободной разрешимой группы Бга ранга г > 2 ступени d > 2. Тогда справедливо следующее утверждение: если Н - вербально замкнутая подгруппа группы Бга, то элементы h, f индуцируют в абелизации Аг = Бга(свободной абе-левой группе ранга г) прямой множитель ранга 2, а Н является свободной разрешимой группой ранга 2 ступени d.
Доказательство. По лемме 2 образы элементов ^ f в абелизации Аг порождают вербально замкнутую подгруппу. По упомянутой выше теореме из [14] эта подгруппа является прямым множителем в Аг. Остается показать, что этот множитель не может быть циклическим. Можно считать, что образ подгруппы Н в фактор-группе 5г^-1 = 5г^/5,
(d-i) Jrd
порожден образом к' элемента h, в то время как элемент f принадлежит (ввиду Леммы 2 здесь используется естественное индукционное предположение относительно d). Пусть f (г1,.,гг) - запись элемента f в виде слова от свободных порождающих элементов группы Бга. Уравнение f (х1,... ,хг) = f разрешимо в группе Бга. Значит, оно должно иметь решение к1, ...,кг в Н. Компоненты этого решения записываются в виде к = к1(1)[а(1), t(i) е Z, a(i) - элемент группового кольца Z[д'], i = 1, ..., г. Тогда f (к^...,^) = f (й*(1),...,М(г)) fs = fs, где 5 = %1=1а(№1 (/), где ^(/) - значение -й частной производной Фокса в Z[k']. Относительно вычислений с использованием производных Фокса см., например, [12]. Значение 5 можно легко вычислить, не обращаясь к производным Фокса. Можно просто использовать обычные соотношения, собирая вместе степени элемента f в записи f (к1,...,кг). Остается заметить, что 5 принадлежит фундаментальному идеалу кольца Z[k'], так как f (х1,... ,хг) - коммутаторное слово. Тогда = 1 при 1 - 5, не равном 0, что невозможно ввиду хорошо известного факта об отсутствии в модульного кручения (см., например, [12]).
По теореме Баумслага [16], Н = §р(^ /) - свободная разрешимая группа ступени разрешимости d ранга 2 с базисом, состоящим из обозначенных элементов. Лемма доказана.
3. Основные результаты (циклический и мета-белев случаи)
Элемент свободной в некотором многообразии V группы Г^) называется примитивным, если он может быть включен в некоторое множество свободных порождающих группы Г^).
Предложение 1. Пусть H = gp(h) - циклическая подгруппа свободной разрешимой группы Srd ранга r > 2 ступени разрешимости d > 1, порожденная неединичным элементом h. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) H - вербально замкнутая подгруппа Srd;
2) H - ретракт Srd;
3) H - алгебраически замкнутая подгруппа Srd;
4) образ элемента h в абелизации Ar = Srd/S'rd (изоморфной свободной абелевой группе ранга r) примитивен.
Доказательство. То, что любой ретракт H произвольной группы G является вербально и алгебраически замкнутой подгруппой в G, очевидно из того, что ретракция переводит любое решение уравнения в группе G в решение в подгруппе H, не изменяя коэффициентов уравнения. Значит, из 2) следуют утверждения 1) и 3), а также 4) с учетом Леммы 2. Остается доказать, как выводятся все остальные утверждения из 1) и из 4).
Покажем, что из 1) следует 4). Элемент свободной абелевой группы примитивен в том и только том случае, когда из него не извлекается корень степени не меньше, чем 2. Пусть выполнено 1), но в то же время из образа элемента h в Аг извлекается корень степени s > 2. В группе Srd выполнено равенство вида fsu = h, u еS'rd. Пусть z1t ...,zr - базис группы Srd и f = f(z1, ...,zr) - выражение элемента f через этот базис. Значит, в группе Srd разрешимо уравнение f(x1, ..,xr)sw(x1, ...,xr) = h, где w(x1, ...,xr) - коммутаторное слово, значение которого тривиально для любого набора элементов из H. Очевидно, что приведенное уравнение не имеет решения в H. Доказано, что 1) влечет 4).
Пусть выполнено 4). Покажем, что тогда выполнено 2). В этом случае элемент h можно записать в виде h = yu, где y - элемент некоторого базиса группы Ar, u е S'd. Так как любой базис группы Аг индуцируется некоторым базисом группы Srd (даже любым базисом абсолютно свободной группы Fr, см. по этому поводу [12]), можно считать, что y принадлежит некоторому базису группы Srd. Возьмем эндоморфизм группы Srd, переводящий y в h, а остальные элементы этого базиса в 1. Легко видеть, что это ретракция Srd на H. Доказано, что 4) влечет 2).
Предложение доказано.
Теорема 1. Пусть H = (h, f) - 2-порожденная подгруппа группы G, равной Мг или Mrk, k > 4. Следующие условия равносильны:
1) H - вербально замкнутая подгруппа G;
2) H - ретракт G;
3) H - алгебраически замкнутая подгруппа G. Доказательство. Так как ретракт любой группы вербально и алгебраически замкнут и алгебраическая замкнутость влечет вербальную, нужно только доказать, что из 1) следует 2). По Лемме 2 образ подгруппы H в Аг является вербально замкнутой подгруппой. По Лемме 3 этот образ является нециклическим прямым множителем в Ar = G/G'. Можно считать, что h = uz1, u e G', и f = vz2, v e G', где z1, ...,zr - некоторый базис группы G. Пусть h (z1, ...,zr ) и f (z1, ...,zr ) - выражения элементов h и f соответственно через базис группы G. Рассмотрим уравнение
(f(x1, ...,xr), h(x1, .. ,xr),h(x1, ..,x),f(x1, ...,xr) = = (f,h,h,f). (2) Очевидно, что оно разрешимо в группе G. Так как подгруппа H вербально замкнута в G, уравнение (2) имеет решение также в H. Это означает, что для некоторых элементов h1,.,hr из H выполнено равенство
(f(h1,..., hr), h(h1,..., hr), h(h1,..., h), f(h,..., hr)) = = (f,h,h,f). (3)
Рассмотрим случай G = Mr. Обратим внимание на то, что тогда по упомянутой выше теореме Баумс-лага [16] равенство (2) выполнено в свободной мета-белевой группе H ранга 2. По Лемме 1 выполнены сравнения
f(h1, ...,hr) = f£(mod M2),h(h1, ...,hr) =
= té (mod M2), (4)
где £, <• e {±1}.
Напомним, что элемент группы G называется тестовым, если любой эндоморфизм этой группы, оставляющий его на месте, является автоморфизмом. По теореме Тимошенко [17], любой неединичный элемент коммутанта свободной метабелевой группы ранга 2 является тестовым. Значит, отображение
h ^ h(h1,..., hr),f ^ f(h1,..., hr) (5) определяет автоморфизм группы H. Пусть е, £ = 1. Тогда этот автоморфизм является тождественным по модулю Н'. По теореме Бахмута [18], такие автоморфизмы являются внутренними. Тогда найдется элемент ve H, что
h(h1, ...,hr) = hv, f (h1, ...,hr) = fv. (6) Из равенства (3) следует, что (f,h,h,f)v= = (f,h,h,f). Так как в свободных разрешимых (в частности метабелевых) группах централизатор любого неединичного элемента из последнего неединичного члена ряда коммутантов (в метабелевом случае - коммутанта) совпадает с этим членом (коммутантом) [19], тогда отсюда получаем, что v e Н'. Рассмотрим эндоморфизм группы Мг, определяе-
мый отображением zt ^ hf, где w = v 1. Ясно, что его образ лежит в H. При этом
h = h(z1, ...,zr)^ h (h1, ...,hr)w = h,
f = f(z......f (hi.....hr)w=f, (7)
то есть данный эндоморфизм тождественен на H. Тогда это ретракция и H - ретракт.
Рассмотрим другие варианты значений параметров е, Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к доказательству существования эндоморфизма группы Мг с образом в группе H. При этом образом элемента h будет hE, а образом элемента f - элемент /z. Искомой ретракцией будет суперпозиция построенного эндоморфизма на себя. Эта суперпозиция приводит к рассмотренному выше случаю эндоморфизма, индуцирующего тождественное отображение на H по модулю Н'. Доказательство заканчивается, как выше.
Пусть теперь G = Mrk. Эта группа - свободная в нильпотентном многообразии. Поэтому пара элементов h, f, индуцирующих свободные порождающие группы Аг, порождают в Mrk свободный множитель относительно этого многообразия. Свободные множители являются очевидными ретрактами. Теорема доказана.
4. Основные результаты (3-ступенно разрешимый случай)
Следующий конкретный пример тестового элемента свободной разрешимой группы ступени разрешимости не меньше чем 3, а именно свободной разрешимой группы 523, построен первым автором в [20].
Пример 1. Пусть x, y- базис группы 523. Для любых натуральных чисел k и l полагаем z(k; l)(x, y) = = (y, x; k, y; l-1), тогда w(k; l; m; n)(x, y) означает (z(k; l)(x,y), z(m; n)(x,y)). Тогда элемент
u(x, y) = w(3; 2; 1; 1)(x, y) w(2; 2; 1; 2)(x, y) (8) является тестовым.
В [20] также доказана следующая лемма.
Лемма 4. Если образ элемента u относительно эндоморфизма ф группы S23 совпадает с u по модулю у8 523, то ф тождественен по модулю коммутанта S23. В этом случае, по теореме из [21] (см. также [22]), ф - внутренний автоморфизм группы
^23.
Теорема 2. Пусть H = gp(h, f) - 2-порожденная подгруппа группы G, равной группе Sr3, r > 2, или группе Sr3k, r > 2, k > 7. Следующие условия равносильны:
1) H - вербально замкнутая подгруппа в G;
2) H - ретракт в G;
3) H - алгебраически замкнутая подгруппа в G.
Доказательство. Очевидно, что из 2) следует 1) и 3), а из 3) следует 1). Остается доказать, что из 1) следует 2). Ввиду Теоремы 1 и Лемм 2 и 3 можно считать, что h = иг1, и е С, и f = vz2, V е С, где г1, ...,гг -некоторый базис группы в.
Пусть в = 5г3. По уже упоминавшейся выше теореме Баумслага [16], Н = §р(^ /) - свободная разрешимая группа ранга 2 ступени разрешимости 3 с базисом, состоящим из обозначенных элементов, т. е. Н изоморфна группе 523. Пусть к^,...^^ и /(г1, ...,гг) - выражения элементов h и f соответственно через базис группы 5г3. Рассмотрим уравнение
(и(к(х 1,...,хг), /(х1,...,хг))) = и(к,/). (9) Уравнение (9) имеет решение г1, ...,гг в группе 5г3. Значит, оно имеет решение к1, ...,кг в подгруппе Н. То есть выполнено равенство
и(к(к1,..., кг), ¡(к1,..., кг)) = и(к, /). (10) Отображение ^ к;, i = 1, ..., г определяет эндоморфизм группы 5г3 в подгруппу Н. При этом элемент к = к(г1,..., гг) переходит в к(к1,.,кг), а элемент / = [(г1, ...,гг) - в [(к±, ...,кг).
По Лемме 4, элемент и(^ /) является тестовым для Н, а отображение к ^ к(к1, . ,кг), ^/(к1,. ,кг) определяет автоморфизм группы Н. По Лемме 4 этот автоморфизм - тождественный по модулю коммутанта Н'. По теореме из [20] (см. также [12] или [21]), он обязательно внутренний. Тогда существует элемент уе И, для которого
к(к1, ...,кг) = к",/(к1, ...,кг)= Г. (11) Из равенства (10) следует, что и(к,/У = = и(к,[). Так как в свободных разрешимых группах централизатор любого неединичного элемента из последнего неединичного члена ряда коммутантов совпадает с этим членом [17], то отсюда получаем, что V е Н(2). Рассмотрим эндоморфизм группы 5г3, определяемый отображением г^ ^ к™, где ж = V-1. Ясно, что его образ лежит в Н. При этом
к = к(г1, ...,гг)^ к(к1,..., кг)ш = к,
/ = А*1...../(к!.....КТ=Г, (12)
то есть данный эндоморфизм тождественен на Н. Тогда это ретракция и Н - ретракт.
Пусть теперь в = 5г3к. Эта группа - свободная в нильпотентном многообразии. Поэтому пара элементов h, ^ индуцирующих свободные порождающие группы Аг, порождают в 5г3Й свободный множитель относительно этого многообразия. Свободные множители являются очевидными ретрактами. Теорема доказана.
5. Основные результаты (разрешимый случай)
Основной результат данного раздела обобщает Теоремы 1 и 2 касательно групп Мг и Sr3 соответственно. Основное отличие заключается в виде применяемого в доказательстве тестового элемента. В данном случае мы используем общую схему нахождения тестового элемента группы Srd, предложенную вторым автором в [24] (см. также [23]).
Лемма 5. Пусть z1, z2 - базис группы S2d, r > 2, d > 2. Для любого неединичного элемента u е найдется такое число m, что элемент v = иа, где а = (1 — z1m)(1 — z2m) является тестовым. Композиция любого эндоморфизма, оставляющего на месте v, на себя является внутренним автоморфизмом группы.
Теорема 3. Пусть H = gp(h, f) - 2-порожденная подгруппа группы Srd, r > 2, d > 2. Следующие условия равносильны:
1) H - вербально замкнутая подгруппа в Srd;
2) H - ретракт в Srd;
3) H - алгебраически замкнутая подгруппа в
Srd.
Доказательство полностью повторяет аргументы доказательства Теоремы 2, использующие в качестве тестового элемент из Леммы 5 до того момента, пока мы не получим эндоморфизм ф группы Srd на подгруппу H, для которого выполнены формулы, аналогичные (12). Образ этого эндоморфизма принадлежит H, но в общем случае ф не индуцирует на H автоморфизм, тождественный по модулю #'. Вместо этого эндоморфизма нужно взять его квадрат ф2, который уже будет индуцировать на H автоморфизм, тождественный по модулю Н'. По Лемме 4, ф2 - внутренний автоморфизм. Доказательство завершается, как доказательство первого случая в Теореме 2. Теорема доказана.
6. Открытые вопросы
Вопрос 1. Верно ли, что для подгруппы H произвольной разрешимой группы Srd ранга r > 2 ступени разрешимости d > 2 следующие условия эквивалентны:
1) H - вербально замкнутая подгруппа Srd,
2) H - ретракт Srd,
3) H - алгебраически замкнутая подгруппа Srd?
Вполне вероятно, что ответ на этот вопрос отрицательный. Дело в том, что по теореме второго автора (см. [23] или [24]) тестовый ранг группы Srd при r, d > 2 равен r- 1. Напомним, что тестовым рангом группы называется наименьшее число элементов этой группы, для которых любой тождественный на каждом из них эндоморфизм является автоморфиз-
мом. В общем случае H не содержит тестового элемента. Поэтому методы доказательств данной работы в таком случае в полной мере не применимы.
Вопрос 2. Верен ли аналог Теоремы 2 для произвольной свободной полинильпотентной группы P? А именно будут ли равносильными для произвольной 2-порожденной подгруппы H = gp(h, f) свободной полинильпотентной группы P ранга r > 2 следующие условия:
1) H - вербально замкнутая подгруппа P;
2) H - ретракт P;
3) H - алгебраически замкнутая подгруппа P. Заметим, что по теореме Канты Гупта и второго
автора из [25] (см. также [24]) любая свободная по-линильпотентная группа P ранга 2 класса (1, с1, ..., сг) при l > 1 обладает тестовыми элементами.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Hodges W. Model Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1993. 788 p.
2. Scott W. R. Algebraically closed groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. Vol. 2. P. 118-121.
3. Macintyre A. On algebraically closed groups // Ann. Math. 1972. Vol. 96. P. 53-97.
4. Eklof P. C., Sabbagh C. Model completions and modules // Ann. Math. Logic. 1970/71. Vol. 2. P. 251-295.
5. Белеградек О. В. Об алгебраически замкнутых группах // Алгебра и логика. 1974. Vol. 13. С. 239-255.
6. Belegradek O. V. Elementary properties of algebraically closed groups // Fund. Math. 1978. Vol. 98. P. 83101.
7. Ziegler M. Algebraisch abgeschlossene Gruppen // Word Problems II (eds. S.I. Adian, W.W. Boone, G. Hig-man). Amsterdam: The Oxford Book. 1980. P. 449-576.
8. Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп // Итоги науки и техн., сер. Алгебра. Топол. Геом. Фундам. направл., 1983. Т. 21. М.: ВИНИТИ. С. 3-79.
9. Baumslag G., Levin F. Algebraically closed torsion-free nilpotent groups of class 2 // Comm. Algebra, 1976. Vol. 4. P. 533-560.
10. Leinen F. Existentially closed groups in special classes // Finite and Locally finite groups (Istanbul, 1994). 1995. Vol. 471, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math., Phys. Sci., Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. P. 285-326.
11. Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах // Сиб. матем. журн. 1979. Т. 20, № 3. С. 671-673.
12. Roman'kov V. A. Essays in algebra and cryptology. Solvable groups. Omsk: Omsk State University Publishing House, 2017. 207 с.
13. Myasnikov A., Roman'kov V. Verbally closed subgroups of free groups // J. Group Theory. 2014. Vol. 17, no. 1. P. 29-40.
14. Романьков В. А., Хисамиев Н. Г. Вербально и экзистенциально замкнутые подгруппы свободных ниль-потентных групп // Алгебра и логика. 2013. Т. 52, № 4. С. 502-525.
15 Нейман Х. Многообразия групп. М.: Мир, 1969. 264 с.
16. Baumslag G. Some subgroup theorems for free u-groups// Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 108. P. 516525.
17. Мальцев А. И. О свободных разрешимых группах. Докл. АН СССР. 1960. № 1. С. 65-68.
18. Тимошенко Е.И. Тестовые элементы и тестовый ранг свободной метабелевой группы // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 47, № 6. С. 1451-1456.
19. Bachmuth S. Automorphisms of free metabelian groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 118. P. 93104.
20. Романьков В. А. О тестовых элементах свободных разрешимых групп ранга 2 // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 2. С. 192-201.
21. Bachmuth S., Formanek E., Mochizuki H. Y. IA-automorphisms of two-generated torsion free groups // J. Algebra. 1976. Vol. 40. P. 19-30.
22. Романьков В. А. Нормальные автоморфизмы дискретных групп // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, № 4. С. 138-149.
23. Тимошенко Е. И. Вычисление тестового ранга свободной разрешимой группы // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 4. С. 447-457.
- 15
Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 1, pp. 9-16
Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 1. С. 9-16
-ISSN 1812-3996
24. Тимошенко Е. И. Эндоморфизмы и универсальные теории разрешимых групп. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2011. 327 с. (Серия «Монографии НГТУ»).
25. Гупта Ч. К., Тимошенко Е. И. О тестовом ранге некоторых свободных полинильпотентных групп // Алгебра и логика. 2003. № 42. С. 37-50.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Романьков Виталий Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор, Главный научный сотрудник, Заведующий кафедрой компьютерной математики и программирования, 1Ин-ститут математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, 2Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 1644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13, 2644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: romankov48@mail.ru.
Тимошенко Евгений Иосифович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический университет, 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20; e-mail: eitim45@gmail.com.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Roman'kov Vitalii Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, 1Major Researcher, 2Head of the Department of Computing Mathematics and Programming, 1Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 2Dostoevsky Omsk State University, 113, ul. Pevtsova, Omsk, 644099, Russia, 255a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: romankov48@mail.ru.
Timoshenko Evgenii losiphovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Algebra and Mathematical Logic, Novosibirsk State Technical University, 20, pr. K. Marxa, Novosibirsk, 630073, Russia; e-mail: eitim45@gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Романьков В. А., Тимошенко Е. И. О вербально замкнутых подгруппах свободных разрешимых групп // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 1. С. 9-16. DOI: 10. 25513/1812-3996.2019.24(1).9-16.
FOR QTATIONS
Roman'kov V.A., Timoshenko E.I. On verbally closed subgroups of free solvable groups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 1, pp. 9-16. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(1). 9-16. (in Russ.).
