CC BY
22
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)
Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера
80-летию Мартина Давидовича Г риндлингера посвящается
УДК 510.53+512.54.0+512.54.03+512.54.05+512.543.72
ОБ УРАВНЕНИЯХ В СВОБОДНЫХ ГРУППАХ, РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИЗВЕСТНЫХ, С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА РЕШЕНИЯ
В. Г. Дурнев, О. В. Зеткина
Аннотация
Устанавливается алгоритмическая неразрешимость проблемы разрешимости в свободной группе ^2 ранга 2 со свободными образующими а и Ь для систем уравнений с ограничениями на решения вида
t
Х ^ 12
ю(хі, . . . ,Хп) = [а,Ь] & & Хг Є
І=1
И ВИДсі
,ю(х1,...,хп) = [а,Ь] & х1 Є ^2(2 \
где w(xl,..., хп) - слово в алфавите неизвестных {хі,..., хп], [а, Ь] - коммутатор свободных образующих а и Ь, Е(1 - коммутант группы ^2, а ^22)
- ее второй коммутант.
Устанавливается существование полиномиального алгоритма, позволяющего по произвольному разрешенному относительно неизвестных урав-
Н0НИЮ ВИДсі
w (хі, ... , хп) = д( а, Ь),
где w (хі, ... , хп) - групповое слово в алфавите неизвестных, а д( а, Ь)
- элемент длины меньше 4 свободной группы ^2, определить, существует ли решение этого уравнения, удовлетворяющее условию
хі Є ^ ... ,хг Є г(з),
где і - произвольное фиксированное число между 1 и п, а - 5-ЫЙ коммутант группы ^2.
Устанавливается алгоритмическая разрешимость аналогичных проблем для уравнений с одним неизвестным.
Обозначим через - свободную группу ранга т со свободными образующими а 1 * • • * * а^т •
При т = 2 вместо а1 и а2 будем писать а и Ь соответственно.
Уточним некоторые определения, относящиеся к системам уравнений в свободных группах.
Системой уравнений с неизвестными Ж1,..., хп в свободной группе Бт называется выражение вида
к
& (х1^ ... ^ хп ч а1) . . . ) ат) (х1 4 ... 4 хп а1) ' ' ' ) ат) ? (1)
1=1
где Шг(х1?..., хп, а1}..., ат) и щ(х1}..., хп, а1}..., ат) - слова в алфавите
{ х1 ,х-1,... ,х,п,х-1,а1 ,а-1,... ,ат,ат }.
Набор (д1}..., дп} элементов группы Бт называется решением системы (1), если при любом 1(1 = 1 ,...,&) в группе Fm выполняется равенство
Шг(д14 ... 4 дп) а1ч ... 4 ат) и1(д14 ... 4 дп) а1ч ... 4 ат).
Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Используя уравнение
[х,а] = ([х,Ь] у2)24
имеющее в свободной группе Бт при любом т ^ 2 лишь тривиальное реше-х = 1 у = 1 равносильным, уравнением.
Для уравнений в свободных группах традиционно рассматриваются две основные задачи: проблема существования решения и проблема описания множества всех решений.
Исследование разрешимости уравнений в свободных группах было начато американскими математиками в конце 50-х годов в связи с проблемой разрешимости элементарных теорий свободных групп, поставленной А. Тарским [1]. В начале исследовались лишь отдельные уравнения, а в 1960г. Р. Линдон [2] нашел для произвольного уравнения с одним неизвестным описание множества всех его решений с помощью параметрических слов, т.е. выражений, полученных из образующих рассматриваемой свободной группы с помощью операций группового умножения и возведения в степень с переменным целочисленным показателем. Позже А.А. Лоренц [3] и К.И. Аппель [4] уточнили это описание Р. Линдона, доказав, что общее решение любого уравнения с одним неизвестным в свободной группе представимо конечным числом формул вида АВС, где А, В, С - конкретные слова, а £ - параметр, принимающий произвольные целочисленные значения. Дальнейшее продвижение в этом вопросе было достигнуто в 1970 году К).И. Хмелевским [5].
В 1982 году P.C. Макании [6] получил полное решение проблемы распознавания разрешимости уравнений в свободной группе. Он доказал, что если данное уравнение с длиной записи d имеет решение в свободной группе, то длина каждой компоненты минимального (по максимальной длине компоненты) решения не превосходит числа Ф^), где Ф(ж) - некоторая рекурсивная функция. Это дает переборный алгоритм для распознавания разрешимости произвольного уравнения в свободной группе.
В связи с уже упоминавшейся выше проблемой А. Тарского о разрешимости элементарной теории произвольной свободной группы представляет интерес исследование алгоритмической природы фрагментов этой теории. Основные на сегодняшний день результаты в этой области получены P.C. Маканиным. Вскоре после опубликования работы [6] ему удалось на том же пути доказать разрешимость экзистенциональной (универсальной) и позитивной теорий любой свободной группы [7]. При доказательстве разрешимости позитивной теории свободной группы P.C. Макании использовал результат IO.I I. Мерзлякова [8] об устранимости кванторов общности в позитивных формулах, относящихся к свободным группам.
A.A. Разборов [9] дал описание множества решений произвольной совместной системы уравнений в свободной группе.
После построения P.C. Маканиным [6] разрешающего алгоритма для систем уравнений в свободной группе Fm, особый интерес стал представлять вопрос о существовании аналогичных алгоритмов для уравнеий в свободных группах с различными "не слишком сложными "ограничениями на решения.
Вопрос о разрешимости позитивной теории свободной группы был сведен К).И. Мерзляковым [8] к следующей проблеме
существует ли алгоритм, позволяющий для произвольного уравнения,
w (x\, ... , xn, ü\, ... , am) = 1
в свободной группе счетного ранга определить, имеет л,и оно такое реиление gi, .. v gn, что
gl e Fmi ■ g2 e Fm2 ■ . . . ■ gt e Fmt ■
где ml ^ m2 ^ ... ^ mt, Fm. - свободная группа с образующими аь ..., ami.
P.C. Маканиным [7] построил искомый алгоритм, и тем самым доказал разрешимость позитивной теории свободной группы.
Хорошо известно, что вопрос о точности матричного представления Гасснер
[10], [11] группы крашеных кос эквивалентен вопросу об отсутствии нетриви-
Fm
xlalx-1 ■ x2a2x-1 ■ ■ ■ xmamxm = al ■ a2 ■ ■ ■ am, удовретворяющего условию
xl e Fg),
(2)
где Бт - второй коммутант свободной группы Гт. Напомним, что для произвольной группы С через С(2 обозначается ее второй коммутант, т.е. С(2) = [о(1),а(1)], где С(^ = [С, С] - коммутант группы С. Кроме того при произвольном £ С^+1) = [С«, С«] и С(0) = С.
Обобщая эти ситуации Г.С. Макании поставил в "Коуровской тетради"[12] следующую проблему для уравнений в свободных группах "9.25. Указать алгоритм, который по уравнению
ш (х1,... ,хп,а1,... ,ат ) = 1
в свободной группе Бт и списку конечно порожденных подгрупп Н1г..., Нп группы Бт позволял, бы, узнать, существует л,и решение этого уравнения, с условием
х1 £ Н1 ч ... ч хп £ Нп .
Первые положительные результаты в направлении решения этой проблемы были получены А.Ш. Малхасяном [13].
В. Диекерт [14] показал, что проблема определения по произвольному уравнению
ш (х1,... ,хп,а1,... ,ат ) = 1
в свободной группе Бт и списку регулярных подмножеств (языков) Н1у..., Нп группы Бт узнать, существует ли решение этого уравнения с условием
х1 £ Н1,...,хп £ Нп”
разрешима и принадлежит классу РБРАСЕ. Так как конечно порожденные подгруппы являются регулярными подмножествами, то тем самым решается и проблема Г.С. Маканина.
Представляет интерес дальнейшее исследование различных обобщений проблемы Г.С. Маканина для свободных групп, получающихся путем ослабления
Н1 Нп
Одна из причин, по которым в формулировке задачи 9.25 речь идет именно о конечно порожденных подгруппах, заключается в том, что для, конечно порожденных подгрупп свободной группы, разрешима проблема вхождения.
В то же время проблема вхождения разрешима и для многих бесконечно порожденных подгрупп свободной группы, причем, например, для первого ^ и второго коммутантов свободной группы Бт проблема вхождения решается чрезвычайно просто, значительно проще, чем для некоторых конечно порожденных подгрупп. Поэтому представляется достаточно естественным следующее обобщение задачи 9.25.
"9.25а. Существует л,и алгоритм,, который по уравнению
ш (х1} ... , хп а1} ... , ат) = 1
в свободной группе Вт и списку подгрупп Н1}..., Нп с разрешимыми проблемами вхождения позволял бы, узнать, существует л,и решение этого уравнения, с
х1 £ Н1 хп £ Нп
В работе [15] первого автора был получен следующий результат.
Теорема 1. В свободной группе Б2 со свободными образующими а и Ь можно построить такое уравнение
ш (х, х1, ... , хп, а, Ь) = 1
х1 х2 хп а Ь х
существует алгоритма, позволяющего для, произвольного натурального числа, к определить, существует ли решение уравнения,
ш ( ак, х1, ... , хп, а, Ь) = 1,
удовлетворяющее условию
х1 £ [Б2, Б2], ... ,хг £ [В2, ¥2],
где £ - некоторое фиксированное число между 1 и п.
В настоящей заметке существенно усиливается этот результат. Причем в определеном смысле это усиление близко к окончательно возможному.
В ряде работ [16], [5], [17], [18], [19] рассматривались уравнения вида
Ш ( х1) ... ) хп ) д( а1) ... ) ат ))
где ш (х1} ... , хп) - групповое слово в алфавите неизвестных х^ х2,..., хп, т. е.
а1 ат д( а1 , . . . , ат ) а1
ат
шенных относительно неизвестных, или уравнений с правой частью. Проблема разрешимости для таких уравнений иногда называется проблемой подстановки или проблемой сравнения с образцом.
Обозначим через [и, ь] коммутатор элементов и и V, т. е. [п,ь] = пуп~1у~1.
Теорема 2. В свободной группе В2 со свободными образу ющими а и Ь можно построить такое семейство разрешенных относительно неизвестных уравнений
ш (хк, х1у ... , хп) = [ а, Ь ], где ш (хк, х1, ... , хп) - групповое слово в алфавите не известных х, х1} х2,...,
хп
к
ш (хк, х1у ... , хп) = [ а, Ь ], удовлетворяющее условию
х1 £ [В2, В2], ... ,хг £ [В2, В2], где £ - некоторое фиксированное число между 1 и п.
Теорема 3. Невозможен алгоритм,, позволяющий по произвольному уравнению вида,
w ( xi, xn) = [a,b]
F2 gl gn
g rz F(2)
gl e f2 .
Предварительно докажем вспомогательную лемму.
Лемма 1. Уравнение w(xl,... ,xn,a,b) = 1 имеет решение в свободной F2
xi e f(s), ... ,xt e f(s),
тогда и только тогда, когда, в этой группе следующее уравнение
w4(xl,..., xn,u,v)[u,v] = [a,b]
имеет решение, удовлетворяющее условию
xi e F(s), ... ,xt e F(s),
Доказательство. Если уравнение w(xl,... ,xn,a,b) = 1 имеет решение gl gn F2
gl e F.(’\ ...,gt e F.(’\
gl gn a b
wi(xl)... ,xn,u,v)[u,v] = [a,b], удовлетворяющее условию
gl e F.(’\ ...,gt e F^.
Обратно, пусть gb ..., gn, a, ß - решение уравнения
wi(xl)... ,xn,u,v)[u,v] = [a,b], удовлетворяющее условию
gl e F.(’\ ...,gt e F^.
A.A. Вдовина [20] доказала, что равенство [u,v][s,i] = w4 влечет в свободной группе F2 равенство w = 1.
Поэтому равенство
w4(gl ,...,gn,a,ß )[a,ß] = [a,b]
влечет равенства эд(д1;дп,а,в) = 1ъ[а,в] = [а,Ь].
Тогда по теореме А.И. Мальцева [16] а и в ~ свободные образующие группы , поэтому существует автоморфизм ф свободной группы такой, что ф(а) = а и ф(в) = Ь.
Применив автоморфизм ф к равенству ,ш(д1,..., дп,а, в) = 1, получим
™(ф(д1),...,ф(дп),а,ь) = 1-
При этом, если дг Е то и ф(дг) Е .
Значит ф(д1), ..., ф(дп) - решение уравнения ,ю(х1,... ,хп,а1,а2) = 1, удовлетворяющее условию
ф(д1) Е 4‘\ ф(д.) Е В?'.
□
Доказательство, теоремы 2. Введем предикат
Z(x) ^ ([х, а] = 1).
Хорошо известно, что для любого элемента д Е
Б2 = Z(g) ”д — степень а”.
Рассмотрим предикаты
Т ( Х1, X 2 )
^ ([ х1, а ] = 1&[ х2, Ь ] = 1)&( 3 ху)([ х, аЬ ] = 1&
& у = хх~-1х-1 & у Е );
М (х1, х2, х3) ^ ( 3 ху г) (Т (х2, х) &[у, х1Ь] = 1 &
& г = ух-1х~1 & г Е ).
Легко понять, что для произвольных элементов д и к группы Г2:
Б2 = Т (д, к) ^
” существует такое целое число р, что д = ар, к = Ьр”.
Нетрудно проверить, что для произвольных целых чисел в, Ь и г имеет место эквивалентность
Б2 = М ( ая, а1, аг ) г = вЬ.
Воспользуемся целочисленным, вариантом, непосредственного следствия теорем,ы, Ю.В. Матиясевича, о диофантовости перечислим,ы,х множеств [21]:
Для произвольного рекурсивно перечислимого множества А натуральных чисел, можно построить такую формулу Ф^(х^ вида,
в
( 3 х2 ... хр )Ф, где Ф = & фг
г=1
и каждая формула фг имеет один из следующих видов:
хг + Х3 = х*, Х3 = хг, хг Х3 = х*, Х3 = с, где с - целое число, что для, произвольного натурального числа, к имеем:
п € А тогда и только тогда, когда, формула Ф^ (к) истинна на, кольце целых чисел.
Пусть А - рекурсивно перечисленное множество, а Ф^( х1) - соответствующая формула.
По формуле Ф^( х1) построим формулу Ф1 (х1) следующим образом:
р
Ф1 (х1) ^ ( 3 х2 ... хр )(^1 & ( & ^ (хг))),
г=2
где Ф1 получено из Ф заменой каждой фо рмулы фг гад а хг + ху = х* на хг ху = х^ формулы вида хг ху = х* - на М (хг, ху, хг), формулы вида ху = хг - на ху = хг, а формулы в ида ху = с - на ху = ас.
Ф1 ( х1 )
дем полученную формулу Ф(х) к виду
г * (11
( 3 х1 . . . хп ) (( & тг = 1 ) & ( & ху € ^2 )
г=1 ]=1
Воспользовавшись уравнением [х,а\ = ([х,Ь] у2)2, имеющим лишь триви-
г
альное решение х = 1, у = 1, заменим систему уравнений & тг = 1 одним
г=1
уравнением т = 1, ей равносильным, в итоге получим: для произвольного на-к
к € А
Б2 = ( 3 х1 ... хп ) (т (ак, х1, ..., хп, а, Ь) = 1 &
& & х у € Б^11 ).
3 = 1
Воспользовавшись леммой, получим:
к
к € А
Б2 = ( 3 х1 ... хп иу ) (т4 (ик, х1, ..., хп, и, V ) [и, у] = [а, Ь] &
& & ху € ).
у=1
А
множество, то доказательство теоремы 2 будет завершено. □
Лемма 2. Имеет, место эквивалентность
£
£
& 9г € Б
(1)
г=1
2
П [дг, [а1, а2 ]] € .
1=1
^ (1)
Доказательство. Если & дг € ^ , то, конечно
г=1
П [дг, [ аи а2]] € Р().
г=1
Обратно, пусть
П [дг, [ аи а2]] € Б^2).
г=1
(2)
Перейдем к факторгруппе Б2/Б2 , которую будем обозначать через Б2(&2).
Напомним, что Б2(&2) - это свободная метабелева группа ранга, 2. Обозначая
(2)
для упрощения образ элемента д группы Б2 в факторгруппе Б2/Б2 вновь через д, что не приведет к недоразумениям, мы получим в группе Б2(&2) равенство
П [ gi, [ аи а2]] = I.
г=1
Покажем, что это равенство в группе Б2(&2) влечет равенства
1
£
& дг
г=2
в свободной абелевой группе Б2(&1) = Б2/Б1^, где д - образ элемента д в группе
Б2(& 1) при естественном гомоморфизме группы Г2(&2) на группу Г2(&1).
(2)
Воспользуемся вложением В. Магнуса [22] группы Р2/Р2 в группу матриц
д 0,^1 + 0-2^2 0 1
где Т - свободный Ъ [ Г2/Г!(1 ]-модуль с базой ¿2;
д € ^/^ аг € Ъ[ ^/^ ]
относительно отображения
г I—>
От + , От +
г 11 + эаг2 ¿2
где ги - образ г в Б2/Г(
(1)
0
1
дг
—----значение г-той производной Фокс а [23] в Ъ [ Г2/Г(1 ].
даг
Непосредственные вычисления в Ъ[ Б2 ] дают равенства
д[а1,а2) = . [а а ] а — [а1,а2] = а г ]
——а— = 1 — [а1,а2] а2, ——а— = а1 — [а1 ,а2]■
Пусть г(а1, а2), и(а1, а2) и у(а1, а2) - произвольные элементы свободной группы Б2. Тогда элемент г(и(а1,а2),ь(а1,а2)) будем обозначать коротко через г(и,ь). Для его дифференцирования применяем цепное правило
дг(и,ь) —г ди —г дV
~аа— = —а;м • за, + м • за, ■
Получаем в Ъ[ Б2 ] равенства
—[и,у] ди —V
-ЮГ = (1 - ^^ • да; + (и - |u'v|) • да,■
Перейдя к Ъ [ Б2/г!(11 ], получим равенства
— [а1,а2] д [а1,а2]
= 1 — а2, = а1 — 1;
да1 да2
д [и,ь\ ди —V
л—ат =(1 - v) • +(и - "•ваг:
Прямые вычисления показывают, что элементу [д, [ а1, а2 ]] группы Б2(&2) соответствует матрица
1 (д — 1)[(1 — а2^1 + (а1 — 1)t2]
01
Поэтому равенство
£
П [ дг, [ а1, а2 ]] = 1,
г=2
имеющее место по предположению в группе Б2(&2), дает в Ъ[ Б2/г21 ] равенство
г
(1 — а2 ^ ^( дг — 1) = 0
г=2
Так как групповое кольцо Ъ[Г2/Г2(1'1] свободной абелевой группы Б2/Г(1 не имеет делителей нуля, то
г
(дг - 1) = 0
г=2
Последнее равенство влечет равенства
г
& дг
то есть
& дг € Б2т
г=2
□
Доказательство теоремы 3 теперь получается из теоремы 2 и лемм 2 и 1. Заметим, что слово [а,Ь], стоящее в правой части рассматриваемых в доказанной теореме уравнений, имеет длину 4. Следующая теорема показывает невозможность дальнейшего уменьшения длины правой части.
Теорема 4. Существует полиномиальный алгоритм,, позволяющий по произвольному разрешенному относительно неизвестных уравнению вида
г (х1, ... , хп ) = д( а, Ь),
где г (х1, ... , хп) - групповое слово в алфавите неизвестных х1} х2,..., хп, а д( а, Ь) - элемент длины меньше 4 свободной группы, Б2 со свободными образующим,и а иЬ определить, существует л,и реш,ение этого уравнения, удовлетворяющее условию
х1 € Г(8), ... ,хг € Г(8), где Ь - произвольное фиксированное число между 1 и п.
д
{а, Ь} свободных образующих группы Б2, то нетрудно убедиться, что д - степень Ак некоторого примитивного элемента А группы Б2.
Покажем, что уравнение
г(х1,...,хп) = д,
т.е. уравнение
г(х1,...,хп) = Ак, имеет решение в группе Б2, удовлетворяющее условию
х1 € Б^, ... ,хг € б(8),
тогда и только тогда, когда в циклической группе Б1 с образующим элементом а
г(1,..., 1,хг+1, ...,хп) = ак.
Вопрос о разрешимости последнего уравнения сводится к вопросу о разрешимости в целых числах линейного уравнения с целыми коэффициентами. А последний вопрос полиномиально разрешим.
1
Предположим, что А и В - система свободных образующих группы Г2 (напомним, что А - примитивный элемент этой группы), а ф и ф - такие автоморфизмы этой группы, что ф (А) = a, ф (В) = Ь;
ф (а) = А, ф (Ь) = В.
Пусть д1; ..., дп - решение в группе Г2 уравнения
г(х1, ...,хп) = Ак,
удовлетворяющее условию
д-1 € Е<8), . , дг € Е<8).
Применив к равенству г(д1,..., дп) = Ак автоморфизм ф, получим равенство
г(ф(д1 ),...,ф(дп)) = ак.
К последнему равенству применим гомоморфизм ф1 группы Р2 на группу Г1у заданный равенствами
ф1 (а) = а, ф1 (Ь) = 1,
получим
г(ф1 (ф(д1 )),...,ф1 (ф(дп))) = ак.
Если д € В(8\ то ф1(ф(д)) = 1, поэтому
ф1(ф(д1)) = 1,...,ф1(ф(дг)) = 1.
Значит ф1(ф(дг+1)),-■■, ф1(ф(дп)) - решение уравнения
г(1,..., 1,хг+1, ...,хп) = ак.
в группе Г1.
Обратно, если Нг+1, ..., кп решение уравнения
г(1,..., 1,хг+1,..., х'п) = ак
в группе ^1, то применив к равенству в группе Г2
г(1,..., 1, Нг+1,..., К) = ак
ф
г(1,..., 1,ф(кг+1),...,ф(кп)) = Ак,
значит gi = 1, ..., gt = 1, gt+i = ф(ht+i) gn = ф(hn) - решение в группе F2 уравнения
w(xi, ...,xn) = Ak,
удовлетворяющее условию
gi е F---.gt e F2"K
□
Для уравнений с одним неизвестным ситуация иная.
Пусть N - r-й коммутант Fn^ свободной группы Fr или r-й член (Fm)r ее нижнего центрального ряда.
Теорема 5. Существует полиномиальный алгоритм,, позволяющий по любому уравнению с одним неизвестным
w (xi, ai} . . . , an ) = 1 Fn xi xi е N
Доказательство. A.A. Лоренц [3] и К.И. Аппель [4] доказали, что множество решений уравнения с одним неизвестным задается конечным множеством параметрических слов, т.е. слов вида ABX С, где А - целочисленный параметр. Д. Бормотов, Р. Гилман и А. Мясников [24] разработали полиномиальный алгоритм для построения по уравнению с одним неизвестным соответствующего множества параметрических слов.
Тем самым вопрос о существовании решения уравнения
w (xi, ai, ..., an ) = 1 (2)
Fn xi е N
нию, существует л,и такое целое число А, что ABX С е N или Bx = A-iC-i в Fn/N, т.е. задача о существовании у уравнения (2) решения с условием xi е N сводится к проблеме степеней для группы Fn/N: существует л,и такое целое число А, что Bx = A-i С-i в Fn/N. Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что проблема степеней для групп Fn/Fn^ и Fn/(Fn)r полиномиально разрешима. □
(r)
Fn/Fn
пой ранга n ступени разрешимости r и обозначается через Fn (&r), а группа Fn/(Fn)r называется свободной нильпотентной группой ранга n класса нильпотентности r и обозначается через Fn (Nr).
Проблема степеней для произвольной свободной разрешимой группы Fn (Sr) решена в работе [25]. В виду трудной доступности этой работы и для полноты изложения приведем достаточно простое решение проблемы степеней для свободной разрешимой группы Fn ( &r).
Следующая ниже лемма впервые доказана в работе [25], для полноты изложения мы дадим, на наш взгляд, более простое ее доказательство, используя дифференцирования группового кольца Z [ Fn / [ N, N ]] со значениями в Z [ Fn / N ]. Все необходимые определения и свойства таких дифференцирований можно найти в книгах [23], [22], [11] и статьях [26], [27].
Лемма 3. Если слово b в образующих al,... ,an имеет дли ну pub = 1 в Fn ( 6r ), то при k > p уравнение xk = b не имеет решения в группе Fn ( 6r ).
Доказательство, проведем индукцией по г. При r = 1 Fn ( 6l ) - свободная абелева группа с базой al,... ,an, поэтому b = af1 ... a^™ и p = \ ai \
+ ... + \ an \ ■
n
Представив x в виде aX1 ...a^1, получим систему уравнений & kxi = ai7
i=i
которая при k > p ^ max { \ ai \ } не имеет решения, так как при некотором
l^i^n
i0 aio = 0.
Предположив, что утверждение доказано для группы Fn ( &r ), докажем его для группы Fn ( Sr+l ). Пусть b = 1 в Fn ( Sr+l ). Обозначим через b образ b в фактор-группе
Fn ( &r+i ) / ( Fn ( Sr+i ))(r) = Fn ( Sr ).
Если b = 1b Fn ( Sr ), т.е. b ^ ( Fn ( Sr+l ) )(r), то так как длина b в образующих al;..., an группы Fn ( Sr +i ) / ( Fn ( 6 r+l ))(r) bp
xk = b k > p
поэтому в этом случае и уравнение xk = b не имеет решения в Fn ( 6^ ).
Пусть теперь b G ( Fn ( S^ ) )(r). Предположим, что при k > p уравнение xk = b имеет решение u в Fn ( 6^ ). Так как по предположению b G
( Fn ( 6 r+l ))(r) b = 1 Fn ( 6r ) uk = b
bk = 1, Fn ( 6r+l ) u = 1.
k
duk k du
!â = <1 + u + - + u ) fa '
ii
dv
где 77---частная производная v no ai 23 .
dai
Поэтому равенство uk = b дает в Z [ Fn ( 6r) ] систему равенств
n du db i=i ôâi = dai.
Значит все коэффициенты элемента db/dai делятся на к. Индукцией по p
b Fn ( 6r+l ) p
коэффициенты элемента db/dai по модулю не превосходят р. Так как k > p и
все коэффициенты элемента db/dai делятся на k и те превосходят по модулю p,
то db/dai = 0. Тогда по теореме 3.5 из [11] b = 1 в Fn ( Sr+1), что противоречит сделанному выше предположению . □
Из леммы сразу следует [25] существование полиномиального алгоритма, решающего проблему степеней для свободной разрешимой группы Fn (S^): для определения является ли b степенью а достаточно для каждого к, по модулю не превосходящего длины записи b в образующих группы Fn ( Sr+1), проверить выполняется ли равенство ak = b.
Если N - r-й член (Fn)r нижнего центрального ряда группы Fn, то проблема степеней для группы Fn/N, конечно, разрешима как частный случай проблемы вхождения: существует целое А такое, что Bх = A-1 C-1 тогда и только тогда, когда, A-1C-1 входит в циклическую подгруппу, порожденную элементом B
Так как нам требуется полиномиальный алгоритм, то ниже приводится более простое решение проблемы степеней для свободной нильпотентной группы.
Пусть Fn (Nr) - свободная ранга n нильпотентная группа ступени нильпотентности r со свободными образующими а17..., an, b - ее отличный от 1
b
b = cmi cmt b cii ■■■ cit ,
где ci — базисные коммутаторы веса, не превосходящего r, i1 < ... < it, m1, ... ,mt — целые числа, отличные от нуля.
Лемма 4. При k > max { | mj \ } уравнение xk = b не имеет решения в
F
J- n,r •
Доказательство, проведем индукцией по г. Так как Fn (N1) свободная абелева группа, то при r = 1 утверждение леммы справедливо.
Докажем утверждение для группы Fn (Nr+1) при условии, что оно справедливо для группы Fn (Nr ) .
Если b ^ ( Fn (Nr+1) )r, но уравнение xk = b имеет в группе Fn (Nr+1) a
^ (тг+1) / {гп (тг+1 ))г = гп (тг).
Обозначим через д образ элемента д группы Гп (ЭД^) при естественном гомоморфизме группы Еп (Шг+1) на фактор-группу Еп (Шг+1) / ( Еп (Шг+1) )г, получим в группе Еп (N) равенства ак = Ь, Ь = с-11 ■■■(?£, где с?1 ,...,ср -базисные коммутаторы веса, не превосходящего г — 1. Тогда неравенства
к > шах { | тз \ } ^ тах { \ д3 \ }
противоречат индуктивному предположению.
Если же Ь Е ( Еп (^Яг+1) )г, то Ь = в™1 ■■■ с!™1, где ег:) - базисные коммутаторы веса г. Равенство ак = Ь в этом случае влечет равенство ак = 1 в группе
Fn ( Nr). Так как группа Fn ( Nr ) те имеет кручения, то ä = 1 в Fn ( Nr ), т.е. a Е ( Fn ( Nr+1 ) )r, поэтому a = СЦ...cp и cil - базисные коммутаторы
веса r. Так как
Ci1 ,---,Cit Е ( Fn ( Nr+1 ) )r = Z ( Fn ( Nr+1 )),
где Z( G ) - центр группы G, то ak = ckp1 ... ckpt, поэтому получаем конъюнкцию равенств
t
& kpi = mi.
i=1
Так как все числа m1}... ,mt не равны нулю, то
k ^1 m1 I ^ max { I тЛ
î^j^t
что противоречит условию леммы. □
Из леммы сразу следует существование полиномиального алгоритма, решающего проблему степеней для свободной нильпотентной группы Fn ( Nr).
Для определения, является ли b степенью a достаточно представить b в виде c!™1 ...Cm -, указанном в лемме, и для каждого k такого, что
Ik I ^ max { I m, I î^j^t
проверить выполняется ли в группе Fn ( Nr) равенство ak = b.
Замечание 1. Очевидно, теорем,a 5 справедлива, для любой такой нормальной подгруппы N, что в факторгруппе Fm/N полиномиально разрешима проблема степеней.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Tarski A., Mostowski A., Robinson R.M. Undecidable theories. NY., 1953.
[21 Lyndon R.C. Equations in free groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. Volume 96. P. 445 - 457.
[3] Лоренц A.A. О представлении множеств решений систем уравнений с одним неизвестным в свободных группах. // Доклады АН СССР. 1968. Том 178. №2. С. 290 - 292.
[4] One-variable equations in free groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. Volune 19. P. 912 - 918.
[5] Хмелевский К).11. Системы уравнений в свободной группе. I, IL // Известия АН СССР. Серия математика. 1971. Том 35. №6. С. 1237 - 1268. 1972. Том 36. т. С. 110 - 179.
[6] Макании Г.С. Уравнения в свободной группе. // Известия АН СССР. Серия математика. 1982. Том 46. №6. С. 1199 - 1273.
[7] Макании Г.С. Универсальная теория и позитивная теория свободной группы. // Известия АН СССР. Серия математика. 1984. Том 48. №4. С. 735 -749.
[8] Мерзляков К).И. Позитивные формулы на свободных группах. // Алгебра и логика. 1966. Том 5. №4. С. 25 - 42.
[9] Разборов A.A. О системах уравнений в свободной группе. // Известия АН СССР. Серия математика. 1984. Том 48. №4. С. 779 - 832.
[101 Gassner B.J. On braid groups. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1961. Volume 25. P. 10 - 22.
[11] Birman J.S. Braids, links and mapping class groups. Ann.of Math. Studies №82. Princeton University Press. Princeton, 1974.
[12] Коуровская тетрадь. 11-е изд., доп. Новосибирск, 1990.
[13] Малхасян А.Ш. О разрешимости в подгруппах уравнений в свободной группе. // Сборник "Прикладная математика". 1986. Том 2. С. 42 - 47.
[14] Diekert V. Makanin’s Algorithm for Solving Word Equations with Regular Constraints. Preliminary version of the chapter in M. Lothaire. Algebraic Combinatorics on Words. Report Nr. 1998/02. Fakultat Informatik. Universität Stuttgart. 1998.
[15] Дурнев В.Г. Об уравнениях на свободных полугруппах и группах. // Мате,м. заметки. 1974. Том 16. №5. С. 717 - 724.
[16] Мальцев А.И. Об уравнении zxyx-1y-1z-1 = aba-1b-1 в свободной группе. // Алгебра и логика. 1962. Том 1. №5. С. 45 - 50.
[17] Schupp P.E. On the substitution problem for free groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Volume 23. P. 421 - 423.
[181 Edmunds C.C. On the endomorphisms problem for free group. // Com. Algebra. 1975. Volume 3. P. 7 - 20.
[19] Дурнев В.Г. О проблеме разрешимости для уравнений с одним коэффициентом. // Матем. заметки. 1996. Том 59. №6. С. 832 - 845.
[20] Вдовина A.A. Произведение коммутаторов и квадратов в свободной группе. // Третья международная конференция по алгебре. Сборник тезисов. Красноярск: Изд-во. КрГУ, 1993. С. 66 - 67.
[21] Матиясевич Ю.В. Диофантовость перечислимых множеств. // Доклады АН СССР. 1970. Том 130. №3. С. 495 - 498.
[22] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
[23] Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. М.: Мир, 1967.
[24] Bormotov D., Gilman R., Myasnikov A. Solving one-variable equation in free groups. // J. Group Theory. 2009. Volume 12. №2. P. 317 - 330.
[25] Каргаполов М.И., Ремесленников B.H. Проблема сопряженности для свободных разрешимых групп. // Алгебра и логика. 1966. Том 5. Л’"6. С. 15 -26.
[26] Красников А.Ф. О порождающих элементах групп вида F/[N,N]. // Ма-тем. заметки. 1978. Том 24. №2. С. 167 - 173.
[27] Ремесленников В.Н., Соколов В.Г. Некоторые свойства вложения Магнуса. // Алгебра и логика. 1970. Том 9. №5. С. 556 - 578.
[281 Мальцев А.И. О свободных разрешимых группах. // Доклады АН СССР. 1960. Том 130. №3. С. 495 - 498.
[29] Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
Получено 18.05.2012
