CC BY
28
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)
Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера
80-летию Мартина Давидовича Г риндлингера посвящается
УДК 510.53+512.54.0+512.54.03+512.54.05+512.543.72
ОТ-ТРУДНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ
РАЗРЕШИМОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С
ПРОСТОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ В СВОБОДНОЙ ГРУППЕ
В. Г. Дурнев (Ярославль), О. В. Зеткина (Ярославль)
Аннотация
Рассматривается проблема разрешимости в свободной группе ^2 ранга 2 со свободными образующими а и & доя уравнений вида w(xl, ...,хп) = д, где w(xl,..., хп) - групповое слово в алфавите неизвестных {х1,..., хп,...}, а д - групповое слово в алфавите {а, Ь} свободных образующих группы
F2■
Устанавливается NР-трудность проблемы разрешимости в этой группе для уравнений вида w(xl,..., хп) = аЬа-1Ь-1.
Показана полиномиальная разрешимость проблемы разрешимости для уравнений вида w(xl, ...,хп) = д, где д - групповое слово длины меньше 4 в алфавите {а, Ь} свободных образующих группы ^2.
Обозначим через - свободную группу ранга т со свободными образующими а1; ..., ат. При т = 2 вместо а1 и а2 будем писать а и Ь соответственно.
Уточним некоторые определения, относящиеся к системам уравнений в свободных группах.
Системой уравнений с неизвестными х1г.., хп в свободной группе Рт называется выражение вида
к
& (х1 5 ... 5 хп •> а1) ) ат) (х1 •> ... ) хп) а1) . . . ) ат) 5 (1)
г=1
где 'Шг(х1,..., хп, а1}..., ат) и щ(х1}..., хп, а1}..., ат) - слова в алфавите
{ хI, х- 5... 5 хп5 х,— , а15 а— 5... 5 ат5 ат }.
Набор (д]_5... 5дп) элементов группы Бт называется решением системы (1), если при любом 1(1 = ^ ... 5 &) в группе Бт выполняется равенство
^г(д15 ... 5 дп5 а15 ... 5 ат) иг(д15 ... 5 дп5 а15 ... 5 ат).
Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Используя уравнение
[х5 а = ({х5Ь] у2)25
имеющее в свободной группе Бт при любом т ^ 2 лишь тривиальное решение х = 1, у = 1, любую систему уравнений (1) можно заменить одним, ей равносильным, уравнением.
Для уравнений в свободных группах традиционно рассматриваются две основные задачи: проблема существования решения и проблема описания множества всех решений.
Исследование разрешимости уравнений в свободных группах было начато американскими математиками в конце 50-х годов в связи с проблемой разрешимости элементарных теорий свободных групп, поставленной А. Тарским [1]. В начале исследовались лишь отдельные уравнения, а в 1960г. Р. Линдон [2] нашел для произвольного уравнения с одним неизвестным описание множества всех его решений с помощью параметрических слов, т.е. выражений, полученных из образующих рассматриваемой свободной группы с помощью операций группового умножения и возведения в степень с переменным целочисленным показателем. Позже А.А. Лоренц [3] и К.И. Аппель [4] уточнили это описание Р. Линдона, доказав, что общее решение любого уравнения с одним неизвестным в свободной группе представимо конечным числом формул вида АВС, где А, В, С - конкретные слова, а £ - параметр, принимающий произвольные целочисленные значения. Дальнейшее продвижение в этом вопросе было достигнуто в 1970 году К).И. Хмелевским [5].
В 1982 году Г.С. Макании [6] получил полное решение проблемы распознавания разрешимости уравнений в свободной группе. Он доказал, что если данное уравнение с длиной записи й имеет решение в свободной группе, то длина каждой компоненты минимального (по максимальной длине компоненты) решения не превосходит числа Ф(й), где Ф(х) - некоторая рекурсивная функция. Это дает переборный алгоритм для распознавания разрешимости произвольного уравнения в свободной группе.
А.А. Разборов [7] дал описание множества решений произвольной совместной системы уравнений в свободной группе.
Вопрос о сложности разрешающих алгоритмов для уравнений в свободных группах находится, по нашему мнению, в начальной стадии исследования.
В. Диекерт [8] показал, что проблема определения по произвольному уравнению
w (x i,... ,xn,a ) = 1
в свободной группе Fm и списку регулярных подмножеств (языков) Hi,..., Hn группы Fm, имеет ли оно решение, удовлетворяющее условию
xi £ Hi,...,xn £ Hn,
принадлежит классу PSPACE.
В ряде работ [9], [5], [10], [11], [12] рассматривались уравнения вида
w ( x 1, . . . , xn ) g( a l, a2 , . . . , am ),
где w ( x... , xn) - групповое слово в алфавите не известных x iy x2,..., xn, т.е. не содержит констант a 1у ..., am, а, g( a ^ a2, ... ,am ) слово в алфавите констант a 1у ..., am, т.е. не содержит неизвестных, и получили название уравнений, разрешенных относительно неизвестных, или уравнений с правой частью. Проблема разрешимости для таких уравнений иногда называется проблемой подстановки или проблемой сравнения с образцом.
В работе [12] было доказано, что проблема разрешимости в свободной группе
Fm
мости в этой группе или в группе Fm+1 (при нечетном ш) для уравнений, разрешенных относительно неизвестных. И на этой основе установлена следующая теорема.
Теорема 1. Проблема разрешимости для уравнений вида w(x i,...,xn) = g, где w(x ]_, ...,xn) - групповое слово в алфавите не известны,х {x ь ...,xn,...}, a g -групповое слово в алфавите {a, b} свободных образующих группы, F2 является N P-трудной.
g
{ a, b } F2
Целью настоящей заметки является существенное усиление этого результата.
Обозначим через [u, v] коммутатор элементов и и v, т.е. [u,v\ = uvu-lv-1 .
F2
вида w(x]_,..., xn) = [a, b\, где w(x]_,..., xn) - слово в алфавите неизвестных, a [a, b\ - коммутатор свободных образующих a и b группы, F2 является NP-трудной.
Предварительно докажем вспомогательную лемму.
Лемма 1. Уравнение w(x]_,... ,xn,a,b) = 1 имеет реиление в свободной F2
щее уравнение
w4(x-]_,... ,xn,u,v)[u,v\ = [a,b\.
Доказательство. Если уравнение и(х1,... ,хп,а,Ь) = 1 имеет решение д1у ..., дп в свободной группе Р2, то д1у ..., дп, а, Ь решение уравнения
т4(х\,... ,хп,п,у)[п,у] = [а,Ь].
Обратно, пусть д1у ..., дп, а, в ~ решение уравнения
т4(х1,... ,хп,и,ь)[и,ь] = [а,Ь].
А.А. Вдовина в статье [14] доказала, что равенство [и,^][в,^] = и4 влечет в свободной группе Б2 равенство и = 1. Поэтому равенство
т4(дг ,...,дп,а,в )[а,в] = [а,Ь]
влечет равенства и(д1,... ,дп,а, в) = 1 и [а, в] = [а,Ь]. Тогда по теореме А.И. Мальцева [9] а и в ~ свободные образующие свободной группы Г2, поэтому существует автоморфизм ф свободной группы Б2 такой, что ф(а) = а и ф(в) = Ь-
Применив автоморфизм ф к равенству и(д1}..., дп,а, в) = 1, получим
и(ф{д1),... ,ф{дп),а,Ь) = 1.
Значит уравнение и(х1,..., хп, а,Ь) = 1 имеет решение. □
Доказательство, теоремы 2. Покажем, что к проблеме разрешимости в свободной группе Б2 для уравнений вида и(х1,... ,хп) = [а,Ь] можно полиномиально свести проблему 3-выполнимости (3-ВЫП-проблема), которая является ЖР-полной [15].
Напомним, что 3-ВЫП-проблема состоит в определении по произвольной формуле логики высказываний, заданной в конъюнктивной нормальной форме, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит в точности 3 литерала, является ли она выполнимой.
Пусть формула логики высказываний Ф имеет вид
т п £..
& V Х£г],
г=1 3=1 3
где £у Е { -1, 0, 1 }, Х1 ^ Ху, Х0 - пустое слово (т.е. в этом случае литерал Х^3 просто отсутствует), X-1 ^ Xу.
Для произвольного г (1 ^ г ^ ш) имеем
т
Е \£ц\ = 3.
=1
Отправляясь от формулы Ф, построим формулу Ф*
п
пт
( & (х у = 1 V х у = а) & & ( V,,. ^ Щ) = а)),
1 = 1 г=1 £=1,2,3
3=1
где V] ^ ах- 1 ДЛЯ £] — — 1, V] ^ 1 - пустое слово при £г] — 0 И V] ^ X] при
£ш ' — 1 Сгз 1
Легко видеть, что
формула Ф выполнима тогда и только тогда, когда, форм,ура, Ф* истинна на, свободной группе Б2.
Ф*
эквивалентностями Г.А. Гуревича [6]
(■ю1 — 1 V — 1) & [ w1a£w1a~£ ,w2b6] — 1
£,& = ±1
и А.И. Мальцева [6]
(w1 — 1& w2 — 1) w2aw2a~l(bw2b~lw2)2 — 1.
Заметим, что \w‘2aw^a~1(bw2b~1w2)‘2\ — \ + ^2\) + 6.
Заменяя конъюнкцию равенств (w1 — 1 & w2 — 1) одним равенством w — 1, мы можем считать, что
И — 4(^1\ + \w2 \) + 6 ^ 8(^1\ + \w2 \) •
Чтобы заменить дизъюнкцию равенств (w1 — 1 V w2 — 1) одним равенством w — 1, мы заменим ее на конъюнкцию
& [ w1a£w1a~£ ,w2b6 ] — 1,
£,6 = ±1
которую за два шага заменим одним равенством w — 1, ей эквивалентным, а значит эквивалентным и исходной дизъюнкции. При этом можно считать, что
И ^ 2д(\1^1\ + \1^2\).
Мы можем заменить дизъюнкцию вида
('1^1 — 1 V 1^2 — 1 V чиз — 1) одним эквивалентным ей равенством w — 1 и считать, что
и ^ 218( ^ \).
Ф*
Ф**
т п
& wг — 1 & & П] — 1 г=1 з=1
такую, что ее длина \Ф**\ (длина записи фор мулы Ф**) удовлетворяет неравенству
\Ф**\ ^ 218\Ф*\.
Заменяя конъюнкцию вида w1 — 1 & w2 — 1 & w3 — 1 одним равенством w — 1, мы можем считать, что
и ^ 25( ^ ^ + \wз\).
Объединяя уравнения системы
к
& 1^,1 — 1 г=1
в пары или тройки (при четном к), мы получим ей равносильную систему:
& «;<■> — 1;
г=1
причем
к1 т г- к
Е \w<1)| < 2 Е \^^г!
г=1 г=1
и к1 ^ т/2.
Таким образом не более чем за 1од2 (т + п) шагов мы получим одно уравнение w — 1 эквивалентное системе
причем
где
& wг — 1 & & из — 1,
г=1 ]=1
и ^ 251092 (т+п) Ь,
тп
Ь — Е Ы + Е \из \, г=1 3=1
т.е. ^ ^ (т + п)5Ь.
Окончательно получаем
и ^ 21 (т + п)5 \Ф*\ ^ 21 \Ф*\6.
Применив лемму, мы получим, что
Ф
уравнение
т4:(х1,..., хп,и,у)[и,у] — [a,b]
имеет реиление в группе Б2.
Это завершает доказательство теоремы. □
т
п
Заметим, что слово ^ В] имеет длину 4. Для слов д длины меньше 4 ситуация принципиально иная как показывает следующая теорема.
Теорема 3. Проблема разрешимости для, уравнений вида w(x\, ...,xn) = g, где w(xi, ...,xn) - групповое слово в алфавите неизвестных {x\, ...,xn,..a g - групповое слово длины меньше 4 в алфавите {a, b} свободных образующих группы, F2 полиномиально разрешима.
Доказательство. Если g - групповое слово длины меньше 4 в алфавите {a, b} свободных образующих группы F2, то нетрудно убедиться, что g - степень Ak некоторого примитивного элемента A группы F2.
Поэтому уравнение w{x\,..., xn) = g, т.е. уравнение w(x\, ...,xn) = Ak, имеет решение в группе F2 тогда и только тогда, когда в этой группе разрешимо уравнение w(x\, ...,xn) = ak. Вопрос о разрешимости последнего уравнения сводится к вопросу о разрешимости в целых числах линейного уравнения с целыми коэффициентами. А последний вопрос полиномиально разрешим. □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Tarski A., Mostowski A., Robinson R.M. Undecidable theories. NY., 1953.
[21 Lyndon R.C. Equations in free groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. Volume 96. P. 445 - 457.
[3] Лоренц А.А. О представлении множеств решений систем уравнений с одним неизвестным в свободных группах. // Доклады АН СССР. 1968. Том 178. №2. С. 290 - 292.
[4] One-variable equations in free groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. Volune 19. P. 912 - 918.
[5] Хмелевский К).11. Системы уравнений в свободной группе. I, II. // Известия АН СССР. Серия математика. 1971. Том 35. №6. С. 1237 - 1268. 1972. Том 36. №1. С. 110 - 179.
[6] Маканин Г.С. Уравнения в свободной группе. // Известия АН СССР. Серия математика. 1982. Том 46. №6. С. 1199 - 1273.
[7] Разборов А.А. О системах уравнений в свободной группе. // Известия АН СССР. Серия математика. 1984. Том 48. №4. С. 779 - 832.
[8] Diekert V. Makanin’s Algorithm for Solving Word Equations with Regular Constraints. Preliminary version of the chapter in M. Lothaire. Algebraic Combinatorics on Words. Report Nr. 1998/02. Fakultat Informatik. Universitat Stuttgart. 1998.
[9] Мальцев А.И. Об уравнении zxyx-1y-1z-1 = aba-lb-1 в свободной группе. // Алгебра и логика. 1962. Том 1. №5. С. 45 - 50.
[10] Schupp Р.Е. On the substitution problem for free groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Volume 23. P. 421 - 423.
fill Edmunds C.C. On the endomorphisms problem for free group. // Com. Algebra. 1975. Volume 3. P. 7 - 20.
[12] Дурнев В.Г. О проблеме разрешимости для уравнений с одним коэффициентом. // Матем. заметки. 1996. Том 59. №6. С. 832 - 845.
[13] Дурнев В.Г. Об уравнениях на свободных полугруппах и группах. // Матем. заметки. 1974. Том 16. №5. С. 717 - 724.
[14] Вдовина А.А. Произведение коммутаторов и квадратов в свободной группе. // Третья международная конференция по алгебре. Сборник тезисов. Красноярск: Изд-во. КрГУ, 1993. С. 66 - 67.
[15] Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
Получено 18.05.2012
